TD01 : Systèmes linéaires, rétroaction (correction)

Transcription

1 ycée Naval, Spé. TD : Systèmes linéaires, rétroaction correction Elec9. Signal parasité * a période du signal non parasité est de, s, soit une fréquence f Hz. a fréquence du signal parasite est 5 fois plus élevée 5 oscillations pour la même durée de, s, c est à dire f p 5 Hz. Pour supprimer le signal parasite sans affecter le signal basse fréquence, on peut suggérer un filtre passe-bas du premier ordre de fréquence de coupure f c 5 Hz. Avec un rapport f p /f c, on peut espérer une atténuation de l ordre d un facteur pour le signal parasite. Un filtre d ordre plus élevé serait plus efficace mais plus complee en terme de composants. On réalise le filtre à l aide d un condensateur et d une résistance : u e a fonction de transfert s écrit H avec τ C, la fréquence de + jωτ coupure vérifie : πf c τ, c est à dire : C πf c Avec une résistance, kω, on retient une capacité : C πf c C 3, µf π 5 Elec94. Identification d un système linéaire ** On constate tout d abord que le rapport des tensions est unitaire une fois le régime permanent atteint, en conséquence pour le gain statique H. e régime transitoire est pseudo-périodique, l équation différentielle est du type : d dt + ω d Q dt + ω ω E a solution générale est de la forme : C u s t E + A ep ω t cos ωt + ϕ avec ω ω Q 4Q Sur la courbe, la mesure de cinq pseudo-périodes donne pour la pseudo-période T 3, ms et pour la pseudo-pulsation ω, 3 rad.s. e nombre d oscillations observées indique que le facteur de qualité est au moins de l ordre de 5 ou 6, on peut donc confondre pseudo-pulsation et pulsation propre ω, 3 rad.s. a solution du régime transitoire est de la forme : ut A ep ω t cos ωt + ϕ Q C est à dire, entre deu instants distants d une période et en confondant pseudopériode et période propre : ut + T ut ep ω t + T Q ep ω ep t Q ω T ep π Q Q Pour l application numérique, on peut considérer les deu premiers maima attention à prendre l écart par rapport à la valeur finale de V car on raisonne sur la solution du régime transitoire. π Q Q 6, ln, 75/, 45 Elec93. Filtres **. On associe montage et fonction de transfert en considérant les cas limites : montage A et fonction de transfert H : la bobine se comporte comme un fil à basse fréquence et comme un circuit ouvert à haute fréquence, le montage correspond à un filtre passe-haut ; montage B et fonction de transfert H 3 : le montage ne laisse passer le courant ni à basse fréquence condensateur ni à haute fréquence bobine, la tension au bornes de la résistance est nulle dans ces situations et le montage correspond à un filtre passe-bande ; montage C et fonction de transfert H : le condensateur se comporte comme un circuit ouvert à basse fréquence et comme un fil à haute fréquence, le montage correspond à un filtre passe-bas ; montage D et fonction de transfert H 4 : le condensateur se comporte comme un circuit ouvert à basse fréquence et la bobine se comporte comme un circuit ouvert à haute fréquence, le montage laisse passer les signau de basse et haute fréquence, c est a priori un filtre réjecteur

2 ou coupe-bande.. Pour le montage C, on applique un pont diviseur de tension : G db H jω / + jω + / + jcω Cω On en déduit par identification : Cω et σ Cω, c est à dire, avec ω/ω : H ; ω ; σ Cω C C Pour le tracé du diagramme de Bode en amplitude, on considère le gain en décibels : G db log + 4 σ avec G db, et G db + 4 log c est à dire une pente de 4 db par décade à haute fréquence caractéristique d un passe-bas du second ordre. Cette fonction passe par un maimum si la fonction + 4 σ admet un etremum autre que. En dérivant cette fonction, on constate que cela se produit pour σ à condition que σ < / σ, σ Pour le tracé du diagramme de Bode en phase, on remarque que : H ϕ ; H /jσ ϕ π/ ; H + / ϕ + π. Et pour l epression algébrique, en prenant garde au fait que la partie réelle change de signe en : σ σ <, ϕ arctan et >, ϕ π arctan ϕ rad π/4 π/ 3π/4 π - - Elec96. Paramètres d un filtre ** σ, σ. On constate que le filtre recopie à l identique les hautes fréquences Cf. second graphique et que le filtre atténue fortement les basses fréquences Cf. amplitude des signau d entrée et de sortie du premier graphique et possède un caractère dérivateur à basse fréquence, les portions affines étant transformées en portions constantes. On peut donc proposer un filtre passehaut de fonction de transfert : Hjω jω/ω + jω/ω e second graphique nous indique simplement que la fréquence caractéristique f est nécessairement inférieure à khz. Il faut eploiter le premier graphique et une étude temporelle pour déterminer précisément f : jω/ω j ω v e + jω/ω ω On a nécessairement ω ω car le fonctionnement dérivateur est quasiidéal pour f 6 Hz. On en déduit en temporel et sur une demi-période T/ durant laquelle le signal d entrée passe de E à +E : t dv e ω dt E ω T/ 4E 4E Ef T ω /f πf πf On en déduit : f Ef πv s,ma, 6 π, 75 f 5, Hz. Pour réaliser un filtre passe-haut du premier ordre, on peut suggérer l association d une résistance et d une bobine :

3 v e a fonction de transfert étant : Hjω jω/, ceci impose : + jω/ ω πf πf En retenant une valeur habituelle pour la résistance, kω, on en déduit pour la valeur de l inductance :, 3 π 5,, 3 H Elec89. Filtre réjecteur ** G db Pour l étude de la phase, on constate que Hj et Hj +, c est à dire une déphasage nul loin de la fréquence de coupure. Pour l epression algébrique du déphasage, il est plus simple de réécrire la fonction : Hj, θ arctan j Q + Q π/ π/4. On applique la formule du pont diviseur de tension : u s u e u s u e Avec ω C j [ω /Cω] + j [ω /Cω] Cω Cω + jcω et Q C. j [ω /Cω] + j [ω /Cω] Hj. Pour le gain de la fonction de transfert : G H + /Q + j/q On constate que cette fonction s annule en et tend vers pour et +. Ce qui donne pour le diagramme de Bode en amplitude, pour Q 5 : θ rad π/4 π/ - - On constate que le filtre élimine les signau de fréquences voisines de la pulsation propre et préserve les autres en phase comme en amplitude. 3. e signal créneau symétrique en entrée se décompose en série de Fourier sur un fondamental à la pulsation ω et des harmoniques impairs de pulsation n + ω et d amplitude décroissant en /n +. e filtre étant calé sur la pulsation fondamentale du signal, le fondamental est éliminé et si le facteur de qualité est suffisamment élevé les harmoniques sont préservés, le signal de sortie s obtient donc en partant du signal créneau et en lui retranchant un signal sinusoïdal de même fréquence. Elec3. Tripleur de fréquence ** 3

4 . a formule du pont diviseur de tension conduit à : H v e + j ω + j ω ω ω Cω ω ω On pose alors ω et Q ω C C.. ω π T ω C π 3, 77 3 ω, 67 3 rad.s 3 6 ω 5, 3 rad.s On remarque que ω 3ω. Q 3 6 Q. 3. Chacun des harmoniques du signal d entrée se voit multiplier par la fonction de transfert à la fréquence considérée, ainsi pour l harmonique de rang k+ : v k+ s H[k + ]ω v k+ e On obtient les epressions indiquées en considérant le module et l argument de cette epression. e signal de sortie est simplement la somme des harmoniques en sortie. 4. Applications numériques : A 8 π A, 3 V + /3 3 A 8 9π A, 9 V + A 8 5π + 5/3 3/5 A 3 3 V ϕ π ϕ ϕ π Sans surprise, seul le terme A associé à la fréquence +ω 3ω ω contribue significativement au signal de sortie. 5. D après la question précédente, on peut ne conserver que l harmonique de rang 3 en sortie : t, 9 cos ω t Ce résultat est en accord avec les courbes proposées. e montage permet donc de ne conserver que l harmonique de rang 3 et de passer d un signal d entrée de fréquence f à un signal de sortie de fréquence 3f d où le nom du montage «tripleur de fréquence». Elec9. Montage à amplificateur opérationnel * On applique la loi des nœuds en terme de potentiels à l entrée inverseuse du premier AI : v v u u v + Pour la dernière étape, on a utilisé le fait que l AI étant idéal et fonctionnant en régime linéaire rétroaction sur la borne inverseuse, on a v v + v. De la même façon pour le second AI idéal et fonctionnant en régime linéaire, on applique la loi des nœuds au niveau de l entrée inverseuse : u v v v + u En combinant les deu relations, on en déduit finalement : + [v v ] e montage est un montage soustracteur avec coefficient multiplicatif. Elec86. Comparateur à hystérésis ** Tout d abord notons que l AI ne possède pas de rétroaction sur la borne inverseuse, il fonctionne nécessairement en régime de saturation et les seules valeurs possibles en sortie sont st ±V sat. On applique la loi des nœuds en terme de potentiels à l entrée non inverseuse : e v + v + s v + e + s + Deu cas se présentent : st +V sat à condition que v + > v, c est à dire : e + V sat > ou encore : st +V sat tant que et > V sat V lim 7, 5 V st V sat à condition que v + < v, c est à dire : e V sat < ou encore : st V sat tant que et < V sat V lim 7, 5 V Ce qui donne finalement pour le cycle d hystérésis : 4

5 V sat s e i e e e + i e + i e + + e e e e + j Cω i e V lim V lim C est à dire une impédance d entrée Z e + j Cω.. impédance d entrée est bien celle d une bobine de résistance interne r et d inductance C. Et pour l évolution temporelle : V V sat t s Elec35. Bobine équivalente**. Par définition l impédance d entrée est le rapport de la tension sur l intensité du courant en entrée : Z e e i e À l aide des lois de Kirchhoff et de leurs équivalents, on obtient successivement : i e i + i e s + e + a formule du pont diviseur de tension conduit à : v 3 s et v + + e hypothèse d un fonctionnement linéaire de l AI assure enfin que v + v Par substitution, on obtient : et st Elec87. Montage dérivateur et AI réel **. On applique la loi des nœuds en terme de potentiels à l entrée inverseuse : ve v v AI étant supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire, on a : v v +, ce qui donne finalement : Cjωv e t C dv e dt Il s agit d un montage dérivateur.. e signal d entrée est de type affine par morceau. Sur chaque portion, le signal de sortie sera une constante liée à la pente du signal d entrée ; plus eactement sur une partie montante, en appelant E l amplitude du signal triangulaire et T la période du signal : V V s C E T/ V s 4C T E t s Application numérique : V s V s, 4 V. 4, 3 9,, 5

6 e signal de sortie est un signal créneau de même fréquence que le signal d entrée et d amplitude,4 V. 3. AI réel. a On applique la loi des nœuds à l entrée non inverseuse : ve v v Pour l AI réel : µ v+ v µ + jωτ v + jωτ On élimine [ v des relations ] précédentes : + jωτ v e + jcω µ [ + + jωτ µ ] [ v e jcω + + jωτ + j Cω ] Cω τ µ µ µ µ Avec µ et τ C, l équation se simplifie selon : v e µ En multipliant par jωτ l epression recherchée : H µ C v e τ jcω + jωτ µ Cω τ µ les deu membres de la fraction, on obtient + j Cω µ τ ω b e signal de sortie est la superposition d une solution associée au régime permanent correspondant au signal créneau de l AI idéal et d une solution associée à un régime transitoire de type pseudo-périodique. Pour retrouver ces résultats, on transpose la fonction de transfert en représentation temporelle : d dt + d C dt + µ τc µ dv e τ dt En cherchant une solution constante pour le régime permanent, on obtient : t C dv e, on retrouve la solution de l AI idéal avec un dt signal créneau d amplitude, 4 V en conformité avec la courbe. e régime transitoire est associé à l équation différentielle : d dt + d C dt + µ τc On se ramène à l équation canonique en posant ω µ τc et ω Q C, c est à dire : µ Q ω C C τc µ C τ, e facteur de qualité est compatible avec un régime pseudo-périodique et permet d assimiler pseudo-fréquence et fréquence propre que l on peut calculer de manière théorique : µ τ C π f π 5, 3 7 f th 6 khz Sur le graphique, on observe 8 pseudo-oscillations en,5 ms, c est à dire en confondant pseudo-période et période propre pour un facteur de qualité Q, on obtient : T 6, 5 5 s f ep 6 khz Elec9. Montage à amplificateur opérationnel **. Commençons par déterminer les potentiels au bornes d entrée des AI. a tension V sat +3 V se répartit équitablement sur les trois résistances : +3 V +V sat V sat + V V A +5 V + V V B 5 V + V es AI fonctionnent en comparateur simple et trois situations sont à considérer : v e t > 5 V : la sortie de l AI du haut est à V sat et la sortie de l AI du bas est à +V sat, ce qui impose ; 5 V < v e t < 5 V : la sortie de l AI du haut est à +V sat et la sortie de l AI du bas est à +V sat, ce qui impose +V sat ; v e t < 5 V : la sortie de l AI du haut est à +V sat et la sortie de l AI du bas est à V sat, ce qui impose. 6

7 Ces résultats sont cohérents avec la courbe proposée.. es AI fonctionnant en régime de saturation des fréquences non présentes dans le spectre du signal d entrée apparaissent au sein du signal de sortie. e signal de sortie est de moyenne non nulle ce qui eplique la présence d une composante continue. Sur la courbe temporelle, on constate que le signal de sortie possède une fréquence double du signal d entrée ce qui est compatible avec un fondamental à Hz. e signal n étant pas sinusoïdal, il présente des harmoniques multiples du fondamental. 7