Devoir de mathématiques n 2

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1 Page Prénom :. Jeudi 3 décembre 05 Devoir de mathématiques n Calculatrice autorisée. Le sujet contient 3 pages. Rendre le sujet avec la copie. Le détail des calculs doit figurer pour l attribution des points. Le barème, sur 0, est donné à titre indicatif. Exercice Restitution des connaissances ( points) / Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe représentative de la fonction inverse. (Des explications sont attendues : tableau de variations, de valeurs ) Ensemble de définition : La fonction n est pas définie en 0, donc D = R Tableau de variations : x 0 + f La fonction inverse est décroissante sur ]- ; 0[ ET sur ]0 ; + [. Tableau de valeurs : x x / Comment s appelle cette courbe? Une hyperbole

2 Page Prénom :. Jeudi 3 décembre 05 y x Exercice ( points) Restitution des connaissances Monter que la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; + [, en commençant comme suit. Soient deux réels a et b tels que 0 a b. On veut comparer leurs racines carrées a et b. Pour cela, on va étudier leur différence : b a On sait que d une part : b a = b a = ( b a)( b + a) Identité remarquable. On sait d autre part que : b a 0 On a donc ( b a)( b + a) 0 Or b + a 0 (somme de deux nombres positifs) Donc b a 0 C est-à-dire que b a Les images sont donc rangées dans le même ordre que les nombres de départ, la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; + [.

3 Page3 Prénom :. Jeudi 3 décembre 05 Exercice 3 Un problème de coût Une firme fabrique en grande quantité des corps de stylos en matière plastique recyclée. Le coût total de production, en euros, pour une quantité x est donnée par : C(x) = , x où x 0. Partie A / Quel est le montant des coûts fixes, c est-à-dire des coûts de production lorsque la production est nulle. C(0) = , = , 900 = , 30 = = 65 Le montant des coûts fixes est de 65. / Calculer le coût total de fabrication de 000 unités, c est-à-dire 000 corps de stylos. C(000) = , = , 900 = , 70 = 59 + = 73 Le coût total de fabrication de 000 unités est de 73. 3/ En déduire le coût moyen de fabrication de l une de ces 000 unités. (On donnera un arrondi au millième) ,068 Le coût moyen de fabrication de l une de ces 000 unités est de 0,068. Partie B / Montrer que la fonction C est croissante sur [0 ; + [. Soient deux réels a et b tels que 0 a b, on veut montrer que C(a) C(b), en d autres termes que : C(a) = , a C(b) = , b On sait que : 0 a b a b La fonction racine carrée est croissante sur R + donc : a b 0, a 0, b , a , b En d autres termes : C(a) C(b) Les images sont donc rangées dans le même ordre que les nombres de départ, la fonction C est croissante sur [0 ; + [. / Montrer que le coût total est supérieur à 7 lorsque la quantité fabriquée est supérieure à 700 unités. C(700) = , = , 3600 = , 60 = 59 + = 7 Or la fonction C est croissante sur [0 ; + [, donc pour tout a 700, on a C(a) C(700) c est-à-dire C(a) 7. Partie C / Résoudre C(x) 300. C(x) , x 300 0, x x 05 La fonction racine carrée est croissante sur R + donc : x 05 x 5 / En déduire la quantité maximale que l on peut produire pour un coût total inférieur ou égal à 300.

4 Page Prénom :. Jeudi 3 décembre 05 La quantité maximale que l on peut produire pour un coût total inférieur ou égal à 300 est de 5 corps de stylos. 3/ Quel est alors le coût moyen d une des unités fabriquées? ,007 Le coût moyen de fabrication de l une de ces 5 unités est de 0,007. Exercice Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x² 6x + On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère (en annexe). La parabole C f est tracée en annexe ci-dessous. / Étudier les variations de la fonction f. f est une fonction polynôme de second degré avec a > 0. La fonction est d abord décroissante puis croissante. Par lecture graphique, on observe un changement de variations pour x = 3. La fonction est donc décroissante sur ] ; 3] puis croissante sur [3 ; + [. Ou par le calcul : Calcul des coordonnées du sommet : α = b a = 6 = 3 β = f(α) = = 8 x 3 + f(x) 8 / Calculer les coordonnées des points d intersection de la parabole C f avec l axe des abscisses. Ceci revient à résoudre l équation f(x) = 0 f(x) = 0 x² 6x + = 0 Δ = b a c = ( 6) = 36 = 3 Δ > 0 donc l équation f(x) = 0 admet deux solutions : x = b a x = 6 3 () x = 6 x = 3 x = b + a x = () x = 6 + x = 3 +

5 Page5 Prénom :. Jeudi 3 décembre 05 Les coordonnées des points d intersection de la parabole Cf avec l axe des abscisses sont donc (3 ; 0) et (3 + ; 0). 3/ Soit g la fonction affine telle que g( ) = 0 et g(6) = 6. a. Déterminer l expression de g en fonction de x. g est une fonction affine donc g est de la forme g(x) = ax + b Calcul du coefficient directeur : a = y B y A 6 0 = x B x A 6 + = 6 8 = Donc g est de la forme g(x) = x + b Calcul de l ordonnée à l origine : On sait que g( ) = 0 donc 0 = ( ) + b 0 = + b b = 6 Donc g est définie par : g(x) = x + 6 b. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné en annexe. Il suffit de placer les points de coordonnées ( ; 0) et (6; 6) puis de tracer la droite qui passe par ces deux points. / Étudier le signe de f(x) g(x). f(x) g(x) = x 6x + + x 6 = x x 5 Δ = b a c = ( ) ( 5) = = 36 Δ > 0 donc l équation f(x) g(x) = 0 admet deux solutions : x = b a x = 36 () x = 6 x = a > 0, on obtient donc le tableau de signe suivant : x = b + a x = + 6 () x = + 6 x = 5 x 5 + Signe de f Donc f(x) g(x) 0 sur ] ; ] [5; + [ et f(x) g(x) 0 sur [ ; 5].

6 Page6 Prénom :. Jeudi 3 décembre 05 5/ En déduire les positions relatives des courbes C f et D. f(x) g(x) 0 sur ] ; ] [5; + [ c est-à-dire que f(x) g(x) sur ] ; ] [5; + [. La courbe représentative de f est donc au-dessus de la droite d équation g(x) sur ] ; ] [5; + [. On a de même, f(x) g(x) 0 sur [ ; 5] c est-à-dire que f(x) g(x) sur [ ; 5]. La courbe représentative de f est donc en dessous de la droite d équation g(x) sur [ ; 5]. y ANNEXE x

7 Page7 Prénom :. Jeudi 3 décembre 05 Exercice 5 Résoudre algébriquement les équations et inéquations suivantes : a/ x + = 0 Il ne faut pas que x < 0 Résolvons sur R + l équation x = x = = x = ( ) = 6 x = 6 S = { 6 } b/ x > Il ne faut pas que x < 0, résolvons sur R + l inéquation : La racine carrée d un nombre positif est un nombre positif donc x > 0 S = R + c/ x > 5 Il ne faut pas que x = 0, résolvons sur R l inéquation : x > 5 x 5 > 0 5 5x x 5x > 0 5 x 5x x 0 > x + 0 5x x 5x S = ]0 ; 5 [ d/ x + = 5 Il ne faut pas que x + < 0 x < Résolvons sur [ ; + [ l équation x + = 5 x + = 5 x + = 5 x = Exercice 6 Compléter, sans justifier, à l aide d intervalles : S = {} / Si x² 6 alors x ] ; 8] [8 ; + [ / Si < x² < alors x ] ; [ ] ; [ 3/ Si x < alors x ] ; 0[ 6/ Si 5 < x alors x [ ; 5[ / Si 3 < x < 5 alors x ] 5 ; 3 [ 5/ Si 7 x < alors x² [0 ; [