Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens."

Transcription

1 . Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens. Benoîte de Saporta Université de Nantes Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 1/37

2 Plan de l exposé 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 2/37

3 Introduction Le modèle Modèle AR(1) : Y n+1 = a n Y n + b n, n Z, Y n R d, d 1. (a n, b n ) va sur Gl(d, R) R d, d 1. séries chronologiques, processus de branchement, marches en milieu aléatoire, modèles AR(d), GARCH... Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 3/37

4 Introduction Solution stationnaire BRANDT 1986, BOUGEROL et PICARD 1992, (a n, b n ) stationnaire Si et α = lim 1 n log a 1 a n < 0 E log + b 0 <, unique solution stationnaire R n = k=1 a n 1 a n k b n k 1, Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 4/37

5 Introduction Moments (a n, b n ) i.i.d. s > 0, E R 1 s k=0 E a 0 a 1 a k+1 s E b k s si s < 1, (E R 1 s ) 1/s k=0 (E a 0 a 1 a k+1 s ) 1/s (E b k s ) 1/s si s 1. Si b 0 a des moments à tout ordre, R a un moment d ordre s si k(s) = lim n (E a 1 a 2 a n s ) 1/n < 1 Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 5/37

6 Introduction Convexité s log k(s) est convexe 3 cas possibles : Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 6/37

7 Introduction Références KESTEN 1973, 1974 : dimension d, matrices positives LE PAGE 1983 : dimension d, matrices quelconques GOLDIE 1991 : dimension 1 E R s 1 < si et seulement si k(s) < 1 Si k(κ) = 1, queue polynômiale : P( R 1 > t) Ct κ Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 7/37

8 Introduction Théorème en dimension 1 Théorème 1 (Goldie) (a n, b n ) iid, κ > 0 vérifiant E a 0 κ = 1, E [ a 0 κ log + a 0 ] <, E b 0 κ <, loi conditionnelle de log a 0 sachant a 0 0 non-arithmétique. Premier cas : a 0 0, alors t κ P(R 1 > t) t + C +, t κ P(R 1 < t) t + C, C + 0 et C 0 constantes. Deuxième cas : P(a 0 < 0) > 0 alors mêmes limites les limites avec C + = C 0. Dans les deux cas, C + + C > 0 ssi P(b 0 = (1 a 0 )x) < 1. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 8/37

9 Régime markovien 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 9/37

10 Régime Markovien Définition Auto-régression à régime markovien : (a n ) est une chaîne de Markov Y n+1 = a n Y n + b n, n Z, Séries chronologiques qui changent de régime au cours du temps séries économiques données climatiques Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 10/37

11 Régime Markovien Exemple de Hamilton (1) Exemple de HAMILTON 1989 v a r i Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 11/37

12 Régime Markovien Exemple de Hamilton (2) Modèle : X n = a n (0) + a n (1)X n a n (4)X n 4 + b n - X n = 100 log PIB n PIB n 1 - a n = (a n (j), j = 0,.., 4) chaîne de Markov à deux états (909, 265, 29, 126, 110)/1000 ( 420, 216, 628, 73, 97)/ Matrice de transition ( ) Interprétation des états : 1=croissance, 2=récession = Cycles économiques Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 12/37

13 Régime Markovien Hypothèses Processus auto-régressif à régime markovien scalaire : Y n+1 = a n Y n + b n, n Z, (a n ) : chaîne de Markov irréductible, apériodique, stationnaire sur E = {e 1,..., e p } R +, matrice de transition P = (p ij ), loi stationnaire µ. (b n ) i.i.d. non nulles, indépendantes de (a n ) Si E log(a 0 ) = log(e i )µ(e i ) < 0 et E log + (b 0 ) < unique solution stationnaire : R n = k=0 a n 1 a n 2 a n k b n 1 k, n Z Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 13/37

14 Régime Markovien Théorème Théorème 2 1. il existe κ > 0 tel que la matrice P κ = diag(e κ i ) t P soit de rayon spectral 1, 2. les log e i ne sont pas tous multiples entiers d un même nombre, 3. E b 0 κ <, alors pour x { 1, 1} on a : t κ P(xR 1 > t) t L(x), où L(1) + L( 1) > 0. Si b 0 0, alors L( 1) = 0, et L(1) > 0. Si b 0 0, alors L(1) = 0, et L( 1) > 0. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 14/37

15 Régime Markovien Exemple de 2 régimes (1) ( p 1 p ) 2 états : E = {e 1, e 2 }, matrice de transition P = et p + q 0 1 q q, p < 1, q < 1 loi invariante : µ = 1 2 p q (1 q, 1 p) Condition de stationnarité : e 1 1 q e 2 1 p < 1 Matrice P s : P s = ( e 1 s p e 1 s (1 q) e 2 s (1 p) e 2 s q ) Rayon spectral : ρ s = e 1 s p+ e 2 s q+ s 2, avec s = e 1 2s p 2 + e 2 2s q e 1 e 2 s (pq 2p 2q + 2) Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 15/37

16 Régime Markovien Exemple de 2 régimes (2) Condition d existence de κ : Pas de κ : moment à tout ordre si : e 1 1 et e 2 1, p = 0 et 1 < e 1 e 2 1, q = 0 et 1 < e 2 e 1 1. κ : queue polynômiale si : e 1 > 1 et p 0, p = 0 et e 2 1 < e 1 < e 2 1/1 q, e 2 > 1 et q 0, q = 0 et e 1 1 < e 2 < e 1 1/1 p. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 16/37

17 Régime Markovien Exemple de 2 régimes (3) e2 e e1 1 1 e1 1 1 Queue exponentielle Queue exponentielle Queue polynomiale Queue polynomiale ex : p = 0.5, q = 0.7 ex : p = 0, q = 0.7 Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 17/37

18 Régime Markovien Equations de renouvellement (1) LE PAGE 1983, GOLDIE 1991 z(x, t) = e t e t 0 u κ P(xR 1 > u)du. x = ±1, même comportement asymptotique que t κ P(xR 1 > t). z(x, t) = p i=1 Z i(x, t), où : Z i (x, t) = e t e t 0 u κ P(xR 1 > u, a 0 = e i )du. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 18/37

19 Régime Markovien Equations de renouvellement (2) R 1 = a 0 R 0 + b 0 = P(xR 1 > u, a 0 = e i ) = P(xa 0 R 0 + xb 0 > u, a 0 = e i ) = P(xa 0 R 0 > u, a 0 = e i ) + ψ i (x, t) On note e t G i (x, t) = e t u κ ψ i (x, u)du 0 e t = e t u κ (P(xR 1 > u, a 0 = e i ) P(xa 0 R 0 > u, a 0 = e i ))du. 0 Alors e t Z i (x, t) = e t u κ P(xe i R 0 > u, a 0 = e i )du + G i (x, t). Changement de variable 0 Z i (x, t) = e (t log e i) e κ i e t log e i 0 u κ P(xR 0 > u, a 0 = e i )du + G i (x, t). Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 19/37

20 Régime Markovien Equations de renouvellement (3) Propriété de Markov et stationnarité P(xR 0 > u, a 0 = e i ) = p j=1 P(xR 1 > u, a 0 = e j )p ji. On obtient le système : Z i (x, t) = e κ i = p j=1 p j=1 [ ] p ji Z j (x, t log e i ) + G i (x, t) Z j (x, t u)f ij (du) + G i (x, t), avec F ij (t) = e κ i p ji 1I t log ei. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 20/37

21 Renouvellement 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 21/37

22 Renouvellement Introduction F = (F ij ) 1 i,j p matrice de distributions. G = t (G 1,..., G p ) vecteur de fonctions réelles, bornées sur les compacts. Z = t (Z 1,..., Z p ) vecteur de fonctions inconnues qui vérifie Z i (t) = G i (t) + p k=1 Z k (t u)f ik (du), = comportement asymptotique de Z en +. FELLER 1971 : p = 1, F 11 probabilité : CRUMP 1970, ATHREYA et RAMA MURTHY 1976 : p > 1, F ij : R + R + Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 22/37

23 Renouvellement Notations Produit de convolution matriciel F H : H matrice p r de fonctions réelles mesurables (F H) ij (t) = p k=1 H kj (t u)f ik (du). Espérance de F : Γ = (γ ij ) 1 i,j p avec γ ij = uf ij (du). F (0) (t) = diag(1 t 0,...,1 t 0 ). F (n) (t) = F F (n 1) (t). Fonction de renouvellement U(t) = n=0 F (n) (t). Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 23/37

24 Renouvellement Arithméticité F est arithmétique si : pour tout i j, F ij est concentrée sur un ensemble de la forme b ij + λ ij Z, pour tout i, F ii est concentrée sur λ ii Z, les λ ii sont multiple entiers d un même nombre, λ le plus grand de ces nombres, pour tous a ij, a jk, a ik points d accroissement de F ij, F jk et F ik, a ij + a jk a ik est un multiple entier de λ. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 24/37

25 Renouvellement Hypothèses sur F 1. Mesures finies : 1 i, j p, F ij ( ) = lim t F ij (t)<. 2. Transience : t R, U(t) <. 3. F( ) irréductible à puissances bornées en norme. 4. Rayon spectral : ρ(f( )) = 1. m et u vecteurs propres de Perron-Frobenius : F( )m = m, p i=1 m i = 1, t uf( ) = t u, p i=1 u i m i = 1. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 25/37

26 Renouvellement Résultats Théorème 3 Première forme : hypothèses 1-4 F non arithmétique espérance Γ existe alors, γ = t uγm > 0 et U ij (t + h) U ij (t) t m i u j γ h. Deuxième forme : Mêmes hypothèses G directement Riemann intégrable Z = U G existe, alors lim t Z i(t) = 1 γ m i p j=1 [u j ] G j (u)du. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 26/37

27 Renouvellement Preuve Incréments de U uniformément bornés = (t n ) + et V ij mesures t.q. U ij (t n + dt) V ij (dt) Identification des V ij G = t (0,..., G k,..., 0) avec G k continue à support compact t n + dans l équation de renouvellement solutions de Z = F Z = V ij multiples de la mesure de Lebesgue : V ij = a ij l Identification des coefficients de proportionnalité G = t (0,..., G k,..., 0) avec G k (t) = 1I [0, 1] (t) = a ij = cm i u j G(t) = ( F( )1I t 0 F(t) ) m = c = γ 1 Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 27/37

28 Preuve 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 28/37

29 Preuve Equations de renouvellement Rappel : Z i (x, t) = e κ i = p j=1 p j=1 [ ] p ji Z j (x, t log e i ) + G i (x, t) Z j (x, t u)f ij (du) + G i (x, t), avec et G i (x, t) = e t e t 0 F ij (t) = e κ i p ji 1I t log ei, u κ[ ] P(xR 1 > u, a 0 = e i ) P(xa 0 R 0 > u, a 0 = e i ) du. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 29/37

30 Preuve Application du th de renouvellement F ij mesures finies, F ij ( ) = e κ i p ji = P κ de rayon spectral 1. Espérance de F : Γ ij = e κ i p ji log e i. Les log(e i ) ne sont pas multiples entiers d un même nombre, donc F non arithmétique. Finitude de U : U ij (t) = F (n) ij (t) e κt 2 (P κ 2 )n ij série convergente par convexité de s log ( ρ(p s ) ). Z = U G : itérer l équation de renouvellement, et F (n) Z 0 G est directement Riemann intégrable : utiliser E b 0 κ < +. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 30/37

31 Preuve Théorème de renouvellement Théorème de renouvellement pour les systèmes : Limite non nulle? lim t tκ P(xR 1 > t) = lim z(x, t) t = lim t = 1 γ p j=1 p i=1 Z i (x, t) [u j ] G j (x, s)ds. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 31/37

32 Preuve Cas particulier Si b 1 est de signe constant : Alors e t G i (x, t) = e t u κ( P(u xb 0 < xa 0 R 0 u, a 0 = e i ) 0 P(u < xa 0 R 0 u xb 0, a 0 = e i ) ) du. de signe constant sur R, car l une des de ces deux probabilités est nulle. Si b 1 0, alors R 1 0 donc z( 1, t) t 0, et limz(1, t) > 0. Si b 1 0, alors R 1 0 donc z(1, t) t 0, et limz( 1, t) > 0. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 32/37

33 Preuve Limite non nulle Première étape : GRINCEVICIUS 1980, GOLDIE 1991 P( R 1 > t) C P(sup n Inégalité de symétrisation de Lévy Lemme de Feller Chung a 0 a 1 n > 2t ε ). Deuxième étape : Evaluer P(sup n a 0 a 1 n > 2t ε ). Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 33/37

34 Preuve Etude du produit a 0 a 1 n Marche aléatoire à pas markovien : S 0 = 0, S n = n k=1 log(a 1 k ) = log(a 0 a 1 n ). Etude du processus d échelle S τn où : τ 1 = inf{n 1 : S n > 0}, τ n = inf{k > τ n 1 : S k > S τn 1 }. Arjas et Speed Renouvellement = e κt P(max(S n ) > t) = e κt P(max(S τn ) > t) C > 0, C > 0 constante explicite. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 34/37

35 Autres Résultats 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 35/37

36 Autres Résultats En dimension 1 On peut affaiblir l hypothèse d indépendance entre (a n ) et (b n ). Résultat analogue lorsque les a n changent de signe Diffusion continue à régime markovien En dimension supérieure Chaîne à espace d états fini inclus dans les matrices positives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 36/37

37 Perspectives Dimension d et chaîne de Markov à support fini quelconque Chaînes de Markov plus générales Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 37/37

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Web Science. Master 1 IFI. Andrea G. B. Tettamanzi. Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice.

Web Science. Master 1 IFI. Andrea G. B. Tettamanzi. Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice. Web Science Master 1 IFI Andrea G. B. Tettamanzi Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice.fr 1 Annonce : recherche apprenti Projet Géo-Incertitude Objectifs

Plus en détail

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

FIMA, 7 juillet 2005

FIMA, 7 juillet 2005 F. Corset 1 S. 2 1 LabSAD Université Pierre Mendes France 2 Département de Mathématiques Université de Franche-Comté FIMA, 7 juillet 2005 Plan de l exposé plus court chemin Origine du problème Modélisation

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Module 7: Chaînes de Markov à temps continu

Module 7: Chaînes de Markov à temps continu Module 7: Chaînes de Markov à temps continu Patrick Thiran 1 Introduction aux chaînes de Markov à temps continu 1.1 (Première) définition Ce module est consacré aux processus à temps continu {X(t), t R

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe

Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie

Plus en détail

Contents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes

Contents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes Université Claude Bernard Lyon 1 Institut de Science Financière et d Assurances Système Bonus-Malus Introduction & Applications SCILAB Julien Tomas Institut de Science Financière et d Assurances Laboratoire

Plus en détail

Théorie des probabilités

Théorie des probabilités Théorie des probabilités LAVOISIER, 2008 LAVOISIER 11, rue Lavoisier 75008 Paris www.hermes-science.com www.lavoisier.fr ISBN 978-2-7462-1720-1 ISSN 1952 2401 Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant,

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015 et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L

Plus en détail

Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I

Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Modèles et Méthodes de Réservation

Modèles et Méthodes de Réservation Modèles et Méthodes de Réservation Petit Cours donné à l Université de Strasbourg en Mai 2003 par Klaus D Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden D 01062 Dresden E

Plus en détail

Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands.

Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Pourquoi un autre catalogue en Suisse romande Historique En 1990, la CRUS (Conférences des

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

Modèle GARCH Application à la prévision de la volatilité

Modèle GARCH Application à la prévision de la volatilité Modèle GARCH Application à la prévision de la volatilité Olivier Roustant Ecole des Mines de St-Etienne 3A - Finance Quantitative Décembre 2007 1 Objectifs Améliorer la modélisation de Black et Scholes

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits

Plus en détail

Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA

Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Soutenance de doctorat, sous la direction de Pr. Bilodeau, M. et Pr. Ducharme, G. Université de Montréal et Université

Plus en détail

Licence à distance Chapitre V : Equations différentielles. Méthodes numériques à un pas.

Licence à distance Chapitre V : Equations différentielles. Méthodes numériques à un pas. Licence à distance Chapitre V : Equations différentielles. Méthodes numériques à un pas. M. Granger Table des matières 1 Rappels sur le cours d équations différentielles 2 1.1 Généralités..........................................

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur.

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Quantification Scalaire et Prédictive

Quantification Scalaire et Prédictive Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Tests du χ 2. on accepte H 0 bonne décision erreur de seconde espèce on rejette H 0 erreur de première espèce bonne décision

Tests du χ 2. on accepte H 0 bonne décision erreur de seconde espèce on rejette H 0 erreur de première espèce bonne décision Page n 1. Tests du χ 2 une des fonctions des statistiques est de proposer, à partir d observations d un phénomène aléatoire (ou modélisé comme tel) une estimation de la loi de ce phénomène. C est que nous

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire

RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003 I Motivations et notions fondamentales 4 I1 Motivations 5 I2 Formes quadratiques 13 I3 Rappels

Plus en détail

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème...

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème... TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique................... 13 1.2 Le plan...................................

Plus en détail

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL TESTS EN ÉCHANTILLONS FINIS DU MEDAF SANS LA NORMALITÉ ET SANS LA CONVERGENCE

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL TESTS EN ÉCHANTILLONS FINIS DU MEDAF SANS LA NORMALITÉ ET SANS LA CONVERGENCE UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL TESTS EN ÉCHANTILLONS FINIS DU MEDAF SANS LA NORMALITÉ ET SANS LA CONVERGENCE MÉMOIRE PRÉSENTÉ COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MAÎTRISE EN ÉCONOMIE PAR MATHIEU SISTO NOVEMBRE

Plus en détail

Intégration sur des espaces produits

Intégration sur des espaces produits Chapitre 5 Intégration sur des espaces produits 5.1 Produit de deux mesures Étant donnés deux espaces mesurés (Ω 1, F 1, µ 1 ) et (Ω 2, F 1, µ 2 ), le but de cette section est de construire une mesure

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université

Plus en détail

Température corporelle d un castor (une petite introduction aux séries temporelles)

Température corporelle d un castor (une petite introduction aux séries temporelles) Température corporelle d un castor (une petite introduction aux séries temporelles) GMMA 106 GMMA 106 2014 2015 1 / 32 Cas d étude Temperature (C) 37.0 37.5 38.0 0 20 40 60 80 100 Figure 1: Temperature

Plus en détail

Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou

Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou alpha-stables Richard Eon sous la direction de Mihai Gradinaru Institut de Recherche Mathématique de Rennes Journées de probabilités 215,

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Chaînes de Markov au lycée

Chaînes de Markov au lycée Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Chaînes de Markov (version 0)

Chaînes de Markov (version 0) Chaînes de Markov (version 0) Yan Doumerc ECS1, lycée Gaston Berger, Lille y.doumerc@yahoo.fr 15 Mai 2014 Résumé Ce document accompagne une séance de formation destinée aux professeurs de classe préparatoire

Plus en détail

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires

TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver

Plus en détail

Probabilités stationnaires d une chaîne de Markov sur TI-nspire Louis Parent, ing., MBA École de technologie supérieure, Montréal, Québec 1

Probabilités stationnaires d une chaîne de Markov sur TI-nspire Louis Parent, ing., MBA École de technologie supérieure, Montréal, Québec 1 Introduction Probabilités stationnaires d une chaîne de Markov sur TI-nspire Louis Parent, ing., MBA École de technologie supérieure, Montréal, Québec 1 L auteur remercie Mme Sylvie Gervais, Ph.D., maître

Plus en détail

Sur certaines séries entières particulières

Sur certaines séries entières particulières ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne

Plus en détail

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours

Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours Sujet 4: Programmation stochastique propriétés de fonction de recours MSE3313: Optimisation Stochastiqe Andrew J. Miller Dernière mise au jour: October 19, 2011 Dans ce sujet... 1 Propriétés de la fonction

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Processus aléatoires avec application en finance

Processus aléatoires avec application en finance Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Plus courts chemins, programmation dynamique

Plus courts chemins, programmation dynamique 1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique

Plus en détail

Produits de crédit en portefeuille

Produits de crédit en portefeuille Chapitre 6 Produits de crédit en portefeuille et défauts corrélés Dans ce chapitre, on étudie des produits financiers de crédit en portfeuille, notamment k th -to-default swap et CDOs (voir 1.2 pour une

Plus en détail

Lagrange, où λ 1 est pour la contrainte sur µ p ).

Lagrange, où λ 1 est pour la contrainte sur µ p ). Chapitre 1 Exercice 1 : Portefeuilles financiers Considérons trois types d actions qui sont négociées à la bourse et dont les rentabilités r 1, r 2 et r 3 sont des variables aléatoires d espérances µ i

Plus en détail

Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1

Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1 General Mathematics Vol. 18, No. 4 (2010), 85108 Condition de stabilité d'un réseau de les d'attente à deux stations et N classes de clients 1 Faiza Belarbi, Amina Angelika Bouchentouf Résumé Nous étudions

Plus en détail