PERIMETRES ET AIRES I. LONGUEUR D UN SEGMENT On ne met pas de crochet pour indiquer la longueur d un segment. E 4 cm F Ici, on peut donc écrire que EF = 4 cm. On n écrit jamais [EF] = 4 cm II. PERIMETRE D UNE FIGURE Peut-on clôturer ce terrain avec 110 m de grillage? 15,60 m 21,70 m 27,80 m 36,50 m On calcule le périmètre du terrain, qui correspond à la longueur de la clôture : P = 15,60 + 21,70 + 27,80 + 36,50 = 101,60 m Il y a donc assez de grillage. Le périmètre d une figure est la longueur de son contour. Pour calculer le périmètre d une figure, on additionne les longueurs de chacun des côtés de son contour et uniquement ceux-là! Remarque importante : Attention, pour calculer un périmètre il faut que toutes les longueurs soient dans la même unité!
4,5 cm 3 cm Pour ce carré : Pour ce losange : On pourrait faire P = 3 + 3 + 3+ 3 = 12 cm P = 4,5 + 4,5 + 4,5 + 4,5 = 18 cm Mais il est plus rapide d écrire : P = 4 3 = 12 cm ou P = 4 4,5 = 18 cm Le périmètre d un carré ou d un losange de côté c est donné par la formule P = 4 c. Pour un rectangle de longueur 7 cm et de largeur 4 cm, on pourrait faire : P = 7 + 4 + 7 + 4 = 22 cm Mais on peut aussi faire : 4 cm 4 cm 7 cm 7 cm On voit deux longueurs et deux largeurs donc : répètent : P = 2 7 + 2 4 = 14 + 8 = 22 cm On voit une longueur et une largeur qui se P = (7 + 4) 2 = 11 2 = 22 cm Le périmètre d un rectangle de longueur L et de largeur l est donné par les formules : P = 2 L + 2 l ou P = 2 ( L + l )
Le nombre «Pi» : π Lorsque l on veut mesurer le périmètre d un cercle, on se rend compte qu il y a un lien entre la mesure du rayon (ou du diamètre) et ce périmètre : le diamètre est multiplié par un nombre fixe qui vaut environ 3. Le nombre exact est appelé π, il se lit «Pi» qui est la lettre grecque pour p. Ce nombre n est pas un nombre décimal : il a une infinité de chiffres après la virgule. Si l on veut travailler avec une valeur approchée de ce nombre, on prendra π 3,14 mais il vaut mieux travailler avec la touche π d une calculatrice scientifique. Périmètre du cercle : Formules : Le périmètre d un cercle de rayon r et de diamètre d est donné par les formules : P = π d ou P = 2 π r Pour un cercle de rayon 6 cm : P = 2 π 6 = 12 π 37,7 cm Pour un cercle de diamètre 7 cm : P = π 7 22 cm
III. AIRE D UNE FIGURE L aire d une figure est la mesure de sa surface. On peut comparer l aire de plusieurs figures : Par superposition : On peut voir que l aire de cette figure est plus petite que celle du rectangle. En effet : Par découpage L aire de cette figure est égale à celle du rectangle. En effet : Par comparaison avec une même figure Les trois aires colorées sont égales car elles valent toutes le quart de l aire du carré.
L unité légale de longueur est le mètre carré, noté m². 1 m² correspond à l aire d un carré de 1 m de côté. Le mètre carré a des multiples : Le décamètre carré (dam²) L hectomètre carré (hm²) Le kilomètre carré (km²) Le mètre carré a des sous-multiples : Le décimètre carré (dm²) Le centimètre carré (cm²) Le millimètre carré (mm²) Pour passer d une unité à une autre : 1 dm² correspond à l aire d un carré de 1 dm de côté, c est-à-dire 10 cm de côté. On peut le découper en 100 petits carrés de 1 cm de côté comme ceci : Donc : 1 dm² = 100 cm² 1 cm² Pour passer d une unité d aire à une autre, on peut utiliser un tableau de conversion, comme celui-ci:
Pour ce carré : A = 3 3 = 9 cm² L aire d un carré de côté c est donnée par la formule A = c c = c² Pour ce rectangle : A = 7 4 = 28 cm² L aire d un rectangle de longueur L et de largeur l est donnée par la formule A = L l b = 6 cm Pour le triangle rectangle : On se rend compte qu un triangle rectangle est une moitié de rectangle donc : A = = 12 cm² a = 4 cm L aire d un triangle rectangle dont les côtés de l angle droit ont pour longueur a et b est donnée par la formule A =
Hauteur d un triangle : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. h = 3 cm Pour le triangle : Un triangle quelconque peut aussi être une moitié de rectangle donc : A = = 10,5 cm² c = 7 cm L aire d un triangle dont la hauteur mesure h et dont le côté opposé mesure c est donnée par la formule A = Aire du disque : L aire d un disque de rayon r est donnée par la formule : A = π r r = π r² Pour un cercle de rayon 6 cm : A = π 6² = π 6 6 = 36 π 113,1 cm²