Association des Professeurs de Mathématiques. Concours d excellence de mathématique Phase régionale

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1 Association des Professeurs de Mathématiques République du Mali de la Région de Sikasso et Sympathisants (APROMARS) i² = - Concours d excellence de mathématique Phase régionale Niveau 0 ième et ière année IFM Durée : 3h Exercice :. Effectuer le calcul ci-dessous et donner le résultat sous la forme de fraction irréductible : ( x 4 5 ) 2. Un propriétaire terrien a vendu le quart de sa propriété en 200 et les quatre cinquièmes du reste en 2002? a) Quelle fraction de la propriété a été vendue en 2002? b) Quelle fraction de la propriété reste invendue à l issue des deux années? c) Quelle était la superficie de la propriété, sachant que la partie invendue au bout des deux années représente six hectares? A M B Exercice 2 : Potager Pelouse La figure ci contre (qui n est pas à l échelle) est une vue du jardin de monsieur Durand. Il souhaite partager ce jardin en deux parties : une partie en pelouse et une partie en potager. ABCD est un trapèze rectangle tel que : AB = 50m AD = 30m DC = 70m. M est un point du segment [AB]. D G H C On pose AM = x ( x est une distance exprimé en mètre avec 0 x 50).. Calculer l aire du jardin de monsieur Durand. 2. a) Exprimer, en fonction de x, l aire de AMGD (potager). b) En déduire que l aire de BCGM (pelouse), en fonction de x, est x. 3) a) Pour quelle valeur de x la pelouse et le potager ont-ils la même aire? b) Quelle est alors la forme du potager? Problème : Une société de service d accès à internet propose deux formules : Formule A : L accès à internet est gratuit et on ne paye que les communications, soit 2euros par heure.

2 Formule B : Avec un abonnement de 3,50 euros par mois, le prix des communications est de,8euro par heure.. a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous : Nombres d heures de 5heures 5heures 25heures connexion en un mois Prix payé en euros Formule A Formule B b) Déduire du tableau ci-dessus la formule la plus avantageuse pour 5heures de connexion, pour 5heures, puis pour 25heures. 2. Exprimer, en fonction du nombre x d heures de connexion, le prix (en euros) payé en un mois : a) avec la formule A ; b) avec la formule B. 3. On considère les fonctions suivantes : La fonction linéaire f telle que f(x) = 2x ; La fonction affine g telle que g(x) =,8x + 3,5. Tracer dans un repère (O, I, J), les droites D et D 2 qui représentent respectivement les fonctions f et g. On prendra 0,5cm pour heure en abscisse et cm pour 5euros en ordonnées. On se limitera à des valeurs positives de x. y = 2x 4. a) Résoudre le système suivant : { y =,8x + 3,5 b) Donner une interprétation graphique de la solution du système précédent. 5. En utilisant une lecture du graphique réalisé à la question 3., préciser les valeurs de x pour lesquelles chacune des deux formules est la plus avantageuse. 2

3 Association des Professeurs de Mathématiques République du Mali de la Région de Sikasso et Sympathisants (APROMARS) i² = - Concours d excellence de mathématique Phase régionale Niveau ième et 2 ière année IFM Durée : 3h Exercice Repas en forêt Lorsqu il est seul à manger, Jack le jaguar met 4 heures à dévorer un cochon-bois alors que Pete le Puma ne met que 3 heures.. Au cours de leur partie de chasse commune, les deux amis Jack et Pete capturent un cochon-bois. a) Combien de temps mettraient-ils pour dévorer le cochon-bois s ils commençaient en même temps? b) Comme Pete mange plus vite, il propose à son ami Jack de commencer avant lui. Combien de temps après Jack, Pete devrait-t-il commencer pour qu ils mangent la même quantité? 2. Finalement, les deux amis décident de rapporter le cochon-bois chez eux pour le partager avec leur amie Clara, la terrible femelle caïman noir. Ensemble, ils mettent une heure pour dévorer le cochonbois. Combien de temps aurait mis Clara à dévorer le cochon-bois si elle avait été seule à manger? 3. Quelques jours plus tard, Clara a invité ses deux amis à manger un autre cochon-bois. Comme les trois amis ne mangent pas à la même vitesse, ils ont décidé de ne pas commencer en même temps afin que chacun mange la même quantité. Le repas s est terminé à 4h. A quelle heure chacun a-t-il commencé à manger? Exercice2 On rappelle le critère de divisibilité par d un nombre inférieur à 999 : «Un nombre inférieur à 999 est divisible par si et seulement si la somme du chiffre des centaines et des unités moins le chiffre des dizaines vaut 0 ou». Ainsi 759 et 99sont divisibles par car 7+9 5= et 0+9 9=0. On appelle chaînonze une chaîne de chiffres telle que tout nombre formé de trois termes consécutifs de la chaîne est divisible par onze. Par exemple « » est un chaînonze car 759 et 594 sont divisibles par.. Quel chiffre peut-on ajouter à droite de la chaîne « » pour la prolonger en un chaînonze? 2. Prolonger par la droite le chaînonze « » en un chaînonze de 2 chiffres. Peut-on le prolonger ainsi indéfiniment? Quel serait alors le 200e chiffre? On envisage de partir d une chaîne de deux chiffres et de la prolonger par la droite en un chaînonze le plus long possible. 3. Prolonger par la droite les chaînes «0 9» et «9». Que constatez-vous?

4 On appelle chaînonze fini un chaînonze qui au bout d un nombre fini d opérations ne peut plus se prolonger. On appelle chaînonze n-périodique un chaînonze infini constitué d une séquence de n chiffres se répétant indéfiniment. 4. On considère la chaîne «ab» où a et b sont deux chiffres. On veut savoir si cette chaîne est prolongeable en un chaînonze de trois chiffres et, auquel cas, si un tel prolongement est unique. a) Etudier le cas particulier «aa». b) Etudier le cas b=a-. Etudier les autres cas. 5. Montrer qu en prolongeant la chaîne «ab» autant que faire se peut, le chaînonze obtenu est soit fini, soit 6-périodique. Exercice 3 : Une transformation sur les mots consiste a enlever les deux dernières lettres pour les placer devant dans l ordre inverse. Ainsi par exemple, le mot JEU devient UEJ et le mot MATHS devient SHMAT. On notera alors les résultats de ces transformations de la façon suivante : JEU UEJ et MATHS SHMAT Apres un certain nombre de transformations successives, toutes les lettres reprennent leur place initiale dans le mot. Par exemple : Apres 2 transformations, les lettres du mot JEU reprennent leur place initiale : JEU UEJ JEU Apres 6 transformations, les lettres du mot MATHS reprennent leur place initiale : MATHS SHMAT TASHM MHTAS SAMHT THSAM MATHS. Déterminer le nombre minimum de transformations successives nécessaire pour que les lettres des deux mots suivants reprennent leur place initiale : a) le mot MATHEUX b) le mot OLYMPIADE 2. Qu obtient-on lorsqu on a transformé 20 fois successivement le mot MATHEMATIQUES? 2

5 Association des Professeurs de Mathématiques République du Mali de la Région de Sikasso et Sympathisants (APROMARS) i² = - Niveau 2 ième et 3 ière année IFM Concours d excellence de mathématique Phase régionale Durée : 3h L'évaluation portera sur la qualité de l'argumentation mais aussi sur la prise d'initiatives et sur l'originalité des idées développées. Il est donc conseillé de bien décrire sa démarche, même si elle n'aboutit pas à la solution complète de la question, un résultat partiel pouvant avoir son intérêt. Exercice : La «spirale» Le plan, muni d un repère orthonormal d origine O (unité cm), est quadrillé par les droites parallèles aux axes de coordonnées et passant par tous les points à coordonnées entières du plan. Sur ce quadrillage on construit, en partant du point O vers le bas, une ligne brisée en forme de «spirale» qui «tourne dans le sens contraire des aiguilles d une montre», conformément au dessin ci-contre. Pour tout point M à coordonnées entières, on note L(M) la longueur de la portion de «spirale» qui va du point O jusqu au point M.. A est un point de l axe des abscisses tel que OA=5. Déterminer les valeurs possibles de L(A). 2. B est le point de coordonnées (2005 ; 2006). Déterminer L(B). 3. Déterminer les coordonnées du point C tel que L(C)= La «spirale» passe-t-elle par tous les points à coordonnées entières du plan? Exercice 2 :. Trouver toutes les fonctions f : R* R* qui vérifient xf( X )-f( 2 ) = pour tout nombre réel non nul. 2 X 2. Trouver tous les triplets d entiers positifs (p ;n ;m) tels que p soit premier p n +44 = m² Exercice 3 : Douze candidats au poste de maire participent à un débat télévisé. Au bout d un moment, l un d eux déclare «jusque-là, on a menti une seule fois». Un deuxième dit alors «Maintenant, cela fait deux fois». Un troisième s exclame alors «Trois fois, maintenant» et ainsi de suite jusqu au douzième qui affirme qu avant lui on a menti douze fois. Le présentateur arrête alors la discussion. Sachant qu au moins un des candidats a correctement annoncé combien de fois on avait menti avant sa prise de parole, déterminé combien de candidats ont menti au total. APROMARS 204 (2 ème phase)

6 PROBLÈME Partie A Soit f la fonction définie sur l intervalle ] ; + [ par : f (x) x 2 ln (x ). x. Calculer f (x), étudier son signe et en déduire le tableau de variation de la fonction f. 2. Calculer f (0). Montrer que l équation f (x) = 0 admet exactement deux solutions dont l une, que l on désigne par, appartient à [ 0,72 ; 0,7]. 3. Donner le signe de f (x), pour x appartenant à ] ; + [. Partie B ln( x ) Soit g la fonction définie sur l ensemble] - ; 0 [ ] 0 ; + [ par : g(x). 2 x. a) Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs inférieures et quand x tend vers 0 par valeurs supérieures. b) Calculer lim g(x) et lim g(x). x x 2. a) Calculer g (x) et déduire, à l aide de la partie A, son signe. b) Montrer que g( ) = = 0,75. 2α(α 3. a) Dresser le tableau de variation de la fonction g.. En déduire une valeur approchée de g( ) en prenant ) b) Représenter graphiquement la fonction g dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 2 cm). 4. Soit a un réel strictement supérieur à 0. On pose : I(a) g(x) dx. a) Donner, suivant les valeurs de a, une interprétation géométrique du réel I (a). a b) En remarquant que, pour x appartenant à ] 0 ; + [ : c) Calculer lim I(a) et lim I(a). a a 0 x( x), calculer I (a). x x APROMARS 204 (2 ème phase) 2