Seconde 1 IE3 géométrie vectorielle Sujet

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1 Seconde 1 IE3 géométrie vectorielle Sujet NOM : Prénom : Exercice 1 : Reconnaître des vecteurs égaux (5 points) Voici deux cercles concentriques de centre O, de rayon r et 2r. Indiquer les vecteurs égaux : AB : Note : 20 FG.. AF HE AG. Exercice 2 : (5 points) Soit ABCD un parallélogramme de centre O ; les points P, Q, R et S sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. a) Montrer que PQRS est un parallélogramme. b) Compléter les phrases suivantes : L image du point D par la translation de vecteur.. est R. Le point C est l image de D par la translation de vecteur Le point R est l image de.. par la translation de vecteur PQ. L image du point O par la translation de vecteur L image du point Q par la translation de vecteur AO est DO + BA est.. Le point A est l image du point par la translation de vecteur BS PO. 1

2 Seconde 1 IE3 géométrie vectorielle Sujet Exercice 3 : (4 points) Soit les vecteurs AB, CD et EF. 1) Construire un représentant de 2) Placer le point G tel que GE = CD, AB + CD - EF. AB + CD et le point H tel que CH + EH = CD. Exercice 4 : (6 points) On considère un triangle ABC isocèle en A. Soit M le milieu de sa base [BC]. Soit D l image du point B par la translation de vecteur AC et E, l image du point D par la translation de vecteur BM. a) Faire une figure b) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Justifier la réponse. c) Quelle est la nature du quadrilatère MCED? Justifier la réponse. 2

3 Seconde 1 IE3 géométrie vectorielle Sujet NOM : Prénom : Exercice 1 : Reconnaître des vecteurs égaux(5 points) Voici deux cercles concentriques de centre O, de rayon r et 2r. Indiquer les vecteurs égaux : AB.. Note : 20 OT.. UF.. UL.. RA... Exercice 2 : (5 points) Soit ABCD un parallélogramme de centre O ; les points P, Q, R et S sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. a) Montrer que PQRS est un parallélogramme. b) Compléter les phrases suivantes : L image du point D par la translation de vecteur.. est R. Le point C est l image de D par la translation de vecteur Le point R est l image de.. par la translation de vecteur PQ. L image du point O par la translation de vecteur L image du point Q par la translation de vecteur AO est DO + BA est.. 3

4 Seconde 1 IE3 géométrie vectorielle Sujet Le point A est l image du point par la translation de vecteur Exercice 3 : (4 points) Soit les vecteurs MN, PQ et RS. 1) Construire un représentant de MN + PQ, MN + PQ - RS. 2) Placer le point T tel que TR = PQ et le point U tel que PU + BS PO. RU = PQ. Exercice 4 : (6 points) On considère un triangle LMN isocèle en L. Soit I le milieu de sa base [MN]. Soit P l image du point N par la translation de vecteur LM et Q l image du point P par la translation de vecteur NI. a) Faire une figure b) Quelle est la nature du quadrilatère LMPN? Justifier la réponse. c) Quelle est la nature du quadrilatère MQPI? Justifier la réponse. 4

5 Seconde 1 IE3 géométrie vectorielle Sujet Exercice 1 : Reconnaître des vecteurs égaux(5 points) Voici deux cercles concentriques de centre O, de rayon r et 2r. Indiquer les vecteurs égaux : TU AB : BC ; FH ; IO ; JK ; OL ; MP ; ST ; FG : GH ; IJ ; JO ; OK ; KL ; MN ; NP AF : FO ; OP ; PU ; BH ; HL ; IM ; MT ; JN; GK HE : QM AG : IN ; FK ; JP ; GL ; NU Exercice 2 : (5 points) Soit ABCD un parallélogramme de centre O ; les points P, Q, R et S sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. a) Montrer que PQRS est un parallélogramme. Démonstration sans utiliser les vecteurs : Dans le triangle ABD, le segment [PS] qui joint les milieux des côtés [AB] et [AD] est parallèle au troisième côté [BD] et PS = BD 2. De même dans le triangle BCD, le segment [RQ] qui joint les milieux des côtés [DC] et [BC] est parallèle au troisième côté [BD] et RQ = BD 2. Les côtés [PS] et [RQ] du quadrilatère PQRS sont parallèles (car parallèles au segment [BD]) et ont la même longueur PS = QR = BD 2 ). On en déduit donc que PQRS est un parallélogramme. Démonstration en utilisant les vecteurs PQ = PB + BQ = 1 AB + 1 BC = ( AB + BC ) = 1 AC 2 SR = SD + DR = 1 AD + 1 DC = ( AD + DC ) = 1 AC 2 On en déduit que PQ = SR ; donc PQRS est un parallélogramme. b) L image du point D par la translation de vecteur AP est R. Le point C est l image de D par la translation de vecteur AB. Le point R est l image de S. par la translation de vecteur PQ. L image du point O par la translation de vecteur AO est C. 5

6 Seconde 1 IE3 géométrie vectorielle Sujet L image du point Q par la translation de vecteur DO + BA est P. Le point A est l image du point B par la translation de vecteur Exercice 3 : (4 points) Soit les vecteurs AB, CD et EF. 1) Construire un représentant de 2) Placer le point G tel que GE = BS PO. CD, AB + CD - EF. AB + CD et le point H tel que CH + EH = CD. Exercice 4 : (6 points) On considère un triangle ABC isocèle en A. Soit M le milieu de sa base [BC]. Soit D l image du AC et E, l image du point D par la translation de vecteur point B par la translation de vecteur a) Faire une figure BM. b) Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Justifier la réponse. Comme D est l image de B par la translation de vecteur AC alors BD = AC. Cette égalité vectorielle caractérise le parallélogramme ABCD. De plus comme AB = AC alors ABCD est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur : donc ABCD est un losange. c) Quelle est la nature du quadrilatère MCED? Justifier la réponse. Comme E est l image de D par la translation de vecteur BM alors DE = BM. Or BM = MC car M est le milieu de [BC] ; donc MC = DE 6

7 Seconde 1 IE3 géométrie vectorielle Sujet Donc MCED est un parallélogramme. Or (MC) (MD) car ce sont les diagonales perpendiculaires du losange ABDC. MCED est un parallélogramme ayant un angle droit : donc MCED est un rectangle. 7

8 Seconde 1 IE3 géométrie vectorielle Sujet Exercice 1 : Reconnaître des vecteurs égaux(5 points) Voici deux cercles concentriques de centre O, de rayon r et 2r. Indiquer les vecteurs égaux : AB : BC, QS; IO, PT, OE, WU, HG, GF OT : QR, RS, IP, PO, TE, WV, VU UF : AQ, ; RT UL : JQ BS, SE, IW, WG, RA. : TQ, UP, VI ; FV ; ER QO, OU; PV Exercice 2 : (5 points) Soit ABCD un parallélogramme de centre O ; les points P, Q, R et S sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. a) Montrer que PQRS est un parallélogramme. a) Démonstration sans utiliser les vecteurs : Dans le triangle ABD, le segment [PS] qui joint les milieux des côtés [AB] et [AD] est parallèle au troisième côté [BD] et PS = BD 2. De même dans le triangle BCD, le segment [RQ] qui joint les milieux des côtés [DC] et [BC] est parallèle au troisième côté [BD] et RQ = BD 2. Les côtés [PS] et [RQ] du quadrilatère PQRS sont parallèles (car parallèles au segment [BD]) et ont la même longueur PS = QR = BD 2 ). On en déduit donc que PQRS est un parallélogramme. Démonstration en utilisant les vecteurs PQ = PB + BQ = 1 AB + 1 BC = ( AB + BC ) = 1 AC 2 SR = SD + DR = 1 AD + 1 DC = ( AD + DC ) = 1 AC 2 On en déduit que PQ = SR ; donc PQRS est un parallélogramme. 8

9 Seconde 1 IE3 géométrie vectorielle Sujet b) L image du point D par la translation de vecteur AP est R. Le point C est l image de D par la translation de vecteur AB. Le point R est l image de S. par la translation de vecteur PQ. L image du point O par la translation de vecteur AO est C. L image du point Q par la translation de vecteur DO + BA est P. Le point A est l image du point B par la translation de vecteur BS PO. 9

10 Seconde 1 IE3 géométrie vectorielle Sujet Exercice 3 : (4 points) Soit les vecteurs MN, PQ et RS. 1) Construire un représentant de MN + PQ, MN + PQ - RS. 2) Placer le point T tel que TR = PQ et le point U tel que PU + RU = PQ. Exercice 4 : (6 points) On considère un triangle LMN isocèle en L. Soit I le milieu de sa base [MN]. Soit P l image du point N par la translation de vecteur LM et Q l image du point P par la translation de vecteur NI. a) Faire une figure b) Quelle est la nature du quadrilatère LMPN? Justifier la réponse. NP = Comme P est l image de N par la translation de vecteur LM alors Cette égalité vectorielle caractérise le parallélogramme LMPN. De plus comme LM = LN alors LMPN est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur : donc LMPN est un losange. c) Quelle est la nature du quadrilatère MQPI? Justifier la réponse. Comme Q est l image de P par la translation de vecteur Or NI = IM car I est le milieu de [MN] ; donc PQ = LM. NI alors PQ = NI. Donc MQPI est un parallélogramme. Or (MI) (IP) car ce sont les diagonales perpendiculaires du losange LMPN. MQPI est un parallélogramme ayant un angle droit : donc MQPI est un rectangle. IM 10