CHAPITRE 2 : Suites numériques Terminale S, 2014, L. JAUNATRE

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1 CHAPITRE 2 : Suites numériques Terminale S, 2014, L. JAUNATRE 1. Définition, raisonnement par récurrence Définition 1. Une suite numérique u = (u n ) n N est une fonction définie sur les entiers naturels N et à valeurs dans R. L image de n par la suite u se note u(n) = u n, on l appelle le terme de rang n de la suite u n (ou d indice n). Remarque 1. La suite est notée entre parenthèses (u n ) n N et un terme de la suite, sans parenthèse : u n. Une suite peut être définie à partir d un entier n 0 plutôt que sur N, les énoncés du cours peuvent être adaptés pour de telles suites (remplacer n N par n n 0 ). Exemple 1. Suites explicites Une suite (u n ) est explicite si elle est définie par une fonction f et la relation u n = f(n), n N. Soit (u n ) n N la suite définie pour tout n N par u n = 3 n 2. u 0 =... u 1 =... u 2... u n +1 =... u n+1 =... Soit (v n ) n N la suite définie pour tout n N par v n = ( 1) n. v 0 =... v 1 =... v 2... v 2n =... v 2n+1 =... Exemple 2. Suites définies par récurrence Une suite est définie par récurrence lorsqu on en donne un ou plusieurs termes initaux et une relation qui permet de définir un terme en fonction du ou des termes précédents : Soit (w n ) n N la suite définie par w 0 = 7 et pour tout n N; w n+1 = w n 2. w 1 =... w 2 =... w 3... w 4 =... w n =... Propriété 1. Raisonnement par récurrence. Une propriété P(n) qui dépend d un entier n est vraie pour tout n N si et seulement si : initialisation : P(0) est vraie. hérédité : si pour n N, P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie (P(n) = P(n+1)) conclusion : à l aide de l axiome de récurrence. Exemple 3. Montrer par récurrence que si une suite vérifie u n+1 = u n +r pour tout n N, alors u n = u 0 +nr pour tout n N.... Exemple 4. Prouver que pour n N, k = n = n(n+1) 2 k=0 1/8

2 2. Suites arithmétiques et géométriques Définition 2. Une suite (u n ) n N est une suite arithmétique de raison r si et seulement si pour tout n N, u n+1 = u n +r. Propriété 2. 1 (un ) n N est arithmétique de raison r si et seulement si, pour n N, u n = u 0 +nr n = k=0 k = n(n+1). 2 3 Si (un ) n N est arithmétique de raison r, u k = (nb de termes)(moyenne des extrêmes) Exemple 5. Montrer que la somme des n premiers nombres impairs est un carré. Définition 3. Une suite (u n ) n N est une suite géométrique de raison q si et seulement si pour tout n N, u n+1 = q u n. Propriété 3. 1 (un ) n N est géométrique de raison r si et seulement si, pour n N, u n = q n u 0. 2 si q 1, k=0 q k = 1 qn+1 1 q. 3 Si (u n ) n N est géométrique de raison q 1, u k = (1 er terme) 1 qnb de termes 1 q... Exemple 6. Exprimer en fonction de n N : S n = n 2/8

3 3. Variations d une suite Définition 4. À partir de n 0 N, une suite (u n ) n N est dite strictement croissante si et seulement si pour tout entier n n 0, on a u n+1 > u n. strictement décroissante si et seulement si pour tout entier n n 0, on a u n+1 < u n. constante si et seulement si pour tout entier n n 0, u n+1 = u n. On définit une suite croissante ou décroissante de même, avec des inégalités larges. Propriété 4. La suite (u n ) n N est strictement croissante à partir du rang n 0 si 1 pour tout entier n n0, u n+1 u n > 0. 2 pour tout entier n n0, u n > 0 et u n+1 u n > 1. 3 pour tout entier n n 0, u n = f(n) et f strictement croissante sur [n 0 ;+ [.... Remarque 2. Des critère analogues existent pour montrer qu une suite est décroissante! (par exemple, (u n ) est strictement décroissante si et seulement si u n+1 u n < 0 pour tout n) Remarque 3. Essayer de choisir le critère le plus pertinent! Souvent l étude d une suite explicite passera par l étude de la fonction associée (critère 3 ), une suite définie à partir de sommes et de différences s étudiera bien avec le critère 1 et une suite définie avec des quotients ou des produits s étudiera plutôt par le critère 2. Exemple 7. Sens de variation de (w n ) définie par w n = k 2 pour tout n N?... Sens de variation de (b n ) définie par b n = 3 n pour tout n N?... Sens de variation d une suite arithmétique (c n ) de raison r?... Sens de variation de (u n ) définie par u n = 2n 2 n pour tout n N?... k=0 3/8

4 4. Suites convergentes Définition 5. On dit que la suite (u n ) est convergente de limite l R si pour tout intervalle ouvert ]a;b[ contenant l contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang N. Une suite est divergente si elle ne converge pas. b l a N = Exemple 8. Montrer que la suite constante (c n ) définie n N par c n = c R converge.. Montrer que (d n ) définie pour tout entier naturel n 1 par d n = 1 converge... n Montrer que (v n ) définie par v n = ( 1) n pour tout n N est divergente... Théorème 5. Soient (u n ) et (v n ) convergentes, de limites respectives l et l. 1 la somme (un +v n ) est une suite convergente, de limite l+l. 2 le produit (un v n ) est une suite convergente de limite ll. 3 si l 0 et pour tout n N, v n 0, alors (u n /v n ) converge vers l/l. Exemple 9. Soit (z n ) définie par z n = 3 2 pour tout n 1. Montrer qu elle converge et n2 calculer sa limite.... 4/8

5 5. Suites de limite infinie Définition 6. On dit que la suite (u n ) tend vers plus l infini lorsque n tend vers plus l infini, et on écrit lim u n = +, si tout intervalle de la forme ]A,+ [ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang N. En écriture mathématique : A > 0, N N, tel que n N,u n > A. On dit que la suite (u n ) tend vers moins l infini lorsque n tend vers plus l infini, et on écrit lim u n =, si et seulement si lim u n = +. Exemple 10. Montrer que lim n = +... En se basant sur les définitions, on peut prouver les résultats suivants : 5.1. Somme de limites lim u n l R l R l R + + lim v n l R + + lim u n +v n l+l + + F.I 5.2. Produit de limites lim u n l R l > 0 l < 0 l > 0 l < lim v n l R ± lim u n v n ll F.I 5.3. Quotient de limites lim v n lim 1 1 v n l l 0 ± 0, v n > 0 pour tout n 0, v n < 0 pour tout n 0 + Remarque 4. Lorsque la situation est indeterminée, il faut changer l écriture de la suite pour lever l indetermination. Une méthode efficace est de forcer la factorisation par le terme qui semble devoir l emporter. Exemple 11. lim 2 3n2... lim 2n2 n... n lim n /8

6 6. Limite et comparaisons 6.1. Théorème d encadrement Théorème 6. 1 si pour tout n N, vn u n et lim v n = +, alors lim u n = +. 2 si pour tout n N, v n u n et lim v n =, alors lim u n =. 3 si pour tout n N, vn u n w n et lim v n = lim w n = l R, alors lim u n = l. Remarque 5. Les points 1 et 2 sont appelés théorème de comparaison, le point 3 est appelé théorème des gendarmes cosn Exemple 12. lim n?... lim n+( 1)n?... 6/8

7 6.2. Limites de q n selon les valeurs de q Théorème 7. 1 si q > 1, lim qn = +. 2 si 1 < q < 1, lim qn = 0. 3 si q 1, q n n a pas de limite. 4 si q = 1, lim qn = Exemple 13. Calculer 3 = lim 1... k 3 k k=0 k= Majoration d une suite convergente et croissante Propriété 8. Une suite (u n ) croissante qui converge vers une limite l vérifie pour tout n N, u n l.... 7/8

8 7. Suites bornées Définition 7. une suite (u n ) n N est : minorée il existe m R tel que pour tout n N, m u n. (m est un minorant) majorée il existe M R tel que pour tout n N, M u n. (M est un majorant) bornée elle est majorée et minorée. Exemple 14. Que signifie : (u n ) est une suite non majorée?... Propriété 9. Toute suite croissante et non majorée diverge vers +. Théorème 10. Convergence monotone. Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente. Exemple 15. Donner un exemple de suite : croissante qui ne converge pas :... majorée qui ne converge pas :... Exemple 16. Soit u la suite définie par u 0 = 1 et u n+1 = 6+u n pour n N. Prouver que pour tout n N, u n [1;3] puis que pour n N, u n+1 u n = f(u n) u n+1 +u n où f(x) = 6+x x 2. Étudier les variations puis signe de f sur [1;3], en déduire (u n) croissante. La suite u est-elle convergente? L. JAUNATRE Terminale S, CHAPITRE 2 : Suites numériques 8/8