PGCD et PPCM de deux nombres entiers

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1 I PGCD et PPCM de deux nombres entiers I.1 Préliminaires Préliminaires On a 282 = Les formulations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Dans la division euclidienne de 282 par 14, le quotient est 19 et le reste est 16. Si un entier d divise 282, alors d divise 14 et 16. Tout diviseur commun de 282 et 14 est un diviseur de 16. Le reste dans la division euclidienne de 282 par 14 est 2. Les diviseurs communs de 282 et 14 sont 1 et 2. Préliminaires Les formulations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Deux nombres premiers distincts n ont pas de diviseurs communs. L ensemble des diviseurs communs à deux entiers non nuls est non vide et majoré. Soit n un entier naturel non nul. Un diviseur commun à 2n 1 et n + 3 divise 7. 7 est un diviseur commun à 2n 1 et n + 3 lorsque n est congru à 4 modulo 7. Les multiples communs à 6 et à 14 sont des multiples de L ensemble des multiples communs à deux entiers naturels non nuls est non vide et minoré. I.2 Définition du PGCD de deux entiers relatifs non nuls a et b sont deux entiers relatifs non nuls. Définition 1 L ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément D appelé PGCD de a et de b. On le note D = P GCD(a; b) Détermination pratique du PGCD : A la main, lorsque les nombres ne sont pas trop grands. ex : PGCD(420 ;1386)? A la calculatrice, l instruction existe seulement pour des modèles "sophistiqués". Pour les autres, il faut écrire un programme qui repose sur l algorithme d Euclide (voir plus loin) Avec un ordinateur, utiliser un tableur et encore l algorithme d Euclide. I.3 Nombres premiers entre eux Définition 2 On dit que deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. (on dit aussi "étrangers") Résultat connu : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. La fraction a b entre eux. est irréductible lorsque a et b sont premiers My Maths Space 1 sur 5

2 I.4 Propriétés du PGCD Soient a et b deux entiers relatifs, a 0. Propriété 1 : PGCD(a, 0)=a et PGCD(a, 1)=1 ; PGCD(a, b)=pgcd( a, b ) ; conséquence : On peut limiter l étude du PGCD(a, b) au cas où a et b sont des entiers naturels. Si b divise a, PGCD(a, b)= b ; Si b est premier et ne divise pas a, PGCD(a, b)=1. I.5 Algorithme d Euclide 1. Procédé Théorème 1 Soit a et b deux entiers naturels non nuls. La suite des divisions euclidiennes : de a par b : a = bq 0 + r 0 ; de b par r 0 (si r 0 0) : b = r 0 q 1 + r 1 de r 0 par r 1 (si r 1 0) : r 0 = r 1 q 1 + r de r n 1 par r n (si r n 0) : r n 1 = r n q n + r n+1 finit par s arrêter, un des restes r i étant nul. le dernier reste non nul est alors le PGCD de a et de b. Exemple 1 Calculer PGCD(1958 ;4539) 2. Exploitation numérique A l aide d un tableur, programmer la recherche du PGCD de deux entiers naturels non nuls par l algorithme d Euclide. A l aide du logiciel de codages d algtorithmes AlgoBox, programmer la recherche du PGCD de deux nombres entiers naturels non nuls. I.6 PPCM de deux entiers relatifs non nuls a et b sont deux entiers relatifs non nuls. Définition 3 L ensemble des multiples communs strictement positifs de a et de b admet un plus petit élément M appelé PPCM de a et de b. On note M = P P CM(a; b) My Maths Space 2 sur 5

3 Résultat connu : Le plus petit dénominateur commun de deux fractions est le PPCM des dénominateurs. II II.1 Théorèmes de Bézout et théorème de Gauss Théorème de Bézout Théorème 2 Soit a et b deux entiers relatifs non nuls et D leur PGCD. Il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = D. (Égalité de Bézout) La démonstration s appuie sur l étude de l ensemble B des entiers naturels non nuls de la forme am + bn (avec m et n dans Z). Découpage de la démonstration : Prouver que B contient au moins un élément (non vide) et l on note d le plus petit élément de B. Prouver que D d. Prouver que d divise a et d divise b. Conclure. Propriété 2 ( Importantes ) Tout diviseur commun à a et b divise leur PGCD. (L ensemble des diviseurs communs à a et b est l ensemble des diviseurs du PGCD) a et b sont premiers entre eux il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1. L équation ax + by = d ( d entier fixé non nul) admet des solutions entières si et seulement si d est un multiple de D (d = kd). a, b et k des entiers naturels non nuls : PGCD(ka, kb)=k PGCD(a, b). EXERCICE 1 Montrer que, pour tout n Z, 2n + 1 et 3n + 1 sont premiers entre eux. Même question avec 3n 2 et 5n 3. My Maths Space 3 sur 5

4 II.2 Théorème de Gauss Théorème 3 Soit a, b et c, trois entiers relatifs non nuls. Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c En d autres termes : a bc PGCD(a; b) = 1 } = a c EXERCICE 2 Montrer que si a et b divise un entier c et que a et b sont premiers entre eux alors ab divise c. III III.1 Applications des deux théorèmes Propriétés du PGCD et du PPCM a et b deux entiers relatifs non nuls, D leur PGCD et M leur PPCM. 1. Il existe deux entiers a et b premiers entre eux tels que : a = Da et b = Db ( En d autres termes, lorsque l on divise deux nombres par leur PGCD, on obtient des quotients premiers entre eux) 2. Avec les notations précédentes, on a : M = Da b = ab = a b et MD = ab Prouver que Da b est un multiple commun à a et à b. Prouver que M D est un entier, divisible par a et par b. Conclure que M est un multiple de Da b à l aide d une conséquence du théorème de Gauss (exercice 2) Déduire de ce qui précéde que M = Da b et les autres égalités. 3. L ensemble des diviseurs communs à a et b est l ensemble des diviseurs de D. 4. L ensemble des multiples communs à a et b est l ensemble des multiples de M. My Maths Space 4 sur 5

5 III.2 Équation Diophantienne ax + by = k P GCD(a; b) Il s agit de déterminer tous les couples (x; y) tels que : ax + by = k P GCD(a; b). A partir d un exemple... On considère l équation (E) : 17x 33y = 1 1. Déterminer une solution particulière de (E). 2. En déduire une solution particulière de (E 1 ) : 17x 33y = Résoudre (E 1 ) dans Z Z. (c est à dire trouver tous les couples de Z Z vérifiant E 1 ) My Maths Space 5 sur 5