1. Eléments de géométrie analytique

Transcription

1 1. Eléments de géométrie analytique René Descartes ( ) publie en 1637, à Leyde, aux Pays-Bas, un ouvrage, La Géométrie, qui allait permettre de réunir deux domaines des mathématiques conçus dans un premier temps comme séparé : la géométrie et l algèbre. Dans cet ouvrage il montrait que toutes les courbes géométriques étudiées jusqu alors pouvait être conçue comme les solutions d une équation, et toutes les équations étudiées jusqu alors pouvait se visualiser sous la forme d une courbe. Pour permettre ce «rapprochement» Descartes introduisit quelque chose qui ressemble à notre système d axes. La branche mathématique qui allait naître de ce rapprochement s appelle géométrie analytique Pour des raisons de commodité il convient de prendre des axes perpendiculaires. L intersection de ces deux axes s appelle l origine des coordonnées, ou simplement l origine. Chacun de ces axes est muni d une direction ainsi que d une unité de mesure. On parle alors d un système d axes orthonormés. Exercices 1. Trouvez les coordonnées des projections sur l axe des abscisses et des ordonnées des points: et.. Trouvez les coordonnées des points symétriques aux points: et par rapport à l axe et à l axe Oy. 3. Trouvez les coordonnées du point symétrique au point:, par rapport à l origine des coordonnées. 4. Trouvez les coordonnées des points symétriques aux points:, 1

2 et par rapport à la bissectrice du premier quart de plan. 5. Trouvez les coordonnées des points symétriques aux points:, et par rapport à la bissectrice du deuxième quart de plan. 6. Déterminez dans quel quart de plan se trouve le point, si: a) b) c) d). 7. On donne les points M1(; ), M(;), M3(; 1), M4(3; 3), M5(5; 5), M6(3; ). Trouvez les points qui se trouve sur la courbe d équation et ceux qui n appartiennent pas à cette courbe. Quelle est la courbe définie par cette équation? Construisez cette courbe. 8. Parmi les courbes suivantes, trouvez celles qui passent par l origine

3 a) b) c). 3

4 9. Quelles sont les courbes définies par les équations suivantes, et construisez ces courbes a) b) c) d) e) f) g) h) x = y i) j) k) l) m). 10. Trouvez les points d intersection avec les axes et pour les courbes suivantes a) b) c) d) 11. Trouvez les points d intersection des courbes 4

5 a) et b) et. 1. Montrez que la distance entre deux points Aa ( 1; a ) et Bb ( 1; b ) est donnée par la formule ( ) ( ) δ ( AB ; ) = a b + a b Formez l équation de l ensemble des points qui se trouvent à égale distance des axes de coordonnées. 14. Formez l équation de l ensemble des points qui se trouvent à une distance de l axe. 15. Soit Aa ( 1; a ) et Bb ( 1; b ) deux points du plan. Montrez que le milieu du segment AB a1+ b1 a + b est donné par la formule mil( A; B) = ;. 16. On mène du point toutes les droites possibles qui coupent l axe des ordonnées. Formez l équation de l ensemble des points milieux de ces segments. 17. Formez l équation de l ensemble des points situés à égale distance des points a) et b) 5

6 et. 18. Formez l équation du cercle centré à l origine des coordonnées et de rayon. 19. Formez l équation de la droite parallèle à deux droites données et passant entre elles à distance égale de celles-ci dans chacun des cas suivants: 3x y 1= 0 a) b) 3x y 13= 0 x+ 3y 6= 0 c) 4x+ 6y+ 17= 0 3x 15y 1= 0. x 5y = 0 6

7 . La notion de fonction.1 Quelques situations en guise d introduction Exercices 0. a) Sachant que la somme de deux nombres vaut 9. Exprimer l un des nombres en fonction de l autre. b) Même question si l on sait que le produit de deux nombres vaut a. 1. Pour un carré de côté x, exprimer la longueur de sa diagonale en fonction de la longueur de son côté.. Exprimer, en fonction de la distance parcourue, le coût d une course d un taxi genevois. 3. Exprimer l aire d un triangle équilatéral en fonction de la longueur de son côté. 4. Pour une longueur L donnée, exprimer, en fonction d un des côtés, l aire d un rectangle ayant L pour périmètre. 5. Exprimer en fonction de la position du point x (x>0), l aire du trapèze hachuré. 1 1 x 6. Une boîte sans couvercle de contenance 0,5 litre, a la forme du parallélépipède rectangle de base carrée x et de hauteur h (ces dimensions sont exprimées en cm). Exprimer, en fonction de x, la hauteur h et l aire latérale A(x) de ce parallélépipède rectangle. 7. a) Exprimer la seconde coordonnée y, de ce graphe, comme une fonction de la première coordonnée x. y 1 0 x x b) Décrire l aire limitée par le graphe et l axe horizontal en fonction de la position x 0 7

8 . Généralités Définitions : Soit A et B deux sous-ensembles de l ensemble des nombres réels Une fonction f de l ensemble A vers l ensemble B est une relation qui associe à tout nombre de l ensemble A un et un seul nombre de l ensemble B. A est appelé l ensemble de départ, ou l ensemble des préimages, ou l ensemble des abscisses, ou la source de la fonction f. B est appelé l ensemble d arrivée, ou l ensemble des images, ou l ensemble des ordonnées, ou le but de la fonction f. On note cette relation par les symboles suivants f : A! B x! y = f (x) ou plus simplement y = f( x). Remarque : Les sous-ensembles A et B peuvent être égaux à!. Définition : On appelle domaine de définition de la fonction f, que l on note parfois f D, le plus grand sous-ensemble de! pour lequel f est une fonction. 8

9 .3 Les fonctions affines Définition : On appelle fonction affine, une fonction du type f :!!! x " a " x + b Exercice 8. a) Soit la fonction affine f : x!!3x +. Calculez et simplifiez l expression. Que constatez-vous? b) Généralisez le résultat de l exercice précédent à une fonction affine quelconque? c) Donner une interprétation géométrique de ce résultat. Conséquence : Une fonction affine se représente donc graphiquement par une droite. Dans une fonction affine f( x) = a x+ b, le paramètre a représente la pente de cette droite alors que le paramètre b est l image de 0 par cette fonction et est donc l ordonnée à l origine de f ( f(0) = b). Le point (0; b ) est le point d intersection de la droite y = f( x) avec l axe vertical x = 0. Déterminer une fonction affine revient donc à déterminer sa pente a et son ordonnée à l origine b. Exercices 9. Déterminez, dans chaque cas, la fonction affine f, et représentez-la dans un repère orthonormé, sachant que : a) f passe par les points (1;) et (4; 1). b) f () = 5 et son graphe passe par le point (5;5). c) son graphe passe par le point (3;6) et est de pente 3. d) son graphe est de pente e) f (1) = 1 et f () = 1. 1 et f 1 =. 9

10 f) la représentation graphique de f est parallèle à celle de et passe par le point (1; 1). 30. A quelle(s) condition(s) les trois points A( 3;5); B(4; ) et C( c1;0) sont-il alignés? 10

11 31. Soit le point (;1) et la fonction affine f : x!!x +1 de! vers!. a) Déterminez l application affine g dont le graphe passe par le point (;1) et est parallèle à celui de f. b) Déterminer l application affine h dont le graphe est de pente 1 de f au point ( 1; f (1) ). et rencontre celui 3. Soit les fonctions affines de! vers! données par f( x) = x+, g( x) = x, h( x) = 3x a) Déterminez les coordonnées des sommets du triangle formé par les représentations graphiques de f, g et h. b) Déterminez la fonction affine dont le graphe est parallèle à celui de f est passe par le point d intersection des graphes de g et h. 33. a) Soit f : x! x et g : x! bx. Quelle valeur faut-il donner à b pour que ces deux droites soient perpendiculaires? b) Soit. A quelle(s) condition(s) les représentations graphiques de f et de g sont-elles perpendiculaires? Démontrez votre résultat. Peut-on généraliser ce résultat à deux fonctions affines quelconques? Justifiez! 34. On considère le triangle de sommets A (0;0), B (1;3) et C (4; ). a) Etablissez l équation des hauteurs, des médianes et des médiatrices de ce triangle. b) Montrez que ces trois hauteurs sont concourantes. Faites de même pour les médiatrices et pour les médianes. c) Montrez que le point d intersection des médianes, appelé centre de gravité, se trouve aux /3 de la longueur des médianes à partir du sommet. 35. On considère l ensemble de droites suivant { } D m = (x; y) (m! 3)" x + (m!1)" y = 1! 3m, m #! a) Montrez que toutes ces droites passe par un même point A. b) Est-ce que toutes les droites qui passent par ce point A sont-elles des droites qui appartiennent à l ensemble D? m 11

12 .4 Les fonctions quadratiques Définition : On appelle fonction quadratique, une fonction du type : f :!!! x " a " x + b" x + c avec a C est à Galilée ( ) que l on doit la modélisation mathématique de la chute des corps. Un corps qui tombe, dans le «vide», parcourt une distance proportionnelle non pas au temps de chute mais au carré des temps de chute. En termes mathématiques cela se traduit par la relation suivante:. Par des mesures faites sur des plans inclinés, Galilée montre que. On sait depuis Newton que. a) Quel est le temps de chute d un plongeur s élançant des falaises du saut du Doubs (40 m)? b) A quelle vitesse moyenne s est effectué son saut? c) Comment connaître sa vitesse instantanée au moment de son entrée dans l eau? 37. Soit a) Montrer que f( x) = f( x). Comment interpréter graphiquement ce résultat? 1

13 b) Soit x1 x, calculer et simplifier. c) Déduire du résultat précédent que f est strictement croissante dans! +. d) Quel est son comportement dans!? e) En vous appuyant sur les résultats précédents, esquisser le graphe de f. 38. Montrer que si f est une fonction quadratique quelconque alors b b f + k = f k. Quel renseignement graphique peut-on tirer de ce a a résultat? 39. a) Existe-t-il une parabole passant par les points? Si oui déterminer son expression analytique (c est-à-dire sous la forme f : x! ax + bx + c ). b) Déterminer la fonction quadratique f dont le graphe passe par les points A(- ;11), B(1 ;-4) et C(3 ;6) " 40. Montrer que f (x) = a! x + b! x + c = a! x + b % # $ a& ' + (b + 4ac 4a construction du graphique de toute fonction quadratique. et relier ce résultat à la 13

14 41. Soit les fonctions quadratiques suivantes 1) f : x!!x! x + 3 ) f : x! 1 4 x! x +1 3) f : x! 1 x + x + 3 4) f : x!! 1 x + x! 3 5) f : x! x! 4x + 3 6) f : x!!x! x + a) Mettre f sous la forme xa a ( x α) + β b) Représenter graphiquement f, en précisant les éléments suivants : sommet, axe de symétrie, zéro(s) et ordonnée à l origine. c) Déterminer graphiquement les ensembles A= { x f( x) 0} et B { x f( x) 0} = <. 4. a) Déterminer la fonction quadratique f dont le graphe passe par le point A 3 1; et a pour sommet le point. Représenter graphiquement cette fonction. b) Même question si a = et S(1; ) 43. Montrer que l équation x bx c Généralisez en donnant la solution de l équation + + = 0 se résout par la substitution ax bx c + + = 0. b x= y. 44. A quelle(s) condition(s) une fonction quadratique s annule-t-elle? Démontrer votre résultat. 45. Soit la fonction quadratique. Quelle(s) est (sont) la (ou les) préimage(s) de 0, 16/3, et 6 par la fonction f? 46. Calculer les zéros des fonctions quadratiques suivantes et déterminer dans chaque cas les coordonnées du sommet de la parabole. a) f : x! x + x +1 e) j : x!!x + 4 b) g : x! x! 5x + f) k : x!!3x + x!1 c) h : x! (x! )(5! x) g) l : x! 4x + 7x + 3 d) i : x! x! 9x h) m : x!!3x! x On donne une fonction quadratique f. Trouver, si possible, deux fonctions affines g et 14

15 h telles que f = g h. a) f( x) = x + 7x 15 b) f( x) = x + 7x+ 15 c) f x x x ( ) = Montrer que si une fonction quadratique s annule pour deux valeurs, alors 15

16 49. Soit les fonctions f : x! 3 4 x et g : x! a! x + b Déterminer les valeurs de a et de b, sachant que g (1) = 0, pour que les graphes de f et de g aient exactement un point commun. Quel(s) est(sont ce(s) point(s)? 50. Soit la fonction quadratique et la fonction affine. a) Tracez dans un repère orthonormé les graphiques de f et de g. b) Déterminez le point A du graphe de f dont la distance à celui de g est la plus courte. c) Même question pour les fonctions f( x) = x + x+ 1et gx ( ) = x a) Etablissez l équation de la droite affine, tangente à la fonction au point. b) Faites de même pour la fonction au point. c) Faites de même pour la fonction f : x!! 1 4 x + x +1 au point A(0 ;5). 5. Parmi tous les rectangles de périmètre fixé, quels sont ceux qui ont une aire maximale? 53. On considère une corde de 110 mètres de long. On souhaite délimiter à l aide de cette corde un enclos rectangulaire le long d un mur rectiligne. Quelles dimensions faut-il donner à cet enclos pour que le pré qu il délimite ait une aire maximale? 54. Quel est l ensemble des points situés à égale distance du point (0; p) et de la droite y = 0? 16

17 3. Réponses des exercices 1. et -3 ; -5 et -1 ; -3 et et - ; 1 et 1 ; -b et a. 3. -a et b et ; - et 5 ; b et a et -3 ; et -5 ; -b et a. 6. a) Dans le 1 er et le 3 e quadrant. b) Sur la bissectrice des 1 er et 3 e quadrant. c) Dans le demi-plan supérieur limité par la bissectrice des e et 4 e quadrant. d) Dans le demi-plan inférieur limité par la bissectrice des 1 er et 3 e quadrant. 7. M1, M4, M. Il s agit de la droite bissectrice des 1 er et 3 e quadrant Seule la courbe a passe par l origine. 9. La courbe 1) ) ( 7;0),(7;0),(0; 7),(0;7). ) ( ;0),( 10;0). 3) (0;0),(0; 16),(1;0). 4) Pas d intersection avec le système d axes ) ( ; ),(;). ) Pas d intersection entre ces deux courbes x y x y ou x y = = =. x y x y ou x y = = =. y 3 5; soit la droite verticale d équation x = a) y = x. b) x = x + y = r. 17

18 19. a) 3x y 7= 0 b) 8x+ 1y+ 5= 0 c) 6x 30y 7= a) y= x 9 b) a y = x 1. Da ( ) = a. Px ( ) =, x Aa ( ) = a 4 Ax ( ) = x + x Ax ( ) = + x 4 Lx hx ( ) = x Ax ( ) 000 = x + x # % 7. f : x! $ &% x si 0! x < si! x < 3 "x + 8 si 3! x! 4 8. a) On obtient la valeur de la pente de la fonction affine, -3. b) On obtient la valeur de la pente de la fonction affine, a. 9. a) f : xa x+ 3 b) 3 f( x) = g( x) = x c = a) gx ( ) = x+ 5 b) 1 3 hx ( ) = x 3. a) f g = {(3;0)} 1 19 b) ix ( ) = x 6 f h= 6 19 ; f h = ; 3 18

19 33. a) 1 b =. b) ab = a) La hauteur h B issue du sommet B a pour équation : y = x+ 5; ha : y= 3x et 1 10 hc : y= x+. La médiane m, issue du sommet A, a pour équation : y = x ; A mb : y= x+ 5 et mc : y = x+. La médiatrice M, issue du sommet A, a pour A équation : y= 3x 5; MB : y= x+ 5 et MC : y= x b) h h {(1;3)} A = et B = = 3, donc les trois hauteurs sont concourantes ma mb = ; 3 3 concourantes. et = =, donc les trois médianes sont M A B {(;1)} M = et concourantes = = 1, donc les trois médiatrices sont c) Les deux tiers de 5/ donnent bien 5/3. { } 35. a) D : y= 3x 1 et : = ; 7 et comme (m 3) + ( m 1) ( 7) = 1 3m, on a que toutes les droites passent par ce point. D x=. D D ( ) m 3 3m 1 b) y= x+ +, on constate que la fonction affine f( x) = x 3 passe m 1 m 1 par le point (, 7) mais il n existe pas de m réel qui fasse que cette droite appartient à l ensemble D. De plus, dans l expression m ( m 1) y= (3 m) x+ 1 3m, si m = 1, on a une droite de pente 1 d une part et une droite de pente infinie d autre part. Et pourtant il existe une droite de pente 1 qui passe par le point (; 7), c est la droite d équation y= x 9. Conclusion Il y a deux droites qui passe par le point (; 7) et qui ne sont pas des droites de l ensemble D. m 36. a) g = t t ;,86. 9,81 v b) moyenne 40 m km 13,98 50,33,86 s h. m km c) vinstantanée = g t 9,81,86 8,1 101,16 s h. 19

20 37. a) f( x) = ( x) = x = f( x). f( x) f( x1) b) = x1+ x. x x1 c) et d) Si x1 et x sont positifs alors la pente de la sécante calculée sous b est positive pour tout x1 et x et auquel cas la fonction est croissante sur. Si + x1 et x sont négatifs alors la pente de la sécante est négative et la fonction est décroissante sur. 38. Le graphique de la fonction f possède un axe de symétrie vertical d équation b x =. a 39. a) f( x) = x 5x+ 1 b) f x x x ( ) = a) ( x + 1) + 4 S( 1;4); x= 1; 3,1 ;3 1.b) { } 1.c) A= [ 3;1 ] ; B= ] ; 3[ ] 1; [ 1.a) ( ) 4 x.b) S(;0) ; x= ; { } ; 1.c) A =! ; B =! 3.a) ( x + ) 1 3.b) { } 3 S( ; 1) ; x= ; 3, 1 ; A= ; 3 1; ; B= 3; 1 3.c) ] ] [ [ ] [ 1 ( ) 1 4.a) x 4.b) S(; 1) ; x= ; pas de zéro ; 3 4.c) A =! ; B =! 5.a) ( x 1) b) S(1;1) ; x= 1 ; pas de zéro ; 3 5.c) A =! ; B =! 6.a) 1 5 x S ; ; x= ;,1 ; 4 A= ;1 ; B= ; 1; 6.b) { } 6.c) [ ] ] [ ] [ 4. a) 1 f( x) = x x+ 3 b) f x x x ( ) =

21 44. Si b 4ac 0et alors les solutions sont b+ b 4ac x1 = ou a x b b 4ac =. a ;1 3 ; 1 3 ;. 46. a) Pas de zéro et le sommet a pour coordonnées S 1 7 ; 4 e) {,} et S (0;4) b) 1 ; et 5 9 S ; 4 8 f) Pas de zéro et 1 11 S ; 6 1 c) { ;5 } et d) { 0;9 } et S S 7 9 ; , 4 g) h) 3 1, 4 et 7 1 S, ;1 3 et 1 16 S ; a) (x 3)( x+ 5) b) x 7x c) (3x ) 49. gx= ( ) 0 avec pour point de contact (0;0) et gx ( ) = 3x 3 et (;3) pour point de contact b) ; 4 8 c) (0;1) 51. a) f( x) = x b) f( x) = 3x ou f( x) = x c) f( x) = x+ 5 ou f( x) = 3x+ 5 5 Le carré. 53. La largeur mesure 7,5 m et la longueur mesure 55 m. 54. x p y = + soit une parabole ayant l axe vertical pour axe de symétrie. p 1