Quelques exemples et exercices. 1. Opposé par le sommet à COD. 3. La somme des angles intérieurs d un triangle est 180

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1 École secondaire La amaradière Mathématique Nom : Groupe : ate : INITITIN À L ÉMNSTRTIN Quelques exemples et exercices 1. Trouve la mesure des angles 1,2 et 3 et justifie tes réponses ffirmation 1. m 1 = 0 1. pposé par le sommet à 2. m 2 = Supplémantaire à 1 3. m 3 = La somme des angles intérieurs d un triangle est ans la figure suivante, les segments et H sont parallèles. e plus, m I = 5 et m HJI = 113. Trouve la mesure de l angle JIK en justifiant ta démarche. 5 I? H 113 G J K ffirmation 1. m IJK = m IKJ = 5 3. m JIK = Les angles adjacents qui ont leurs côtés extérieurs en ligne droite sont supplémentaires. 2. eux angles correspondants coupés par une sécante et formés par 2 droites parallèles sont congrus. 3. La somme des angles intérieurs d un triangle est 180

2 3. Trouve la mesure des angles 1, 2, 3 et et justifie tes réponses, sachant que le segment R est la bissectrice de l angle Q. Q R S 5 T ffirmation 1. m 1 = La somme des angles intérieurs d un triangle est de m 2 = Les angles opposés par le sommet sont congrus. 3. m 3 = La somme des angles intérieurs d un triangle est de m = 26. Une bissectrice partage un angle en deux angles congrus.. Trouve la mesure des angles suivants et justifie tes affirmations. ffirmation 1. m XZY = 6 1. Supplémentaire à l angle XZW X 68 Y 2. m XYZ = La somme des angles intérieurs d un triangle est de Z W

3 5. ans la figure suivante, le segment est la bissectrice de l angle. Quelle est la mesure de l angle? 75 37? ffirmation 1. m = La somme des angles intérieurs d un triangle est de m = Supplémentaire à l angle XZW 3. m = Une bissectrice partage un angle en deux angles congrus.. m = 56. Les angles opposés par le sommet sont congrus. 6. Hélène a appuyé une échelle sur le mur de sa maison. L échelle, de 5 mètres de longueur, forme un angle de 150 avec le sol. À quelle hauteur du sol l extrémité de l échelle touche-t-elle à la maison? m? Hauteur = 2,5 m, car dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle de 30 mesure la moitié de l hypoténuse. 7. La région de Montréal organise des Jeux de l mitié pour les jeunes de 8 à 12 ans. Leur fanion pour l événement a la forme d un triangle rectangle. L hypoténuse mesure 12 décimètres. Trouve la mesure demandée sur le fanion et justifie chacune de tes étapes. m = 6 dmle côté opposé à un angle de 30 mesure la moitié de l hypoténuse.) 12 dm m = 10, dmla relation de pythagore.) 30?

4 8. ans la figure suivante, //. À partir des informations sur la figure, trouve les mesures demandées en justifiant tes réponses ffirmation 1. m 1 = eux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-externes congrus. 2. m 2 = Les angles adjacents qui ont leurs côtés extérieurs en ligne droite sont supplémentaires. 9. n te basant sur la figure suivante, détermine : L angle opposé par le sommet à l angle 3. 5 a) L angle correspondant à l angle. 2 b) L angle alterne-interne à l angle 2. 6 s d 1 c) L angle alterne-externe à l angle. 8 d) Les angles supplémentaires à l angle 5. 6 et d Le quadrilatère suivant est un parallélogramme. étermine la mesure de chacun des angles et justifie tes réponses. m 1 = 5 m 2 = 25 m 3 = 32 m = m 5 = 32 m 6 = 123 m 7 = 57 m 8 = 123 m 9 = 57

5 Q 11. Soit un angle mesurant 68. n trace la bissectrice de l angle jusqu en S et, de ce point, on élève deux perpendiculaires à cette bissectrice qui rencontrent les côtés de l angle en Q et R. Montre que les deux triangles ainsi formés sont isométriques. S R ffirmation 1. QS RS 1. Une bissectrice partage un angle en deux angles congrus. 2. S S 2. ôté commun aux deux triangles. 3. SQ SR 3. ar hypothèse (onnée du problème).. QS SR. 12. ans la figure suivante, le segment est parallèle au segment. rouve que les deux triangles sont isométriques. 3 cm 3 cm ffirmation Les angles opposés par le sommet sont congrus. 2. m = m 2. ar hypothèse, les deux segments mesurent 3 cm eux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes congrus... ar.

6 13. ar le sommet d un angle, on prolonge les segments et jusqu en et, d une longueur égale à leur mesure respective. n trace les segments et. ar construction, le segment mesure 3 cm. Quelle est la mesure du segment? 3 cm our répondre à cette question, prouvons que les deux triangles sont congrus. ffirmation 1. m = m 1. ar hypothèse Les angles opposés par le sommet sont congrus. 3. m = m 3. ar hypothèse... ar. 5. m = m = 3 cm 1. eux segments Q et RS sont parallèles et congrus. Un troisième segment relie les extrémités et S. Si on relie à R et Q à S, on obtient la figure suivante. 5. Lorsque 2 triangles sont isométriques, les éléments homologues sont isométriques. Q R S ffirmation 1. Q RS 1. ar hypothèse. 2. QS SR 3. S S 2. eux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes congrus. 3. ôté commun aux deux triangles.. RS QS. ar.

7 15. Le triangle est un triangle isocèle. n trace, à partir du segment la médiatrice pour former ainsi deux triangles. émontre par la propriété que les deux triangles sont isométriques. ffirmation ar hypothèse ôté commun ar définition, une médiatrice est élevée perpendiculairement sur le milieu d un côté... ar 16. ans la figure suivante, les segments Q et RS sont deux cordes congrues d un même cercle de centre. Lorsqu on joint, Q, R et S au centre du cercle, on obtient deux triangles. R émontre que ces deux triangles sont isométriques. Q S Q RS ar hypothèse Q S eux rayon d un même cercle R eux rayon d un même cercle Q RS ar N 17. Les triangles MN et Q sont tous les deux rectangles, respectivement en M et. émontre que le triangle MN est semblable au triangle Q. M Q ffirmation 1. NM Q 2. MN Q 1. ar hypothèse, tous les deux mesurent Les angles opposés par le sommet sont isométriques. 3. MN Q 3. ar.

8 18. À l aide des informations fournies sur la figure suivante, prouve que les deux triangles sont semblables. Les mesures sont exprimées en centimètres ffirmation m 10 = m 5 m = m Tous les côtés homologues des deux triangles sont proportionnels. m 12 = m ar. 19. À partir des informations fournies sur la figure, démontre que les deux triangles suivants sont semblables. Les mesures sont exprimées en centimètres. Q 6, R S ffirmation 1. m Q m RS 1. Les angles opposés par le sommet sont isométriques. 2. mq 5 = = 1,25 mr 2. Les côtés homologues sont proportionnels. m 6,25 = = 1,25 ms 5 3. Q SR 3. ar.

9 Trois éléments à connaître 20. n considère la figure suivante où la droite est parallèle au côté. st-ce que les triangles et sont semblables? Si oui, démontre-le. VIR LS NTS URS Toute droite sécante à deux côtés d un triangle et parallèle au troisième côté forme un plus petit triangle semblable au grand. 21. n considère maintenant la figure suivante où les droites, et sont parallèles. 6 mm 10 mm 8, mm 1 mm a) étermine : Quelle est la mesure du segment? 6 mm Quelle est la mesure du segment? 8, mm Quelle est la mesure du segment? 10 mm Quelle est la mesure du segment? 1 mm b) Quelle relation y-a-il entre ces quatre mesures? Les rapports sont identiques. es sécantes coupées par des parallèles sont partagées en segments proportionnels.

10 22. n considère le triangle suivant où l on a joint les milieux de deux côtés. a) Que peut-on dire des segments et? Ils sont parallèles. b) Relie les milieux des côtés et. c) Relie les milieux des côtés et. Le segment de droite qui joint le milieu de deux côtés d un triangle est parallèle au troisième côté et sa mesure en est la moitié. Quelques exerices sur les triangles semblables 23. Les triangles ci-dessous sont semblables. étermine la valeur de x, si le rapport de similitude est k = 1. Les dessins ne sont pas à l échelle. a) x 2,25 cm Réponse : x = 9 b)? 6 cm Réponse : x = 8,6

11 2. Un lampadaire de 10 mètres de hauteur projette une ombre de 6 mètres. u même moment, une borne-fontaine projette une ombre de 0,8 mètre. alcule la hauteur de la borne-fontaine. Réponse : 0,8 m 25. À partir des informations fournies par la figure, calcule la hauteur de cet édifice. Réponse : 18 m 2 m 2 m 2,5 m 20 m 26. Voici un schéma qui nous permet de calculer le diamètre de la piscine ci-contre. étermine la mesure de ce diamètre. Réponse : 8 m 2 m 12 m 15 m 27. Voici le logo d une compagnie fabriquant des vêtements et des accessoires. Sachant que les deux triangles formant le logo sont semblables, calcule la longueur recherchée (x). Toutes les mesures sont en centimètres. x 3,5 Réponse : 5 cm 2,5