TS Révisions vacances de printemps 2016 Enoncés

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1 TS Révisions vacances de printemps 6 Enoncés Exercice : probabilités Une machine fabrique un très grand nombre de pièces d un même modèle. Les résultats approchés seront donnés à près. Partie A : Une pièce fabriquée est conforme si son épaisseur est comprise en 4, 3 et 5, 5 mm. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production d une journée, associe son épaisseur en millimètres. La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne m et d écart typeσ. La moyenne m dépend du réglage de la machine. ) Dans cette question, on suppose queσ, 35. De plus, la machine a été réglée de sorte que m 5. a) Calculer la probabilité qu une pièce prélevée soit conforme. b) Calculer le nombre réel positif h tel que P5 h X 5 h, 95 c) Interpréter le résultat de la question )b) à l aide d une phrase. ) La machine est désormais réglée de sorte que m 4, 9. Quel devrait être alors l écart type pour que le pourcentage de pièces conformes soit égal à 9 %? Partie B : On admet que la proportion de pièces conformes dans la production d une journée est de 9 %. On prélève au hasard un lot de 5 pièces dans la production pour vérification de l épaisseur. La production est suffisamment importante pour que l on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On désigne par Y la variable aléatoire prenant le nombre de pièces non conformes dans ce lot. ) Quelle est la loi de Y? Préciser les paramètres de cette loi. ) Calculer la probabilité qu il y ait exactement deux pièces non conformes dans ce lot. Partie C : Pour améliorer sa production, l usine achète une deuxième machine. On sait que 4 % des pièces sont fabriquées par la première machine M, les autres pièces étant fabriquées par la nouvelle machine M. Par ailleurs, 9 % des pièces fabriquées par la machine M sont conformes. De plus, une étude faite sur la production journalière globale de l usine a montré que 6 % des pièces produites sont non conformes. On prélève au hasard une pièce dans la production journalière globale de l usine. On définit les événements suivants : A : «La pièce prélevée provient de la machine M.» A : «La pièce prélevée provient de la machine M.» C : «La pièce est conforme.» ) Faire un arbre pondéré illustrant la situation. ) Montrer que la probabilité que la pièce prélevée provienne de la machine M et soit non conforme est, 4. 3) Sachant que la pièce est fabriquée par la machine M, que est la probabilité pour qu elle soit non conforme? 4) Les événements A et C sont-ils indépendants? Justifier la réponse. Exercice : fonction exponentielle et intégrales Partie A On considère les fonctions f et g définies sur par : fx x e x et gx 3 x. On note respectivement C et C les courbes représentatives de f de g dans le plan muni d un repère orthonormal O, i, j Les courbes sont tracées en annexe.

2 ) ) a) Déterminer les coordonnées des points communs à C et C. b) Donner les positions relatives de C et C sur. a) Démontrer que la fonction F définie sur par Fx x e x est une primitive de f. En déduire fxdx. b) Calculer, en unités d aire, l aire de la partie du plan limitée par les courbes C, C et les droites d équations x et x. Partie B On considère la suite u n définie pour tout entier naturel n non nul par : u n x n e x dx. ) a) Démontrer que, pour tout x de ; et pour tout entier naturel n non nul, x n e x x n. b) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : u n n. ) En déduire que la suite u n est convergente et déterminer sa limite. Annexe Exercice 3 : Intégrales (bb5 année /) Partie A On considère une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ;.

3 On donne le tableau de ses variations : x e signe f x e variation de f Soit g la fonction définie sur ; par gx x ftdt. avec, 6 ) En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe C susceptible de représenter f dans le plan muni d un repère orthogonal. ) Interpréter géométriquement g3. 3) Montrer que ge e. 4) a) Soit x un réel supérieur à, montrer que x ftdt x b) En déduire la limite de g en. 5) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l intervalle ;. Partie B On admet que pour tout réel t strictement positif, ft ln t t ) Exprimer gx en fonction de x. ) Retrouver la limite de g en. Exercice 4 : fonction ln et suites Partie A : Etude d une fonction f On appelle f la fonction définie sur I ; par fx ln x. ) Montrer que f est strictement croissante sur l intervalle I et déterminer la limite de fx lorsque x tend vers. ) On considère la fonction g définie sur l intervalle I par gx fx x. a) Donner le tableau de variations (complété par les limites) de g sur l intervalle I. b) Montrer que l équation gx admet exactement deux solutions sur l intervalle I : et une autre, notée appartenant à l intervalle ;. c) En déduire le signe de gx pour x appartenant à l intervalle I. 3) Montrer que pour tout réel x appartenant à l intervalle ;, fx appartient aussi à ;. Partie B : Etude d une suite récurrente On appelle u n n, la suite définie par u u n fu n pour n ) Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n u n ) Montrer que la suite u n n est convergente et déterminer sa limite Exercice 5 : Complexes ) 3

4 a) Résoudre dans l équation z z. Ecrire les solutions sous forme algébrique et exponentielle. b) En déduire les solutions dans de l équation : iz3i 3 iz3i 3 ) Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O; u, v d unité graphique cm. On considère les points A, B et C d affixes respectives z A i, z B z A et z C z B. a) Déterminer les formes algébriques de z B et z C. b) Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle C de centre I d affixe z I 3 et de rayon 5. c) Calculer z C 3. En déduire la nature du triangle IAC. z A 3 d) Déterminer, l ensemble des points M d affixe z tels que : z i 4 (Ensemble E a ) z3 zi est un nombre réel (Ensemble E b) Exercice 6 : espace Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. L espace est rapporté à un repère orthonormal O; i, j, k. On considère les droites D et D de représentations paramétriques : D : x t y 3t z t : où t D : x 3t y t z 3t où t Proposition : "Le point A de coordonnées ; ; appartient à la droite D " Proposition : "Le vecteur v de coordonnées 3 ; ; 3 est un vecteur directeur de D " Proposition 3 : "Les droites D et D sont parallèles". Proposition 4 : "Les droites D et D sont coplanaires". Proposition 5 : "On appelle u et u des vecteurs directeurs des droites D et D et u 3 le vecteur de coordonnées 5; 9; 7. Les vecteurs u, u et u 3 sont coplanaires" Exercice 7 : espace Dans le cube d arête "a" ci-dessous, On considère le repère A; AB; AE; AD 4

5 I, J et K sont les milieux respectifs de [BC], de [CD] et de [EH].. Donner une représentation paramétrique de chacune des droites (IK) et (FJ).. Ces droites sont-elles sécantes? I,J, K, F sont-ils coplanaires? 3. Retrouver ce résultat par une autre méthode. 4. Les droites ED eteb sont elles perpendiculaires? 5. Déterminer le volume de BCDG. 6. Tracer le patron de cette pyramide pour a cm. 5