CHAPITRE 5 Généralités sur les Fonctions

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1 CHAPITRE 5 Généralités sur les Fonctions A) La notion de Fonction 1) Définition Soit Df un intervalle ou une réunion d'intervalles de ℝ. On appelle fonction de Df dans ℝ une règle qui à tout élément x de Df fait correspondre un réel unique de ℝ que l'on notera f(x). Df est appelé l'ensemble (ou domaine ) de définition de f. On dit que f est définie sur Df. Le réel f(x) est l'image de x par f et x est un antécédent de f(x). Remarque importante : Un réel peut avoir plusieurs antécédents par f, mais l'image d'un élément de Df par f est unique. a) Soit la fonction f qui à tout x ℝ fait correspondre f(x) = x² 3. Elle est définie sur D f =] ; [.. L'image de 3 est 6. Quelle est l'image de -3 par f? (6 aussi!). 6 a donc pour antécédents -3 et +3. b) Soit g avec g(x) = 5x + 2. Trouver l'image de 3 et de -3 par g. Quel est ou quels sont le(s) antécédent(s) de 12 par g? 2) Notations et domaine de définition Pour définir une fonction, on peut dire : Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x² +2 ou : Soit f : x 3x² +2, x ℝ. Le domaine de définition d'une fonction peut être précisé dans l'énoncé. Dans le cas contraire, on considèrera que ce domaine est l'ensemble des réels pour lesquels l'expression de f(x) est calculable. Les deux règles pour déterminer un ensemble de définition : page 1/9

2 a) S'il y a un quotient, le dénominateur doit être différent de zéro. b) S'il y a une racine carrée, l'expression sous le signe racine doit être positive ou nulle. Trouver le domaine de définition des fonctions suivantes : f x = x 5 2x f x = x 4 3 x f x = x 5 f x = 4 2 x 5 x 2 f x = x 5 x 2 f x = x 5 5 x 2 5 f x = x 7 x 1 B) Représentation graphique d'une fonction 1) Définition La représentation graphique (ou courbe représentative) C f d'une fonction f dans un repère donné xoy où (Ox) est l'axe des abscisses et (Oy) l'axe des ordonnées est l'ensemble des points ayant comme coordonnées (x ; f(x)) avec x dans Df. Les réels x de Df sont donc les abscisses, et les valeurs f(x) sont les ordonnées des points de la courbe Cf. Autrement dit, x est l'abscisse et f(x) est l'ordonnée des points de Cf. En général on utilise des repères orthogonaux avec la même unité sur les deux axes : on les appelle des repères orthonormés (ou orthonormaux). On peut aussi utiliser des repères simplement orthogonaux (les deux axes sont perpendiculaires), ou même des repères non orthogonaux... Soit la fonction f(x) = x² + 3. Pour construire sa courbe, il me suffit de choisir des valeurs pour x, qui seront les abscisses, et de calculer les ordonnées correspondantes en prenant x² + 3 : Soit x = -1, on aura f(x) = (-1)² + 3 = 4, donc le point M1(-1 ; 4) est sur la courbe. Calculer les coordonnées des points de la courbe d'abscisses 0, 1, 2, 3 et 4. Placer ces points dans un repère xoy et les relier en arrondissant les angles : on obtient une ébauche de la courbe de f. page 2/9

3 Remarques : Puisqu'un réel n'a qu'une image, à une abscisse ne correspondra qu'une ordonnée, donc une droite parallèle à (Oy) ne peut couper la courbe d'une fonction qu'en un seul point! Certaines courbes ne peuvent donc pas représenter une fonction, comme par exemple : 2) Équation d'une courbe Soit Cf la courbe représentative d'une fonction f. On dit que Cf est la courbe d'équation y = f(x). page 3/9

4 En effet, c'est bien l'ensemble des points dont l'ordonnée y est égale à l'image par f de leur abscisse x, soit f(x). Soit la fonction f qui à x fait correspondre f(x) = 5x. La courbe représentative de f a pour équation y = 5x (c'est une droite passant par l'origine car f est une fonction linéaire). Soit f(x) = x² + 3 : sa courbe représentative a pour équation y = x² + 3. Remarque : Pour savoir si un point M(x,y) appartient à la courbe représentative C de la fonction f, on calcule f(x) et on compare le résultat à y : si c'est égal la réponse est oui, sinon, c'est non! Les points suivants appartiennent-ils à la courbe d'équation y = 3x² x? M1 (0,0) M2 (0,1) M3 (1,1) M4 (1,2) M5 (2,10) M6 (2,12) Exercices : Page 84 ex 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12 (4 au moins) Quizz 1) Trouvez le domaine de définition de a) f x = x 3 1 b) f x = x 8 1 c) f x = x x x d) f x = x 1 x 5 e) f x = 2 x 1 2) Les points suivants appartiennent-ils à la courbe C représentant f(x) = 4 2x ²? a) (-2 ; -4) b) (-2 ; 12) c) (1 ; 3) d) (3 ; -14) 3) Quelles sont les coordonnées des points de C ' d'équation y = 2x - x² dont l'abscisse est a) 1 b) -2 page 4/9

5 C) Résolution graphique 1) Définition On effectue la résolution graphique d'une équation ou d'une inéquation lorsqu'on détermine ses solutions par l'examen de la courbe représentative des fonctions utilisées. Exemple : Cf est la courbe représentative d'une fonction f(x). Comment, d'après ce graphique, peut-on trouver les solutions de f(x) = 0 qui sont situées dans l'intervalle [-3 ; 2]? 2) Équation f(x) = b, avec b ℝ b étant un réel donné, trouver l'ensemble des réels x tels que f(x) = b, c'est trouver l'abscisse des points de C qui ont pour ordonnée b. Graphiquement, on trace la droite d'équation y = b, c'est à dire la parallèle à (Ox) passant par le point (0 ; b) et on cherche ses intersections avec b. On trouve ensuite les abscisses de ces intersections en traçant la parallèle à (Oy) passant par ces points. Cas particulier : Pour résoudre graphiquement l'équation f(x) = 0, on cherche simplement les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses (Ox). Exemple : (Df = [-4 ; 5]) a) Résoudre f(x) = 0 b) Résoudre f(x) = 4 page 5/9

6 c) Résoudre f(x) = 1 3) Résolution de f(x) b Ici, on cherche les points de C qui ont une ordonnée supérieure ou égale à b. Il s'agit donc de tous les points de C situés au-dessus de la droite d'équation y = b. On étudie f(x) sur [0 ; 3]. a) Résoudre f(x) >4 b) Résoudre f(x) 0 c) Résoudre f(x) 4 d) Résoudre f(x) > 8 S = ]0,15 ; 0,9[ U ]2,05 ; 2,96[ S = [1 ; 2] S = [0,15 ; 0,9] U [2,05 ; 2,96] S= Exercices : Page 85 ex 14, 15, 17, 20 Quizz : 1) Les points suivants appartiennent-ils à la courbe d'équation y = 4-2x² M1 (2 ; -4) M2 (-2 ; 12) M3 (1 ; 3) M4 (3 ; -14) 2) Quelles sont les ordonnées des points de la courbe y = 2x x² dont l'abscisse est a) 1 b) -2 3) Résoudre graphiquement page 6/9

7 a) f(x) = 2 b) f(x) = 3 c) f(x) > 0 d) f(x) 0 D) Sens de variation 1) Définitions Soit f une fonction et I un intervalle contenu dans son domaine de définition. On dit que : f est croissante sur I si pour tout couple (u,v) de réels de I tels que u < v, on a f(u) f(v) si cela est vrai avec f(u)<f(v), f est strictement croissante sur I. f est décroissante sur I si pour tout couple (u,v)) de réels de I tels que u < v, on a f(u) f'v) f est strictement décroissante sur I si c'est vrai avec f(u)>f(v). Exemples a) f(x) = 3x + 2 sur ℝ Soit u et v, u < v : alors, 3u < 3v et 3u + 2 < 3v + 2 Donc f(u) < f(v). La fonction f est croissante sur ℝ. b) page 7/9

8 Sur I, f est strictement croissante. Sur I, g est décroissante mais pas strictement. Sur [-6 ; 0], h est strictement croissante. Sur [0 ; 6], h est strictement décroissante. 2) Minimums et Maximums (on dit aussi minima et maxima) Soit f(x)une fonction définie sur Df. Si sur un certain intervalle ]a ; b] f(x) est strictement croissante et qu'elle est ensuite strictement décroissante sur un intervalle [b ; c[, on dit que f passe par un maximum en b, de valeur f(b). En effet, sur l'intervalle ]a ; c[, la plus grande valeur atteinte par f(x) est nécessairement f(b). Ceci peut s'écrire "Pour tout x de ]a ; c[, o a f(x) f(b)", ou encore x ]a ; c[, f ( x) f ( b). De même, si sur un certain intervalle ]a ; b] f(x) est strictement décroissante et qu'elle est ensuite strictement croissante sur un intervalle [b ; c[, on dit que f passe par un minimum en b, de valeur f(b). En effet, sur l'intervalle ]a ; c[, la plus petite valeur atteinte par f(x) est nécessairement f(b). Ceci peut s'écrire "Pour tout x de ]a ; c[, o a f(x) f(b)", ou encore x ]a ; c[, f ( x ) f ( b). Remarques : - Il peut y avoir plusieurs minima et/ou maxima pour une fonction. - Une fonction peut ne pas avoir de maximum et/ou de minimum sur un intervalle. Exemple : les fonctions affines (comme f(x) = 2x - 3) sur ℝ. - On parle aussi d'extremums pour qualifier les minimums et maximums. - Une fonction non croissante sur I n'est pas forcément décroissante sur I. Exemple : h entre -6 et On parle aussi de maximum absolu (respectivement minimum absolu) d'une fonction lorsque l'on peut trouver un nombre b tel que pour toute valeur x de l'ensemble de définition de f(x), page 8/9

9 on a f(x) f(b) (resp. f(x) f(b)). On peut aussi préciser "local" quand il ne s'agit pas d'un extremum absolu. Exemple : Sur I = [-4 ; 7], le minimum absolu est f(-4) et le maximum absolu est f(7). Mais f(-1) est un maximum (local) et f(3) est un minimum (local) dans I. 3) Étude du sens de variation Étudier le sens de variation d'une fonction, c'est chercher les plus grands intervalles dans lesquels elle est strictement croissante, strictement décroissante ou constante. On résume le résultat dans un tableau de variation. Exemple : Tableau de variation de la fonction f de l'exemple précédent : x -4 f(x) ,5 7 6,9-3,5-1,1 page 9/9