Géométrie dans l espace.

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1 Géométrie dans l espace. I. Perspective cavalière a) Définition On appelle plan frontal tout plan vu de face Une ligne de fuite est une droite perpendiculaire aux plans frontaux Ex : sur la représentation du cube, les faces ABFE et CDHG sont situées dans des plans frontaux Les droites (AD), (BC), (FG) et (EH) sont des lignes de fuites. Un solide est représenté en perspective cavalière de caractéristiques (1, ½ ; 30 ) lorsque sur sa représentation : - les longueurs dans les plans frontaux sont à l échelle 1 - les longueurs sur les lignes de fuite sont à l échelle ½ - les lignes de fuite sont parallèles entre elles et l angle aigu apparent qu elles font avec les droites horizontales des plans frontaux est de 30. le milieu d un segment dans l espace est représenté en perspective cavalière par le milieu du segment de la représentation deux droites parallèles dans l espace sont représentées en perspective cavalière par deux droites parallèles. II. Construction d un patron a) Propriété Le patron d un polyèdre est constitué de toutes les pièces planes servant à la construction de ce polyèdre par pliage. Dans un patron de polyèdre, toutes les longueurs sont représentées à la même échelle et tous les angles, situés sur une face plane, sont représentés en valeur réelle. Exemple : le tétraèdre régulier ABCD est une pyramide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. les échelles sont différentes

2 Le patron d un cylindre ou d un cône est constitué des surfaces planes du solide et du développement plan des surfaces latérales. III. AIDE Perspective cavalière les lignes de fuite sont dirigées habituellement vers le haut et vers la droite la perspective cavalière déforme les angles qui ne sont pas dans un plan frontal. Les angles droits paraissent aigus ou obtus, sauf s ils sont dans un plan frontal. La perspective cavalière ne conserve pas l orthogonalité. La position d un point M en perspective cavalière doit être indiquée par le texte. Il faut se méfier des effets de relief. Deux droites peuvent paraître sécantes, mais n avoir aucun point en commun. Construction d un patron Certains points d un solide apparaissent plusieurs fois sur un patron : ce sont les points situés sur les lignes de découpe de ce patron. Les points A et B sont représentés 3 fois ; les points E et F deux fois. IV. Positions relatives de droites et de plans Par convention, on représente les plans de l espace par des parallélogrammes. Dans l espace, il suffit de trois points non alignés pour déterminer un plan. Deux droites sécantes ainsi que deux droites strictement parallèles déterminent un seul plan. Dans le plan, deux droites qui n ont pas de point en commun sont parallèles. Dans l espace, deux droites qui n ont pas de point commun ne sont pas forcément parallèles, car elles peuvent être dans des plans différents. Lorsque deux plans ont un point en commun, soit ils sont confondus, soit ils ont en commun une droite passant par ce point.

3 La droite d intersection de deux plans est la droite de tous les points communs aux plans. Ex : deux droites de l espace sont coplanaires lorsqu elles sont contenues dans un même plan deux plans sont sécants lorsqu ils ont une seule droite en commun une droite de l espace et un plan sont sécants lorsqu ils ont un seul point en commun. V. Parallélisme dans l espace Deux droites de l espace sont parallèles lorsqu elles sont coplanaires et qu elles sont parallèles dans ce plan. Une droite et un plan sont parallèles lorsqu ils n ont pas de point en commun ou quand la droite est incluse dans le plan Deux plans sont parallèles s ils n ont aucun point commun ou s ils sont confondus M M et N sont deux points quelconques des arêtes [AB] et [EF] La droite (MN) et le plan (DCG) sont parallèles Les plans (ABF) et (DCG) sont parallèles, car ils n ont aucun point commun N Une droite est parallèle à un plan si, et seulement si, elle est parallèle à une droite de ce plan. Si une droite est parallèle à deux plans sécants, alors elle est parallèle à la droite d intersection des deux plans Si deux plans passent par deux droites parallèles et s ils sont sécants, alors la droite d intersection des deux plans est parallèle aux deux droites. Dans le prisme droit, la droite (IJ), qui passe par les milieux I et J des côtés [AB] et [DE], est parallèle au plan (BCF). La droite (IJ) est aussi parallèle à la droite (CF), droite d intersection des plans (BCF) et (ACF) Les plans (ACF) et (BCF) passent par les deux droites parallèles (BE) et (AD), la droite (CF) est ainsi parallèle à ces deux droites Si un plan coupe deux plans parallèles, alors il coupe ces deux plans suivant deux droites parallèles. Deux plans sont parallèles lorsque deux droites sécantes de l un sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l autre.

4 VI. Orthogonalité dans l espace Deux droites sont orthogonales lorsque les parallèles à ces deux droites, menées par un point quelconque de l espace, sont perpendiculaires. Les droites (AD) et (HG) sont orthogonales, car les droites parallèles à ces deux droites, menées par le point C (c est à dire (CB) et (CD) sont perpendiculaires.) Une droite est orthogonale à un plan lorsque : - la droite et le plan sont sécants - la droite est orthogonale (ou perpendiculaire) à deux droites sécantes du plan. Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Deux droites orthogonales contenues dans un même plan sont perpendiculaires Dans un plan, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles Dans l espace, deux droites perpendiculaires (ou orthogonales) à une même troisième droite ne sont pas obligatoirement parallèles. ABCDEF est un prisme droit. Les droites (BC) et (DF) sont orthogonales à la droite (AD). Elles ne sont pas contenues dans le même plan, donc elles ne peuvent être parallèles. En revanche, les deux droites (BC) et (Ef) sont orthogonales à la droite (AD). Comme elles sont dans le même plan (BEC), elles sont parallèles. VII. Aide a) Représenter le point d intersection d une droite et d un plan Méthode : On ne peut obtenir directement le point d intersection d une droite et d un plan ; il faut d abord déterminer le point commun de deux droites. - trouver un plan dans lequel est contenu la droite - tracer la droite d intersection des deux plans - tracer le point d intersection de la droite et de la droite commune. Exemple : SABC est un tétraèdre. Les points M et N sont respectivement sur les arêtes [SA] et [SC]. Représenter le point d intersection de la droite (MN) et du plan (ABC)

5 La droite (MN) se trouve dans le plan (SAC). Les plans (SAC) et (ABC) ont en commun la droite (AC) Les deux droites (MN) et (AC) sont coplanaires, elles se coupent en I I est le point d intersection de la droite (MN) et du plan (ABC) b) Représenter la droite d intersection de deux plans sécants Méthode : - Trouver deux droites sécantes contenues respectivement dans chacun des deux plans. - Placer le premier point commun aux deux plans - Recommencer avec deux autres droites pour obtenir un deuxième point commun aux deux plans - Tracer la droite passant par deux points communs aux deux plans : c est la droite d intersection des deux plans.