Chap. II. Déterminants

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1 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 1 Chap. II. Déterminants Printemps 2010

2 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 2 1 Déterminant d'ordre 2 Le symbole a 11 a 12 a 21 a 22 matrice A a 11 a 12 a 21 a 22 a deta 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21. est appelé déterminant d'ordre 2 de la et est déni par Exemple 1. : , , On constate alors que : 1) Si deux rangées ( ou deux colonnes ) d'un déterminant sont

3 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 3 permutées la valeur d'un déterminant est multipliée par 1. 2) Si on pose A , t A On constate que deta det t A, d'où la valeur d'un déterminant est conservée lorsque l'on échange les colonnes et les lignes ( dans le même ordre ). 2 Déterminant d'ordre 3 Soit A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33, on dénit

4 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 4 a 11 a 12 a 13 deta a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a a a 23 a 32 a 33 }{{} mineur de a 11 Exemple 2. : a 21 a 12 a 13 a 32 a 33 }{{} mineur de a 21 +a 31 a 12 a 13 a 22 a 23 }{{} mineur de a deta Le cofacteur de l'élément de deta de la ième ligne et la kème

5 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 5 colonne est égal à ( 1) i+k fois le mineur de cet élément ( c. à.d le déterminant d'ordre 2 obtenu en supprimant la ième ligne et la kème colonne ). Remarque 1. : Le cofacteur de a 22 est ( 1) 2+2 a 11 a 13 a 31 a 33. Les signes ( 1) i+j forment la table suivante On remarque que l'on peut écrire (1) sous la forme : deta a 11 C 11 + a 21 C 21 + a 31 C 31 où C i1 est le cofacteur de a i1 dans deta. 3) Le déterminant de A, deta, peut être developpé suivant

6 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 6 n'importe quelle ligne ou colonne, c'est à dire, qu'il peut être écrit sous la forme d'une somme de trois éléments de n'importe quelle ligne ( ou colonne ), chacun multiplié par son cofacteur. Exemple 3. : a deta a a 13 a 32 a 33 + a a 11 a a 31 a 33 a a 11 a a 31 a 32 4) Si tous les éléments d'une ligne ( ou d'une colonne ) d'un déterminant sont multipliés par une constante k, la valeur du nouveau déterminant est k fois la valeur du déterminant initial. Cette propriété peut être utilisée pour simplier un déterminant. Exemple 4. : (1) 2(3) 2(2)

7 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 7 1 3(1) (1) 2 1 3(0) ) Si tous les éléments d'une ligne ( ou colonne ) d'un déterminant sont nuls, la valeur du déterminant est nulle. 6) Si chaque élément d'une ligne ( ou colonne ) d'un déterminant est exprimé sous la forme d'un binôme, le déterminant peut être écrit comme somme de deux déterminants. Exemple 5. : a 1 + d 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 d 1 b 1 c 1 a 2 + d 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 + d 2 b 2 c 2 a 3 + d 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 d 3 b 3 c 3 7) Si deux lignes ( ou colonnes ) d'un déterminant sont proportionnelles, la valeur du déterminant est nulle.

8 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 8 Exemple 6. : ) La valeur d'un déterminant est conservée si l'on ajoute à une ligne ( ou à une colonne ) une combinaison des autres lignes ( ou colonnes ). Exemple 7. : C 1 +C C 1 +C 3 signie que l'on a ajouté la colonne C3 à la colonne C 1. Cette dernière propriété permet de simplier énormément les

9 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 9 calculs, elle permet de réduire le calcul d'un déterminant d'ordre 3 au calcul d'un seul déterminant d'ordre 2. Exemple 8. : Calculer Remarque 2. : C 1 +C 2 C ( 4 + 4) La ligne ( ou colonne ) dans laquelle seront eectués les calculs ne doit pas être multipliée par des scalaires. La multiplication par un scalaire λ reviendrait à multiplier le déterminant par λ. Exemple 9. :

10 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants L 1 L , alors que Déterminant d'ordre n Le symbole a 11 a a 1n a 21 a a 2n.. a n1 a n2... a nn Pour n 1, ça signie a 11. est appelé déterminant d'ordre n. Pour n 2, ça signie la somme des produits des éléments de n'importe quelle ligne ou colonne par leurs cofacteurs respectifs c'est à dire

11 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 11 a 11 a a 1n a 21 a a 2n.. a n1 a n2... a nn a i1 C i1 + a i2 C i a in C in ( i 1, 2..., ou n ) ou a 1k C 1k + a 2k C 2k a nk C nk ( k 1, 2..., ou n ) Le déterminant d'ordre n est alors déni en fonction de n déterminants d'ordre (n 1), chacun est à son tour, déni en fonction de (n 1) déterminants d'ordre (n 2) et ainsi de suite, nalement on aboutit aux déterminants d'ordre 2. Remarque 3. : Les propriétés 1) jusqu'à 8) restent valables pour un déterminant d'ordre n. Pour calculer la valeur d'un déterminant, on développera suivant la

12 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 12 ligne ou colonne où il y a le plus de zéros. Exemple 10. : sin 2 α sin 2 β sin 2 γ cos 2 α cos 2 β cos 2 γ Remarque 4. : C 1 +C 2 +C 3 +C 4 L 1 +L 2 1) det(a + B) deta + detb en général. 2) det(ab) (deta)(detb) cos 2 α cos 2 β cos 2 γ ) det(a 1 ) (deta) 1 où A 1 désigne l'inverse de A. 0

13 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 13 4 Applications 4.1 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée d'ordre n On rappelle qu'une matrice carrée d'ordre n A est inversible s'il existe B d'ordre n telle que AB BA I où I est la matrice unité d'ordre n, c'est à dire la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont tous égaux à 1. Critère : A est inversible si deta 0. Une fois assuré que A est inversible, on calcule son inverse à l'aide de la formule suivante : A 1 1 deta (adja) où (adja) désigne l'adjoint classique de A c'est à dire la matrice t [C ij ] où C ij désigne la matrice des cofacteurs de A. Exemple 11. :

14 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants A deta , donc A est inversible. L 1 2L Déterminons les 9 cofacteurs de A 4 2 C , C C , C

15 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants C , C C , C C A

16 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer ) Un système d'équations, AX b, où A est une matrice carrée d'ordre n, peut être résolu à l'aide des déterminants, lorsque deta 0. Si on pose X x 1. x n et b b 1.. b n, alors x i 1 deta [C 1ib 1 + C 2i b C ni b n ] 1 deta detb i où B i est la matrice obtenue en remplaçant la ième colonne de A par b. Exemple 12. : Utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système :

17 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 17 x 1 + 3x 3 2 x 1 + 2x 2 + 2x 3 3 x 2 + 4x A L 2 +L 1 deta x [ ( )]

18 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 18 x x Remarque 5. : La méthode de Gauss pour les systèmes et celle des matrices élémentaires pour le calcul de l'inverse demeurent les plus ecaces.