Entiers aléatoires et analyse harmonique

Entiers aléatoires et analyse harmonique Jean-Pierre Kahane et Yitzhak Katznelson Introduction. Il s agit dans cet article d ensembles de Sidon et de processus de Poisson ponctuels. Les ensembles de Sidon sur un groupe abélien discret (ici Z sont définis en [0] et le point actuel sur leur théorie se trouve en [6]. Au début des années 960 est apparu un problème, connu sous l appellation de conjecture de dichotomie ; est-il vrai qu une partie de Z est soit un ensemble de Sidon, soit un ensemble d analyticité? La question se présente ainsi : étant donné Λ Z, on désigne par A(Λ l algèbre des suites de coefficients de Fourier-Lebesgue, restreints à Λ, soit A(Λ = { ( ˆf (λ λ Λ : f L (T } et par c 0 (Λ l algèbre des suites à valeurs complexes, tendant vers 0 à l infini, indexées par Λ ; Λ est un ensemble de Sidon lorsque A(Λ = c 0 (Λ; on sait qu en tout cas les fonctions analytiques nulles en 0 opèrent dans A(Λ, c est à dire que si F(z est une telle fonction et ˆf A(Λ, prenant ses valeurs dans le domaine de F(z, alors F( ˆf A(Λ ; on connait également la réciproque lorsque Λ = Z : les seules fonctions F(x définies sur un intervalle réel contenant 0 et qui opèrent dans A(Z sont les fonctions analytiques nulles en 0 ; est-il vrai que, lorsque Λ n est pas un ensemble de Sidon, il est de même pour A(Λ? Au cours des années 970 le second auteur s est attaqué à un autre problème, concernant la distribution de Λ dans le groupe de Bohr B, compactification de Bohr de Z. En particulier, est-il vrai qu un ensemble de Sidon est non-dense dans B? Ces deux problèmes sont toujours ouverts, mais ils ont été testés de façon statistique, au moyen de suites d entiers aléatoires, par Katznelson et Malliavin (966 [3] et Katznelson (972 [4], [5]. Ce fut la première source d utilisation de sélection aléatoire dans l étude des ensembles de Sidon. ous reprenons l étude à partir de processus de Poisson ponctuels sur Z. Les définitions de ces processus et les principaux énoncés se trouvent dans la section.

ETIERS ALÉATOIRES... 2 La section 2 contient les préliminaires nécessaires pour la preuve du théorème ainsi que pour une partie de la section 5. Les sections 3 et 4 contiennent les preuves des théorèmes et 2. La section 5 rassemble quelques questions ouvertes, concernant les ensembles de Sidon, déterminés ou aléatoires, et les ensembles du type I 0, qui sont des ensembles de Sidon particuliers et seront définis à ce moment. Énoncés. Soit w n 0, (n Z, Ω un espace de probabilité, et Λ = Λ(w le processus ponctuel sur Z d intensité w = {w n }. Autrement dit, (. Λ = {n Z:ξ n > 0}, où les ξ n sont des variables aléatoires de Poisson indépendantes, de paramètres Eξ n = w n, (n Z. Il peut y avoir des points multiples dans Λ. Il est bon d observer que, si w n = w n + w n, Λ(w peut s obtenir en réunissant deux ensembles indépendants, Λ(w associé à w = {w n} et Λ(w associé à w = {w n}. En particulier, Λ(w est une fonction croissante de {w n }. Désormais, pour simplifier l écriture, nous allons supposer w n = 0 pour n 0. Voici les résultats en vue. Théorème. Si w n = O ( n (n, p.s. Λ est un ensemble de Sidon, Λ est discret et non-dense dans B, et l adhérence de Λ dans B est de mesure de Haar nulle. Théorème 2. Si limnw n =, p.s. Λ n est pas un ensemble de Sidon, Λ est dense dans B, et c est un ensemble d analyticité. Dans l énoncé du théorème 2 on ne peut pas remplacer limnw n = par la condition limsupnw n =. Par exemple si w n = quand n est une puissance de 2 et w n = 0 sinon, Λ est un ensemble de Sidon. Une caractérisation complète des {w n } pour lesquels Λ est un ensemble de Sidon parait hors de portée actuellement. Avant de procéder aux preuves, remarquons que dans les enoncés le rôle de variables aléatoires de Poisson n est pas essentiel pour la définition de Λ. Dans la suite, on confond Λ (avec ses points multiples et la suite qui lui sert de support. Cette dernière peut être définie comme {n Z:β n = }, oú {β n } est une suite de v.a. de Bernoulli indépendantes. avec E(β n = e w n. Mais le fait que Λ a des points multiples simplifie les calculs des mesures martingales dans la section 2. ous avons publié une version préliminaire des théorèmes et 2 dans [2], avec seulement un aperçu des preuves.

ETIERS ALÉATOIRES... 3 2 Préliminaires 2. Quelques T-martingales, (martingales à valeurs mesures. Fixons ε > 0, et soit f la fonction triangle d intégrale et de support [ ε,ε] : f (t = f ( t et f (t = ε 2 (ε t sur [0,ε]. Ecrivons (2. f = + ˆf j e j (e j (t = e( jt = e 2πi jt j 0 et observons que ˆf j > 0. Rappelons que, pour une v.a. de Poisson ξ de paramètre η, on a ( (2.2 E a ξ = e η(a. Prenons ξ n comme ci-dessus, avec w n = α/n. Posons (2.3 X n (t = f (nt ξ n exp ( α n ( f (nt (2.4 µ = et, pour ϕ C(T, (2.5 Y (ϕ = n= X n (tdt ϕ(tdµ, Y = Y ( = dµ (t T Proposition. Si 2α < ε 2, les mesures aléatoires µ convergent p.s. dans la topologie faible vers une mesure (aléatoire continue qui est non nullle avec probabilité strictement positive. Preuve. Pour toute fonction ϕ C(T, la suite Y (ϕ = ϕ(tdµ est une martingale satisfaisant Y (ϕ = ϕ(tdµ ϕ Y. La suite Y = Y ( est une martingale positive, d espérance, donc converge p.s. vers une v.a. Y 0. ous sommes intéressés au cas E(Y > 0. Pour qu il en soit ainsi, il suffit que les Y soient uniformément intégrables dans Ω, ce qui équivaut à E(Y =. Dans ce cas la martingale Y (ϕ converge pour toute ϕ C(T, c est-à-dire que la martingale de mesures µ converge faiblement vers une mesure (aléatoire µ telle que E( µ =. Il suffit donc que les Y soient bornés dans L 2 (Ω. ous allons montrer que la suite croissante des E ( Y 2 est bornée si α < ε 2.

ETIERS ALÉATOIRES... 4 ous montrons ensuite que sous l hypothèse 2α < ε 2 les coefficients de Fourier de µ, ˆµ k = T e( ktdµ, tendent p.s. vers zéro à l infini et, par le critère de Wiener, cela garantit la continuité de µ. E ( ( Y 2 = E T T Or = E T T = = T T n= T T m= ( m= n= n= X m (sx n (tdsdt X m (sx n (t dsdt = T T n= E(X n (sx n (tdsdt ( α ( exp f (ns f (nt ( f (ns ( f (nt dsdt n ( exp n= α ( f (ns f (nt ( f (ns ( f (nt dsdt n f (s f (t ( f (s ( f (t = ˆf j ˆf k e j (se k (t jk 0 d où résulte, en prenant en compte que ˆf j ˆf k = ˆf j ˆf k, (2.6 E ( Y 2 = exp( T T α ˆf j ˆf k L ( js + ktdsdt jk 0 avec (2.7 L (t = n= et on sait ([] chapitre V, formule 2.26 que (2.8 L (t log sinπt + a cos 2πnt n Il est important de noter que L (t 0 pour tout t. D après l inégalité de Hölder, ( a : constante absolue. (2.9 E ( ( Y 2 p expα p jk ˆf j ˆf k L ( jt + ksdt ds jk jk 0 T T si les p jk sont positifs et p jk =. Choisissons (2.0 p jk = ( ˆf j ˆf k ˆf j ˆf k jk 0

ETIERS ALÉATOIRES... 5 Ainsi p = et p jk jk ˆf j ˆf k = ( f (0 2 < ε 2. Le second membre de (2.9 s écrit alors ( (2. exp α ˆf j ˆf k L (t dt, T jk 0 qui est inférieur à e a T sinπt αε 2 dt. Pour avoir lime ( Y 2 <, il suffit donc que α < ε 2. ous allons montrer que µ est p.s. une mesure diffuse. Pour cela, observons que les coefficients de Fourier de µ, à savoir ˆµ k = T e( ktµ(dt, sont des limites p.s. des ˆµ,k, coefficients de Fourier de µ. Les calculs faits sur Y se transcrivent aux et l on obtient au lieu de (2.6 ( E ˆµ,k 2 = ˆµ,k = e( kt T T T n= X n (tdt e(ks ktexp α ˆf j ˆf l L ( js + ltdsdt. jl 0 Les calculs (2.8, (2.9, (2.0 montrent que les fonctions exp( α ˆf j ˆf l L ( js + lt jl 0 ont des normes bornées dans L (T 2 quand α < ε 2, donc des normes bornées dans L 2 (T 2 quand 2α < ε 2. Par conséquent, sous cette condition, ( ( sup E ˆµ,k 2 2 <, donc successivement k Z ( ( E ˆµk 2 2 <, k Z E ( ˆµ k 4 < k Z ˆµ k 4 < p.s. k Z Cela montre que µ est p.s. une mesure diffuse, et achève la preuve de la proposition.

ETIERS ALÉATOIRES... 6 2.2 Posons m µ = n=m X n (tdt et m µ = lim m µ. La loi de zéro-un permet de conclure du fait que P( m µ > 0 > 0 que p.s. m µ > 0 pour m > m(λ. Ecrivons : D = {t :Λt [ ε,ε]} D m = {t :([m, Λt [ ε,ε]} D = m D m. L ensemble aléatoire D m contient le support fermé de m µ qui, par la continuité de m µ, est un parfait, non vide si m µ 0. En effet, si nt / [ ε,ε] on a X n (s = 0 dans un voisinage de t, lequel est donc disjoint du support de µ. Soit I un intervalle dans T, et soient µ I = I µ et m µ I = m µ I les restrictions de µ et de m µ à I. Observons que E( µ I = I > 0 et par conséquent m µ I 0 pour m assez grand. Cela donne le corollaire suivant Corollaire. Pour tout intervalle non-vide I T, la puissance de D I est p.s. celle du continu. otons que pour tout t D l ensemble des points limites de Λt est contenu dans [ ε,ε]. 2.3 La proposition est valable si on remplace f et l intervalle [ ε,ε] par un intervalle de longueur 2ε quelconque. Pour le voir, il suffit de changer f (t en f (t ϑ, ϑ étant le centre de l intervalle, et de constater qu alors le second membre de (2.6 ne peut que diminuer, grâce au fait que L (t 0. aturellement, on obtient des ensembles de t disjoints pour des intervalles disjoints. Il est donc faux que l on puisse remplacer dans la proposition un ensemble dense de t par un ensemble de t de mesure positive. Cela tient au fait que les mesures X n (tdt ont pour limite p.s. une mesure singulière. 2.4 Ajoutons une proposition dont nous verrons l usage à la fin de cet article. Proposition 2. Supposons toujours w n = α n et 2α < ε2. Si I et I sont deux intervalles de longueur 2ε dans T et si Λ et Λ sont deux copies indépendantes de l ensemble aléatoire Λ associé à { α n } il existe un t T tel que p.s. à l exception d un ensemble fini on ait Λ t I et Λ t I. Remarquons d abord que cette propriété se généralise à ν intervalles et ν copies independants de Λ, moyennant la condition να < ε 2. Remarquons aussi que les t convenables forment un ensemble à derivé dense dans T comme dans la proposition.

ETIERS ALÉATOIRES... 7 Preuve de la proposition 2. Soient I = [ϑ ε,ϑ + ε], I = [ϑ ε,ϑ + ε] et la fonction triangle basée sur [ ε,ε] comme ci dessus. Au lieu de (2.2 posons (2.2 et au lieu de (2.5 X n(t = ( f (nt ϑ ξ n exp ( α n ( f (nt ϑ X n (t = ( f (nt ϑ ξ n exp ( α n ( f (nt ϑ (2.3 Y = T n= X n(tx n (tdt C est de nouveau une martingale positive, et le résultat est établi si E ( Y 2 = O( (. Les calculs se mènent de la même façon que sous la proposition, à cela près qu il faudra majorer E ( Y 2 par la valeur prise quand ϑ = ϑ = 0, en tenant compte de la positivité de L (t dans (2.6. L hypothèse 2α < ε 2 entraine bien E ( Y 2 = O( (. 3 Preuve du théorème. D après les remarques faites dans la partie, on peut se limiter à w n = α n. Si α est assez petit (α log3 < suffit, Λ est p.s. la réunion d un ensemble fini et d un ensemble quasi-indépendant, c est-à-dire sans relations linéaires 0 à coefficients 0,, entre ses éléments. En effet, soit 3 < A < exp α, et soit n ν le cardinal de Λ [0,A ν ], qui est une variable aléatoire de Poisson de paramètre α n A ν n < ν. On a p.s. n ν < ν pour ν assez grand. La probabilité pour que, Λ [0,A ν ] étant fixé, il y ait un point λ dans Λ [A ν,a ν+ ] qui soit combinaison linéaire à coefficients 0,, des éléments de Λ [0,A ν ] ne dépasse pas la borne supérieure des n B α/n pour tous les ensembles B de cardinal 3 n ν contenus dans Λ [A ν,a ν+ ], qui est p.s. O(3 ν A ν (ν. Il est donc presque sûr qu à partir d un certain rang ν 0 ce n est pas le cas, donc que Λ [A, [ est quasi-indépendant. En général, Λ est p.s. une réunion finie d ensembles quasi-indépendants, qu on sait être un ensemble de Sidon, [6]. Soit A B (Λ l adhérence de Λ dans B. Le fait que, p.s., Λ est discret est une conséquence de (3. p.s. Z A B (Λ = /0. Soit m Z, m 0, prenons 0 < η < 2 ε et t D tel que mt 2 < η, ce qui est possible car D est dense dans T. L ensemble {l :lt ( 2 η, 2 + η} est

ETIERS ALÉATOIRES... 8 l intersection de Z et d un voisinage de m dans B qui ne contient qu un nombre fini de points de Λ, donc m / A B (Λ. On montre que 0 / A B Λ en partant, (voir 2.3, d un intervalle I qui ne contient pas 0. Montrons maintenant que µ B (A B Λ = 0, µ B est la mesure de Haar de B. Il est clair qu il en résulte en particulier que A B Λ est non-dense dans B (ce qui résulte aussi de (3.. Preuve que µ B (A B Λ = 0. L ensemble D étant non dénombrable, il contient, pour tout entier k > 0, des points t,t 2,...,t k, tels que le vecteur t = (t,t 2,...,t k soit un générateur de T k, c est-àdire que l ensemble Z(t,t 2,...,t k est dense dans T k. L application m mt de Z dans T k se prolonge à un homomorphisme h t de B dans T k, qui envoie µ B sur la mesure de Haar de T k. Or, d après la partie 2.2, h t (A B Λ [ ε,ε] k. La mesure de la préimage dans B de cet ensemble est égale à (2ε k et majore µ B (A B Λ. Ceci étant vrai pour tout k, la mesure de Haar de A B Λ est nulle. Cela achève la preuve du théorème. 4 Preuve du théorème 2. Dans l hypothèse lim n nw n =, le fait que p.s. Λ n est pas un ensemble de Sidon résulte d un critère connu : si Λ etait un ensemble de Sidon, on aurait Λ [,] = O(log (, ce qui n est pas le cas. 4. Preuve de la densité dans B. Pour les notions de base sur la densité dans B, on peut se référer à [5]. Première étape, réduction du problème. Dire que Λ est dense dans B, c est dire que pour tout s et tout t T s, l adhérence dans T s de Λt, Λt, est l adhérence dans T s de Zt (le groupe fermé engendré par t, soit Λt = Zt. On distingue dans T s des sous-groupes propres maximaux, qui sont isomorphes à T s (pour s 2 et qui sont en infinité dénombrable. Les générateurs de T s sont les éléments qui n appartiennent à aucun de ces sous-groupes. Si on a établi que l adhérence dans T s de Λt est aussi l adhérence de Zt, p.s., cela vaut dans tous les sous-groupes propres maximaux de T s. Pour démontrer la même chose dans T s il suffit de se borner aux générateurs, pour lesquels Zt = T s (pour s =, ce sont les irrationnels. Comme Λ(w est une fonction croissante de w (section, le théorème sera prouvé si l on établit que, pour tout ouvert O de T s, il existe un α > 0 tel que, si Λ est un processus de Poisson ponctuel sur d intensité { α n }, il est presque sûr que pour tout générateur t de T s, Λt O /0.

ETIERS ALÉATOIRES... 9 Deuxième étape, la preuve dans le cas s =. s agit d établir la proposition suivante. Prenons pour O un intervalle I. Il Proposition. Si α I >, et si Λ est un processus ponctuel de Poisson sur de paramètre α n, il est presque sûr que, pour tout irrationnel t T, Λt I /0. Idée de la preuve. Soit Λ = Λ [0, ]. Soit I un intervalle intérieur à I, à distance d de son complémentaire. Pour établir que Λt I /0, il suffira de montrer qu il existe un t, t t < d/, et un λ Λ tel que λt I. On mettra en évidence un entier et un ensemble fini, (d/-dense dans T, de points t tels que, très probablement, Λ t I /0 pour tous ces points. Mise en place. Soit f C 2 (T, à support dans I, positive et majorée par sur I : 0 f I. Pour t donné, (4. Λ t I = /0 I (λt = 0 ξ n I (nt = 0. λ Λ n α Or n ξ n I (nt est une v.a. de Poisson de paramètre n n I (nt, d où P ( Λ t I = /0 ( α ( = exp n n α I (nt exp n n f (nt. On pose donc f (t = ˆf (0 + + (a j cos2π jt + b j sin2π jt = ˆf (0 + g(t + h(t j J j>j exp ( α n n f (nt = exp ( ( α ˆf (0 exp α n n n n g(nt exp ( α n n h(nt Choisissons J de façon que h C(T < ε ˆf (0, puis δ > 0 et l ouvert (4.2 G = G(δ = {t : j J, sinπ jt > δ}. Remarquons que, avec la notation de (2.7, (4.3 n n g(nt = ( a j j J n = a j L ( jt + O( j J n cos2πn jt + b j n Compte rendu de (2.8, on obtient pour t G ( α exp n n f (nt C δ α ˆf (0( ε. sin2πn jt n

ETIERS ALÉATOIRES... 0 Fin de la preuve. Partons de α, tel que α I >. Définissons I, puis f et ε de façon que α I > et α ˆf (0( ε >. Puis choisissons J comme ci-dessus. L analyse qui précède donne, pour tout δ > 0 fixé (qui définit G et t G (4.4 P ( Λ t I = /0 dt < C δ α ˆf (0( ε. G Posons t = ϑ + m M, ϑ [0, M ], m = 0,,...M (M sera défini ensuite (4.5 P ( Λ t I = /0 dt = dϑ P ( Λ t I = /0 G [0. M ] ϑ+ M m G donc il existe un ϑ [0, M ] tel que (4.6 ϑ+ m M G P ( Λ (ϑ + m M I = /0 C δ M α ˆf (0( ε donc (ϑ ainsi fixé P ( (ϑ + m M G : Λ (ϑ + m M I = /0 C δ M α ˆf (0( ε Soit G M = {t G: t = ϑ + m M G, t t < M }. Si M > d, alors le fait que t G M et Λ t I = /0 entraine que pour un certain t, Λ t I = /0. Donc (4.7 P ( t G M : Λ t I = /0 C δ M α ˆf (0( ε sous la condition M > d. Choisissons M d. Alors (4.8 P ( t G M : Λ t I = /0 tend vers 0 quand. Comme les G M tendent vers G, (4.9 P ( t G : Λt I = /0 = 0. En prenant une suite de δ 0, on voit qu il est presque sûr que chaque t qui ne vérifie pas J j= sinπ jt = 0 (ensemble rationnel fini est tel que Λt rencontre I. Cela termine la preuve quand s =. Troisième étape, cas général. On repète la preuve du cas s =. Rien n est changé dans la mise un place sinon de remplacer jt par le produit scalaire j t avec j Z s, t T s. Mais il faudra remplacer [0, M ] dans (4.5 par [0, M ]s, et M dans (4.6 et la suite par M s. Il faudra donc partir de α vol(o > s. ous discuterons dans la section 5 ce qui se passe si, au lieu de prendre t un générateur de T s, nous considérons des t générateurs de sous-groupes de T s.

ETIERS ALÉATOIRES... 4.2 Reste à établir que Λ est p.s. un ensemble d analyticité. La preuve est inspirée de [3]. Rappelons que A(T désigne l algèbre des fonctions continues sur T qui sont sommes de séries trigonometriques absolument convergentes, et PM(T son dual, constitué de pseudomesures, c est-à-dire de distributions de Schwartz dont les coefficients de Fourier sont bornés : A(T = F l (Z, PM(T = F l. De même on définit A(R = F L (R, et PM(R = F L (R. Pour montrer qu une partie Λ de Z est un ensemble d analyticité il suffit d attacher à des r = 2 ν (ν entier arbitrairement grands, une partie finie Λ r de Λ, une mesure positive τ r portée par Λ r, et une fonction réelle ϕ r A(R, telles que (4.0 ϕ r A(R < Cr et τ r e iϕ r PM(R < C τ r M(R e cr, C et c étant des constantes absolues, et M(R étant l espace des mesures bornées sur R. C est notre programme. ous savons qu il existe ϕ A(T, réelle, telle que, désignant par µ la mesure de Haar sur T on ait (4. ϕ A(T < r et µe iϕ PM(T < e cr (tout c < convient, On peut ajouter la condition que ϕ soit portée par un intervalle I de longueur I = 2 et remplacer (4. par (4.2 ϕ A(T < r et µ I e iϕ PM(T < C µ I M(T e cr. En utilisant le fait que e iϕ A(T, un calcul simple montre qu on peut remplacer ci-dessus µ par µ q = q q k= dès que q est assez grand. Fixons q = q r tel qu il en soit ainsi, en imposant aussi par commodité que q soit une puissance de 2. Transportons T sur R, c est-à-dire considérons ϕ comme une fonction -périodique, et fixons I comme intervalle réel de longueur 2 ; ainsi ϕ est portée par m Z (I +m. Les pseudomesures portées par I peuvent être considérées dans PM(R comme dans PM(T, avec des normes equivalentes. Posons E = M m= (I + m, où l entier M sera choisi plus tard. Soit V E la fonction trapèze égale à sur E et à 0 aux points dont la distance à E est supérieure à diam(e. A partir de (4.2 nous obtenons δ k/q (4.3 ϕv E A(R < Cr et µ q I e iϕ PM(R < C µ q I M(R e cr,

ETIERS ALÉATOIRES... 2 où c et C sont des constantes absolues. Dans (4.3 on peut remplacer I par I+m, et aussi par toute combinaison linéaire des I+m à coéfficients γ m positifs, soit χ = γ m I+m (γ m > 0, à condition de remplacer µ q par le peigne de Dirac q k Z δ k/q. Effectuons sur R la transformation linéaire t qt + K où K est un entier qui sera choisi plus tard ; cela se traduit par une isométrie de chacun des espaces A(R, M(R, et PM(R. Posons ϕ r (t = ϕ( t K q V E (t K q, σ r = χ( t K q δ k. k Z Alors (4.3 se traduit en (4.4 ϕ r A(R < Cr et σ r e iϕ r PM(R < C σ r M(R e cr. La mesure σ r est portée par F = Z (qe + K = M ( Z (qi + qm + K. m= Revenons à Λ = Λ(ω = {n Z:ξ n > 0}, où les ξ n sont des v.a. de Poisson indépendantes de paramètres w n, avec w n = 0 pour n < 0, et lim n nw n =. Quitte à réduire Λ en diminuant w n, nous pouvons supposer, outre la condition lim n nw n =, que w n est constant à partir d un certain rang sur tous les intervalles joignant deux multiples consécutifs d une puissance de 2 donnée. On choisit pour K une puissance de 2 assez grande pour que w n soit constant sur chaque intervalle Z qi + qm + K, (m =,2,... ; nous choisissons pour γ m cette valeur constante lorsque m =, 2,..., M (M n est pas encore fixé. ous posons enfin τ r = τ r (ω = ξ n δ n n F de telle sorte que E(τ r = n F w n δ n = σ r, et le programme consiste à passer de (4.4 à (4.0 (en modifiant les constantes s il le faut, avec une probabilité voisine de. ous allons utiliser l inégalité suivante, dans laquelle s étend sur un ensemble arbitraire de valeurs de n, < a n < et 0 < η < 2. (4.5 P ( (ξ n w n a n > η w n < exp( 4 η w n. La preuve de (4.5 passe par une estimation de la transformée de Laplace, à savoir E ( exp(u (ξ n w n a n = expw n (e ua n ua n < exp(u 2 w n

ETIERS ALÉATOIRES... 3 quand 0 < u <, suivie de la majoration du premier membre de (4.5 par exp ( (u 2 η w n. En particulier, on a (4.6 P ( ξ n > 2 w n < exp( 4 w n Etudions maintenant la distribution de la v.a. (τ r σ r e iϕ r PM(R. Comme τ r σ r est portée par Z [K,K + qm], un échantillonnage au moyen de 2qM points t j permet d évaluer la norme L de la transformée de Fourier de (τ r σ r e iϕ, à savoir (4.7 (τ r σ r e iϕ r PM(R 2 sup j=,2,...,2qm En application de (4.5 on obtient n F (ξ n w n e iϕr(n e int j. (4.8 P ( (τ r σ r e iϕ r PM(R > 4η w n < 2qM exp( n F 4 η w n. n F Lorsque q et K sont fixés, F ne depend que de M, et on a n F w n = 2 Mq w n + O(, (M. L hypothèse lim n nw n = assure que (4.9 lim log w n =. Rappelons que r = 2 ν. Choisissons M = M ν de façon que n F w n > 4ν 2 logm et prenons η = ν. Alors (4.8 s écrit (4.20 P ( (τ r σ r e iϕ r PM(R > 4 ν σ r M(R < 2qM ν. D après (4.6, on a P ( τ r M(R > 2 σ r M(R < M ν 2, donc, d après (4.4, (4.2 P ( τ r e iϕ r PM(R > (C + 2 ν τ r M(R e cr < 2qM ν + M ν2. Il suit de (4.2 que p.s. pour r = 2 ν assez grand, on a (4.0, ce qui achève la démonstration.

ETIERS ALÉATOIRES... 4 5 Questions et remarques finales. 5. Rappelons les questions classiques sur les ensembles de Sidon :. sont-ils nécessairement réunions finies d ensembles quasi-independants? 2. sont-ils nécessairement non-denses dans le groupe de Bohr? Ces questions se posent quand il s agit de Z et de B, dual de T d. Mais elles se posent également pour d autres groupes abéliens. La première question admet une réponse complète, positive, quand on remplace T par le groupe de Cantor [,] ; c est un cas particulier du théorème de Malliavin-Malliavin [7], étendu par Pisier. Les meilleures approches du cas général sont dues à Pisier et à Bourgain, avec de nouvelles caractérisations des ensembles de Sidon (voir p.ex. [6]. Avant d examiner la seconde question, nous allons discuter les définitions d ensembles de Helson et d ensembles de Sidon. Un ensemble de Helson est défini dans un groupe abélien localement compact : c est une partie compacte E du groupe telle que toute fonction continue sur E soit la restriction d une transformée de Fourier de fonction intégrable, en bref, C(E = A(E. Une définition équivalente est que, pour les mesures portées par E, les normes mesures et pseudomesures sont équivalentes, c est à dire qu il existe une constante C telle que µ M(E C ˆµ pour toute µ M(E, voir [0]. Un ensemble de Sidon est défini ordinairement dans un groupe discret, et jusqu à présent nous étions dans ce cadre en travaillant sur Z. Mais, de façon cohérente avec le cas d un groupe discret, nous pouvons définir un ensemble de Sidon dans une partie discrète d un groupe abélien localement compact par la même condition que nous venons de donner pour les ensembles de Helson : µ M(E C ˆµ pour toute µ M(E. Dans ce cadre, nous pouvons étendre la seconde question ainsi : Un ensemble de Sidon dans un groupe abélien infini compact G, est-il nécessairement non-dense dans G? La réponse est alors négative. Soit Γ T d un sous-groupe qui est la réunion An d une suite d ensembles A n de dimension de Minkowski nulle, (c est à dire : chaque A n peut être recouvert par (ε intervalles de longueur ε, avec (εε d = o(, (ε 0, quel que soit d > 0, ce qui est le cas si Γ est engendré par un ensemble A dont la dimension de Minkowski est nulle (on définit A n comme la somme algébrique de n copies de (A A. Prenons pour G le dual de Γ(A et observons que Z est dense dans G. Les calculs et la discussion de la partie 4. montrent alors que les ensembles de Sidon aléatoires construits dans Z à partir de w n = α n, α > 0 quelconque, sont également p.s. denses dans G. On peut se référer à [5], théorème 3.2, pour un énoncé voisin et le détail de la preuve (écrite pour dimension s entière, mais qui s applique aussi bien pour s fractionnaire.

ETIERS ALÉATOIRES... 5 5.2 La généralisation la plus immédiate de notre étude consiste à partir de Z d au lieu de Z, de le munir d un poids w : Z d R + et de considérer la partie aléatoire de Z d définie par Λ(ω = {n Z d :ξ n > 0}, où les ξ n sont des variables aléatoires indépendantes, suivant les lois de Poisson de paramètres w n (ou, de manière équivalente, des lois de Bernoulli d espérances e w n Les résultats sont alors les suivants :. Si limsupw n n d < quand n, alors Λ est p.s. un ensemble de Sidon, qui, dans le compactifié de Bohr de Z d, B(Z d, est discret et a une adhérence dont la mesure de Haar est nulle. 2. Si limw n n d =, alors Λ est p.s. d analyticité, et dense dans B(Z d. Les méthodes des preuves sont les mêmes. Le principal changement est d introduire la fonction L(t = n d cos2πn t, n Z d \{0} de la décomposer en une série de polynômes trigonométriques dont les sommes partielles L (t sont bornées inférieurement, et de décomposer Λ de la même façon en réunion finie d ensembles aléatoires finis indépendants. 5.3 Revenons au cas de Z, T et B. La seconde question de 5. admet des variantes plus exigeantes, dont nous allons expliciter la signification. ous noterons A B S l ensemble d accumulation d un ensemble d entiers S dans le groupe de Bohr B.. Si S est un ensemble de Sidon, est-il vrai que A B S soit de mesure de Haar nulle dans B? 2. Si S est un ensemble de Sidon, est-il vrai que A B S soit un ensemble de Helson dans B? 3. Si S est un ensemble de Sidon, est-il vrai que S soit une réunion finie d ensembles de type I 0? 4. Est-il vrai que les Λ du théorème sont p.s. des ensembles de type I 0? Rappelons qu un ensemble de Helson dans un groupe abélien compact est un compact défini par le fait que toute fonction continue sur ce compact est prolongeable sur le groupe en une somme de série de Fourier absolument convergente. Un ensemble de type I 0, au sens de Hartman et Ryll-ardzewski, est une partie E de R telle que toute fonction bornée sur E se prolonge en une fonction presquepériodique sur R. On sait qu alors toute fonction bornée sur E est la restriction à E de la transformée de Fourier d une mesure discrète, donc que E est un ensemble de Sidon, et de plus que l adhérence E de E dans le groupe de Bohr est un ensemble

ETIERS ALÉATOIRES... 6 de Helson [](voir aussi [8],[9]. On voit facilement qu un ensemble d entiers A est de type I 0 si, et seulement si, pour chaque partition de A en deux parties A et A 2, les adhérences dans B de A et de A 2 sont disjointes. Une autre façon de poser la question 4 est donc la suivante : 4. Est-il vrai que p.s. pour chaque partition de en deux parties et 2, les adhérences dans B de Λ et de Λ 2 soient disjointes? Sans répondre à cette question, nous pouvons dire ceci : lorsque w n = α n avec α assez petit, pour chaque partition de en deux parties et 2, il est presque sûr que les adhérences dans B de Λ et de Λ 2 sont disjointes. En effet, choisissons deux suites de v.a. de Poisson mutuellement indépendantes, {ξ n} {ξ n }, avec E(ξ n = E(ξ n = α n. Il leur correspond deux ensembles aléatoires Λ et Λ indépendants. La loi du couple ( Λ,Λ 2 est la même que celle du couple ( Λ,Λ 2. Il suffit donc de montrer que les adhérences dans B de Λ et de Λ sont p.s. disjointes. Comme Λ Λ est fini p.s. (puisque n P(n Λ Λ <, la propriété d adhérences disjointes est une propriété asymptotique, à laquelle s applique la loi du zéro-un. Il suffit donc de montrer que pour deux intervalles fermés disjoints dans T, I et I, et pour un t T, P(Λ t I et Λ t I > 0. Or, c est exactement ce que donne la proposition 2. ous nous trouvons avec la question 4 devant une situation fréquente en théorie des probabilités : il est relativement facile de montrer que pour tout X (ici X = partition de une propriété (ici les adhérences disjointes est presque sûre, et bien plus difficile, ou impossible, de montrer que presque sûrement la propriété a lieu pour tout X. Références [] Jean-Pierre Kahane. Ensembles de Ryll-ardzewski et ensembles de Helson. Colloquium Mathematicum 5 : 87 92, 966. [2] J. P. Kahane et Y. Katznelson. Entiers aléatoires, ensembles de Sidon, densité dans le groupe de Bohr et ensembles d analyticité. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser I 345 : 2 24, 2007. [3] Y. Katznelson et P. Malliavin. Vérification statistique de la conjecture de la dichotomie sur une classe d algèbres de restriction. C.R. Acad. Sci. Paris, 262 : 490 492, 966.

ETIERS ALÉATOIRES... 7 [4] Y. Katznelson. Suites aléatoires d entiers. L analyse harmonique dans le domaine complexe (Actes Table Ronde Internat., Centre at. Recherche Sci., Montpellier, 972, Springer Lecture otes in Math, 336 : 48 52, 973. [5] Y. Katznelson. Sequences of integers dense in the Bohr group. In Proc. Royal Inst. Tech. Stockholm, 79 86, 973. [6] D. Li et H. Queffélec. Introduction à l étude des espaces de Banach. Analyse et probabilités. Cours Spécialisés, 2. Société Mathématique de France, Paris, 2004. [7] M. P. Malliavin-Brameret, et P. Malliavin, Caractérisation arithmétique d une classe d ensembles de Helson. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 264 : A92 A93, 967. [8] L. Thomas Ramsey. Bohr cluster points of Sidon sets. Colloq. Math. 68 : 285 290, 995. [9] L. Thomas Ramsey. Comparisons of Sidon and I 0 sets. Colloq. Math. 70 : 03 32, 996. [0] Walter Rudin. Trigonometric series with gaps. J. Math. Mech. 9 : 203 227 960. [] A. Zygmund. Trigonometric series. Vol. I, Third edition, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 2002.