Chapitre 2 : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale.

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1 Aix Marseille Université. Algorithmes Stochastiques. M MIS. Fabienne Castell... Chapitre : Méthode de Monte-Carlo avec tirages indépendants, pour le calcul approché d une intégrale. Le but de ce chapitre est de présenter un algorithme stochastique de calcul approché d une intégrale I = f(x) dµ(x), E où E est un espace mesurable, et µ une probabilité sur E. Cette méthode s appuie sur une la loi des grands nombres pour les sommes de v.a.i.i.d. Il s agit de la méthode de Monte Carlo avec tirages indépendants. Dans le chapitre suivant, nous verrons un autre algorithme stochastique pour la calcul approché d une intégrale, la méthode MCMC (Monte Carlo Markov Chains) qui s appuie sur le théorème ergodique pour les chaînes de Markov. Principe de la méthode. Cette méthode s appuie sur la loi des grands nombres pour des sommes de v.a.i.i.d : Si X i sont des v.a.i.i.d. de loi µ, et si E( f(x ) ) <, alors Ī n n n f(x i ) p.s. E(f(X )) = I = E f(x) dµ(x). Ainsi, si l on sait simuler des variables de loi µ, pour avoir une approximation de I, il suffit de tirer un grand nombre de variables de loi µ, et de calculer Īn. Vitesse de convergence. La vitesse de convergence dans la méthode de Monte-Carlo est donnée par le TLC. Si X i sont des v.a.i.i.d. de loi µ, et si E( f(x ) ) <, alors n (Īn I ) var(f(x )) loi Z, où Z N(0, ). () Comme P [ Z.96 = 0.9, on a donc pour n grand, [ var(f(x )) var(f(x )) P Ī n.96 I n Īn n Ainsi, la vitesse de la méthode de Monte Carlo est en n, ce qui est assez mauvais si l espace E est de petite dimension quand on compare cette méthode à n importe quelle méthode déterministe (trapèzes...). En revanche, cette vitesse est indépendante de la dimension. Ainsi, la méthode de Monte-Carlo devient performante lorsque l espace E est de grande dimension, voire de dimension infinie.

2 Méthodes de réduction de variance. L approximation faite est d autant meilleure que la variance de f(x ) est faible. On peut estimer cette variance par la variance empirique S n n n (f(x i ) Īn) p.s. var(f(x )). () On déduit des résultats de convergence () et () que n S n (Īn I) loi Z, Z N(0, ). On a donc à nouveau lorsque n est grand [ P Ī n.96 S n I n Īn.96 S n 0.9. () n Nous présentons dans la suite quelques méthodes classiques qui permettent de réduire la variance de la méthode de Monte-Carlo.. Échantillonnage préférentiel. Supposons ici que E = R d et qu on veuille calculer I = f(x)g(x)dx où g est une densité de probabilité sur R d. Une première méthode est d approcher I par n n f(x i) où les X i sont des v.a.i.i.d. de loi de densité g. Soit maintenant f une autre densité de probabilité telle que f > 0. On peut récrire I sous la forme I = f(x)g(x) f(x) dx. Cette écriture suggère d approcher I par f(x) n fg n f (Y i), où les Y i sont des v.a.i.i.d. de loi de densité f. On a gagné quelque chose si ( ) [ (fg ) var fg f (Y ) var(f(x )) E (Y ) E [ f f (X ) f (x)g (x) dx f f(x) (x)g(x) dx. (4) On doit donc choisir f de telle sorte que : f soit facile à simuler ; f vérifie (4). Une façon d obtenir (4), est de choisir f proche de fg (ce qui suppose que f est positive), afin d avoir une variance proche de zéro, et de renormaliser afin de faire de f une probabilité.. Variables de contrôle. Soit à approcher I = E[f(X). On peut toujours écrire I = E(f(X) h(x)) E(h(X)). Supposons que l on sache calculer E(h(X)) de façon explicite. Le calcul approché de I se ramène au calcul approché de E(f(X) h(x)). On a gagné quelque chose si var(f(x) h(x)) var(f(x)).

3 . Variables antithétiques. Soit toujours à calculer I = E(f(X)). Supposons que[ pour une transformation T, X et T (X) ait la même loi. On peut alors écrire I = E f(x)f(t (X)), et approcher I par n f(x i )f(t (X i )) n. On a ( ) [ ( ) var f(x )f(t (X )) = E f(x )f(t (X )) I = 4 (E[f (X ) E[f(X )f(t (X ))) I car X loi = T (X), (E[f (X ) E[f (X )) I = var(f(x ) par Hölder On gagne donc toujours en terme de qualité de l approximation Monte-Carlo. 4 Travaux Pratiques. Le but du TP est d estimer par Monte-Carlo le prix d options call et put basées sur un ou plusieurs actifs risqués. 4. Cas d un seul actif risqué. Le call est une option d achat basée sur un actif à risque de prix (S t ; t 0). A l instant 0, l acheteur d une option call achète à un prix C, le droit d acheter à l échéance T, l actif S à un prix K fixé, et ce quel que soit le prix de l action à l instant T. Si S T K, le détenteur du call exerce son droit, et achète l action au prix K. Si on note r le taux d intérêt de l actif sans risque, son gain est alors de S T K Ce rt = (S T K) Ce rt. En revanche, si S T < K, il n exerce pas son droit, n achète pas l action, et son gain (qui est une perte) est donc de Ce rt = (S T K) Ce rt. Pour que le jeu soit équitable (une condition raisonnable pour que deux joueurs acceptent d y jouer), il faut donc que le prix C de l option d achat soit tel que C = E [(e rt S T Ke rt ). L espérance E est ici l espérance sous la probabilité P dite risque neutre sous laquelle le prix actualisé S t = e rt S t est une martingale. Une modélisation couramment utilisée pour le prix d une action est la suivante : S t = S 0 exp(µt σb t ) où (B t, t 0) est un mouvement Brownien, et on a ) S t = S 0 exp ( σ t σb t où (Bt, t 0) est un mouvement Brownien sous P. Ainsi ) ) C = E [( S T Ke rt ) = E [(S 0 exp ( σ T σb T Ke rt [( ) ) = E S 0 exp ( σ T σ T Z Ke rt où Z est une variable N(0, ).

4 De la même façon, le put est une option de vente. A l instant 0, l acheteur du put achète à un prix P le droit de vendre à l instant T une action donnée à un prix K fixé, et ce quel que soit le prix de l action à l instant T. Si S T K, le détenteur du put n exerce pas son droit, et ne vend pas l action. Son gain est donc de P exp(rt ) = (K S T ) P exp(rt ). En revanche, si S T < K, il exerce son droit, vend l action, et son gain est donc de (K X T ) P exp(rt ) = (K X T ) P exp(rt ). Ainsi, on a [( P = E [(Ke rt S T ) = E Ke rt S 0 exp )) ( σ T σ T Z Dans toute la suite, on va supposer que K =, σ T =, S 0 = et r = σ /. Ainsi, C exp(/) = E[(exp(Z) ), P exp(/) = E[( exp(z)), où Z N(0, ). On va utiliser différentes méthodes de Monte-Carlo pour estimer C = C exp(/) et P = P exp(/). Exercice : Calcul exact de C et P. Soit Φ la fonction Φ(x) = P (Z x) = x e y dy π. Vérifiez que Exercice : Méthode de Monte-Carlo pour C et P. C = e Φ( ) ; () P = e Φ( ). (6). Mettre en oeuvre une méthode de Monte-Carlo pour le calcul de C. Tracer sur un même graphe la valeur de C donnée par (), la valeur approchée de C donnée par la méthode de Monte Carlo, et les bornes de l intervalle de confiance donné par (), en fonction du nombre de simulations.. Même question pour P.. Commenter. Exercice : Échantillonage préférentiel pour le calcul de C. On a C = 0 (ex )e x / dx π. Pour x petit, e x x. On écrit alors C = 0 e x x xe x / dx = π 0 e [ y y dy e = e Y E, Y E(). y π π Y (7) Estimez C par une méthode de Monte-Carlo basée sur l expression (7). Comparez à la méthode de l exercice, en terme de précision de l approximation, et en terme de temps calcul. Exercice 4: Variables de contrôle pour le calcul de C. On a C P = E(e Z ) = e / ; i.e. C = P e. Pour avoir une valeur approchée de C, il suffit d avoir une valeur approchée de P. Estimez C par une méthode de Monte-Carlo basée sur le calcul approché de P. Comparez aux méthodes des exercices et, en terme de précision de l approximation, et en terme de temps calcul. Exercice : Variables antithétiques pour le calcul de C. Comme Z et Z ont même loi, on peut approcher C par n n (ez i ) (e Z i ). Comparez cette méthode aux méthodes précédentes. 4

5 4. Cas de plusieurs actifs risqués. Même si un grand nombre d options portent sur un seul actif sous jacent, il en existe qui portent sur plusieurs actifs risqués à la fois. Un premier exemple typique est le cas des options spread, qui portent sur l écart entre les prix de deux actifs, i.e. H = (ST S T ), où S et S sont les prix de deux actifs risqués. Un second exemple est constitué par les options sur portefeuille appelées aussi options paniers (basket option en Anglais). Les options sur indice (type CAC 40) en sont un exemple. Une option de vente (put) sur portefeuille est un moyen d assurer son portefeuille. Étant donné un portefeuille composé de a i actions de prix St i à l instant t, i =,..., d, un put qui paye (K n a ist i ) garantit que le portefeuille pourra être revendu au moins au prix K à l échéance. Supposons que, outre l actif non risqué, qui cote R t = e rt à l instant t le marché est composé de d actifs risqués, dont les prix St, i i =,..., d, fluctuent suivant le modèle [ St i = S0 i exp µ i t σ ij B j t, i d, t 0. j= En supposant Σ = (σ ij ) inversible, on peut montrer l existence d une probabilité risque neutre P équivalente à la probabilité P, sous laquelle le processus des prix actualisés { S t = e rt S t = e rt (St,..., St d ), t 0} est une martingale. La formule pour le prix du call (resp. du put) devient ) C = E [( resp. P = E [(e rt K a i Si T e rt K ) a i Si T où sous P la loi de L t = (log S t,..., log S t d ) est la loi de Gauss vectorielle ( N log(s 0 ) T ) s, ΣΣ T, avec l abus de notation log(s 0 ) = (log(s0),..., log(s0)) d et σ σ d s Σ =.., s =., où s i = σ d σ dd Ainsi, on a maintenant ( ) C = a i e x i e rt K R d s d, j= σ ij. ( d π det(σσ T ) e x log(s 0 ) T s ) ΣΣ T dx dx d Les méthodes déterministes de calcul approché d intégrales deviennent vite impraticables quand le nombre d d actifs sous-jacents augmente. C est dans une telle situation que la méthode de Monte-Carlo est vraiment utile. Notons que la formule de parité call put prend maintenant la forme [ C P = E a i Si T e rt K = a i S0 i e rt K.

6 On va appliquer la méthode de Monte Carlo au calcul du call dans le cas de l option panier, avec d =, a = 4, S 0 = 7, K = 700, rt = 0, 0, T Σ = 0, , 0, , , 0 0, 0, , , , 0, 0 0, 0, , 0 0 0, 0, 0, , , 0, 0, 0, , 0, 0, , 0, , 0, 0,6 0, , 0, 0, 0, 0, 0,7 0, , ,4 0, 0, 0, 0, 0 0 0, , , , , , 0 0 0, , , 0 0 0, , , , , 0 0, 0 0, 0, , , , 0 0, , 0, 0, , , 0, 0, 0, , 0 0 0, , 0, 0, 0 0, , , 0, 0, 0 0, , , , , 0 0 0, , , 0, 0 0 0, , 0, 0, 0, , ,4 Exercice 6: Calculer le prix du call en appliquant la méthode de Monte Carlo à la formule pour C avec N tirages. On prendra soin d évaluer (de façon approchée) la variance de la v.a. dont on cherche à estimer l espérance, on choisira N de telle sorte que le chiffre des dizaines soit correct avec une très grande probabilité (9%), et on donnera un intervalle de confiance pour la quantité cherchée. Exercice 7: Refaire le calcul du prix du call (y compris l intervalle de confiance), en utilisant. 6

7 la méthode de Monte Carlo (avec le même nombre de tirages), pour le calcul approché du prix du put, et la formule de parité call put. Comment les deux approches se comparent-elles? 7