Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y) admettant 2 solutions distinctes pour une même donnée initiale, l existence et l unicité de solutions de l équation de Malthus et de l équation logistique y = ay by 2 ; la résolution explicite de l équation logistique. le théorème général d existence et d unicité pour une équation différentielle y = f(t,y), lorsque f est assez régulière. l étude qualitative des solutions de l équation autonome y = f(y). les isoclines. 1 Le problème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l équation différentielle : y = 3 ( y 2) 1/3 a 2 solutions différentes ȳ : t 0 et ỹ : t t 3 correspondant à la même donnée initiale ȳ(0) = ỹ(0) = 0. Faire une représentation graphique de ces deux solutions. Y-a-t-il une unique solution y de donnée initiale y(0) = 0? 1.2 Unicité dans la loi de Malthus : Etant donnée une constante non nulle a, considérons l équation différentielle : y = ay (1) ce qui signifie qu une fonction y est solution de cette équation différentielle si et seulement si, pour toute valeur t pour laquelle y(t) est définie, y est dérivable et vérifie y (t) = ay(t). a) Soit t y(t) une solution de cette équation. Fixons-nous un instant initial de référence t 0 et posons z(t) = y(t)e a(t t 0). (i) Montrer que y est une solution de l équation différentielle (1) si et seulement si z est une solution de l équation différentielle z = 0 et que y(t) est définie au point t dès que z(t) est définie au même point. 1

(ii) En déduire que z et y sont définies sur R tout entier. Calculer z(t) et y(t) pout tout t en fonction de la valeur y(t 0 ). b) Montrer que 2 solutions ȳ et ỹ de l équation différentielle (1) qui se croisent (i. e. telles qu il existe une valeur t 1 telle que ȳ(t 1 ) = ỹ(t 1 )) coïncident pour tout t. 1.3 Existence et unicité dans la loi logistique : Etant données des constantes strictement positives a et b, considérons l équation différentielle : y = ay by 2 (2) ce qui signifie qu une fonction y est solution de cette équation différentielle si et seulement si, pour toute valeur t pour laquelle y(t) est définie, y est dérivable et vérifie y (t) = ay(t) by(t) 2. Une expression agréable de l équation est y = ay(1 b a y) = ay(1 y K ) (3) où on pose K = a b. On appelle K la capacité d accueil, et on verra pourquoi dans la suite. Problème 1) Montrer que les fonctions constantes ȳ et ỹ, définies par ȳ(t) = K et ỹ(t) = 0 pour tout t, sont les seules solutions constantes de l équation différentielle (2) définies sur R tout entier. Dans la suite nous les appelerons solutions stationnaires de l équation différentielle (2). Cherchons d autres solutions de (2), i.e. non constantes. Commençons par chercher les solutions y(t) satisfaisant y(t) 0,K, pour tout t D y où D y R est un intervalle sur lequel y(t) est défini. Nous verrons à la fin que les solutions non constantes sont nécessairement de cette forme, i.e. qu elles ne peuvent pas prendre la valeur 0 ou K. Pour simplifier les calculs, on pose x(t) = y(t) N. 2) Montrer que y(t) est solution de (3) sur un intervalle D si et seulement si x(t) est solution de x = ax(1 x). (4) 3) On suppose que x(t) 0,1 sur D. Montrer que (4) équivaut à x x + x 1 x = a. 4) Fixons un instant initial quelconque t 0 D et notons x 0 = x(t 0 ). Déduire de c) par intégration que x(t) est solution de (4) si et seulement si x(t) 1 x(t) = x 0 1 x 0 e a(t t 0 ) puis que ceci équivaut à x(t) = 1 1 + (x 0 1 1)e a(t t 0) 2

Indication : On rappelle que (ln u ) = u u. Attention, il y a un passage délicat lorsqu on veut enlever les valeurs absolues. 5) Pour x 0 0,1 et t 0 R, posons X(t) := 1 1 + (x 0 1 1)e a(t t 0) (5) (i) Calculer l intervalle de définition 1 D X de X(t) contenant t 0, en fonction de x 0 et t 0 (il y aura à considérer les cas x 0 < 0, x 0 (0,1), x 0 > 1). (ii) Montrer que X(t) est une solution de (4), satisfait X(t 0 ) = x 0 et X(t) 0,1 pour tout t D X. (iii) Faire les tableaux de variation de X selon les cas x 0 < 0, x 0 (0,1), x 0 > 1. (iv) Dessiner le graphe de X(t) selon diverses valeurs de x 0. On va voir maintenant que cette solution est maximale, au sens suivant : 6) Soit x(t) une solution de (4), définie sur un intervalle D et satisfaisant x(t) 0,1 sur D. On prend t 0 D et on pose x(t 0 ) = x 0. Montrer que D D X et que x(t) = X(t) sur D, où X est définie par (5). Indication : On pourra raisonner par contradiction, en supposant D D X, et ne traiter que le x 0 > 1, le cas x 0 < 1 étant similaire et sans pertinence biologique. Il reste à traiter le cas des solutions x(t) non constantes quelconques, i.e. où on ne suppose pas a priori que x(t) 0,1. Comme déjà dit, ce sont en fait les mêmes que ci-dessus. 7) Soit x(t) une solution non constante de (4), définie sur un intervalle D. (i) Montrer qu il existe t 0 D tel que x(t 0 ) 0,1. Indication : on pourra utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. On pose x 0 = x(t 0 ). Il s agit de montrer que, comme précédement, D D X et que x(t) = X(t) sur D, où X est définie par (5). On peut supposer qu il existe t 1 D tel que x(t 1 ) {0,1} (sinon on a la conclusion par la question 6)). (ii) Montrer qu il existe un intervalle ]α,β[ D, contenant t 0, tel que x(t) 0,1 sur ]α,β[, mais tel que (1) α est fini et x(α) {0,1}, ou (2) β est fini et x(β) {0,1} (il n est pas exclu que α et β soient finis) (iii) Montrer que ]α,β[ D X et déduire de l expression de X(t) une contradiction. 8) Déduire des questions précédentes que pour toute donnée initiale y 0 R, il existe une unique solution maximale y(t) de (2), d intervalle de définition D et que - si y 0 {0,K}, alors D = R et y(t) = y 0 pour tout t. 1 le plus grand intervalle surquel X(t) est définie et dérivable 3

- si y 0 / {0,K}, avec K y(t) = 1 + ( K y 0 1)e a(t t 0) D = ],t 0 + ln(1 K y 0 )[, si y 0 < 0 D = R, si y 0 ]0,K[ D = ]t 0 + ln(1 K y 0 ),+ [, si y 0 > K. Tracer le graphe des solutions, selon x 0. Il ressort de l étude précédente que deux solutions maximales qui se croisent (i.e. y 1 (t) et y 2 (t) telles qu il existe t 1 avec y(t 1 ) = y(t 2 )) coincident (i.e y 1 (t) = y 2 (t) pour tout t). En particulier une solution stationnaire et une solution non stationnaire ne se croisent jamais. On note aussi que, si y 0 0, alors y(t) tend vers K lorsque t vers +. 2 Un peu de cours : comment généraliser cette démarche à d autres équations différentielles? A quoi sert un théorème d unicité? Définition 2.1 Soit f(t,x) une fonction de R R dans R; considérons l équation différentielle 2 : y = f(t,y) (6) Comme dans les exercices précédents, on cherche à prouver l existence et l unicité de la solution d une équation différentielle lorsqu on fixe sa condition initiale. Théorème 2.2 (Cauchy-Lipschitz) Soit f(t, x) une fonction de R R dans R; considérons l équation différentielle : y = f(t,y) (7) Si f est continues, et si les dérivées partielles f x existent3 sur R R et sont continues, alors, à chaque choix de l instant initial t 0 R et de la valeur initiale y 0 R, correspond une unique solution t y(t) de l équation différentielle (7) qui vérifie la condition initiale y(t 0 ) = y 0 ; l intervalle maximal sur lequel cette solution est définie (et dérivable) est de la forme I y0 = ]α, β [, où α et β dépendent 4 de t 0 et de y 0. t et f 2 Ceci signifie qu une fonction y est solution de l équation différentielle (6) ou (7) si et seulement si, pour toute valeur t pour laquelle y(t) est définie, y est dérivable et vérifie y (t) = f(t, y(t)). 3 On rappelle que f (t0, x0) est la dérivée partielle de f par rapport à t en (t0, x0), c est-à-dire la dérivée usuelle en t0 t de la fonction d une variable t f(t, x 0), où x 0 est fixé. De même, f (t0, x0) est la dérivée usuelle en x0 de x f(t0, x) x où t 0 est fixée 4 Ici α peut éventuellement prendre la valeur (quand la solution est définie sur l intervalle ], β [) et β peut éventuellement prendre la valeur + (quand la solution est définie sur l intervalle ] α, + [). Lorsque la solution est définie sur R entier, on a α = et β = +. 4

Il n existe pas de méthode pour trouver une solution explicite de (2.2) en toute généralité. C est pourquoi nous allons nous intéresser à la situation plus simple où l équation différentielle est de la forme y = f(y) (8) c est-à-dire lorsque la fonction f(t, x) ne dépend en fait pas de t, et qu on peut écrire f(t, x) = f(x). Une telle équation différentielle est dite autonome. En effet, on peut avoir dans ce cas une très bonne idée du comportement des solutions, même sans formule explicite pour y(t). Une étape clé est d identifier les solutions stationnaires et les positions d équilibre. Définition 2.3 Une solution stationnaire est une solution constante de (8). La valeur de cette constante est la position d équilibre correspondante. Ainsi, les différentes positions d équilibre de l équation différentielle (8) sont les zéros de la fonction f, c est-à-dire les valeurs b i telles que f(b i ) = 0. On utilise le théorème 2.2 pour démontrer les corollaires suivants : Corollaire 2.4 (Des solutions différentes ne se croisent pas) Si f est dérivable en tout point de R et de dérivée continue, deux solutions différentes de l équation différentielle : y = f(y) (9) ne se croisent jamais 5 ; d autre part une solution ne rencontre jamais une position d équilibre (sauf s il s agit d une solution stationnaire) ; enfin deux solutions qui prennent la même valeur diffèrent par une translation du facteur temps 6. Notons que dans le dernier cas, les graphes de t x(t) et t y(t) différent par une translation sur l axe (Ot). Ils sont disjoints, ou coincident si T = 0. Corollaire 2.5 (Stricte monotonie et convergence des solutions non stationnaires) Soit f dérivable en tout point de R et de dérivée continue, et y(t) une solution de l équation différentielle y = f(y), (10) définie sur un intervalle maximal ]α, β[. On suppose que y n est pas une solution stationnaire. Alors y est strictement monotone, y(]α,β[) =]a,b[, avec a pouvant être égal à, et b égal à +, et on a de plus : (i) Si y strictement croissante, ce qui équivaut à f > 0 sur ]α, β[ : si a est fini, alors c est une position d équilibre, α = et a = lim t y(t), si b est fini, alors c est une position d équilibre, β = + et b = lim t y(t). (ii) Si y strictement décroissante, ce qui équivaut à f < 0 sur ]α, β[ : si a est fini, alors c est une position d équilibre, β = + et a = lim t + y(t). si b est fini, alors c est une position d équilibre, α = et b = lim t y(t). Remarque : Le corollaire 2.5 dit essentiellement que y(t) converge aux bords de l intervalle, mais ne peut converger vers une limite finie en temps fini. Exercice 1. Démontrer le corollaire : 5 Précisément, si x et y sont deux solutions de l équation différentielle (10) telles qu il existe un point t 1 tel que x(t 1) y(t 1), alors x(t) y(t) pour tout t 6 Précisément, si x(t) et y(t) sont deux solutions de (10) telles qu il existe t 1 et t 2 pour lesquels x(t 1) = y(t 2), alors x(t) = y(t + T) pour T = t 2 t 1 5

a) Montrer que si y(t) n est pas stationnaire, alors y (t) 0 pour tout t. b) En déduire que y(t) est strictement monotone et que y(]α,β[) =]a,b[. On traite le cas où y est strictement croissante et on considère a, les autres cas étant semblables. c) Supposons a fini et α >. Montrer qu on peut prolonger la solution y(t) en α et en déduire une contradiction. d) Supposons a fini et α =. Montrer que f(a) = 0. Indication : Considérer une suite t i et appliquer le théorème des accroissements finis sur chaque intervalle [t i,t i+1 ]. Les deux corollaires précédents peuvent être illustrés par le dessin suivant : x(t),y(t),z(t), t L axe de droite représente la ligne de phase. Pouvez-vous identifier positions d équilibre, solutions stationnaires, et à quels énoncés des corollaires correspondent chaque courbe? Exercice 2 : Si les théorème et corollaires précédents sont vrais, comment se fait-il que l équation différentielle y = 3 ( y 2) 1/3 admette (d après l exemple 1.1) deux solutions différentes ȳ et ỹ de même donnée initiale : ȳ(0) = ỹ(0) = 0? Pour conclure, on résume dans le corollaire suivant les propriétés vues précédement : Corollaire 2.6 Considérons l équation différentielle : y = f(y), (11) où f est une fonction dérivable en tout point de R et de dérivée continue; si les zéros de f sont en nombre fini et ordonnés par ordre croissant (i. e si les zéros sont notés b 1, b 2,..., b k où b 1 < b 2 <... < b k ), alors 6

(i) si y est une solution dont la donnée initiale y(t 0 ) = y 0 vérifie b i < y 0 < b i+1 (où 1 i k 1), alors son intervalle maximal de définition est ], + [, on a b i < y(t) < b i+1 pour tout t, et de plus soit f(x) > 0 pour tout x ]b i, b i+1 [, et alors t y(t) est croissante et vérifie : lim y(t) = b i, lim y(t) = b i+1, t t + soit f(x) < 0 pour tout x ]b i, b i+1 [, et alors t y(t) est décroissante et vérifie : lim y(t) = b i+1, lim y(t) = b i, t t + (ii) si y est une solution dont la donnée initiale y(t 0 ) = y 0 vérifie y 0 > b k, alors on a y(t) > b k pour tout t situé dans l intervalle de définition, et de plus soit f(x) > 0 pour tout x ]b k, + [, et alors t y(t) est croissante, l intervalle maximal de définition de cette solution est de la forme ], β [ (où β est soit fini et supérieur à t 0, soit égal à + ), et on a : lim y(t) = b k, lim y(t) = +, t t β soit f(x) < 0 pour tout x ]b k, + [, et alors t y(t) est décroissante, l intervalle maximal de définition de cette solution est de la forme ]α, + [ (où α est soit fini et inférieur à t 0, soit égal à ), et on a : lim y(t) = +, lim y(t) = b k, t α t + (iii) si y est une solution dont la donnée initiale y(t 0 ) = y 0 vérifie y 0 < b 1, alors on a y(t) < b 1 pour tout t situé dans l intervalle de définition, et de plus soit f(x) > 0 pour tout x ], b 1 [, et alors t y(t) est croissante, l intervalle maximal de définition de cette solution est de la forme ]α, + [ (où α est soit fini et inférieur à t 0, soit égal à ), et on a : lim y(t) =, lim y(t) = b 1, t α t + soit f(x) < 0 pour tout x ], b 1 [, et alors t y(t) est décroissante, l intervalle maximal de définition de cette solution est de la forme ], β [ (où β est soit fini et supérieur à t 0, soit égal à + ), et on a : 3 Autres méthodes qualitatives lim y(t) = b 1, lim y(t) =. t t β Nous allons voir comment tracer l allure des solutions d une équation différentielle (E) u = f(t,u) sans chercher à la résoudre. Nous supposerons dans la suite que l équation (E) a une unique solution si on se donne une donnée initiale (t 0,u 0 ) (comme dans le théorème de Cauchy-Lipschitz). 7

3.1 Champs des directions En un point (t 0,u 0 ) du plan, il passe une unique solution de (E). La tangente en ce point (t 0,u 0 ) au graphe de cette unique solution a pour pente u (t 0 ) = f(t 0,u 0 ) d aprés (E). Petit rappel : Si F est une fonction dérivable en x 0, la tangente au graphe de F en (x 0,F(x 0 )) a pour équation y = F (x 0 )(x x 0 ) F(x 0 ). On peut donc associer à tout (t 0,u 0 ) la pente m 0 de l unique solution de (E) qui passe par ce point. De façon équivalente, on peut associer à tout point (t 0,u 0 ) le vecteur u 0 de norme 1, de pente m 0 passant par ce point (vecteur unitaire de la tangente au graphe de l unique solution de (E) passant par (t 0,u 0 )). L application (t 0,u 0 ) u 0 est le champs de directions (ou champs des tangentes) de l équation (E). Remarque : Ceci est un exemple de champs de vecteurs, qui est une application qui à tout point M du plan associe un vecteur v(m) du plan. Un exmple typique est un champs de forces, par exemple le champs de gravitation. 3.2 Méthode de la grille On suppose que l on travaille sur une partie du plan, par exemple le rectangle R = [a,b] [c,d] du théorème de Cauchy-Lipschitz. On le découpe ena carrés ou rectangles de taille uniforme. En tout point de cette grille, on trace le champs des directions. Le but est alors de tracer l allure des solutions sachant que par hypothèse : (a) En tout point de la grille, il passe une solution qui doit être tangente au vecteur du champs de direction (Existence). (b) Deux solutions ne peuvent se croiser, ou encore par un point donné de la grille il ne passe qu une seule solution (Unicité). Exemple : On considère l équation u = tu (c est à dire f(x,y) = xy). On commence par des observations. (i) Sur l axe de t et des u, f(t,u) = 0 et donc le champs des directions est horizontale. (ii) Le champs des directions est symétrique par rapport aux axes et donc par rapport à l origine : f( t,u) = f(t, u) = f(t,u). (iii) Pour t 0, les pentes (négatives) sont de plus en plus raides quand u (positif) augmente. (iv) Pour u positif fixé, les pentes négatives sont de plus en plus raides à mesure que t (positif) augmente. 8

On en déduit la figure suivante : 3.3 Méthode des isoclines Les isoclines I c sont des courbes sur lesquelles le champs des directions a une pente donnée : I c = {(t,u);f(t,u) = c}, où c est une constante fixée. Exemple : On reprend le cas de u = tu. Alors, l isocline I 0 est la réunion des droites t = 0 et u = 0 et si c 0, I c est une hyperbole. En chaque point d une isocline I c, la solution passant par ce point croise cette isocline avec la pente c : Attention, les isoclines ne sont pas des graphes de solutions de (E)! De manière pratique, on trace les isoclines I c pour les valeurs c = 0,+/ 1,+/ 2,+/. On essaye ensuite de tracer des solutions sachant qu une solution coupe par exemple l isocline I 1 avec une pente c = 1 et doit avoir une pente comprise entre 1 et 2 entre les isoclines I 1 et I 2. Reprenons l exemple u = tu : 9