Synchronisation en Communications Numériques

Synchronisation en Communications Numériques 2005 1/82

Plan 1. Généralités : synchronisation en communications numériques 2. Exemple élémentaire : estimation de la phase d une porteuse pure 3. L outil fondamental : la boucle d asservissement de phase (PLL) 4. Synchronisation phase/fréquence en communications numériques Approche Data Aided Approche Non-Data Aided 5. Synchronisation Temps Approche Data Aided Approche Non-Data Aided 2005 2/82

Références Pour aller à l essentiel : A. Pacaud, Synchronisation : boucle d asservissement de phase, poly Supélec J.G. Proakis, Digital Communications, Mac Graw-Hill J-M. Brossier Egalisation et synchronisation Pour aller plus loin : U. Mengali, A.N. D Andrea, Synchronization Techniques for Digital Receivers, Plenum Press. F.M. Gardner, Phaselock Techniques, Wiley. 2005 3/82

Généralités Le Problème de la Synchronisation 2005 4/82

Généralités 1. Contexte Général Émetteur Signal émis (bande étroite) : s(t) = Re [s ] b (t)e i(2πf 0t+ψ) f 0 est la fréquence porteuse bande du signal [f 0 B 2, f 0 + B 2 ] ψ est un offset de phase de l oscillateur d émission s b (t) est l enveloppe complexe du signal émis (bande de base) Enveloppe complexe s b (t) Cas d intérêt dans ce cours : modulations numériques à formant s b (t) = n Z a n g(t nt ) {a n } n Z suite de symboles (données transmises) g(t) filtre de mise en forme (demi-nyquist) T est la période symbole (1/T est le rythme de l horloge d émission) 2005 5/82

Généralités Autres cas possibles Radio AM : s b (t) signal de parole modulation d amplitude analogique s b (t) = A transmission d une porteuse non modulée etc. Canal monotrajet à bruit blanc additif gaussien (BBAG) Signal reçu : r(t) = s(t τ) + w(t) [ ] = Re s b (t τ)e i(2πf 0t+φ) + w(t), où φ = ψ 2πf 0 τ w(t) BBAG de variance σ 2 Récepteur But : récupérer l information transmise (détection de la suite {a n }) Problème : φ et τ sont inconnus du récepteur Il faut estimer le vecteur de paramètres p = [φ, τ] T afin de récupérer l info. 2005 6/82

Généralités Synchronisation en fréquence δf 0 offset de fréquence inconnu du récepteur [ ] r(t) = Re s b (t τ)e i(2π(f 0+δf 0 )t+φ) + w(t) Causes : effet Doppler, différence entre fréquences d émission / réception Synchronisation de l horloge (ou synchronisation du rythme) Différence de rythme 1/T d émission / de réception Paramètres de synchronisation : p = [φ, τ, δf 0, T ] T 2005 7/82

Généralités 2. Estimation des Paramètres Objectif On observe r(t) sur une durée T 0 On souhaite estimer le vecteur de paramètres p à partir de ces observations Utilisation du critère du Maximum de Vraisemblance (MV) Hypothèses Soit p le vecteur des paramètres inconnus H1. p invariant sur un bloc de durée T 0 (= approche bloc) H2. Seul le vecteur de paramètres p est inconnu s b (t) est supposé connu du récepteur pendant la durée T 0 Justification de l hypothèse H2 : a) si l émetteur transmet une séquence d apprentissage connue du récepteur b) si le récepteur a effectué une détection préalable des données (retour de décision) c) si l émetteur transmet une porteuse pure, i.e. s b (t) = A dans ce dernier cas, p se limite à p = [φ, δf 0 ] T! (T et τ n ont plus lieu d être) 2005 8/82

Généralités Notation : s(t, p) = Re [ s b (t τ)e i(2πf 0t+φ) ]. r(t) = s(t, p) + w(t) Rappel : la vraisemblance Λ(p) est la densité de proba des observations (i.e. signal r(t) observé sur la durée T 0 ) sachant la valeur p du vecteur des paramètres ˆp MV = arg max p Λ(p) Théorème : L estimée des paramètres au sens du MV est donnée par a Preuve : ˆp MV = arg max p T 0 r(t) s(t, p) dt a Notation R T 0 intégration sur l intervalle de temps de durée T 0 pendant lequel r(t) est observé 2005 9/82

Un cas simple : Estimation de la Phase d une Porteuse Non Modulée 2005 10/82

Estimation de la phase d une porteuse non modulée 1. Problématique simple Contexte simple : Transmission d une porteuse non modulée (i.e. s b (t) = A) r(t) = A cos (2πf 0 t + φ) + w(t) On veut estimer φ Dans la première partie du cours, on se concentre sur cet exemple élémentaire On généralisera ensuite les techniques au cas où s b (t) = modulation numérique Estimation de la phase φ au sens du MV - Approche bloc on suppose que la phase φ est constante on estime φ à partir du signal r(t) observé un intervalle de durée T 0 approche bloc application immédiate du transparent 9 ˆφ MV = arg max r(t) cos φ T 0 ( 2πf 0 t + φ ) dt 2005 11/82

Estimation de la phase d une porteuse non modulée ˆφ MV annule la dérivée de la log-vraisemblance, soit r(t) sin (2πf 0 t + ˆφ ) MV T 0 dt = 0 (1) En appliquant la formule de trigo sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b, r(t) sin (2πf 0 t) dt cos ˆφ MV + r(t) cos (2πf 0 t) dt sin ˆφ MV = 0 T 0 T 0 On peut donc exprimer ˆφ MV analytiquement : r(t) sin (2πf 0 t) dt ˆφ MV = arctan T 0 (2) r(t) cos (2πf 0 t) dt T 0 Quelques inconvénients Compliqué à mettre en oeuvre Ne tient pas compte d éventuelles variations de φ (pas de poursuite de phase) 2005 12/82

Estimation de la phase d une porteuse non modulée 2. Approche adaptative Poursuite de la Phase Contexte La phase est susceptible de varier au cours du temps φ t r(t) = A cos (2πf 0 t + φ t ) + w(t) Ex 1 : Saut de phase φ t passe de la valeur φ 0 à φ 1 Ex 2 : Rampe de phase Présence d un offset de fréquence δf 0 inconnu φ t = 2πδf 0 t + φ 0 Actualisation permanente de l estimée Une estimation à chaque instant ˆφ t approche bloc Plus de distinction synchro phase / fréquence Si φ t = 2πδf 0 t + φ 0, poursuivre la phase poursuivre la fréquence 2005 13/82

Estimation de la phase d une porteuse non modulée Estimation de φ t pour tout t Soit t fixé On calcule ˆφ MV,t à partir du signal r observé sur l intervalle [t T 0, t] fenêtre d observation glissante On fait l hypothèse que la phase inconnue varie peu sur cet intervalle On adapte les résultats du transparent 12 au cas d une fenêtre glissante t ( r(u) sin 2πf 0 u + ˆφ ) MV,t du = 0 (3) t T 0 t r(u) sin (2πf 0 u) du t T ˆφ MV,t = arctan 0 t r(u) cos (2πf 0 u) dt t T 0 (4) 2005 14/82

Estimation de la phase d une porteuse non modulée 3. Mise en œuvre par système non bouclé r(u) sin (2πf 0 u) du t T Utilisation de (4) : ˆφMV,t = arctan 0 t r(u) cos (2πf 0 u) dt t T 0 t sin( 2 f 0 t ) 0 T T0 Y r(t) Oscillateur arctan(y/x) MV cos( 2 f 0t) T0 T 0 X Avantage par rapport à l approche bloc : poursuite des variations de la phase Inconvénient du système nonbouclé : reste compliqué (fonction arctan(x/y )) 2005 15/82

Estimation de la phase d une porteuse non modulée 4. Mise en œuvre par système bouclé Utilisation de (3) : But = construire une estimée ˆφ t telle que t r(u) sin (2πf 0 u + ˆφ ) t du = 0 t T 0 Remarque : si la phase varie peu et si T 0 est suffisament longue (3) devient t r(u) sin (2πf 0 u + ˆφ ) u du = 0 t T 0 Pourquoi cette approximation? faire apparaître un signal d erreur que l on peut facilement construire Signal d erreur à annuler : e(t) = r(t) t t T 0 r(u) sin(2πf 0 u + ˆφ u ) du T 0 e(t) sin( 2 f f 0t t ) 2005 16/82

Estimation de la phase d une porteuse non modulée Expression de e(t) (Cas non bruité) Sortie du multiplieur ( r(t). sin(2πf 0 t + ˆφ ) t ) = A cos(2πf 0 t + φ t ) sin(2πf 0 t + ˆφ t ) = A 2 sin(φ t ˆφ t ) A 2 sin(4πf 0t + φ t + ˆφ t ) Sortie de l intégrateur T 0 - La composante à la fréquence 2f 0 disparait (intégrateur=passe-bas) - En supposant que l erreur de phase φ t ˆφ t varie peu, on obtient e(t) sin(φ t ˆφ t ) Signal d erreur = fonction de l erreur de phase φ t ˆφ t Objectif Adapter ˆφ t pour rendre e(t) nul Asservir la phase ˆφ t 2005 17/82

Estimation de la phase d une porteuse non modulée e(t) sin(φ t ˆφ t ) Idée du système bouclé : Si e(t) > 0, on augmente ˆφ t afin de diminuer e(t) Si e(t) < 0, on diminue ˆφ t afin d augmenter e(t) ˆφ t = K t e(u) du Comparateur de Phase r(t) T 0 e(t) sin( 2 f 0 t t ) VCO 2005 18/82

Estimation de la phase d une porteuse non modulée Comparateur de Phase r(t) T 0 e(t) sin( 2 f 0 t t ) VCO VCO = Voltage Controlled Oscillator (oscillateur commandé en tension) La phase du VCO est dépend du signal d erreur VCO = intégrateur + fonction sin VCO - sin(2 f 0 t +...) K / p Tension de commande 2005 19/82

Estimation de la phase d une porteuse non modulée L estimée au sens du MV peut être approximée par une boucle d asservissement de phase 2005 20/82

La Boucle d Asservissement de Phase Asservissement de la Phase d une Porteuse non modulée 2005 21/82

Boucle d asservissement de phase 1. Principe Hypothèse : Transmission d une porteuse non modulée r(t) = A cos (2πf 0 t + φ t ) + w(t) Boucle d asservissement de phase = Phase Locked Loop (PLL) Asservir la phase ˆφ t du signal de sortie d un VCO à la phase φ t du signal reçu Schéma de principe r(t) (référence) Comparateur de Phase sortie sin( 2 f 0t t ) e(t) VCO tension d erreur = fonction de v(t) Filtre de Boucle G(p) t t 2005 22/82

Boucle d asservissement de phase 2. Éléments de la PLL 2.1 Comparateur de phase Idée : produire un signal fonction de l erreur d estimation ˆφ t φ t a) Multiplieur + Passe-bas En sortie du multiplieur r(t) sin(2πf 0 t + ˆφ t ) = A 2 sin(φ t ˆφ t ) A 2 sin(4πf 0t + ˆφ t + φ t ) + bruit En sortie du passe-bas (à un gain près) sin(φ t ˆφ t ) + bruit Caractéristique du comparateur g( /2 /2 2005 23/82

Boucle d asservissement de phase 2.1 Comparateur de phase (autres possibilités, à titre indicatif) b) OU exclusif + Passe-bas reference sortie t t Caractéristique du comparateur g valeur moyenne 0 c) Bascule + Passe-bas 2005 24/82

Boucle d asservissement de phase 2.2 Filtre de boucle : Fixe les performances de l asservissement Boucle du premier ordre G(p) = 1 Boucle du second ordre Filtre 1 Filtre 2 G(p) = 1 + τ 2p τ 1 p G(p) = 1 + τ 2p 1 + τ 1 p G(j ) R1 1/ 1/ C R2 2005 25/82

Boucle d asservissement de phase 2.3 Voltage Controlled Oscillator intégrateur + fonction sin ˆφ t = K t v(u) du 2005 26/82

Boucle d asservissement de phase 3. Fonctionnement dans le Domaine Linéaire sin(φ t ˆφ t ) φ t ˆφ t Schéma équivalent t t t t Filtre de Boucle G(p) K/p 2005 27/82

Boucle d asservissement de phase Transmittance en boucle fermée H(p) = ˆΦ(p) Φ(p) = K.G(p)/p 1 + K.G(p)/p Boucle 1 er ordre Boucle 2ème ordre filtre 1 filtre 2 H(p) = K p + K H(p) = ω 2 n p 2 + 2ζω n p + ω 2 n H(p) = ω2 n(1 + τ 2 p) p 2 + 2ζω n p + ω 2 n Pulsation de coupure : Pulsation de coupure : Pulsation de coupure : K ω n = K/τ 1 ω n = K/τ 1 Coef. amortissement : Coef. amortissement : ζ = ω n 2 τ 2 ζ = ω n 2 (τ 2 + 1/K) 2005 28/82

Boucle d asservissement de phase Equation différentielle équivalente Ex : Boucle du 1er ordre H(p) = K p + K d ˆφ t dt + K( ˆφ t φ t ) = 0 Réponse à des signaux canoniques Calcul de la sortie ˆφ t pour des entrées φ t standards Hypothèse : régime linéaire (= faible erreur de phase) Cas de figure standards Réponse à un saut de phase Réponse à un saut de fréquence (rampe de phase) A noter aussi : Réponse à une parabole de phase (rampe de fréquence) Réponse à une modulation sinusoïdale de phase / de fréquence 2005 29/82

Boucle d asservissement de phase Réponse à un saut de phase : φ t = φ 0 u(t) 2ème ordre Filtre 1 2ème ordre Filtre 2 1er ordre entrée sortie (estimée) en régime établi, erreur nulle dans tous les cas Vérification pour une boucle du 1er ordre d ˆφ t dt + K( ˆφ t φ t ) = 0 En régime établi : d ˆφ t dt = 0 et φ t = φ 0 ˆφ t = φ 0 2005 30/82

Boucle d asservissement de phase Réponse à un saut de fréquence (rampe de phase) : φ t = 2πδf 0 t.u(t) entrée sortie (estimée) 2ème ordre Filtre 1 2ème ordre Filtre 2 1er ordre en régime établi, erreur de phase nulle seulement pour la boucle du 2ème ordre - Filtre 1 erreur de fréquence nulle dans tous les cas 2005 31/82

Boucle d asservissement de phase Vérification pour une boucle du 1er ordre : d ˆφ t dt + K( ˆφ t φ t ) = 0 En régime établi : d ˆφ t dt = dφ t dt et φ t = 2πδf 0 t ˆφ t = 2πδf 0 t 2π K δf 0 Synchro fréquence au prix d une erreur de phase 2π K δf 0 2005 32/82

Boucle d asservissement de phase Conclusion Seule une boucle du second ordre - filtre 1 peut théoriquement assurer la synchronisation en fréquence avec une erreur de phase nulle Dans les autres cas, un déphasage 2π K δf 0 apparaît. On peut réduire ce déphasage en augmentant le gain K de la boucle ( Problème des boucles du 1er ordre : augmenter K dégrade le RSB) 2005 33/82

Boucle d asservissement de phase 4. Fonctionnement dans le domaine non linéaire cas où l approximation sin(φ t ˆφ t ) φ t ˆφ t est non valide 4.1 Plage de synchronisation (ou de décrochage) en fréquence fréquences inaccessibles a) le VCO ne peut fournir n importe quelle fréquence b) le comparateur ne peut délivrer n importe quelle tension de commande les caractéristiques du comparateur et du VCO donnent les limites de la plage de synchronisation. Définition : écart maximal δf 0 de fréquence que la boucle, supposée préalablement accrochée a, peut suivre sans désynchronisation en fréquence b a Régime quasi-statique les signaux entrée/sortie sont supposés être en permanence synchrones en fréquence. Variation lente de la fréquence du signal de sortie de f 0 à f 0 + δf 0 b On tolère un déphasage constant 2005 34/82

Boucle d asservissement de phase Boucle du 1 er ordre : On suppose que d ˆφ t dt + K sin( ˆφ t φ t ) = 0 le signal d entrée est à la fréquence f 0 + δf 0 d la boucle reste toujours accrochée t, ˆφ t dt = dφ t dt sin( ˆφ t φ t ) = 2πδf 0 K La synchro n est donc possible que si δf 0 < K 2π Plage de synchronisation en fréquence = [f 0 K 2π, f 0 + K 2π ] Boucle du = 2ème ordre - Filtre 2 Idem Boucle du 2ème ordre - Filtre 1 Plage théoriquement infinie En pratique la plage correspond aux fréquences que le VCO est capable de générer 2005 35/82

Boucle d asservissement de phase 4.2 Plage d acquisition (ou d accrochage) en fréquence Définition : écart maximal de fréquence sur lequel la boucle, n étant pas supposée préalablement accrochée a, peut se synchroniser en fréquence b Méthode Saut de fréquence brutal δf 0 (ex: fermeture d interrupteur) Cette fois, les dérivées de l erreur de fréquence ne sont pas supposées nulles Détermination du régime transitoire Pour quel écart δf 0 maximal l erreur est elle nulle pour t? Temps d acquisition? a aspect dynamique prise en compte du régime transitoire b On tolère un déphasage constant 2005 36/82

Boucle d asservissement de phase 1. Autres questions à se poser Stabilité Comportement en présence de bruit Remarques 2. PLL numérique Échantillonnage du signal reçu à une fréquence vérifiant le th. de Shannon Implémentation numérique de la PLL (G(p) G(z)) 3. Insertion d un détecteur d argument dans le comparateur de phase Fournit ˆφ t φ t à partir de sin( ˆφ t φ t ) fonctionnement dans le domaine linéaire Difficulté : ambiguïtés de la fonction arcsin Bruit erreurs de déploiement de phase 2005 37/82

Synchronisation Phase / Fréquence en Communications Numériques 2005 38/82

Synchro phase / fréquence 0. Introduction Communications avec porteuse L émetteur transmet une porteuse non modulée en plus du signal modulé Permet au récepteur de se synchroniser par une simple PLL Aujourd hui, technique devenue rare (gaspis de puissance) Communications sans porteuse Enveloppe complexe du signal émis s b (t) = a n g(t nt ) n Z {a n } i.i.d., g(t) demi-nyquist Signal reçu [( ) r(t) = Re a n g(t nt τ) n Z e i(2πf 0t+φ) ] + w(t) 2005 39/82

Synchro phase / fréquence Exemples Modulations PAM a n {±1, ±3,... } symboles réels ( ) r(t) = a n g(t nt τ) cos(2πf 0 t + φ) + w(t) n Z Modulations PSK, QAM ( ) r(t) = a R n g(t nt τ) cos(2πf 0 t + φ) n Z ( ) a I n g(t nt τ) sin(2πf 0 t + φ) + w(t) n Z avec a R n = Re [a n ], a I n = Im [a n ]. 2005 40/82

Synchro phase / fréquence Synchronisation : approche retenue On suppose que la synchronisation en phase (estimation de φ et f 0 ) et en temps (estimation de τ et T ) sont effectuées séparément Dans ce chapitre, on s intéresse uniquement à la synchro phase / fréquence On admet que τ et T ont été estimés par ailleurs et on néglige l erreur d estimation Autre approche envisageable : estimation conjointe des paramètres temps (T, τ) et des paramètres phase (δf 0, φ) non abordé dans ce cours, mais méthodologie similaire 2005 41/82

Synchro phase / fréquence 1. Systèmes aidés par les données Data Aided On suppose s b (t) parfaitement connu du récepteur Exemple 1 : Transmission d une séquence d apprentissage Exemple 2 : Systèmes à retour de décision (Decision Directed) r(t) Détection symboles + Synchro temps Synchro Phase {a n }, suppose que les décisions sont fiables (TEB < 10 2 ) On suppose que τ est connu (soit τ = 0 pour simplifier) 2005 42/82

Synchro phase / fréquence 1.2. Asservissement de Phase Stratégie proposée ici : mettre en œuvre un estimateur adaptatif de la phase f 0 supposé connue (mais φ peut varier φ t, donc contexte non restrictif) une estimée de la phase à chaque instant ˆφ t Critère du MV : application du transparent 9 [ ] ˆφ MV = arg max r(t). Re a n g(t nt )e i(2πf 0t+ φ) dt φ T 0 Commençons par un cas simple : modulations PAM (a n R) ( ) ˆφ MV = arg max r(t). a n g(t nt ) cos(2πf 0 t + φ) dt φ T 0 On écrit que ˆφ MV annule la dérivée de la fonction ci-dessus : ( ) r(t). a n g(t nt ) sin(2πf 0 t + ˆφ MV ) dt = 0 T 0 n n n 2005 43/82

Synchro phase / fréquence 1.3. Système bouclé pour des modulations PAM Signal d erreur à annuler : même démarche qu au transparent 16 ( ) e(t) = t t T 0 r(u) a n g(u nt ) sin(2πf 0 u + ˆφ u ) du n On utilise une PLL pour annuler ce signal d erreur Mise en œuvre : appliquer une simple PLL au signal r(t) n a ng(t nt ) Comparateur de Phase r(t) e(t) g(t) a n sin( 2 f 0t t ) VCO Filtre 2005 44/82

Synchro phase / fréquence Expression de e(t) (Cas non bruité) Le signal avant l entrée du passe-bas s écrit ( ) r(t) a n g(t nt ) sin(2πf 0 t + ˆφ t ) n ( 2 = a n g(t nt )) cos(2πf 0 t + φ t ) sin(2πf 0 t + ˆφ t ) n ( 2 a n g(t nt )) sin(φ t ˆφ t ) + terme de frequence 2f 0 n Supposons que l erreur φ t ˆφ t varie peu Le passe-bas a pour effet de - supprimer le terme de fréquence 2f 0 - moyenner le facteur ( n a ng(t nt )) 2 e(t) sin(φ t ˆφ t ) 2005 45/82

Synchro phase / fréquence Mise en œuvre : appliquer une simple PLL au signal r(t) n a ng(t nt ) Justification théorique La PLL précédente tend à annuler e(t) Or e(t) = 0 ˆφ t correspond à l estimée du MV PLL précédente = manière d approximer l estimée au sens du MV Justification intuitive Idée sous-jacente de la synchro : transformer le signal pour faire apparaître une composante sinusoïdale. Le signal r(t) n a n g(t nt ) = ( n a n g(t nt )) 2 cos(2πf 0 t + φ) + w(t) contient une composante déterministe sinusoïdale à la fréquence f 0 Exemple : si g(t) = rect T (t), on obtient r(t) n a n g(t nt ) = σ 2 a cos(2πf 0 t + φ) + w(t) où w(t) est un signal de moyenne nulle 2005 46/82

Synchro phase / fréquence Mise en œuvre équivalente : écrire ( e(t) = r(u) ) a n g(u nt ) sin(2πf 0 u + ˆφ u ) du T 0 n e(t) = n a n y n avec y n = r(u) sin(2πf 0 u + ˆφ t )g(u nt ) du T 0 En supposant T 0 suffisamment grand, on obtient y n par filtrage + échantillonnage r(t) g(-t) nt y n sin( 2 f 0t t ) VCO e(t) n a n Σ n représente un sommateur sur N échantillons 2005 47/82

Synchro phase / fréquence Cas particulier : systèmes à retour de décision (DD) On remplace a n par â n dans le schéma précédent Cas d une décision dure : le détecteur optimal consiste à 1. Ramener le signal r(t) en bande de base ( cos(2πf 0 t + ˆφ)) 2. Le passer dans le filtre adapté g( t) 3. Echantillonner la sortie aux bons instants, soit à t = nt + τ (ici τ = 0) On note z n les échantillons en sortie du filtre adapté 4. Appliquer une décision dure à {z n } Détecteur optimal r(t) g(-t) nt z n â n cos( 2 f 0t t ) z n = Sortie échantillonnée du filtre adapté 2005 48/82

Synchro phase / fréquence Cas particulier : systèmes à retour de décision (DD) - suite Le système à retour de décision est défini comme un système Data-Aided où l entrée a n est remplacée par l estimée â n de la chaîne précédente g(-t) nt z n â n cos( 2 f 0t t ) r(t) VCO e(t) n â n sin( 2 f 0t t ) g(-t) nt y n e(t) = n â n y n 2005 49/82

Synchro phase / fréquence 1.4. Système bouclé dans le cas général On ne suppose plus a n réel a n = a R n + ia I n Exercice Supposons les a n parfaitement connus (séquence d apprentissage) Écrire une boucle fournissant l estimée de la phase au sens du MV 2005 50/82

Synchro phase / fréquence Hypothèses 2. Systèmes Non-Data Aided Les symboles {a n } sont supposés inconnus (v. aléatoires) τ est connu (On suppose que τ est estimé séparément) Expression de la vraisemblance soit a le vecteur (aléatoire) des symboles observés Λ( φ) = E a [Λ( φ, ] a) Cas des PAM [ Λ( φ) = C E a exp( 1 σ 2 r(t) ] a n g(t nt ) cos(2πf 0 t + φ) dt) T 0 n ln Λ( φ) = [ ln (E an exp( a ]) nz n σ 2 ) (+C ) n où z n = z n ( φ) = r(t) cos(2πf 0 t + φ)g(t nt ) dt T 0 2005 51/82

Synchro phase / fréquence 2.1. Mise en œuvre pour des modulations BPSK (1/4) BPSK : a n = ±1 avec P (a n = 1) = P (a n = 1) = 1 2, donc ln Λ( φ) = ( 1 ln 2 exp( z n σ 2 ) + 1 2 exp( z ) n σ 2 ) = ln n n ( cosh( z n σ 2 ) ) Donc d ln Λ( φ) d φ = n tanh( z n σ 2 ) y n Mise en œuvre par système bouclé L estimée au sens du MV annule la dérivée du log-vraisemblance Signal d erreur à annuler : e(t) = n tanh( z n( ˆφ t ) σ 2 ) y n ( ˆφ t ) 2005 52/82

Synchro phase / fréquence Interprétation de tanh Rappel (modulations BPSK) Données connues (séquence pilote) Données estimées (Decision Directed) e(t) = n e(t) = n a n y n â n y n Données inconnues (Non-Data Aided) e(t) = n tanh( z n σ 2 ) y n Cas d une décision dure : le détecteur optimal est nt r(t) g(-t) z n â n cos( 2 f 0t t ) z n = Sortie échantillonnée du filtre adapté Les estimées des symboles sont donnés par la formule : â n = sign(z n ) 2005 53/82

Synchro phase / fréquence Données estimées (Decision Directed) Données inconnues (Non-Data Aided) e(t) = n e(t) = n sign(z n ) y n tanh( z n σ 2 ) y n 2 1.5 σ 2 petit (fort RSB) tanh(x/σ 2 ) = sign(x) 1 0.5 0 0.5 σ 2 grand (faible RSB) tanh(x/σ 2 ) = x/σ 2 1 1.5 2 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Lorsque σ 2 0 équivalence DD / Non-Data Aided Avantage du Non-Data Aided : tanh( z n σ 2 ) fournit une décision souple (alors que sign(z n ) est une décision dure) 2005 54/82

Synchro phase / fréquence 2.1. Mise en œuvre pour des modulations BPSK (2/4) e(t) = n tanh( z n σ 2 ) y n Boucle de Costas g(-t) nt z n cos( 2 f 0t t ) tanh(. / r(t) VCO e(t) n sin( 2 f 0t t ) g(-t) nt y n Remarque : Σ n représente une sommation glissante sur N échantillons 2005 55/82

Synchro phase / fréquence 2.1. Mise en œuvre pour des modulations BPSK (3/4) Boucle de Costas entièrement analogique Dans certain cas, on souhaite rester en analogique (pas d échantillonneur) On peut alors approximer la boucle précédente par z(t) g(-t) cos( 2 f 0t t ) tanh(. / r(t) VCO Filtre de boucle h(t sin( 2 f 0t t ) g(-t) y(t) Approximation de tanh Faible RSB tanh(x) x Fort RSB tanh(x) sign(x) (utilisation d un limiteur) 2005 56/82

Synchro phase / fréquence 2.1. Mise en œuvre pour des modulations BPSK (4/4) Boucle de Costas simplifiée (tanh(x) x) g(-t) z(t) r(t) cos( 2 f 0t t ) sin( 2 f 0t t ) (passe-bas) VCO (passe-bas) g(-t) Filtre de boucle h(t y(t) Fonctionnement Le filtrage par g( t) a un effet passe-bas supprime les composantes à la fréquence 2f 0 Notation : g 2 (t) = g(t) g( t) 2005 57/82

Synchro phase / fréquence y(t) = 1 2 sin(φ t ˆφ t ) n a ng 2 (t nt ) z(t) = 1 2 cos(φ t ˆφ t ) n a ng 2 (t nt ) y(t)z(t) sin(2(φ t ˆφ t ))( n a n g 2 (t nt )) 2 Quand la boucle est accrochée, une ambiguïté de phase subsiste : e(t) = 0 sin(2(φ t ˆφ t )) = 0 ˆφ t = φ t (π) Codage différentiel évite les répercussions sur la détection des symboles 2005 58/82

Synchro phase / fréquence 2.2. Mise en œuvre dans le cas général On peut de même calculer la boucle optimale à partir du MV Modulation PAM En pratique, on utilise la même boucle que précédemment (cas BPSK) Modulations PSK, QAM (= modulation multiphases (a n = a R n + ia I n)) adapter le raisonnement précédent 2005 59/82

Synchro phase / fréquence Toujours la même idée : 2.3. Squaring Loop 1. transformer le signal reçu pour faire apparaître une composante déterministe sinusoïdale 2. appliquer une PLL pour accrocher cette sinusoïde Hypothèses : Soit une PAM. Considérons g(t) = rect T (t) pour simplifier. Élévation au carré du signal reçu : pour t [nt, (n + 1)T ), r(t) 2 = (a n cos(2πf 0 t + φ) + w(t)) 2 E [ r(t) 2] = E [ a 2 ] n cos 2 (2πf 0 t + φ) + E [ w(t) 2] ( 1 = σa 2 2 + 1 ) 2 cos(4πf 0t + 2φ) + σ 2 Où σ 2 a = E [ a 2 n]. 2005 60/82

Synchro phase / fréquence On obtient finalement : r(t) 2 = Squaring loop (BPSK) 1. Élever r(t) au carré ( ) σ 2 a 2 + σ2 + σ2 a 2 cos(4πf 0t + 2φ) + w(t) Composante Composante Signal centré continue freq. 2f 0 w(t) = r(t) 2 E[ r(t) 2 ] 2. Supprimer la composante continue par filtrage 3. Appliquer une simple PLL au signal de sortie on récupère ainsi la fréquence 2f 0 et la phase 2φ attention à l ambiguïté de π sur la phase Modulations M-PSK : (a n {1, e 2i π (M 1)π M 2i,..., e M }) Méthode immédiatement généralisable on génère une composante sinusoïdale par élévation à la puissance M 2005 61/82

Synchronisation Temps 2005 62/82

Synchro Temps 0. Introduction Objectif : Estimer les paramètres de synchro T et τ Contexte du cours : Estimation séparée de (T, τ) et de (δf 0, φ) Autre approche envisageable : estimation conjointe des paramètres temps (T, τ) et des paramètres phase (δf 0, φ) non abordé dans ce cours, mais méthodologie similaire 2005 63/82

Synchro Temps Signal reçu ramené en bande de base On suppose que les paramètres (δf 0, φ) ont été parfaitement estimés On peut donc travailler sur l enveloppe complexe du signal reçu r b (t) = a n g(t nt τ) + w b (t) n Z Rappel : r(t) = Re [r b (t)] cos(2πf 0 t + φ) Im [r b (t)] sin(2πf 0 t + φ) Re[r b (t)] cos( 2 f 0t t ) r(t) sin( 2 f 0t t ) VCO Synchro Phase (PLL) Im[r b (t)] Récepteur : on veut récupérer les symboles {a n } à partir de r b (t) Pour cela, il nous faut estimer T et τ 2005 64/82

Synchro Temps Récepteur optimal Structure du récepteur optimal : r b (t) g(-t) nt+ r n Décision symboles â n Synchro Temps 1. Filtrage adapté 2. Échantillonnage aux instants d ouverture maximale du diagramme de l oeil 3. Détection des symboles (= décision dure, en l absence de codage) L étape 2 nécessite l estimation des instants d échantillonnage nt + τ! 2005 65/82

Synchro Temps Approche bloc vs Approche adaptative Approche bloc : T et τ constants Une estimée de T et τ à partir de r(t) observé sur un intervalle de temps T 0 Approche adaptative : poursuite du retard On suppose que τ varie au cours du temps τ t Intérêt : plus besoin de distinguer la récupération de T et celle de τ Cas de figure : Période symbole à l émission T E Période horloge à la réception T R T E Objectif : échantillonner aux instants nt E + τ équivaut à échantillonner aux instants nt R + τ t avec τ t = n(t E T R ) + τ On poursuit le retard τ t = on asservit l horloge 2005 66/82

Synchro Temps 1. Estimation Data-Aided Contexte Data-aided Exemple 1 : système à séquence d apprentissage {a n } connus Exemple 2 : système à retour de décision {a n } préalablement estimés Stratégie proposée ici : mettre en œuvre un estimateur adaptatif T supposé connu (mais τ t peut varier, donc contexte non restrictif) une estimée du retard à chaque instant ˆτ t Estimée du MV : Sous l hypothèse de variations lentes de τ t, [ ˆτ MV = arg max Re r b (t) ] a n g(t nt τ) dt τ T 0 n = arg max Re [a nr n ( τ)] τ avec r n ( τ) = r b (t)g(t nt τ) dt. n 2005 67/82

Synchro Temps Signal d erreur e(t) = n Re [ a n ] dr n (ˆτ t ) dτ Mise en œuvre r b (t) g(-t) d dt (.) n ( t ) dr d a n * nt t Re(.) VCC n VCC = Voltage Controlled Clock Σ n = sommation glissante sur N échantillons 2005 68/82

Synchro Temps ˆτ t = arg max τ Re [a nr n ( τ)] Fonctionnement de l estimateur (Cas non bruité) r n ( τ) = r b (t)g(t nt τ) dt = a k g(t kt τ t )g(t nt τ) dt k n = k a k γ g ((k n)t + τ τ) Où γ g ( τ) est la fonction d autocorrélation de g(t) a nr n ( τ) = σ 2 aγ g ( τ τ t ) + terme de moyenne nulle Après moyennage n sur un grand nombre d échantillons, on obtient Re [a nr n ( τ)] γ g ( τ τ t ) n e(t) dγ g d τ (ˆτ t τ t ) Fonction de l erreur ˆτ t τ t S annule pour ˆτ t τ t = 0 2005 69/82

Synchro Temps Systèmes à retour de décision e(t) = n Re [ â n ] dr n (ˆτ t ) dτ Intégration de la fonction synchronisation et de la fonction détection g(-t) r n â n nt t * r b (t) VCC e(t) â n * n Re(.) nt t g(-t) d dt (.) dr n d 2005 70/82

Synchro Temps Contexte et démarche Symboles a n aléatoires T supposé connu 2. Estimation Non-Data Aided 2.1. Estimateur fondé sur le MV On construit un estimateur adaptatif de τ t Appliquer le critère du MV en supposant que τ t varie peu Cas des modulations BPSK : ˆτ MV = arg max Λ( τ) où avec Λ( τ) = n r n ( τ) = ln τ ( cosh( r ) n( τ) σ 2 ) r b (t)g(t nt τ) dt Démonstration : A titre d exercice : (c.f. transparent 51) 2005 71/82

Synchro Temps Mise en œuvre directe ˆτ t annule la dérivée dλ( τ) d τ signal d erreur à annuler : e(t) = dλ d τ (ˆτ t) = n tanh( r n σ 2 ) dr n d τ g(-t) r n nt t tanh(. / r b (t) VCC e(t) n nt t g(-t) d dt (.) dr n d 2005 72/82

Synchro Temps Mise en œuvre early-late Exercice Difficulté de la boucle précédente : l opérateur d(.) dt On écrit que e(t) = d ln Λ (ˆτ t ) ln Λ(ˆτ t + δ) ln Λ(ˆτ t δ) d τ 2δ Réaliser une boucle permettant d annuler le signal d erreur ci-dessus 2005 73/82

Synchro Temps 2.2. Méthode de la raie spectrale Rappel : signaux cyclostationnaires 1. Rappel de définitions : x(t) est stationnaire ses statistiques ne dépendent pas de l origine des temps Pour t 1,..., t n fixés, la densité de proba de [x(t 1 + t),..., x(t n + t)] T est constante par rapport à t x(t) est cyclostationnaire ses statistiques sont des fonctions périodiques du temps Pour t 1,..., t n fixés, la densité de proba de [x(t 1 + t),..., x(t n + t)] T est périodique en t de période T 2. Les signaux rencontrés en com. numériques sont cyclostationnaires Pour s en convaincre : vérifier que l autocorrélation γ x (t + τ, t) du signal x(t) = n a ng(t nt ) est périodique en t de période T ( cyclostationnarité à l ordre 2) 2005 74/82

Synchro Temps Idée générale Le signal reçu r b (t) est cyclostationnaire de période T Application d une non-linéarité à r b (t) génére des composantes sinusoïdale aux fréquences multiples de 1/T ce sont les fréquences cycliques de r b (t) Détection des fréquences cycliques = estimation de T Non-linéarité : deux choix très classiques fonction r b (t) r b (t) 2 fonction d autocorrélation (empirique) Mise en évidence des fréquences cycliques E[ r b (t) 2 ] = σa 2 g(t nt τ) 2 + σ 2 n Z Fonction T -périodique développable en série de Fourier 2005 75/82

Synchro Temps Développement en série de Fourier E[ r b (t) 2 ] = k Z c k e 2iπk t T avec : c k = 1 T T 0 E[ r b (t) 2 ]e 2iπk t T dt Si G(f) est la transformée de Fourier de g(t), alors c k = σ2 a G(f)G(f k T T ) df + σ2 δ(k) R Influence de l excès de bande La bande du signal (en bande de base) dépasse rarement [ 1 T, 1 T ] G( f) G( f-1/ T) 0 1/T c k = 0 pour k 2 c 1 = c 1 est petit pour des excès de bande faible 2005 76/82

Synchro Temps Expression du signal r(t) 2 E[ r b (t) 2 ] = c 0 + c 1 e 2iπ t T + c 1 e 2iπ t T En supposant que g(t) est une fonction paire, on trouve finalement ( E[ r b (t) 2 ] = c 0 + 2 c 1 cos 2π t τ ) T Donc r b (t) 2 = c 0 + 2 c 1 cos où w b (t) est un signal de moyenne nulle ( 2π t τ ) + w b (t) T Estimateur Élimination de la composante à la fréquence nulle (passe-bas ou passe-bande) Il reste 2 c 1 cos ( 2π t τ ) + w b (t) T On peut donc estimer T et τ (ex: utilisation d une PLL) 2005 77/82

Synchro Temps Remarques N.B. C est la non-linéarité qui fait apparaître les composantes sinusoïdales Influence de l excès de bande Excès de bande faible c 1 petit mauvaises performances 2005 78/82

Remarques Dans ce cours, séparation synchro phase / synchro temps Estimation conjointe possible à titre d exercice En pratique, performances similaires Systèmes à retour de décision (DD) intéressant à fort RSB (A très faible RSB - si TEB > 10 2, préférer les approches aveugles) phase/timing jitter (gigue de phase/ de temps) = erreur d estimation Quel effet sur le TEB? Implémentation des estimateurs : analogique ou numérique? 2005 79/82

Estimation de la fréquence d une sinusoïde Une approche Bloc 2005 80/82

Estimation de fréquence : le périodogramme Contexte Le signal reçu a été passé dans une non-linéarité Ainsi, on a fait apparaître une composante sinusoïdale de fréquence F ou bien de fréquence F = 1/T (cas de la synchro horloge) ou bien de fréquence F = f 0 + δf 0 (cas de la synchro fréquence) Dans les deux cas, on se retrouve avec un signal du type w(t) signal de moyenne nulle x(t) = A cos(2πf t + ϕ) + w(t) Objectif : estimer la fréquence F Approche observée jusqu ici : On n estime pas directement F, mais on poursuit la phase en utilisant une PLL Autre possibilité : Approche bloc 2005 81/82

Estimation de fréquence : le périodogramme Périodogramme Définition : Transformée de Fourier du signal sur une fenêtre de durée T 0 X T0 (f) = 1 T 0 T0 0 x(t)e 2iπft dt Résultat Pour tout f ±F, X T0 (f) converge presque sûrement vers 0 quand T 0 X T0 (F ) converge p.s. vers une constante quand T 0 Estimateur Performances ˆF T0 = arg max f X T0 (f) 2 Elles dépendent de l excès de bande du signal reçu Elles deviennent très vite excellentes lorsque T 0 augmente : ( ) EQM = E[ ( ˆF 1 T0 F ) 2 ] = O T 3 0 2005 82/82