BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES. Génie Civil Génie Énergétique BAC BLANC MATHÉMATIQUES

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1 BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES Génie Civil Génie Énergétique BAC BLANC MATHÉMATIQUES Durée : heures Coefficient : L usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve. Le formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. Le sujet comporte eercices et problème indépendants pour un total de pages. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.

2 Eercice,5 points SoitP la fonction polynôme définie sur R par : P() = Calculer P( ).. Déterminer les réelsa,betctels que : P() = ( + )(a +b +c).. Résoudre P() = 0.. En déduire les solutions sur R des équations : (a) (sin) 7(sin) 5 sin + = 0. (b) (ln) 7(ln) 5 ln + = 0. Eercice,5 points Une entreprise produit des objets qu elle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deu types de défauts : le défaut S de nature esthétique ; le défaut F de fonctionnement. Un objet est déclaré parfait s il ne présente aucun des deu défauts.. On prélève un lot de 00 objets sur la production et on constate que : le défaut S est observé sur objets ; le défaut F est observé sur objets ; 80 objets sont déclarés parfaits. Recopier et compléter le tableau suivant : Avec le défaut F Sans le défaut F Total Avec le défaut S Sans le défaut S Total 00 On admet que la répartition des deu types de défauts, observée dans le lot de 00 objets prélevés, reflète celle de l ensemble de la production. On admet également que tout objet produit est vendu. On sait en outre que le coût de fabrication d un objet est de 00e.. Dans cette question, le pri de vente de l objet est fié à 50e. Si l objet présente le seul défaut S, l entreprise accorde au client une réduction de 5 % du pri. Si l objet présente le seul défaut F, l entreprise réalise les réparations à ses frais pour un coût de 5 e. Si l objet présente les deu défauts, l entreprise réalise les réparations à ses frais pour un coût de 58 e. On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe le bénéfice algébrique, en euros, réalisé par l entreprise à la vente de cet objet. (a) Justifier le fait que X prend les valeurs (eprimées en euros) : 50 ;, 50 ; 5 et 8. (b) Démontrer que la probabilité pour qu un objet présente le seul défaut S est 0, 0. (c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X (On pourra représenter les résultats dans un tableau.) (d) Calculer l espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X) pour l entreprise?

3 Problème points Ce problème a pour but de montrer un eemple de courbes représentatives de deu fonctions qui sont asymptotes, puis de calculer une aire comprise entre deu courbes. Partie A : Détermination d une fonction On considère la courbe représentativec, d une fonctiongdéfinie sur ] 0 ; + [, dans le plan rapporté à un repère orthogonal d unités graphiques cm en abscisse et, 5 cm en ordonnée. Cette courbe est représentée sur le document fourni en dernière page. Les points d intersection dec et de l ae des abscisses ont pour coordonnées respectives (; 0) et (; 0).. Soientaetbdeu nombres réels tels que, pour tout réel ] 0 ; + [,g() = +a +b. En utilisant les coordonnées des points d intersection de la courbe C avec l ae des abscisses, déterminer les nombresaetb.. Montrer queg() peut s écrire :g() = +. Partie B : Étude d une fonction auiliaire Soit la fonctionhdéfinie sur ] 0 ; + [ par :h() = + ln.. Montrer queh () = puis dresser le tableau de variation de h (sans les limites).. Calculerh(). En déduire queh() est strictement positif pour tout nombre réelde ] 0 ; + [. Partie C : Étude de fonction On définit la fonctionf sur l intervalle ] 0 ; + [ par : f() = + + ln. On appellera Γ la courbe représentative def dans le repère orthogonal (O; ı ; j ).. Calculer la limite def() lorsquetend vers zéro. En déduire que Γ admet une asymptote que l on précisera.. Calculer la limite def en +.. Pour toutde ] 0 ; + [ montrer quef () = h(). En déduire le tableau de variations def.. Courbes asymptotes. On rappelle queg() = +. (a) Calculer la limite en + de [f() g()]. Interpréter graphiquement ce résultat. (b) Sur ] 0 ; + [ déterminer la position de la courbe Γ par rapport à la courbec. (c) En déduire les coordonnées du point d intersectioni des courbes Γ etc. 5. Construire la courbe Γ et le pointi sur la dernière page que l on rendra avec la copie. Partie D : Calcul d une aire comprise entre deu courbes. Montrer quef() g() admet pour primitive sur ] 0 ; + [ la fonctionk définie par : K() = (ln ).. Sur le document fourni en dernière page, hachurer l aireacomprise entre les deu courbes et les droites d équations = e et = e.. Calculer la valeur de cette aire en cm. ( On rappelle quea = e e [f() g()]d =K(e ) K(e) unités d aire).

4 Graphique du problème. NOM : Document à rendre avec la copie 7 y 5 5 C 0 0 O

5 Correction du BAC BLANC Eercice,5 points. On remplacepar dansp et on obtient : P( ) = 0. ( + )(a +b +c) =a +b +c +a +b +c Soit :P() =a + (b +a) + (c +b) +c Or,P() = Donc, par identification des coefficients, on obtient : a = a = b +a = 7 = b = 9 c +b = 5 c = c =.P() = 0 ( + )( 9 + ) = 0. Un produit de facteurs est nul ssi l un des facteurs est nul, soit : + = 0 donc =, ou 9 + = 0 : =b ac = ( 9) = 9. Le discriminant est positif, il y a deu solutions réelles : = b = 9 7 a = { } Conclusion : S = ; ; = b + a = =. (a) Dans (sin) 7(sin) 5 sin+ = 0, si on posex = sin, on obtient X 7X 5X+ = 0. Or, les solutions de cette dernière équation sont : X = soit sin = donc = π +k π, k Z, X = soit sin = donc = π +k π ou = 5π X = soit sin = ce qui n est pas possible. { Conclusion : S = π } +k π ; π +k π ; 5π +k π +k π, k Z, (b) Dans (ln) 7(ln) 5 ln+ = 0, si on posex = ln, on obtient X 7X 5X + = 0. Or, les solutions de cette dernière équation sont : X = soit ln = donc =e, X = soit ln = donc =e, X = soit ln = donc =e. { } Conclusion : S = e ; e ;e

6 Eercice,5 points. Tableau récapitulatif : Avec le défaut F Sans le défaut F Total Avec le défaut S 8 (X = 8) 8 (X = +, 5) Sans le défaut S (X = 5) 80 (X = 50) 8 Total (a) Si l objet n a aucun défaut, le pri de vente est de 50eet le coût de fabrication 00e. Donc, le bénéfice est dex = = 50e. Si l objet présente le seul défaut S, le pri de vente est de 50 0, 85 =, 50eet le coût de fabrication 00 e. Donc, le bénéfice est dex =, 5 00 =, 5e. Si l objet présente le seul défaut F, le pri de vente est de 50eet le coût de fabrication = 5e. Donc, le bénéfice est dex = 50 5 = 5e. Si l objet présente les deu défauts S et F, le pri de vente est de 50eet le coût de fabrication = 58e. Donc, le bénéfice est dex = = 8e. Conclusion : X prend les valeurs 50 ;, 5 ; 5 et 8 (b)p(s F) = 8 00 = 5 d où P = 0, 0 (c) Loi de probabilité dex : i 50, P(X = i ) P(X = i ) 0, 90 0, 0 0, 0 0, 0 (d)e(x) = 50 0, 90 +, 5 0, , 0 8 0, 0 = 5, 8. E(X) = 5, 8 e, ce qui représente le bénéfice moyen de l entreprise par objet vendu.

7 Problème points Partie A : Détermination d une fonction. C passe par le point (; 0) donc :g() = 0 soit +a+b = 0, 9 + a +b C passe par le point (; 0) donc :g() = 0 soit = 0, ce qui nous donne : a +b = a +b = 9 a +b = a = 8 a = b =.g() = + = + soit en simplifiant : g() = + Partie B : Étude d une fonction auiliaire.h () = soit en mettant au même dénominateur : h () = Signe de sur R : = 0 = = ou =. Or, est un polynôme du second degré, du signe dea(ici,a = ), donc positif sauf entre ses racines et. Signe desur R + : >0 D où le tableau de variations : 0 + Signe de 0 + Signe de + + Signe deh () 0 + Variations de h h().h() = + ln(). donc : h() = Le minimum de la foncionhétant positif, on en déduit que h() est strictement positif pour tout nombre réelde ] 0 ; + [

8 Partie C : Étude de fonction. Calcul de la limite en 0 + : sachant que lim ln = lim 0 + donc, par quotient, lim 0 + ln =, on a + ln = lim 0 + = 0+ lim = ln donc, par somme, lim = 0 +f() lim = 0 + ce qui prouve que la droite d équation = 0 est asymptote verticale à Γ. Calculer de la limite + : f() = + + ln = + + ln. lim = + + lim + = 0 donc, par somme : lim ln + = 0. Calcul de la dérivée ( : ) 0 + f ( + ln) () = 0+ f () = + ln f () = + ln Tableau de variation : d où f () = h() lim + f () est du signe deh() puisque est positif. f() = + Or, on a démontré dans la partie B queh() était positive sur R + donc,f ()>0 0 + Signe def () + + Variations de f. (a)f() g() = + + ln ln lim = 0 + Or, lim + = 0 + = + ln donc, par somme, lim = ln f() g() = 0 + Ce qui signifie que graphiquement, les courbes sont asymptotes. (b)f() g() = ln donc,f() g() est du signe de ln sur ] 0 ; + [ puisqueest positif sur cet intervalle. Or, ln 0 ln e

9 On récapitule le résultat précédent dans un tableau : 0 e + Signe def() g() 0 + Comparaison f() g() f() g() Position relative de Γ etc Γ est en dessous dec Γ est au dessus dec Conclusion : Γ est en dessous dec sur ] 0 ;e [ égale eneet au dessus dec sur ]e; + [ (c) On af() =g() pour =e, doncy=g(e) =e +e. D où I(e;e + e ) 5. Voir graphique. Partie D : Calcul d une aire comprise entre deu courbes.k () = ln (ln ) = =f() g(). Donc : f() g() admet pour primitive sur ] 0 ; + [ la fonctionk. Voir graphique..a = e e [f() g()]d =K(e ) K(e) A = (lne ) (lne ) = unité d aire. Or, une unité d aire mesure, 5 = cm d où : A = cm 7 y 5 5 Γ C 0 0 O I