M7 - Mécanique des solides indéformables. Mécanique. Chapitre 7 : Mécanique des solides indéformables

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1 Mécanique Chapitre 7 : Mécanique des solides indéformables Sommaire 1 Cinématique des solides indéformables Le solide indéformable Mouvement de translation d un solide indéformable Mouvement de rotation d un solide autour d un axe fixe Dynamique des systèmes de points Moment cinétique d un système de points par rapport à un point fixe Moment des forces appliquées à un système de points Moment des forces intérieures à un système de points Théorème du moment cinétique d un système de points par rapport à un point fixe Théorème du moment cinétique d un système de points par rapport à un axe fixe Notion de couple Dynamique des solides indéformables Moment cinétique par rapport à un axe - moment d inertie Théorème du moment cinétique pour un solide indéformable par rapport à un axe fixe Page 1 Cinématique des solides indéformables 1.1 Le solide indéformable Le solide indéformable est un modèle physique adapté à la description d un système matériel possédant une extension spatiale. Solide indéformable : On appelle solide indéformable un système matériel (Σ) dont les distances entre deux points quelconques restent invariables au cours du temps : (A, B) (Σ) AB = cte L étude du mouvement d un solide indéformable peut se décomposer suivant : le mouvement de translation de l un de ses point P, par exemple son centre d inertie défini par les trois coordonnées x, y, z associées aux trois directions de l espace ; le mouvement de rotation propre du solide, défini par les trois angles associés aux trois directions de l espace Ainsi, la description du mouvement d un solide indéformable se fait grâce à six coordonnées. On dit que le solide indéformable possède six degrés de liberté. 2013/2014 1/7

2 1.2 Mouvement de translation d un solide indéformable Un solide est en translation si, à tout instant, la position du solide se déduit de sa position initiale par une translation. Considérons deux points quelconques A et B du solide indéformable (Σ). On note A 0 et B 0 leurs positions respectives dans le référentiel d étude (R) à l instant t = 0 pris comme origine des temps ; puis A t et B t leurs positions dans (R) à un instant t quelconque. Le solide est dit en translation si le vecteur A 0 B 0 lié au solide évolue parallèlement à lui-même au cours du mouvement : à chaque instant t, on a donc A t B t = A 0 B 0. Champ de vitesse d un solide en translation : Tous les points d un solide en translation possèdent la même vitesse : v At/(R) = v Bt/(R) Les deux cas d étude du programme sont les suivants : si les deux points du solide décrivent une droite lors du mouvement, on dit que la translation est rectiligne. C est le cas par exemple d une voiture se déplaçant sur une route rectiligne : si les points du solide décrivent des cercles, la translation est dite circulaire. C est le cas par exemple d une nacelle suspendue à une grande roue dans un parc d attraction : 1.3 Mouvement de rotation d un solide autour d un axe fixe Dans un tel mouvement, la position du solide à l instant t se déduit de sa position initiale par une rotation autour de l axe de rotation. Soient M et P deux points quelconques du solide, H et I leur projection orthogonale sur l axe de rotation. Lors du mouvement du solide, ces deux points ont une trajectoire circulaire dont les rayons respectifs sont HM et IP. Chaque point du solide évolue sur un cercle contenu dans un plan perpendiculaire à : Solide en rotation autour d un axe fixe : Un solide indéformable (S) est en rotation autour d un axe fixe si tous les points de (S) ont un mouvement circulaire d axe dans un plan perpendiculaire à. 2013/2014 2/7

3 Soient M un point du solide et H son projeté orthogonal sur = (Oz). Exprimons la vitesse v M du point M en faisant intervenir le vecteur rotation instantannée Ω, défini par : Ω = θe z = ωe z (1) or : r M = HMe r = re r v M = r θe θ = rωe θ = HMe r ωe z v M = Ω HM Ω OM = Ω (OH + HM) = Omega HM On en déduit : v M = Ω OM Vitesse d un point du solide en rotation autour d un axe fixe : Si O est un point quelconque d un axe fixe, la vitesse en un point M d un solide indéformable en rotation autour de est telle que : v M = Ω OM Dans la suite du chapitre, il va s agir d expliquer le mouvement d un solide. Le mouvement de translation se réduit au mouvement de translation de son centre d inertie et l équation du mouvement sera alors obtenue grâce au principe fondamental de la dynamique appliqué à ce point. Il s agit donc d expliquer le mouvement de rotation. On utilisera donc les concepts et théorèmes associés au moment cinétique d un point matériel en les étendant aux systèmes de points dans un premier temps puis au solides indéformables dans un second temps. 2 Dynamique des systèmes de points 2.1 Moment cinétique d un système de points par rapport à un point fixe Considérons un système de points (Σ) et exprimons sont moment cinétique par rapport à un point O : σ0 (Σ) = i OM i m i vi m v G = i m i vi Position et vitesse du point G : m OG = i m i OM i Le moment cinétique peut s exprimer : σ0 (Σ) = i OM i m i vi 2.2 Moment des forces appliquées à un système de points Un point du système peut être soumis à deux types de forces : les forces exercées par d autres points de Σ sont appelées forces intérieures au système Σ. Si les deux points sont proches, on parle alors d actions de contact (forces de cohésion). Si les deux points sont éloignés, on parle plutôt d actions à distance (force de gravitation, force électrostatique, etc). Dans tous les cas, la force exercée par le point M i sur le point M j, notée F i j est colinéaire au vecteur M i M j ; les autres forces sont appelées forces extérieures au système Σ. Ce dernier peut par exemple évoluer dans le champ gravitationnel d un autre système ou baigner dans un champ magnétique. La somme de toutes ces forces extérieures exercées en un point M i de Σ sera notée ef ext,i Moment des forces intérieures à un système de points Considérons deux forces intérieures au système Σ, exercées par le point M i sur le point M j et réciproquement. Calculons la résultante des moments de ces deux forces : 2013/2014 3/7

4 La résultante des moments des forces intérieures à un système de points est nulle. On comprend donc déjà que seul le moment des forces extérieures à un système de points influe son moment cinétique. 2.3 Théorème du moment cinétique d un système de points par rapport à un point fixe Appliquons le théorème du moment cinétique par rapport à un point fixe O en un point M i du système Σ et sommons ensuite l équation obtenue sur l ensemble des points du système : Théorème du moment cinétique d un système de points par rapport à un point fixe : Lors du mouvement d un système de points Σ relativement au référentiel galiléen (R), le moment cinétique σ O (Σ) de Σ relativement à un point fixe O n évolue dans le temps qu en fonction du moment M Oext en O de toutes les forces extérieures au système : d σ O (Σ) dt = M Oext (2) 2.4 Théorème du moment cinétique d un système de points par rapport à un axe fixe Afin de déterminer l aptitude des forces extérieures à faire tourner le système Σ autour d un axe fixe dirigé par le vecteur unitaire u, il suffit de choisir le point O sur l axe et de projeter le théorème précédent sur l axe. On obtient : 2013/2014 4/7

5 Théorème du moment cinétique d un système de points par rapport à un axe fixe : Lors du mouvement d un système de points Σ relativement au référentiel galiléen (R), le moment cinétique σ (Σ) de Σ relativement à un axe fixe n évolue dans le temps qu en fonction du moment M ext en O de toutes les forces extérieures au système : dσ (Σ) dt = M (ext) (3) 2.5 Notion de couple Considérons le système constitué de deux points matériels, soumis l un à la force extérieure F A et l autre à F B. On suppose que la résultante de ces forces est nulle : alors que la résultante de leurs moment en O est non nulle : F A + F B = 0 (4) M Oext = M OFA /A + M OFB /B = 0 (5) On remarque que M O est indépendant du point O. Les forces n ont pas d effet sur le mouvement du point G. On peut le montrer facilement à partir de la définition du centre d inertie et de la deuxième loi de Newton : Couple : On appelle couple tout système d action mécaniques dont la résultante F ext est nulle et le moment résultant M Oext par rapport à un point O est non nul. Ce moment est alors indépendant du point O. Par abus de langage, on appelle aussi couple l intensité de ce moment. Considérons ce deuxième exemple où quatre forces exercent un mouvement de rotation sur un cylindre : 3 Dynamique des solides indéformables 3.1 Moment cinétique par rapport à un axe - moment d inertie Nous avons vu dans la première section que la vitesse d un point M i d un solide indéformable pouvait s écrire : v Mi = Ω H i M i (6) 2013/2014 5/7

6 où Ω = ωu représente le vecteur rotation instantané et H i le projeté orthogonal de M i sur l axe de rotation. Calculons le moment cinétique du solide Σ : Moment cinétique et moment d inertie d un solide : Soit un solide Σ en rotation autour d un axe fiwe = (O, u ) avec une vitesse angulaire ω = θ. Son moment cinétique σ (Σ) par rapport à l axe est tel que : La quantité J = N i=1 m ir 2 i σ (Σ) = J ω (7) est appelée moment d inertie du solide par rapport à l axe. Nous donnons dans le tableau suivant quelques moments d inertie usuels : 2013/2014 6/7

7 Tige unidimensionnelle homogène de masse m et de longueur l J (G,ux) = J (G,uy) = 1 12 ml2 J (B,ux) = J (B,uy) = 1 3 ml2 Disque plein homogène de masse m et de rayon R J (G,uz) = 1 2 mr2 J (G,ux) = J (G,uy) = 1 4 mr2 Cylindre plein homogène de masse m, de longueur l et de rayon R J (G,uz) = 1 2 mr2 J (G,ux) = J (G,uy) = 1 4 mr ml2 Sphère pleine homogène de masse m et de rayon R J (G, ) = 2 5 mr2 On remarque que, pour un solide donné, la valeur du moment d inertie varie suivant le choix de l axe. Dans le cadre du programme, l expression du moment d inertie J sera toujours donnée. 3.2 Théorème du moment cinétique pour un solide indéformable par rapport à un axe fixe En dérivant l équation (7) par rapport au temps, on obtient la formulation du théorème du moment cinétique pour un solide indéformable par rapport à un axe fixe : Théorème du moment cinétique pour un solide indéformable par rapport à un axe fixe : Lors du mouvement de rotation d un solide Σ autour d un axe, sa vitesse angulaire ω = θ n évolue dans le temps qu en fonction de son moment d inertie par rapport à et du moment M,ext par rapport à de toutes les forces extérieures au système : J dω dt = M,ext (8) 2013/2014 7/7

8 Ce résultat permet de comprendre l importance des caractéristiques du solide dans les capacités des forces qui lui sont appliquées à le mettre en rotation. On notera particulièrement l importance de la répartition des masses sur ce point, ce qui apparaît dans l expression de J. 2013/2014 8/7