Chapitre n o 2 ENDOMORPHISMES ET MATRICES CARRÉES

Chapitre n o 2 ALGÈBRE LINÉAIRE : COMPLÉMENTS ET RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET MATRICES CARRÉES OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir utiliser les formules de changement de base pour une matrice de vecteur, pour une matrice d endomorphisme. Connaître les caractérisations des valeurs propres. Savoir déterminer les éléments propres d un endomorphisme, d une matrice. Utiliser un polynôme annulateur dans la recherche des valeurs propres. Savoir déterminer si un endomorphisme, une matrice, est diagonalisable, et le/la diagonaliser. Connaître les applications classiques de la diagonalisation. Table des matières I Changement de base............................................ 2 1 Rappels................................................ 2 2 Matrice de passage et changement de base........................... 3 3 Sous-espaces stables par un endomorphisme......................... 5 4 Trace................................................. 6 II Éléments propres.............................................. 6 1 Éléments propres d un endomorphisme............................ 7 2 Éléments propres d une matrice................................. 9 3 Polynômes annulateurs...................................... 10 III Endomorphismes et matrices diagonalisables............................. 13 1 Réduction d un endomorphisme................................. 13 2 Interprétation matricielle, réduction d une matrice...................... 15 IV Applications de la diagonalisation.................................... 17 1 Calcul de la puissance d une matrice............................... 17 2 Suites récurrentes linéaires.................................... 17 1

Dans tout le chapitre, K désigne le corps R ou C. I CHANGEMENT DE BASE Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n N. 1 RAPPELS REMARQUE IMPORTANTE Une application linéaire f : E F, où F est un espace vectoriel, est entièrement déterminée par l image d une famille génératrice, donc a fortiori entièrement déterminée par l image d une base de E. Rappelons la définition qui permet d utiliser le calcul matriciel en algèbre linéaire. DÉFINITION 1 (Matrice d un endomorphisme dans une base ) Soit f un endomorphisme de E, soit B = (e 1,e 2,...,e n ) une base de E. On appelle matrice de f dans B, notée Mat B (f ) la matrice obtenue en écrivant dans la j -ème colonne les coordonnées de f (e j ) dans la base B : où pour tout j 1,n, f (e j ) = n a i j e i. Mat B (f ) = (a i j ) 1 i,j n, REMARQUE. D après la remarque précédente, la matrice de f détermine donc entièrement f : l application : L (E) M n (K) f Mat B (f ) est ainsi un isomorphisme d espaces vectoriels. EXEMPLES 1. 1) Soit f l application définie sur R 4 par : f (x, y, z, t) = (3x z t,2(z +2y),4z +3t,4t). Montrer que f est un endomorphisme de R 4 et déterminer sa matrice dans la base canonique de R 4, que l on rappellera. 2) Soit g l application définie sur R 3 [X ] par g (P) = P + 4P P(1). Montrer que g est un endomorphisme de R 3 [X ] et déterminer sa matrice dans la base canonique de R 3 [X ], que l on rappellera. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 2 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

3) Soit h l application définie sur M 2 (C) par : h a c b = 3a c d d 3d + 4c 4b + 2c. Montrer 4d que h est un endomorphisme de M 2 (C) et déterminer sa matrice dans la base canonique de M 2 (C), que l on rappellera. On rappelle ici un théorème fondamental sur le lien entre application linéaire en dimension finie et matrice. THÉORÈME 2 (fondamental de l algèbre linéaire ) Soient E et F deux espace vectoriels de dimension finie, munis respectivement des bases B et C. Soient A une matrice, u une application de E vers F. u est une application linéaire de E vers F et Mat B,C (u) = A si et seulement si pour tout vecteur x de vecteur colonne de coordonnées X dans B, u(x) a pour vecteur colonne de coordonnées AX dans C. REMARQUE IMPORTANTE Ce théorème peut, d une part, permettre de trouver rapidement par un calcul matriciel le vecteur image d un vecteur connaissant la matrice de l application linéaire et, d autre part, permettre de montrer rapidement qu une application est linéaire en trouvant dans le même temps sa matrice. Dans sa première utilisation, on obtient donc l équivalence, si x est un vecteur de E (de vecteur colonne de coordonnées X dans B), si y est un vecteur de F (de vecteur colonne de coordonnées Y dans C ) et si Mat B,C (u) = A : y = u(x) Y = AX. Dans sa deuxième utilisation, on écrit, pour tout vecteur x (de vecteur colonne de coordonnées X dans B), le vecteur des coordonnées dans la base C de u(x) sous forme d un produit de la forme AX où A est une matrice d ordre (p,n) et on obtient la linéarité de u ainsi que sa matrice dans les bases B,C. EXEMPLES 2. 1 0 1 1 2 0 0 3 1) Soit f l endomorphisme de R 3 [X ] dont la matrice dans la base canonique est A =. 0 1 1 1 2 4 1 1 Déterminer l image du polynôme X 3 + 2X par f. Vérifier le calcul en revenant à la définition de la matrice d un endomorphisme dans une base. 2) Soit g l application définie par : (x, y, z) R 3, g ((x, y, z)) = (x y, y + z). Montrer que g est une application linéaire dont on déterminera les espaces de départ, et d arrivée, et dont on donnera la matrice relativement aux bases canoniques de ces espaces. 2 MATRICE DE PASSAGE ET CHANGEMENT DE BASE Soient B, B et B trois bases de E. DÉFINITION 3 (Matrice de passage ) On appelle matrice de passage de la base B à la base B la matrice notée P B,B de M n (K) définie par : P B,B = Mat B,B (Id E ) = (a i j ) 1 i,j n, où a i j est la i -ème coordonnée dans la base B du j -ème vecteur de la base B. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 3 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

PROPOSITION 4 (Formules de changement de base ) Les propriétés suivantes sont valables pour les matrices de changement de base : P B,B = P B,B P B,B. P B,B est inversible et d inverse ( P B,B ) 1 = PB,B. Toute matrice inversible d ordre n est une matrice de passage d une base de E à une base de E. Soit x E de vecteur colonne de coordonnées X (resp. X ) dans la base B (resp. dans la base B ). Alors X = P B,B X. Soit u L (E) de matrice A (resp. A ) dans la base B (resp. B ). Alors A = P B,B A ( P B,B ) 1. On remarquera que ces formules donnent l "ancienne" matrice en fonction de la "nouvelle". REMARQUE. Ces formules sont équivalentes, par multiplication, à gauche ou à droite, par P = P B,B ou P 1 à : X = P 1 X, A = P 1 AP. EXEMPLE 3. Soit B une base de R 3, et e 1, e 2, e 3 les vecteurs de R 3 de matrices colonnes de coordonnées 1 1 1 dans B resp. E 1 = 1, E 2 = 2, E 3 = 1. 1 4 1 1) Montrer que B = (e 1,e 2,e 3 ) forme une base de R 3, donner la matrice de passage de B à B et en déduire la matrice de passage de B à B. 2) Soit p l endomorphisme de R 3 défini par p(e 1 ) = e 1, p(e 2 ) = (0,0,0), p(e 3 ) = (0,0,0). Donner la matrice p relativement à la base B puis à la base B. 3) Que dire de l endomorphisme p? DÉFINITION 5 (Matrice semblable à une autre ) Soient A et B deux matrices de M n (K). On dit que B est semblable à A s il existe une matrice inversible P M n (K) telle que B = P 1 AP. REMARQUES. Si M est semblable à la matrice nulle alors M Si M est semblable à la matrice identité alors M 1 0 0 EXEMPLE 4. B = 0 0 0 est semblable à A = 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 car B = P 1 AP avec P = 1 2 1. 0 0 0 2 1 1 1 4 1 PROPOSITION 6 (Propriétés de la relation de similitude ) Soient A, B, C trois matrices de M n (K). Alors : (réflexivité) A est semblable à A, (symétrie) Si A est semblable à B alors B est semblable à A, (transitivité) Si A est semblable à B et B est semblable à C alors A est semblable à C. En particulier, on pourra maintenant dire "A et B sont semblables" grâce à la symétrie. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 4 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

PROPOSITION 7 (Matrices d un endomorphisme et matrices semblables ) Deux matrices sont semblables si et seulement si elles sont les matrices d un endomorphisme dans deux bases éventuellement différentes. PROPOSITION 8 (Puissance de matrices semblables ) Soient A et B deux matrices semblables et P une matrice inversible telle que B = P 1 AP. Alors pour tout k N, B k = P 1 A k P. Démonstration. Par récurrence simple immédiate sur k, ou par produit télescopique. 3 SOUS-ESPACES STABLES PAR UN ENDOMORPHISME DÉFINITION 9 (Sous-espace stable ) Soit F un sous-espace vectoriel de E et u un endomorphisme de E. F est appelé sous-espace stable par u si l image par u de tout vecteur de F est encore dans F, i.e., u(f ) F. EXEMPLE 5. Si f et g sont deux endomorphismes de E tels que f g = g f alors Kerg et Img sont stables par f. PROPOSITION 10 (Endomorphisme induit sur un sous-espace stable ) Soit u L (E) et F un sous-espace vectoriel de E stable par u. Alors l application u F : F F x u(x) par u sur le sous-espace stable F. est bien définie, est un endomorphisme de F, appelé endomorphisme induit EXEMPLE 6. Montrer que le noyau d un endomorphisme f est stable par f. Quel est l endomorphisme induit par f sur Kerf? THÉORÈME 11 (Matrice d un endomorphisme dans une base adaptée à une somme de sev stables ) Soit E un espace vectoriel de dimension finie et u L (E). p Si E = F k et pour tout k dans 1, p, F k est stable par u, alors, en notant B = (B 1,...,B p ) une base de E adaptée à la somme directe, la matrice de u dans la base B est : A 1 0 0. 0 A.. Mat B (u) = 2......,.. 0 0 0 A p où pour tout k 1, p, A k est la matrice dans la base B k de l endomorphisme induit par u sur F k. La matrice Mat B (u) est appelée diagonale par blocs. Démonstration. Soient k dans 1, p et x un vecteur de la famille B k. Comme x F k, par stabilité de F k par u, u(x) F k. Par conséquent, u(x) est combinaison linéaire de la famille B k et ses coordonnées selon les vecteurs des familles B j, où j k sont toutes nulles. Cela prouve que les colonnes relatives aux vecteurs de la familles B k sont de la forme voulue. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 5 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

EXEMPLES 7. 1) Soient E un espace vectoriel de dimension finie n 2 et F un sous-espace vectoriel de E de dimension r dans 1,n 1. Il existe G un supplémentaire de F dans E. Notons B une base de E adaptée à la somme directe F G, p le projecteur sur F parallèlement à G. Montrer que F et G sont stables par p. En déduire que la matrice de p dans la base B est diagonale par blocs et la déterminer. 1 1 0 2) Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique de R 3 est A = 1 2 1. 1 0 1 On pose u = ( 1, 1,1), v = ( 1, 1, 1), w = (1, 1, 1), F = Vect(u), G = Vect(v, w). a) Montrer que (u, v, w) est une base de R 3. Qu en déduit-on concernant les sous-espaces F et G? b) Justifier que la matrice A de f dans la base (u, v, w) est diagonale par blocs et la déterminer. 4 TRACE DÉFINITION 12 (Trace ) On définit l application trace, notée Tr, sur M n (K) en disant que la trace d une matrice carrée est la somme de ses coefficients diagonaux : A = (a i j ) 1 i,j n M n (K), Tr(A) = 2 1 5 EXEMPLES 8. Tr 1 1 25 =, Tr(I n) =, Tr(0 n ) = 8 5 7 PROPOSITION 13 (Linéarité de la trace ) n a i i. La trace est une forme linéaire et sa matrice ligne canoniquement associée (de longueur n 2 ) comporte n 1 et le reste de 0. Par exemple, dans la base canonique B de M 3 (C), Mat B (Tr) = PROPOSITION 14 (Propriété de la trace ) Soient A M np (K) et B M pn (K) alors Tr(AB) = Tr(B A). COROLLAIRE 15 (Invariance de la trace par changement de base ) Deux matrices semblables ont même trace. Par conséquent, si A et B sont les matrices d un même endomorphisme de E dans des bases éventuellement différentes alors elles ont même trace. On peut ainsi définir la trace d un endomorphisme f de E par Tr(f ) = Tr(Mat B (f )) où B est n importe quelle base de E. II ÉLÉMENTS PROPRES Maintenant que nous savons calculer la matrice d un endomorphisme d un espace vectoriel de dimension finie dans des bases différentes (on obtient des matrices carrées semblables), il serait intéressant de chercher une base dans laquelle la matrice de l endomorphisme est assez simple, notamment diagonale, ou, à défaut, diagonale par blocs ou triangulaire. C est l objectif de ces deux parties. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 6 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

1 ÉLÉMENTS PROPRES D UN ENDOMORPHISME Soit E un K-espace vectoriel. DÉFINITION 16 (Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres et spectre d un endomorphisme ) Soit u L (E) et λ K. λ est dite valeur propre de u s il existe un vecteur non nul x E \ {0 E } tel que u(x) = λx. Le vecteur non nul x de E est alors appelé vecteur propre de u associé à la valeur propre λ. On appelle sous-espace propre de u associé à la valeur propre λ l ensemble constitué du vecteur nul et de tous les vecteurs propres de u associés à la valeur propre λ. On le note E λ (u) et on a donc : E λ (u) = {x E u(x) = λx}. On appelle spectre de u, noté Sp(u) l ensemble de toutes les valeurs propres de u : Sp(u) = {λ K x E \ {0 E } ; u(x) = λx}. REMARQUES. La condition x 0 E est essentielle car sans celle-ci, tous les scalaires seraient valeurs propres de u. En effet, le vecteur nul vérifie bien : u(0 E ) = 0 E = λ.0 E quel que soit λ K. En particulier, 0 est valeur propre de u ssi u n est pas injectif. Ainsi, si λ est valeur propre de u, les vecteurs propres associés à λ sont les vecteurs non nuls du sous-espace propre E λ (u). Toute somme finie de sous-espaces propres associés à des valeurs propres non nulles est incluse dans Im(u). En effet, si x est vecteur propre ( de u associé à la valeur propre λ non nulle, alors u(x) = λx x d où par linéarité de u, x = u Im(u). Comme Im(u) est un sous-espace vectoriel de E, λ) PROPOSITION 17 une somme de tels vecteurs propres appartient à Im(u). Soit u L (E) et λ Sp(u). Alors E λ (u) = Ker(u λid E ) est un sous-espace vectoriel non nul de E. THÉORÈME 18 (Caractérisation des valeurs propres d un endomorphisme ) Si E de dimension finie et u L (E), λ K, les assertions suivantes sont équivalentes : λ Sp(u), Ker(u λid E ) {0 E }, rg(u λid E ) < dim(e), u λid E non injective, u λid E non surjective, u λid E G L (E). EXEMPLES 9. 1) Soit u l endomorphisme de R 2 défini par u((1,0)) = (1, 3), u((0,1)) = ( 3,1). Déterminer spectre et sous-espaces propres de u. 2) Soit u l endomorphisme de C 2 défini par u((1,0)) = (1, 3), u((0,1)) = ( 3,1). Déterminer spectre et sous-espaces propres de u. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 7 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

THÉORÈME 19 (Propriétés des sous-espaces propres ) Soient u L (E), p N. Tout sous-espace propre de u est stable par u. Si λ 1,..., λ p sont des valeurs propres deux à deux distinctes de u, alors les sous-espaces propres associés E λ1 (u),..., E λp (u) sont en somme directe. Par conséquent, dime λ (u) dim(e). Démonstration. Soit u un endomorphisme de E. Si λ K, u λid E commute avec u donc d après l exemple 4, Ker(u λid E ) est stable par u, en particulier si λ est une valeur propre de u. Procédons par récurrence sur p N où la propriété de récurrence est P (p) "Si λ 1,..., λ p sont des valeurs propres deux à deux distinctes de u, alors les sous-espaces propres associés E λ1 (u),..., E λp (u) sont en somme directe.". Si p = 1, la propriété est vraie car il n y a rien à prouver. Supposons la propriété P (p) vraie au rang p fixé. Soient λ 1,..., λ p+1 des valeurs propres deux à deux distinctes de u. Montrons que la somme E λ1 (u) +... + E λp+1 (u) est directe grâce à l équivalence entre les deux assertions suivantes : p p F k = F k (la somme est directe) (x 1,..., x p ) p F k, x 1 +... + x p = 0 E = k 1, p, x k = 0 E. Ainsi, posons (x 1,..., x p+1 ) p+1 E λk (u) tel que x = p+1 x k = 0 E. Comme u est linéaire, u(x) = 0 E, et donc d une part u(x) λ p+1 x = 0 E λ p+1 0 E = 0 E. D autre part, Ainsi p+1 u(x) λ p+1 x = p (λ k λ p+1 )x k = 0 E. p+1 u(x k ) p+1 λ p+1 x k = (λ k λ p+1 )x k = p (λ k λ p+1 )x k. Or pour tout k 1, p, (λ k λ p+1 )x k E λk (u) donc par hypothèse de récurrence, la somme des p sous-espaces associés à des valeurs propres distinctes E λ1 (u) +... + E λp (u) étant directe, pour tout k 1, p, (λ k λ p+1 )x k = 0 E. Comme λ 1,..., λ p+1 sont deux à deux distinctes, pour tout k 1, p, x k = 0 E, et comme x = 0 E, de même, x p+1 = 0 E. L hérédité est vérifiée. Par le principe de récurrence simple sur p, la propriété P (p) est vraie pour tout p N. D après ce qui précède, E λ (u) = E λ (u) est un sous-espace vectoriel de E, donc ( ) dime λ (u) = dim E λ (u) dim(e). ECS2, Lycée Pothier, Orléans 8 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

COROLLAIRE 20 (Familles libres de sous-espaces propres ) Soit u L (E). Une concaténation de familles libres de sous-espaces propres de u associés à des valeurs propres distinctes forme une famille libre de E. En particulier, toute famille de vecteurs propres de u associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. Si E est de dimension finie n N alors u possède au plus n valeurs propres. Démonstration. Soient F 1,...,F p p familles libres associés à p sous-espaces propres distincts de u. Soit x une combinaison linéaire des vecteurs de la famille concaténée (F 1,...,F p ). Alors il existe (x 1,..., x p ) p vecteurs tels que x = x 1 +... + x p et pour tout j 1, p, x j soit combinaison linéaire de F j. Supposons que x = 0 E et montrons que les scalaires de la combinaison linéaire x sont tous nuls. D après l équivalence sur les sommes directes rappelée dans la preuve précédente, comme x 1 +... + x p = 0 E et que ces vecteurs sont éléments de sous-espaces propres distincts donc en somme directe, x 1 =... = x p = 0 E. Comme pour tout j 1, p, x j est une combinaison linéaire de la famille libre F j, x j = 0 E implique que tous les coefficients de la combinaison linéaire x j sont nuls. Ceci étant vrai pour tout j, tous les scalaires de la combinaison linéaire x sont nuls. Un vecteur propre étant par définition non nul, il forme une famille libre d un sous-espace propre, d où le résultat. Si E est de dimension finie n, on sait qu une famille libre de E comporte au plus n vecteurs d où le résultat. 2 ÉLÉMENTS PROPRES D UNE MATRICE 0 Soit n N 0. 0 représente ici le vecteur colonne nul à n lignes.. 0 DÉFINITION 21 (Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres et spectre d une matrice ) Soit A M n (K) et λ K. λ est dite valeur propre de A s il existe un vecteur colonne non nul X M n1 (K) \ {0} tel que AX = λx. Le vecteur colonne non nul X est alors appelé vecteur propre de A associé à la valeur propre λ. On appelle sous-espace propre de A associé à la valeur propre λ l ensemble constitué du vecteur nul et de tous les vecteurs propres de A associés à la valeur propre λ. On le note E λ (A) et on a donc : E λ (A) = {X M n1 (K) AX = λx }. On appelle spectre de A, noté Sp(A), l ensemble de toutes les valeurs propres de A : Sp(A) = {λ K X M n1 (K) \ {0} ; AX = λx }. REMARQUES. La condition X 0 est essentielle car sans celle-ci, tous les scalaires seraient valeurs propres de A. En effet, le vecteur nul vérifie bien : A 0 = 0 = λ.0 quel que soit λ K. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 9 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

Ainsi, si λ est valeur propre de A, les vecteurs propres associés à λ sont les vecteurs non nuls du sous-espace propre E λ (A). PROPOSITION 22 Soit A M n (K) et λ Sp(A). Alors E λ (A) = {X M n1 (K) (A λi n )X = 0} est un sous-espace vectoriel non nul de M n1 (K). THÉORÈME 23 (Caractérisation des valeurs propres d une matrice ) Si A M n (K), λ K, les assertions suivantes sont équivalentes : λ Sp(A), {X M n1 (K) (A λi n )X = 0} {0}, le système homogène (A λi n )X = 0 admet une autre solution que la solution nulle, le système homogène (A λi n )X = 0 n est pas de Cramer, rg(a λi n ) < n, A λi n G L n (K). EXEMPLE 10. Déterminer le spectre, dans R et dans C, et les sous-espaces propres de A = 1 3. 3 1 COROLLAIRE 24 (Spectre d une matrice triangulaire ) Les valeurs propres d une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux. THÉORÈME 25 (Lien entre éléments propres d un endomorphisme et de sa matrice dans une base choisie ) Soient E un espace vectoriel de dimension finie n N et de base B, u L (E) et A = Mat B (u) sa matrice dans la base B. Soient x E et X = Mat B (x) la matrice colonne des coordonnées de x dans la base B. Alors : Sp(u)=Sp(A), Si λ Sp(u) alors : x est vecteur propre de u associé à la valeur propre λ si et seulement si X est vecteur propre de A associé à la valeur propre λ. 3 POLYNÔMES ANNULATEURS Soit E un K-espace vectoriel, n N. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 10 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

DÉFINITION 26 (Polynôme annulateur ) Soit P = P(X ) = m a k X k K[X ]. k=0 Soit u L (E), on note P(u) l endomorphisme défini par : P(u) = m a k u k, où u k désigne } u u {{... u } et u 0 = Id E. k fois k=0 P est appelé polynôme annulateur de u si P(u) est l endomorphisme nul, i.e. P(u) = 0 L (E). Soient n N, A M n (K), on note P(A) la matrice définie par : P(A) = m a k A k. P est appelé polynôme annulateur de A si P(A) est la matrice nulle, i.e. P(A) = 0 n. k=0 EXEMPLE 11. Justifier que X 1 est un polynôme annulateur de Id E. Déterminer un polynôme annulateur de l endomorphisme nul. REMARQUE. Le polynôme nul est annulateur de tous les endomorphismes et toutes les matrices. PROPOSITION 27 (Propriétés des polynômes d endomorphismes ) Soient u L (E), A M n (K), λ K, (P,Q) K[X ] 2, x E, X M n1 (K). Alors : (λp +Q)(u) = λp(u) +Q(u) Si u(x) = λx alors P(u)(x) = P(λ)x, Si AX = λx alors P(A)X = P(λ)X. (PQ)(u) = P(u) Q(u) = Q(u) P(u) = (QP)(u), Démonstration. Le cas de la combinaison linéaire de polynômes se montre grâce aux opérations sur les polynômes et aux propriétés sur les combinaisons linéaires d endomorphismes. Cas du produit de deux polynômes. Notons P = m a k X k, Q = k=0 p b k X k. Alors PQ = k=0 j =0 i=0 m+p m+p j =0 k=0 c k X k où c k = i=0 k a j b k j (en posant a j = 0 si j > m et b j = 0 si j > p) et (PQ)(u) = c k u k. k=0 ( ) m p m p m Par ailleurs, P(u) Q(u) = ( a j u j ) ( b i u i ) = a j u j ( b i u i p ) = a j b i u j u i ) par linéarité de u j. Ainsi, P(u) Q(u) = 0 k m+p 0 j m k p j k k=0 m j =0 i=0 p a j b i u j +i = j =0 j =0 (j,i ) 0,m 0,p i=0 a j b i u j +i car les sommes sont finies. En faisant le changement ( d indice k i + j (supprimant i ), on obtient P(u) Q(u) = a j b k j u k p+m k = a j b k j )u k, avec les mêmes conventions que j =0 précédemment sur les coefficients a j et b j. Pour le troisième cas, il suffit de montrer par récurrence simple sur k que si u(x) = λx, alors pour tout k N, u k (x) = λ k x et d utiliser les propriétés de la sommation. Pour le dernier cas, il suffit d utiliser le théorème fondamental de l algèbre en utilisant le cas précédent avec u endomorphisme de R n canoniquement associé à A. REMARQUE. Il n y a donc pas unicité du polynôme annulateur car P(u) = 0 (PQ)(u) = 0 quel que soit le polynôme Q. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 11 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

REMARQUE IMPORTANTE Si E est de dimension finie, le polynôme P annule u L (E) si et seulement si P annule la matrice de u dans une base de E. En effet, la matrice d une somme d endomorphismes est la somme des matrices, la matrice d une composée est le produit des matrices, la matrice de l endomorphisme nul est la matrice nulle. EXEMPLE 12. Soit f l endomorphisme de R 3 défini par f (x, y, z) = (2x + 2y + z, x y z, x + 2y + 2z). Montrer que f f 2f + Id R 3 = 0. En déduire un polynôme annulateur de f. EXEMPLE 13. Déterminer un polynôme annulateur d une homothétie de rapport µ, d un projecteur. THÉORÈME 28 (Existence d un polynôme annulateur non nul ) Si E est dimension finie et si u L (E), alors u possède un polynôme annulateur non nul. Démonstration. Notons n la dimension de E. On sait que diml (E) = n 2 donc la famille (Id E,u,u 2,...,u n2) d éléments de L (E) et de cardinal n 2 +1 est liée. Par conséquent, il existe n 2 +1 scalaires non tous nuls tels que la combinaison linéaire formée à partir de ces scalaires et de ces vecteurs soit nulle : il existe un polynôme non nul, de degré au plus n 2 + 1, de u. PROPOSITION 29 (Spectre d un polynôme d endomorphisme ) Si u L (E), λ Sp(u), x E λ (u), alors P(u)(x) = P(λ)x. Par conséquent, P(λ) Sp(P(u)). Démonstration. En utilisant la dernière propriété sur les polynômes d endomorphisme. THÉORÈME 30 (Lien entre racines d un polynôme annulateur et spectre ) Si u L (E) (resp. A M n (K) où n N ) admet P comme polynôme annulateur alors toute valeur propre de u (resp. A) est racine de P. Démonstration. Soit u L (E) admettant P comme polynôme annulateur et λ une valeur propre de u. Alors par définition, il existe x E \ {0 E } tel que u(x) = λx. D après la dernière proposition, 0 E = P(u)(x) = P(λ)x. Or x 0 E d où P(λ) = 0 et λ est racine de P. REMARQUE IMPORTANTE Ce théorème permet, connaissant un polynôme annulateur, de déterminer un ensemble de valeurs propres possibles. Sa réciproque est fausse : une racine du polynôme annulateur n est pas nécessairement une valeur propre de l endomorphisme/la matrice. EXEMPLES 14.1) Déterminer les éléments propres de f, endomorphisme de R 3 défini par f (x, y, z) = (2x + 2y + z, x y z, x + 2y + 2z) en s appuyant sur l exemple 12. 2) Déterminer les valeurs propres possibles d une homothétie de rapport µ. À quelle condition ces valeurs propres possibles sont-elles effectivement valeurs propres et quels sont les sous-espaces propres associés dans ce cas? 3) Déterminer les valeurs propres possibles d un projecteur. À quelle condition ces valeurs propres possibles sont-elles effectivement valeurs propres et quels sont les sous-espaces propres associés dans ce cas? ECS2, Lycée Pothier, Orléans 12 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

MÉTHODE Soient E un K-espace vectoriel, u L (E). Si E est de dimension infinie, on utilise la définition des éléments propres : les valeurs propres de u sont les scalaires λ tels qu il existe x 0 E tel que u(x) = λx. Si E est de dimension finie, alors on peut calculer la matrice A de u dans une base donnée de E. Si l on connaît un polynôme annulateur de A ou u ou que l on peut facilement en déterminer un, on recherche ses racines (racines évidentes, factorisation grâce à une division euclidienne... ). Parmi ces racines (en nombre fini), on détermine les scalaires λ qui sont effectivement valeurs propres grâce à l une des multiples caractérisations des valeurs propres (rang de u λid E ou A λi n, noyau de u λid E, inversibilité de A λi n, obtention d un vecteur propre... ). Si l utilisation d un polynôme annulateur n est pas adéquate, on utilise l une des caractérisations précédentes avec λ un scalaire quelconque. Si les espaces propres sont également demandés, il est plus judicieux, plutôt que déterminer uniquement si le système a une solution non nulle, de trouver ces solutions : on cherche à résoudre en X le système (A λi n )X = 0. On obtient alors que le système a des solutions non nulles si et seulement si λ est valeur propre de u/a. Le sous-espace propre E λ (A) est l ensemble des vecteurs colonnes X solutions. Le sous-espace propre E λ (u) de u associé à λ est alors l ensemble des vecteurs x de E de vecteurs de coordonnées X. EXEMPLE 15. Soit f l endomorphisme de E, espace vectoriel de base B = (e 1,e 2,e 3,e 4 ), défini par : f (e 1 ) = e 1 e 2 + e 4, f (e 2 ) = 2e 1 e 4, f (e 3 ) = 2e 1 + e 2 e 3 e 4, f (e 4 ) = 2e 1 + e 2 + 2e 4. 1) Déterminer la matrice A de f dans la base B. 2) Déterminer les valeurs propres de A. 3) En déduire les éléments propres de f. 4) Soient C,C,C les bases respectives des sous-espaces propres trouvées. Justifier que B = (C,C,C ) est une base de E. Déterminer la matrice de f dans cette base. Que remarque-ton? III ENDOMORPHISMES ET MATRICES DIAGONALISABLES Nous recherchons maintenant à quelle condition, en dimension finie, un endomorphisme possède une base dans laquelle sa matrice est diagonale. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n N. 1 RÉDUCTION D UN ENDOMORPHISME DÉFINITION 31 (Endomorphisme diagonalisable ) Un endomorphisme u L (E) est dit diagonalisable (dans K) s il existe une base de E formée de vecteurs propres de u, i.e. il existe (x 1,..., x n ) base de E tel que pour tout i 1,n, x i soit vecteur propre de u. PROPOSITION 32 Soit u L (E). u est diagonalisable si et seulement s il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale. Dans ce cas, la diagonale de la matrice est composée des valeurs propres de u dans l ordre associé à l ordre des vecteurs propres dans la base. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 13 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

Démonstration. Supposons que u soit diagonalisable. Il existe alors B = (x 1,..., x n ) base de E formée de vecteurs propres de u. Notons λ 1,...,λ n les valeurs propres de u associées respectivement aux vecteurs propres x 1,..., x n : i 1,n, u(x i ) = λ i x i (certaines des valeurs propres λ i peuvent être égales). La matrice de u dans la base B est alors : λ 1 0 0 Mat B (u) =. 0.. 0, 0 0 λ n qui est bien diagonale de coefficients diagonaux les valeurs propres de u dans l ordre associé à celui des vecteurs propres. Réciproquement, supposons qu il existe une base B = (x 1,..., x n ) de E dans laquelle la matrice de u est diagonale. Notons alors λ 1 0 0 Mat B (u) = diag(λ 1,...,λ n ) =. 0.. 0. 0 0 λ n Soit i 1,n. Grâce à la i -ème colonne de la matrice, on lit u(x i ) = λ i x i. De plus, comme B est une base donc libre, x i 0 E. Ainsi, x i est vecteur propre de u associé à la valeur propre λ i. Les coefficients diagonaux de la matrice sont des valeurs propres de u dans l ordre associé à celui des vecteurs propres de la base. EXEMPLE 16. Justifier que l application nulle de E et l application Id E sont diagonalisables. Donner pour chacune d entre elles une base de diagonalisation. THÉORÈME 33 (Critères de diagonalisabilité d un endomorphisme ) Soit u L (E). Les assertions suivantes sont équivalentes : u est diagonalisable, E est la somme directe des sous-espace propres de u : E = E λ (u), La dimension de E est la somme des dimensions des sous-espaces propres de u : dim(e) = dime λ (u). Démonstration. Raisonnons par implications circulaires. Si u est diagonalisable, en notant Sp(u) = {λ 1,...λ p } (où les λ i sont deux à deux distincts), il existe une base de E dont chaque vecteur appartient à l un des E λi (u). On en déduit que p E = E λi (u). Or d après les propriétés des sous-espaces propres, on sait qu ils sont en p somme directe, donc E = E λi (u). Si E = E λ (u), par les propriétés d une somme directe en dimension finie, dim(e) = dime λ (u). ECS2, Lycée Pothier, Orléans 14 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

Supposons que dim(e) = dime λ (u), alors comme les sous-espaces propres sont en somme directe, dim p E λi (u) = vectoriel de E et E est de dimension finie donc p dime λ (u) = dim(e). Or E λi (u) est un sous-espace p E λi (u) = E. Une base de E adaptée à cette somme directe est une base constituée de vecteurs propres de u, donc u est diagonalisable. EXEMPLE 17. L endomorphisme de R 2 représenté par la matrice 1 1 dans la base canonique de R 2 est-il 1 2 diagonalisable? L endomorphisme de C 2 représenté par la matrice 1 1 dans la base canonique de C 2 est-il 1 2 diagonalisable? PROPOSITION 34 (Condition suffisante de diagonalisabilité ) Tout endomorphisme de E admettant n (n = dime) valeurs propres distinctes est diagonalisable et chaque sous-espace propre est une droite vectorielle. Démonstration. Si u admet n valeurs propres distinctes λ 1,...,λ n alors, comme pour tout i dans 1,n, on a n dime λi (u) 1, on en déduit dime λi (u) n. Par ailleurs, les sous-espaces propres étant en somme directe et sous-espaces vectoriels de n n E, n = dime dim E λi (u) = dime λi (u). En conclusion, n = dime = n dime λi (u) et pour tout i dans 1,n, dime λi (u) = 1. EXEMPLE 18. Soit n N. Montrer que u : K n [X ] K n [X ] est un endomorphisme diagonalisable P P (X 1)P dont on précisera le spectre et les sous-espaces propres. 2 INTERPRÉTATION MATRICIELLE, RÉDUCTION D UNE MATRICE DÉFINITION 35 (Matrice diagonalisable ) Une matrice A est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, i.e. il existe P G L n (K) telle que P 1 AP soit diagonale. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 15 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

THÉORÈME 36 (Critères de diagonalisabilité d une matrice ) Soit A M n (K). Les assertions suivantes sont équivalentes : 1) A est diagonalisable, 2) A est semblable à une matrice diagonale, 3) M n1 (K) est la somme (directe) des sous-espaces propres de A, 4) la somme des dimensions des sous-espaces propres de A vaut n, 5) il existe une base de M n1 (K) constituée de vecteurs propres de A, 6) A est la matrice d un endomorphisme diagonalisable. Dans ce cas, en posant A = PDP 1 où D est diagonale et P inversible, les colonnes de P forment une base de M n1 (K) constituée de vecteurs propres de A. Démonstration. les deux premières assertions sont équivalentes par définition. Les assertions 3,4,5 sont équivalentes par propriétés de la somme de sous-espaces propres. Supposons les assertions 1/2, notons B la base canonique de M n1 (K). Comme A est diagonalisable, posons P telle que P 1 AP soit diagonale égale à D. P étant inversible, notons B la base de M n1 (K) telle que P soit la matrice de passage de B à B. Notons α l endomorphisme de M n1 (K) canoniquement associé à A : α : M n1 (K) M n1 (K) X AX éléments propres de A sont exactement ceux de α. La matrice de u dans la base B est, par formule de changement de base, A = P 1 AP = D donc est diagonale. Ainsi, α est diagonalisable et les propriétés 3/4/5 sont vérifiées. Supposons les assertions 3/4/5. Notons B une base de M n1 (K) constituée de vecteurs propres de A ou de α. Ainsi, la matrice de α dans B est diagonale et, par formule de changement de base, égale à P 1 AP, donc A est diagonalisable. Détaillons les équivalences avec la dernière assertion dans le théorème qui suit. THÉORÈME 37 (Résultat fondamental de la réduction ) Soient u L (E), B une base de E et A = Mat B (u). Alors Plus précisément : u est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable. Si u est diagonalisable et B une base constituée de vecteurs propres de u, associés respectivement aux valeurs propres λ 1,...,λ n (non nécessairement distinctes), alors la matrice de u dans la base B est λ 1 0 0 P 1 AP =. 0.. 0, 0 0 λ n où P = P B,B. λ 1 0 0 Si A est diagonalisable et P une matrice inversible telle que P 1 AP =. 0.. 0 diagonale, 0 0 λ n alors en notant B la base de E telle que P = P B,B, B est une base de vecteurs propres de u associés respectivement aux valeurs propres λ 1,...,λ n.. Les EXEMPLE 19. Important. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 16 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

Soit u L (E) admettant une unique valeur propre λ. Montrer que u est diagonalisable si et seulement si u est l homothétie de rapport λ. IV APPLICATIONS DE LA DIAGONALISATION Certains résultats, valables pour les matrices diagonales, permettront donc d en obtenir d autres pour les matrices diagonalisables. 1 CALCUL DE LA PUISSANCE D UNE MATRICE. PROPOSITION 38 (Puissances d une matrice diagonale ) Soit D une matrice diagonale. Alors pour tout p N, D p est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont des puissances p-èmes des coefficients diagonaux de D : α 1 0 0. 0.. 0 0 0 α n p α p 1 0 0 =. 0.. 0. 0 0 α p n Démonstration. Par récurrence simple sur p, utilisant le produit de deux matrices diagonales. n EXEMPLE 20. 1) Déterminer, pour n N, 3 4. 2 1 2) En déduire u } u {{... u } où u : R 1 [X ] R 1 [X ] n fois ax + b (a 2b)X + 3b 4a. 2 SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES MÉTHODE (Suites croisées ) Soient (u n ) et (v n ) deux suites données par leur premier terme u 0, v 0 et la relation de récurrence : u n+1 = au n + bv n n N, où (a,b,c,d) K 4 sont connus. v n+1 = cu n + d v n En posant A = a c b et X n = u n, on constate que la relation de récurrence équivaut à : d v n n N, X n+1 = AX n. On montre alors par une récurrence simple que : n N, X n = A n X 0. Il suffit donc de connaître A n pour exprimer u n et v n en fonction de n, u 0, v 0. EXEMPLE 21. On pose les suites (u n ) et (v n ) définies par u n+1 = 3u n 4v n u 0 = 0, v 0 = 1, n N, v n+1 = v n 2u n Exprimer le terme général d indice n de chaque suite. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 17 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018

MÉTHODE (Suite récurrente linéaire d ordre supérieur à 3 ) Soit (u n ) une suite récurrente linéaire telle que n N, u n+3 = au n+2 + bu n+1 + cu n. En posant 0 1 0 u n A = 0 0 1 et X n = u n+1, on constate que la relation de récurrence équivaut à : c b a u n+2 n N, X n+1 = AX n. On montre alors par une récurrence simple que : n N, X n = A n X 0. Il suffit donc de connaître A n pour exprimer u n en fonction de n, u 0, u 1, u 2 grâce à la première ligne de la matrice X n = A n X 0. EXEMPLE 22. On pose la suite (u n ) définie par u 0 = 0, u 1 = 1, u 2 = 2, n N, u n+3 = u n+2 + 4u n+1 4u n. Exprimer le terme général d indice n de la suite. ECS2, Lycée Pothier, Orléans 18 / 18 mise à jour : 21 septembre 2018