Exercices de mathématiques des oraux. de l'ecole polytechnique / et des Ecoles normales supérieures

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1 SERGE FRANCINOU HERVÉ GIANELLA SERGE NICOLAS Exercices de mathématiques des oraux. de l'ecole polytechnique / et des Ecoles normales supérieures Analyse. Tome III CASSINI - '.y

2 Table des matières Introduction x Chapitre 1. Espaces vectoriels normes Sur l'inégalité triangulaire Description géométrique des normes Une inégalité Recherche d'un minimum Normes absolues Espace normé réel vs espace norme complexe Une fonction lipschitzienne Caractérisation des normes euclidiennes Orthogonalité généralisée Prolongement d'une norme définie sur Z Semi-normes invariantes par similitude Norme infinie vs norme de la convergence en moyenne quadratique Cas d'égalité dans l'inégalité triangulaire Sous-espaces fermés Fonctions injectives, surjectives, bijectives Adhérence de l'ensemble des polynômes simplement scindés de K [X] Théorème de Cantor-Bendixson Choix de la limite d'une suite Étude de continuité (1) Étude de continuité (2) ' Étude de continuité (3) Continuité de la composition Prolongement par continuité Théorème de prolongement de Tietze Fonctions convexes Rétraction du disque unité sur une partie du cercle Caractérisation des formes linéaires continues Norme d'une forme linéaire continue Normes sur R[X] Continuité d'une forme linéaire Calcul d'une norme triple Étude de continuité

3 268 TABLE DES MATIÈRES Crochet de Lie (1) Crochet de Lie (2) Conditionnement d'un système linéaire Inégalité entre le rayon spectral et la triple norme Vers le théorème de l'application ouverte Théorème de l'application ouverte en dimension finie Automorphismes unitaires de C(K, M) Endomorphismes qui commutent avec la dérivation Théorème de Hahn-Banach en dimension finie 63 Chapitre 2. Compacité, convexité, connexité Théorème de Riesz Quasi-isométrie Dilatations d'un compact Surjection 1-lipschitzienne d'un compact Un théorème de point fixe Suite ayant deux valeurs d'adhérence Endomorphismes stabilisant un compact Suite croissante de fonctions continues Théorème de Gottschalk et Hedlung (1955) Compacité et précompacité Isométries d'un compact Recouvrement minimal Enveloppe convexe fermée et précompacité Mesure de compacité, deux exemples Graphe d'une fonction hôldérienne Courbe de Peano-Hilbert Propriété de Borel-Lebesgue Un convexe non borné contient une demi-droite Segment intérieur à un convexe Partie convexe dense Hyperplan d'appui Théorème de Krein-Milman Diamètres d'un convexe compact plan Formule de Steiner-Minkowski en dimension Théorème de Kakutani Application 1-lipschitzienne dans un compact convexe Existence d'un extremum Complémentaire d'un hyperplan Complémentaire d'un compact Ensembles de Julia Injection continue Distance à la frontière 118

4 TABLE DES MATIÈRES Dénombrement Connexité d'un cône 121 Chapitre 3. Espaces de Banach, espaces de Hilbert Espace des fonctions continues sur un segment Espace des suites bornées Espace ^1(N) : Espace des polynômes Espace des fonctions lipschitziennes Convergence compacte Une caractérisation des boules ouvertes d'un Banach Prolongement des applications uniformément continues Espaces de Banach uniformément convexes Espaces de Banach séparables Spectre d'un élément d'une algèbre de Banach complexe Le théorème de Baire Théorème de Banach-Steinhaus Le lemme de Croft Supplémentaire commun Convergence uniforme Projection sur un convexe fermé Espace Racine carrée d'un opérateur strictement accrétif Compacité faible de la boule unité d'un espace de Hilbert Parties faiblement bornées Suite proche d'une suite totale Condition suffisante pour avoir un inverse continu Endomorphismes inversibles à gauche dans un espace de Hilbert 170 Chapitre 4. Intégrales généralisées Existence d'une intégrale Domaine de convergence d'une transformée de Laplace Question d'intégrabilité (1) Question d'intégrabilité (2) Fonction intégrable monotone Limite en +00 d'une fonction intégrable (1) Limite en +00 d'une fonction intégrable (2) Limite en +00 d'une fonction intégrable (3) Sur l'intégrabilité d'un produit Calcul d'intégrales (1) Calcul d'intégrale (2) Calcul d'intégrale (3) 192

5 270 TABLE DES MATIERES Calcul d'intégrale (4) Calcul d'intégrale (5) Calcul d'intégrale (6) Calcul d'intégrale (7).. " ' Formule des résidus pour les fractions rationnelles Inégalité de Hardy Inégalité de Hôlder, inégalité de Minkowski Inégalité de Kolmogorov Inégalité de Weyl Une inégalité intégrale Majoration du reste Formule de Stirling Interversion série-intégrale Sur la convergence L Calcul de l'intégrale de Dirichlet (1) Calcul de l'intégrale de Dirichlet (2) Intégrale de Gauss Intégrale de Fresnel (1) Intégrale de Fresnel (2) Intégrale à paramètre (1) Intégrale à paramètre (2) Intégrale à paramètre (3) Intégrale à paramètre (4) Intégrale à paramètre (5) Intégrale à paramètre (6) Inversion de Fourier Développement en série d'une transformée de Laplace bilatérale Comparaison d'intégrales (1) Comparaison d'intégrales (2) Comparaison d'intégrales (3) Calculs de limites Etude d'une intégrale indéfinie Série asymptotique (1) Série asymptotique (2) Polynômes de Legendre Fonction maximale de Littlewood Calcul des variations 264 Index 271