Suites de nombres réels, première année de premier cycle universitaire

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1 Suites de nombres réels, première année de premier cycle universitaire F.Gaudon 10 août 2005 Table des matières 1 Définitions 2 2 Opérations sur les suites convergentes ou divergentes 3 3 Suites extraites et valeurs d adhérence 5 4 Comparaison de suites et limites 7 5 Suites adjacentes 8 1

2 Dans toute la suite, on se donne une suite (u n ) n de nombres réels. 1 Définitions Une suite (u n ) n est majorée s il existe un nombre réel M tel que pour tout entier n u n M. Une suite (u n ) n est minorée s il existe un nombre réel m tel que pour tout entier n u n m. Une suite (u n ) n est bornée si elle est majorée et minorée, c est à dire si (m; M) R 2, n N, m u n M. Une suite (u n ) n est croissante si pour tout entier n, u n u n+1. Une suite (u n ) n est décroissante si pour tout entier n, u n+1 u n. Une suite (u n ) n est stationnaire si il existe un entier N tel que pour tout entier n N, u n = u N. Une suite (u n ) n est monotone si elle est croissante ou décroissante. définition : Une propriété P (n) est vraie à partir d un certain rang s il existe un entier N tel que pour tout entier n N P (n) est vraie. 2

3 On dit que (u n ) n tend vers (ou converge ou a pour limite) l R ssi ɛ, N, n N, u n l < ɛ Une suite pour laquelle il existe un réel l tel que la suite converge vers l est dite convergente. Une suite qui ne converge pas est dite divergente. On dit que (u n ) n tend vers (ou diverge vers a pour limite) + (resp. ) ssi M R, N N, n N, u n M (resp. M R, N N, N, u n M) Si (u n ) n a une limite l alors elle est unique. On la note lim n + ou lim n. preuve : Nous ne traitons que le cas où (u n ) n possède deux limites finies distinctes l et l. Il existe alors ɛ > 0 tel que ]l ɛ; l + ɛ[ ]l ɛ; l + ɛ[=. Comme (u n ) n tend vers l, N/ n N, u n ]l ɛ; l + ɛ[ ;. De même, N N/ n N, u n ]l ɛ; l + ɛ[. Par conséquent, n max(n, N ), u n ]l ɛ; l + ɛ[ ]l ɛ; l + ɛ[ : contradiction. Toute suite réelle (u n ) n convergente vers un réel l est bornée. Puisque (u n ) n est convergente vers l, pour ɛ = 1, il existe un entier n tel que pour tout entier n supérieur ou égal à N on a u n l < 1 donc 1 < u n l < 1 ou encore l 1 < u n < l + 1. Par conséquent, on a pour tout entier n, u n max{u 0 ; u 1 ;... ; u N 1 ; l + 1} et u n max{u 0 ; u 1 ; u 2 ;... ; u N 1 ; l 1}. 2 Opérations sur les suites convergentes ou divergentes 3

4 Soient λ R, (u n ) n et (v n ) n deux suites réelles et l, l R. On suppose que (u n ) n converge vers l. Si (v n ) n converge vers l, alors (u n + v n ) n converge vers l. alors (λu n ) n converge vers λl. Si (v n ) n est bornée, alors (u n v n ) n converge vers 0. Si (v n ) n converge vers l, alors (u n v n ) n converge vers ll. Si l 0 et (v n ) n converge vers l, alors ( un v n ) n est définie à partir d un certain rang et converge vers l. l Pour tout ɛ strictement positif, (u n ) n étant convergente, N 1 > 0, n N 1, u n l < ɛ 2. De même, (v n) n étant convergente, N 2 > 0, n N 2, v n l < ɛ 2. Par suite, n max N 1 ; N 2, u n + v n (l + l ) < u n l + v n l < ɛ ce qui montre que la suite (u n + v n ) n converge vers l + l. Même méthode que précédemment. (v n ) n étant bornée, il existe M > 0 tel que pour tout entier n, on a v n inférieur ou égal à M. Comme (u n ) n converge vers 0, pour tout ɛ strictement positif, il existe un entier N tel que pour tout entier n supérieur à N on a u n 0 < ɛ M. D où u n v n < ɛ M M ce qui montre que (u nv n ) n est convergente vers 0. Soit ɛ > 0. (u n ) n et (v n ) n étant convergentes, elles sont respectivement bornées par deux réels M et M. On a pour tout entier n, u n v n ll = u n v n u n l + l u n ll < u n (v n l ) + l u n l puis M v n l + l un l. On utilise ensuite la définition de la convergence des ɛ deux suites pour majorer u n l par et v 2 l n l ɛ par. 2M l 0 implique que l > 0. Comme (v n ) n converge vers l, pour ɛ = l, il existe un entier N tel que pour 2 tout entier n supérieur ou égal à N on a v n l < l. Avec 2 v n l < v n l on obtient donc v n l < l c est à dire 2 0 < l l < v 2 n ce qui assure que pour tout n supérieur ou égal à N, la suite (v n ) n est bien définie. Pour montrer la convergence, on utilise le fait que pour tout n entier supérieur ou égal à N, 1 v n 1 = l l v nl vn v nl. (v n ) n est minorée car convergente par un nombre m supérieur à 0 strictement à partir d un certain rang. La convergence de (v n ) n permet alors d assurer que la quantitée ci-dessus peut-être rendue aussi petite que l on veut ce qui justifie la convergence de ( 1 v n ) n vers 1 l. On utilise ensuite le produit de (u n ) n par ( 1 v n ) n pour obtenir la convergence de ( un v n ) n vers l 4 l.

5 Soient (u n ) n et (v n ) n deux suites réelles avec (u n ) n qui tend vers +. Si (v n ) n est minorée alors (u n + v n ) n tend vers +. Ceci est donc vrai en particulier si (v n ) n tend vers + ou (v n ) n converge vers une limite finie l R. S il existe un réel strictement positif M tel que à partir d un certain rang les termes de la suite (v n ) n sont tous supérieurs à M, alors (u n v n ) n tend vers +. Ceci est donc vrai en particulier si (v n ) n tend vers + ou (v n ) n converge vers une limite finie positive l R. ( 1 u n ) n converge vers 0. 3 Suites extraites et valeurs d adhérence On appelle suite extraite (ou sous suite) de (u n ) n une suite dont le terme général est u φ(n) où φ est une application strictement croissante de N dans lui même. Soit a R { ; + }. On dit que a est une valeur d adhérence de la suite (u n ) n ssi ɛ > 0, N N, n N, u n a < ɛ Les assertions suivantes sont équivalentes : a est une valeur d adhérence de la suite (u n ) n ; tout intervalle de la forme ]a ɛ; a + ɛ[ avec ɛ > 0 contient une infinité de termes de la suite (u n ) n ; il existe une sous suite de (u n ) n tendant vers a. 5

6 Si a est une valeur d adhérence, soit ɛ > 0 donné, pour N = 1, n N/ u n a < ɛ, i.e., u n ]a ɛ; a + ɛ[. On pose r 1 = n. Supposons r k construit pour tout k n, vérifiant k n, u k ]a ɛ; a + ɛ[ et k n + 1, r k+1 > r k. Alors pour N = r n, p N/ u p a < ɛ. On pose r n+1 = p. Par récurrence, on a donc construit une suite infinie de termes u n tous distincts et vérifiant u n ]a ɛ; a + ɛ[. S il existe une infinité de termes de la suite dans ]a ɛ; a + ɛ[, soit u p tel que u p a < 1, on pose φ(1) = p. Supposons construite pour tout k n une sous suite (u φ(k) ) telle que k n, u φ(k) a < 1/k, alors pour ɛ = 1/(n + 1), r > φ(n)/ u r a < 1/(n + 1) Ainsi on construit par récurrence une sous suite extraite de (u n ) qui tend vers a : en effet, Soit ɛ > 0, k N / 1 k < ɛ et n k, u φ(n) a < 1 n 1 k < ɛ. S il existe une sous suite (u φ(n) ) n qui tend vers a, alors pour tout ɛ strictement positif et pour tout N N, il existe p N tel que n p, u φ(n) a < ɛ donc, n max(n, p), u φ(n) a < ɛ Remarque : Un point a est adhérent à une partie A de R ssi tout intervalle de la forme ]a ɛ; a + ɛ[ avec ɛ > 0 contient un point de A. Il ne faut pas confondre ici valeur d adhérence de la suite (u n ) n et point adhérent à l ensemble {u n /n N} : toute valeur d adhérence de la suite est point adhérent à {u n /n N}. mais la réciproque est fausse : ainsi toute valeur u p de la suite est adhérent à {u n /n N} mais n est pas en général valeur d adhérence de (u n ) n. (u n ) n tend vers une limite l ssi toute suite extraite tend vers l. Si toute suite extraite tend vers l, en particulier (u n ) n tend vers l. Réciproquement, si (u n ) n tend vers une limite l que l on supposera finie, les autres cas se démontrant de la même manière, on se donne une suite extraite (u φ(n) ) n de la suite (u n ) n. Alors ɛ > 0, p N, n p, u n l < ɛ donc, φ étant strictement croissante de N dans N on a φ(n) > n pour tout n N et donc u φ(n) l < ɛ pour tout n > p. Exemple : (u n ) n définie par u n = sin( nπ ) n est pas convergente. 7 6

7 En effet, u 14n = sin( 14nπ) = sin(2nπ) = 0 pour tout n N donc (u 7 2n) n converge vers 0 alors que u 14n+1 = sin( (14n+1)π ) = sin(2nπ + π) = sin( π )( 1)2n = sin( π ) pour tout 7 n N et (u 14n+1 ) n converge donc vers sin( π). 7 Exemple : (u n ) n converge vers l ssi les suites extraites (u 2n ) n et (u 2n+1 ) n convergent vers l. La condition nécessaire est évidente d après la proposition III. Supposons donc que (u 2n ) n et (u 2n+1 ) n tendent toutes les deux vers la même limite l. ɛ > 0, N 1 N/ n N 1, u 2n 1 l < ɛ et N 2 N/ n N 2 u 2n+1 l < ɛ On pose N = max{2n 1 ; 2N 2 + 1}. Pour tout n N, si n est pair alors n = 2k et k N 1 donc u 2k l = u n l < ɛ sinon n est impair, n = 2k + 1, k N 2 donc u 2k+1 l = u n l < ɛ 4 Comparaison de suites et limites Soient (u n ) n une suite réelle convergente, l R sa limite et a R. S il existe N 1 N tel que pour tout n supérieur ou égal à N 1, u n est supérieur ou égal à a, alors l est supérieure ou égale à a. S il existe N 2 N tel que pour tout n supérieur ou égal à N 2, u n est inférieur ou égal à a, alors l est inférieure ou égale à a. Théorème "de la limite monotone" : Si (u n ) n est croissante (resp. décroissante) alors : lim n = sup n {u n } (resp. inf n {u n }) et (u n ) n est convergente ssi elle est majorée (resp. minorée). Par définition de la borne supérieure, ɛ > 0, N N, sup n {u n } ɛ u N sup n {u n } donc, (u n ) n étant croissante, n N, sup n {u n } ɛ u N u n sup n {u n }. Même type de preuve pour le cas décroissant. 7

8 Théorème "des gendarmes" : Soient (x n ) n, (u n ) n et (y n ) n trois suites réelles. Si (x n ) n et (y n ) n convergent vers la même limite l et si N N, n N, x n u n y n, alors (u n ) n converge vers l. Si (x n ) n diverge vers + et N N, n N, x n y n alors (y n ) n diverge vers + Si (y n ) n diverge vers et N N, n N, x n y n alors (x n ) n diverge vers preuve : Soit ɛ > 0. lim n x n = l donne l existence de N N, n N, x n l ɛ lim n y n = l donne l existence de N N, n N, y n l + ɛ Pour tout n max{n; N ; N } on a donc l ɛ x n u n y n l + ɛ. Soit M R, comme lim n x n = +, N N, n N, x n M donc pour tout n max{n; N } on a u n x n M. Soit M R, comme lim n y n =, N N, n N, y n M donc pour tout n max{n; N } on a u n y n M. Soient (u n ) n et (v n ) n deux suites réelles. Si à partir d un certain rang u n v n et si (u n ) n tend vers +, alors (v n ) n tend vers +. 5 Suites adjacentes Deux suites réelles (u n ) n et (v n ) n sont dites adjacentes si les deux suites sont monotones, l une croissante, l autre décroissante et si (u n v n ) n converge vers 0. Deux suites adjacentes sont convergentes vers une limite commune. Théorème des segments emboîtés : 8

9 Soit (I n ) n une suite de segments I n = [a n ; b n ] tels que pour tout n N, I n+1 I n ; (b n a n ) n converge vers 0. Alors il existe un réel l R tel que I n = {l}. Du fait que pour tout entier n, I n+1 I n on déduit que a n+1 a n et b n+1 b n. La suite (a n ) n est donc croissante, la suite (b n ) n décroissante. En outre, (b n a n ) n converge vers à donc les suites (a n ) n et (b n ) n sont adjacentes et sont donc convergentes vers une limite commune l. S il existe N N tel que l / I N, alors l > b N ou l < a N. On peut supposer que l < a n, le raisonnement serait identique dans l autre cas. Il existe donc ɛ > 0 tel que pour tout n N, l + ɛ < a N < a n c est à dire l a n > ɛ ce qui impose que (a n ) n ne converge pas vers l en contradiction avec ce qui a été justifié précédemment. Par conséquent n N, l I n. Soit l l, alors il existe ɛ > 0 tel que l l > ɛ. Or (b n a n ) n étant convergente vers 0, il existe N tel que b N a N < ɛ. Si 2 l I N alors l l < l a N + l a N < ɛ + ɛ < ɛ, contrairement à ce qui précède. Donc 2 2 l / I n et I n = {l}. Théorème "de Bolzano-Weierstrass" : De toute suite bornée de nombres réels, on peut extraire une sous suite convergente. preuve : Soit (u n ) n une suite bornée. Il existe M R tel que M u n M. Construisons une suite (I n ) n d intervalles de la forme [a n ; b n ] vérifiant I n contient une infinité de termes de la suite (u n ) n, le diamètre δ(i n ) 1 (b 2 n 0 a 0 ) où δ(i n ) désigne le diamètre de I n et I n+1 I n. On pose a 0 = M, b 0 = M et donc I 0 = [ M; M] qui vérifie de manière évidente les trois conditions précédentes. Supposons I k = [a k ; b k ] construit jusqu à un rang n. Alors [a n ; an+bn ] ou [ an+bn ; b 2 2 n ] contient une infinité de termes de la suite (u n ) n. Si [a n ; an+bn ] contient une infinité de termes de la suite, on pose a 2 n+1 = a n et b n+1 = an+bn sinon on pose a 2 n+1 = an+bn et b 2 n+1 = b n. Dans les deux cas, I n+1 I n et b n+1 a n+1 = bn an 1 1 (b n 0 a 0 ) 1 (b 2 n +1 0 a 0 ) donc I n+1 vérifie les trois conditions énoncées. Par récurrence on construit donc la suite (I n ) n. 9

10 Construisons ensuite une sous suite (u ϕ(n) ) n de la suite (u n ) n telle que n Nu ϕ(n) I n. On pose ϕ(0) = 0 et de manière évidente u 0 I 0 = [a 0 ; b 0 ] Supposons construite jusqu à un rang n, ϕ(k)/0 k n vérifiant k n 1, ϕ(k + 1) > ϕ(k) et k {0;... ; n}ϕ(k) I k. On a I n+1 I n et I n+1 possède une infinité de termes de la suite (u n ) n. Il existe donc p > ϕ(p)/u p I n+1. On pose alors ϕ(n + 1) = p. et qui vérifie les conditions voulues. Par récurrence, on construite donc la suite (u ϕ (n)) n. Par construction, cette sous suite converge vers I n qui est un singleton {l} avec l R d après le théorème des segments emboîtés. 10