Résumé du cours. Droites et plans de l espace. Positions relatives P P P P

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1 Résumé du cours roites et plans de l espace ans l espace un plan est caractérisé par la donnée de trois points non alignés, deux droites sécantes ou strictement parallèles. Un plan passant par trois points A, B et C, sera noté (A, B, C. Si un quatrième point appartient à ce plan, on dira que ces quatre points sont coplanaires. Trois points seront toujours coplanaires dans l espace, mais ce n est pas le cas pour quatre. ositions relatives Cas d une droite et un plan : Une droite et un plan sécants Une droite et un plan strictement parallèles Une droite incluse dans un plan Cas de deux plans eux plans qui ne sont pas confondus sont soient sécants selon une droite, soient strictement parallèles. eux plans sécants eux plans strictement parallèles Cas de deux droites eux droites de l espace sont soient non coplanaires, auquel cas elles sont ni sécantes ni parallèles, soient coplanaires et elles peuvent être alors sécantes ou parallèles. eux droites sécantes sont forcément coplanaires, deux droites qui ne sont pas sécantes sont soient parallèles, soient non coplanaires. 94 Sommaire chapitre 6 Francis CORTAO

2 FIGURE 4 eux droites non coplanaires I eux droites sécantes eux droites parallèles eux droites parallèles FIGURE 5 eux droites coplanaires arallélisme dans l espace arallélisme de droites et de plans ropriété 1 a. eux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. b. eux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux. c. Soient deux plans et. Si le premier plan contient deux droites sécantes parallèles à deux autres droites sécantes du second plan, alors ces deux plans et sont parallèles. d. Si deux plans et sont parallèles, tout plan Q qui coupe l un coupe l autre, et les deux droites d intersection et sont parallèles. =Q =Q Q Figure c. Figure d. Remarque. Si deux droites sont parallèles à un même plan, elles ne sont pas forcément parallèles entre elles. Théorème 1 Théorème du toit Si deux plans sécants et contiennent deux droites parallèles et, alors l intersection de ces deux plans est parallèle aux droites et Francis CORTAO Sommaire chapitre 6 95

3 = Orthogonalité dans l espace Orthogonalité de deux droites éfinition 1 a. eux droites sont orthogonales si les droites parallèles à ces deux droites passant par un même point sont deux droites perpendiculaires dans le plan qu elles définissent. b. eux droites sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes, donc coplanaires. Orthogonalité d un plan et d une droite éfinition a. Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. b. Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Orthogonalité de deux plans éfinition eux plans sont orthogonaux si une droite orthogonale à l un sera orthogonale à une droite orthogonale à ce plan Caractérisation vectorielle d une droite et d un plan de l espace Théorème On considère A et B deux points distincts de l espace. La droite (AB est l ensemble des points M de l espace tels que les vecteurs AM et AB sont colinéaires i.e l ensemble des points M tels que AM = t AB, t étant un réel quelconque. Remarque. On dit que AB est un vecteur directeur de la droite (AB. Théorème A, B et C sont trois ponts de l espace non alignés. Le plan (ABC est l ensemble des points M de l espace définis par AM = x AB + y AC x et y étant des réels quelconques Remarque. On dit alors que les vecteurs AB et AC sont des vecteurs directeurs du plan (ABC, ou bien qu ils forment une base de ce plan 96 Sommaire chapitre 6 Francis CORTAO

4 Géométrie analytique dans l espace Repères de l espace a. On appelle repère de l espace la donnée O d un point appelé origine et de trois vecteurs i, j et k non coplanaires. éfinition 4 Ou bien la donnée de quatre points O, I, J et K non coplanaires. b. Si les axes sont orthogonaux deux à deux et si les vecteurs i, j et k on la même norme, le repère est dit orthonormé. ropriété Soit (O; i ; j ; k un repère de l espace, alors pour tout point M il existe un unique triplet (x, y, z de nombres réels appelé coordonnées du point M, tel que OM = x i + y j + z k x est l abscisse de ce point, y son ordonnée et z sa côte. Soit un repère (O; i, j, k de l espace. a. Si deux vecteurs u et v ont pour coordonnées respectives ( x, y, z et ( x, y, z, alors u + v a pour coordonnées ( x + x, y + y, z + z λ u a pour coordonnées ( λx, λy, λz b. Si deux points A et B ont pour coordonnées (x A, y A, z A et (x B, y B, z B alors : le vecteur AB a pour coordonnées ( x B x A, y B y A, z B z A Théorème 4 Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées : ( xa + x B I, y A + y B, z A + z B Si de plus C a pour coordonnées (x C, y C, z C alors le centre de gravité G du triangle ABC a pour coordonnées : ( xa + x B + x C G ; y A + y B + y C ; z A + z B + z C ans les deux cas, on fait la moyenne des coordonnées des points concernés. c. Si le repère est orthonormé AB = (x B x A + (y B y A + (z B z A et u = x + y + z Équations paramétriques dans l espace Théorème 5 Soient A et B deux points distincts de l espace. La droite (AB est l ensemble des points M de l espace tels que les vecteurs AM et AB sont colinéaires. C est l ensemble des points M tels que AM = t AB, où t est un réel quelconque. ropriété eux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. Francis CORTAO Sommaire chapitre 6 97

5 éfinition 5 Représentation paramétrique d une droite. On considère une droite passant par A ( x A, y A, z A de vecteur directeur u Un point M(x, y, z appartient à si et seulement si il existe un réel t tel que : AM = t u x = x A + at y = y A + bt z = z A + ct a b c. Remarque. Une droite admet une infinité de représentations paramétriques, il suffit de choisir un autre point, ou un autre vecteur directeur pour en avoir une différente. Équation paramétrique d un plan dans l espace Théorème 6 Soient A, B et C trois points de l espace non alignés. Le plan (ABC est l ensemble des points M de l espace tels que AM = x AB + y AC x et y étant des réels quelconques ropriété 4 Représentation paramétrique d un plan On considère le plan passant par le point A(x A ; y A ; z A et a a dirigé par les vecteurs u b c et v b c. Un point M appartient à si et seulement si il existe deux réels t et t tels que AM = t u + t v x = x A + at + a t y = y A + bt + b t z = z A + ct + c t 98 Sommaire chapitre 6 Francis CORTAO