Exercices corrigés, tome 4 : les énoncés Table des matières : 1. Applications linéaires, p.2. 2. Variables aléatoires, p.6. 3. Intégrales, p.12. 4. Polynômes, p.16. 1
1 Applications linéaires Exercice 1 (+) (applications linéaires) Soit u L(E, F ), où E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie. Montrer que si (x 1,..., x n ) est génératrice de E, alors (u(x 1 ),..., u(x n )) est génératrice de Im(u). La réciproque est-elle vraie? Exercice 2 (+) (applications linéaires) Soit u L(E, F ). Montrer que si (x 1,..., x n ) est liée, alors (u(x 1 ),..., u(x n )) est liée. La réciproque est-elle vraie? Exercice 3 (+) (applications linéaires entre espaces de fonctions) Soit Ψ : C 1 (R) C(R), f Ψ(f) = f. 1. Montrer que Ψ est linéaire. 2. Ψ est-elle injective? surjective? bijective? Exercice 4 (+) (noyau et image) On considère l endomorphisme h de R 3 défini par : h(x, y, z) = ( x y z, x y z, ). 1. Montrer que Ker(h) est de dimension 2. 2. Déterminer Im(h). 3. L application h est-elle injective? surjective? 4. Montrer que Ker(h + 2Id E ) est de dimension 1. 5. Résoudre l équation h(x) = 2x dans R 3. Exercice 5 (+) (matrices et applications linéaires, noyau, image) Soit f l endomrophisme de R 2 [X] dont la matrice dans la base canonique est : 2 4 1 A = 6 5 3 1. Expliciter f. 2. Déterminer le noyau et l image de f. Exercice 6 (++) (applications linéaires, noyau, image, composées) Soient E un R-espace vectoriel, f, g L(E) tels que f g = g f. Montrer que Ker(f) et Im(f) sont stables par g. Exercice 7 (++) (applications linéaires, noyau, image) Soit g L(R 3 ) défini par : u = (x, y, z) R 3, g(u) = (ax + y + z, x + by + z, x + y + z). 1. Déterminer le noyau de g. 2. Calculer g 2. Exercice 8 (++) (applications linéaires entre espaces vectoriels de suites) On rappelle que l ensemble des suites réelles, que l on note R N, est un R-espace vectoriel. On définit : R N R N par : u = (u n ) n N R N, (u) = (u n+1 u n ) n N. 2
1. Montrer que est linéaire. 2. Soit v = (v n ) la suite définie par : n N, v n = 2 n. Montrer que (v) = v puis que v Ker( Id). 3. Si u est une suite arithmétique, que vaut (u)? 4. Déterminer Ker( ). 5. Prouver que est surjective. Exercice 9 (++) (applications linéaires entre espaces vectoriels de polynômes) Soit f : R[X] R[X], P f(p ) = XP P. 1. Montrer que f est un endomorphisme de R[X]. 2. Calculer f(x k ) pour tout k N. 3. Déterminer le noyau de f. 4. Résoudre l équation différentielle xy (x) y(x) = x. En déduire que f n est pas surjectif. Exercice 1 (++) (formes linéaires) Soient E un R-espace vectoriel de dimension n et f une forme linéaire non nulle sur E. Calculer la dimension du noyau de f. Exercice 11 (++) (injections, surjections) 1. Donner un exemple d application linéaire surjective de R 3 dans R 2. 2. Existe-t-il une application linéaire injective de R 3 dans R 2? 3. Généraliser. Exercice 12 (++) (injections, surjections) 1. Donner un exemple d application linéaire injective de R 2 dans R 3. 2. Existe-t-il une application linéaire surjective de R 2 dans R 3? 3. Généraliser. Exercice 13 (++) (matrices inversibles, noyau, image) Soit f y L(R 1 [X]) définie par f y (ax + b) = (b + ya)x + 4a + yb. Soit A y la matrice de l endomorphisme f y dans la base canonique de R 1 [X] : 1. Expliciter A y. 2. Déterminer le noyau et l image de f y. 3. Déterminer les valeurs de y pour lesquelles A y est inversible. 4. Calculer alors A 1 y. Exercice 14 (++) (applications linéaires et matrices) Soient u et v dans L(R 3 ) associées canoniquement aux matrices M et P avec : 2 a 1 1 1 M = 1 2 ; P = 1 1 1 3 1 1 1 1 2a 3
1. Déterminer les noyaux et les images de u et v. 2. Calculer u v et v u. Exercice 15 (++) (endomorphismes, théorème du rang) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Montrer que : n est pair g L(E) Im(g) = Ker(g). Exercice 16 (++) (matrices et applications linéaires, supplémentaires) Soit u l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est A = Montrer que R 3 = Im(u) Ker(u). 1 1 1 1 2 1. Exercice 17 (++) (image et noyau) Soient E un K-espace vectoriel et f L(E) tel que f 3 = Id E. 1. Déterminer Im(f) et Ker(f). 2. Montrer que Im(f Id E ) Ker(f 2 + f + Id E ). Exercice 18 (+++) (applications linéaires, noyaux, composées) Soient E un K-espace vectoriel et f L(E). Montrer que : Donner un exemple d un tel endomorphisme. Im(f) Ker(f) = {} Ker(f) = Ker(f f). Exercice 19 (+++) (applications linéaires, noyau, image, composées) Soient E, F et G trois R-espaces vectoriels, f L(E, F ) et g L(F, G). Montrer que : Ker(g f) = Ker(f) Ker(g) Im(f) = {}. Exercice 2 (+++) (endomorphismes,familles libres) Soit E un R-espace vectoriel de dimension n 1. On considère f L(E) tel que : f f = Id. Soit a un vecteur non nul de E. 1. f est-elle injective? surjective? bijective? 2. Montrer que la famille (a, f(a)) est libre. On note G a le sous-espace vectoriel engendré par ces deux vecteurs. 3. Montrer que G a est le plus petit, au sens de l inclusion, sous-espace de E stable par f et contenant a. 4. Donner un exemple d endomorphisme de R 2 satisfaisant l hypothèse de l énoncé. Exercice 21 (+++) (matrices et applications linéaires) Soit f l endomorphisme de R 2 [X] qui à tout polynôme P associe : f(p ) = P (X) + (X 1)P (X). 1. Déterminer A, la matrice de f lorsque R 2 [X] est rapporté au départ à la base B = (1, X, X 2 ) et à l arrivée à la base B = (1, 2X, 3X 2 ). 4
2. Montrer que la matrice A est inversible et calculer son inverse. 3. Déterminer un polynôme T solution de l équation différentielle : T (x) + (x 1)T (x) = 3x 2 4x + 2. 4. Pour n N, déterminer f n. Exercice 22 (+++) (changement de base) Soit f L(R 3 ) tel que f 2 et f 3 =. 1. Montrer qu il existe x R 3 tel que la famille (x, f(x ), f 2 (x )) est une base de R 3. 2. Donner la matrice de f dans cette base. 3. En déduire le rang de f. Exercice 23 (+++) (endomorphismes, rang) Soient E un espace vectoriel de dimension finie, f et g dans L(E) tels que f g = et f + g est bijective. Montrer que rang(f) + rang(g) = dim(e). Exercice 24 (+++) (endomorphismes, équations différentielles) Soit E l ensemble des fonctions continues sur R. 1. Soit f E. Montrer qu il existe une unique fonction y de E telle que : { x R, y (x) + y(x) = f(x) y() = 2. On pose alors u(f) = y. Montrer que u est un endomorphisme injectif de E. Exercice 25 (+++) (endomorphisme, espace de polynômes) Si P R n [X] on pose f(p (X)) = P (X) + 1 n (1 X)P (X). 1. Montrer que f est un endomorphisme de R n [X]. 2. Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R n [X]. 3. Déterminer le noyau et l image de f. Exercice 26 (+++) (endomorphisme, espace de fonctions) On note E = F(R, R) l espace vectoriel des fonctions de R dans R, dans lequel on considère les applications : f 1 : x cos 2 (x) ; f 2 : x sin 2 (x) ; f 3 : x cos(x) sin(x). Soit F = V ect(f 1, f 2, f 3 ). On considère l application Ψ : F F, f Ψ(f) = f. 1. Donner la dimension de F. 2. Montrer que k {1, 2, 3}, Ψ(f k ) F. En déduire que Ψ est un endomorphisme de F. 3. Déterminer la matrice associée à Ψ dans la base (f 1, f 2, f 3 ). 4. Im(Ψ) et Ker(Ψ) sont-ils supplémentaires dans F? 5
2 Variables aléatoires Exercice 27 (+) [Le minimum à savoir faire sur les VAR] On effectue des tirages successifs dans une urne contenant a boules rouges et b blanches. Pour k N on définit les évènements : R k : Obtenir une rouge au k-ième tirage. ; B k : Obtenir une blanche au k-ième tirage. On définit les variables aléatoires X k par : X k = 1 si on a une rouge au tirage k, X k = sinon. 1. Déterminer les relations entre les évènements R k, B k, [X k = 1], et [X k = ]. 2. Dans cette question les tirages sont effectués avec remise. (a) Déterminer la loi de X 1, son espérance et sa variance. (b) Idem pour X 2. (c) Idem pour X 3. (d) Ici on effectue n tirages (avec n < a + b) et on note Y la variable aléatoire définie par : n Y = X k. Expliquer avec une phrase à quoi correspond l évènement [Y = j]. Déterminer k=1 la loi de Y, son espérance et sa variance. (e) Ici on effectue une infinité de tirages et on note Z la variable aléatoire définie comme étant le nombre de tirages nécessaires avant d obtenir une boule rouge. Ecrire l évènement [Z = j] en fonction des évènements élémentaires définis précédemment. Déterminer la loi de Z. 3. Reprendre la question 2, mais cette fois-ci les tirages sont sans remise. Exercice 28 (+) (loi, espérance, variance) Etant donné λ R + et n N, on considère X une variable aléatoire prenant ses valeurs dans l ensemble {1,..., n} et telle que pour tout k {1,..., n} : P (X = k) = λk. 1. Déterminer λ. 2. Calculer E(X) et V (X). Indication : on peut utiliser, en la justifiant, la relation : n k=1 k 3 = n2 (n + 1) 2. 4 Exercice 29 (+) (attention, Youki!) Youki le chien veut traverser la route. Il doit pour cela éviter successivement 9 voitures, qui ont chacune une chance sur dix de lui écraser une patte. Quelle est la probabilité que Youki réussisse à traverser la route en se faisant écraser moins de trois fois? Exercice 3 (+) (Youki in the sky with diamonds) Après avoir traversé la route, Youki le chien trouve des boulettes de kebab dans la rue. Il y a 2 boulettes, dont 6 sont hallucinogènes. Youki mange 4 boulettes. 1. Quelle est la probabilité qu il ne mange aucune boulette hallucinogène? 2. S il mange trois boulettes hallucinogènes, Youki meurt. Quelle est la probabilité qu il meure? Exercice 31 (+) (Youki cherche le numéro de la spa) Après avoir traversé la route et survécu au kebab, Youki le chien rentre dans une classe où il y a 15 élèves de BCPST. Chaque élève essaie alors de lui donner un coup de pied dans la tête, avec une chance sur quatre de réussir. 1. Quelle est la probabilité que Youki reçoive au moins un coup de pied? 6
2. Au bout de trois coups de pieds reçus, Youki meurt. Quelle est la probabilité qu il meure? Exercice 32 (+) (couples aléatoires, coefficient de corrélation linéaire) Dans une urne contenant 4 boules vertes et 3 boules noires, on tire simultanément 2 boules. On note X (resp. Y ) la variable aléatoire égale à si la première (resp. la seconde) boule tirée est noire et à 1 si elle est verte. 1. Déterminer la loi du couple (X, Y ). 2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire du couple (X, Y ). Exercice 33 (++) (qcm) Brice, Nadine et Jean-François font un test de quotient intellectuel. Ils doivent pour cela répondre chacun à 2 questions. A chaque question on leur propose 3 réponses possibles, une seule de ces réponses étant juste. A la fin du test, on estime que le nombre de réponses justes correspond au q.i. de la personne. Comme Brice, Nadine et Jean-François ne sont pas capables de comprendre les questions, ils répondent à chaque fois au hasard. On note X(respectivement Y, Z) le q.i. donné par le test pour Brice (resp. Nadine, Jean-François). On ne cherchera pas à calculer les sommes obtenues. 1. Quelle est la probabilité que Nadine ait un q.i. égal à? supérieur à 1? 2. Quelle est probabilité qu au moins l un des trois ait un q.i. inférieur à 5? 3. On note p la probabilité que Jean-François soit plus intelligent que Brice et Nadine réunis. 2 k i Montrer que p = P (Z = k) P (X = j)p (Y = i j). k= i= j= Exercice 34 (++) (loi usuelle, gain moyen) Une boite contient 24 jetons rouges et 6 jetons noirs. On paye 3 euros pour tirer 4 jetons dans la boite. On gagne alors 3 fois (en euros) le nombre de jetons noirs obtenus. On note G le gain réel associé à ce jeu. 1. Quelle est la probabilité de ne pas perdre d argent en jouant? 2. Calculer le gain moyen. 3. Calculer l écart-type de G. Exercice 35 (++) (fonction de répartition, espérance : très classique) Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire deux boules de l urne. On note Y le plus grand des deux numéros tirés. Déterminer la fonction de répartition, puis la loi, puis l espérance de Y, lorsque : 1. les tirages sont simultanés ; 2. les tirages sont successifs, avec remise. Exercice 36 (++) (variables de Bernoulli) Soient (X i ) 1 i n des variables de Bernoulli indépendantes, de paramètres p i. n 1. Déterminer la loi de Y = X i. i=1 2. Déterminer la loi de W = min 1 i n X i. 3. Déterminer la loi de Z = max 1 i n 1 (X i+1 X i ). 7
Exercice 37 (++) (loi hypergéométrique) Le jour d un DS, un élève de BCPST a le choix entre 2 exercices, dont 14 sont faciles et 6 sont extremement compliqués. L élève doit choisir au hasard 4 exercices puis les traiter. 1. Quelle est la probabilité qu il n ait que des exercices faciles? 2. S il choisit trois exercices très compliqués, l élève craque et pleure. Quelle est la probabilité p qu il pleure? 3. On suppose que chacun des 42 élèves de la classe effectue son propre tirage, et que les tirages des différents élèves sont indépendants les uns des autres. En moyenne, combien d élèves pleurent à la fin du devoir? Exercice 38 (++) (loi hypergéométrique, approximation par la loi binomiale, IBT) On prélève 1 poissons dans un lac qui en contient 2, dont 1% sont malades. On note Y le nombre de poissons malades dans l échantillon. Montrer que : P ( Y 1 5).36. Exercice 39 (++) (loi hypergéométrique, approximation par la loi binomiale, IBT) On choisit 4 poulets dans un élevage de 1 poulets, dont 5% sont malades. On note W le nombre de poulets malades dans l échantillon. Montrer que : P (W 4) 1 2. Exercice 4 (++) (espérance, sommes) Soit X une var discrète finie prenant ses valeurs entre et un entier N. N 1 Montrer que E(X) = P (X > k). k= Exercice 41 (++) (couples aléatoires, indépendance, coefficient de corrélation linéaire, lois usuelles) On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y dont les lois sont données par : 1. Déterminer la loi du couple (X, Y ). X B(2, 1 4 ) et Y H(8, 2, 3 8 ). 2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire du couple (X, Y ). 3. Déterminer l espérance et la variance de Z = X + Y. Exercice 42 (++) (loi conjointe, lois marginales) Très CLASSIQUE Dans une urne constituée de n boules numérotées de 1 à n, on effectue deux tirages successifs sans remise. On note X 1 le numéro de la première boule tirée, X 2 le numéro de la seconde boule tirée. Montrer que X 2 U([[1, n]]). Exercice 43 (++) (couples aléatoires, indépendance, corrélation linéaire, lois usuelles) On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y dont les lois sont données par : 1. Déterminer la loi du couple (X, Y ). X U([, 2]) et Y H(5, 2, 3 5 ). 2. Calculer le coefficient de corrélation linéaire du couple (X, Y ). 8
3. Déterminer l espérance et la variance de Z = X + Y. Exercice 44 [Oral HEC] (+++) (lois usuelles) Très CLASSIQUE Babar lance n fois (n 1) une pièce de monnaie. Youki lance lui aussi n fois de suite cette pièce. Les lancers sont supposés indépendants. On note X la variable aléatoire égale au nombre de côtés face obtenus par Babar et on note Y la variable aléatoire égale au nombre de côtés face obtenus par Youki. Déterminer les lois de X, de Y, de Z = X + Y, de W = X Y. Exercice 45 [Oral ESCP] (+++) (loi uniforme, fonction de répartition) 1. Rappeler comment, lorsque l on connait la fonction de répartition d une variable aléatoire réelle X à valeurs dans [[1, n]], on peut retrouver la loi de probabilité de X. 2. On considère une urne contenant n boules numérotées de 1 à n. On effectue n tirages successifs avec remise dans cette urne. Pour k [[1, n]] on note X k la variable aléatoire égale au numéro de la boule obtenue au tirage k. (a) Déterminer les lois des variables X k, pour k entre 1 et n. (b) On pose Y = max(x 1,..., X n ). Déterminer la loi de Y. n 1 ( k ) n (c) Montrer que : E(Y ) = n. n k= Exercice 46 [Oral Agro 26] (+++) (temps d attente, variable discrète infinie) Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On y effectue des tirages avec remise jusqu à ce que le numéro de la boule tirée soit supérieur ou égal au numéro de la boule tirée précédemment. On note X n le nombre de tirages effectués. 1. Calculer, pour tout j N, P (X n > j). 2. Donner la loi de X n. Exercice 47 (+++) (variables aléatoires, temps d attente) On lance simultanément trois dés. On met de côté tous les dés numérotés 1, puis on relance simultanément les dés restants. On met de nouveau de côté tous les dés numérotés 1, puis on relance simultanément les dés restants, et ainsi de suite jusqu à ce qu on n ait plus aucun dé à relancer : la partie est alors terminée. On note X i le nombre de tours nécessaires pour obtenir un 1 sur le i-ème dé et Y le nombre de tours nécessaires pour terminer la partie. 1. Prouver que P (X i > n) = ( 5 6 )n. 2. En déduire P (Y > n) puis P (Y = n). 9
Exercice 48 (+++) (variables aléatoires, probabilités totales : si on sait faire ça on a tout compris) On lance n fois une pièce dont la probabilité d apparition de Pile est a ], 1[. On note X le nombre de Pile obtenus, puis on lance X fois un dé. On note alors Y le nombre de 6 obtenus. Donner la loi de X. Exercice 49 [Oral Agro 28] (+++) (variables aléatoires, probabilités totales, ultraclassique) Une société reçoit des produits. Chaque produit se trouve dans une boîte et on suppose que certaines boîtes peuvent être détériorées pendant le transport. De plus, on suppose que lorsque la boîte est détériorée, la probabilité que le produit soit invendable est 1/6. Soit X le nombre de produits invendables parmi les produits reçus. On note Y le nombre de boites détériorées reçues. On suppose que Y suit une loi uniforme sur {1,..., 1}. 1. Calculer P ((X = k) (Y = n)). 2. En déduire la loi de X. Exercice 5 [Oral ESCP] (+++) (covariance, couple aléatoire) Très CLASSIQUE Un sac contient n jetons numérotés de 1 à n. On tire successivement et sans remise 2 jetons de ce sac. On note X le numéro du premier jeton tiré et Y le numéro du deuxième jeton tiré. 1. Déterminer la covariance Cov(X, Y ) des variables X et Y. 2. On pose Z = X Y. Déterminer la loi puis l espérance de Z. Exercice 51 (+++) (lois usuelles, variance, covariance) Etant donné n N on considère n personnes qui se répartissent au hasard dans 3 hôtels H 1, H 2, et H 3. Pour i {1, 2, 3} on note X i le nombre de personnes ayant choisi l hôtel H i. 1. Déterminer la loi des trois variables aléatoires X 1, X 2, X 3. 2. Déterminer la loi de X 1 + X 2 et la variance de X 1 + X 2. 3. Calculer la covariance de X 1 et X 2 et le coefficient de corrélation linéaire r(x 1, X 2 ). Exercice 52 (+++) (variance et covariance) Soient X, Y, Z trois VAR de même variance telles que ρ(x, Y ) = ρ(x, Z) = ρ(y, Z) = α. Montrer que α 1 2. Exercice 53 (+++) (couples aléatoires, calculs de sommes doubles) La loi d un couple (X, Y ) est donnée par : (x, y) {,..., n} 2, P (X = i Y = j) = a2 i 2j ( n i avec la convention que ( n r) = dès que r > n. 1. Déterminer a pour que ces formules définissent bien une loi de couple. Indication : on peut prouver puis utiliser la formule : 2. Déterminer la loi marginale de X et son espérance. n j= ( n 2j )( ) n 2j ) x 2j = 1 2 ((1 + x)n + (1 x) n ). 1
Exercice 54 [Oral ESCP 21] (+++) (covariance, variance, espérance) Soit n un entier naturel au moins égal à 2 et soient n variables aléatoires X 1, X 2,..., X n définies sur le même espace probabilisé (Ω, P ). On suppose que ces variables aléatoires ont toutes la même espérance m et la même variance σ 2. On suppose de plus qu il existe un nombre réel r tel que : (i, j) [[1, n]] 2, i j cov(x i, X j ) = r.σ 2 On pose enfin : X = 1 n (X 1 + X 2 +... + X n ). 1. Calculer la variance de X en fonction de n, r et σ 2. 2. Calculer l espérance de n (X i X) 2 en fonction de n, r et σ 2. i=1 3. En déduire que 1 n 1 r 1. 4. On considère une urne contenant deux boules blanches et n 2 boules noires. On extrait les boules de cette urne, une par une, au hasard et sans remise. Pour i [[1, n]], on note X i la variable aléatoire valant 1 si la ième boule obtenue est blanche et sinon. (a) Pour i [[1, n]], calculer la variance de X i. (b) Si i et j sont deux éléments distincts de [[1, n]], calculer cov(x i, X j ). Exercice 55 [Oral ESCP 22] (++++) (BILAN) (espérance, covariance, variance, IBT) On dispose de n urnes numérotées de 1 à n et de N boules numérotées de 1 à N où N = an, a étant un entier fixé non nul. On place au hasard et de manière indépendante chacune des N boules dans une des urnes (chaque boule est donc placée avec la probabilité 1 n dans l urne numéro k). On note : Y n le nombre d urnes vides. T i la variable qui vaut 1 si l urne numéro i est vide et sinon. S n = Yn n. 1. Donner la loi de T i, son espérance et sa variance. 2. Calculer E(T i T j ) et cov(t i, T j ). 3. Calculer E(S n ) et sa limite quand n tend vers l infini. 4. Calculer V (S n ) et sa limite quand n tend vers l infini. 5. Vérifier que ω Ω, S n (ω) e a S n (ω) E(S n ) + E(S n ) e a. 6. En déduire que : ε >, n, n n, P ( S n (ω) e a ε) P ( S n (ω) E(S n ) ε 2 ). 7. Montrer que ε >, lim n P ( S n(ω) e a ε) =. 11
3 Intégrales Les exercices sur les intégrales sont quatre fois sur cinq dans l une des deux catégories suivantes : 1 - Etude d une suite dont le terme général est défini par une intégrale. 2 - Etude d une fonction définie à l aide d une intégrale. Les exercices de cette feuille sont donc classés par catégorie. Il est essentiel de bien comprendre les méthodes utilisées. 1 - Les suites définies par des intégrales Le but est d étudier une suite dont le terme général est : I n = b a f n (t)dt. Souvent, l énoncé demande les calculs des premiers termes I, I 1, I 2. Puis il faut trouver une relation de récurrence entre I n+1 (ou I n+2 ) et I n. La méthode utilisée est souvent une (ou deux) intégration(s) par parties. Pour la limite de (I n ) : - Si, grâce à la relation de récurrence, on peut obtenir une expression explicite de I n, alors on peut directement trouver la limite avec cette expression. - On peut aussi essayer d encadrer la fonction f n, puis d en déduire un encadrement de I n, puis on trouve la limite grâce au théorème d encadrement. Exercice 56 (++) (suite d intégrales, fonction tangente) On veut étudier la suite définie pour n N par : 1. Calculer I, I 1 et I 2. I n = π 4 tan n (x) dx. 2. Etablir une relation de récurrence entre I n et I n+2. 3. Prouver que (I n ) est décroissante et minorée. Conclure. Exercice 57 [Intégrales de Bessel] (++) (suite d intégrales) On pose, pour n, p N, B n,p = 1 t n (1 t) p dt. 1. Montrer que : (n, p) N 2, B n,p = B p,n. 2. Montrer que : (n, p) N 2, B n,p = B n,p+1 + B n+1,p. 3. Montrer que : (n, p) N 2, (n + 1)B n,p+1 = (p + 1)B n+1,p. 4. En déduire B n+1,p en fonction de B n,p. 5. En déduire la valeur de B n,p. Exercice 58 (++) (suite d intégrales) Pour n N on pose : u n = π 2 ( sin x ) 1 n dx. 1. Prouver que : x [, π 2 ], 2 x sin x x. π 2. Montrer que la suite (u n ) converge et calculer sa limite. 3. La suite (u n n) est-elle convergente? 12
Exercice 59 [Oral ESCP 22] (++) (suite d intégrales, encadrements, intégration par parties) Pour tout entier naturel n, on pose : I n = 1. Calculer I et I 1. 1 x n e 1 x dx. 2. Déterminer la limite de la suite (I n ) lorsque n tend vers l infini. 3. Établir une relation de récurrence entre I n et I n 1. 4. En déduire que : I n = n! ( n 1 ) e k! k= Exercice 6 (++) (suite d intégrales) Soit g une fonction continue sur [, 1]. On pose v n = Montrer que (v n ) converge vers. 1 t n g(t) dt. Exercice 61 [Oral AGRO 24] (+++) (suite d intégrales, intégration par parties, encadrements) On donne I n = 1 1. Calculer I et I 1. t n ln(1 + t 2 )dt. 2. A l aide d un encadrement adapté, montrer que : lim I n =. n + 3. On fixe a ], 1[ et on pose : J n = a t n ln(1 + t 2 )dt et K n = Montrer que J n K n tend vers quand n tend vers plus l infini. En déduire que I n est équivalent à K n en plus l infini. 1 a t n ln(1 + t 2 )dt. Le but est d étudier G définie par : G(x) = 2 - Les fonctions définies par des intégrales v(x) u(x) f(t)dt. Déjà, il faut déterminer le domaine D f de continuité de la fonction f. Ensuite : x est dans le domaine de définition de G si et seulement si l intervalle [u(x), v(x)] (ou [v(x), u(x)]) est inclus dans D f. On appelle F une primitive de f. Alors : G(x) = F ( v(x) ) F ( u(x) ). Grâce à cette formule, même si on ne connait pas explicitement F (ce qui sera le plus souvent le cas), on peut calculer la dérivée de G : G (x) = v (x) f ( v(x) ) u (x) f ( u(x) ). Grâce à cette dérivée, on connait les variations de G. Pour les limites de G, il faut souvent encadrer la fonction f et en déduire un encadrement de G, puis utiliser le théorème d encadrement. Exercice 62 (++) (fonction définie par une intégrale) Soit F définie par : 2x t F (x) = t 4 + t 2 + 1 dt. 1. Montrer que F est définie et dérivable sur R. 2. Donner les variations de F. x 3. Pour x, exprimer F ( 1 x ) à l aide de F (x ). En déduire la limite de F (x) quand x +. 2 13
Exercice 63 (++) (fonction définie par une intégrale) Soit f une fonction continue sur [, 1]. On pose, pour 1 x >, 1. Calculer H(x) lorsque f est constante. 1 f(t) H(x) = x x t 2 dt. 2. On suppose f de classe C 1 sur [, 1] et f() =. (a) Montrer qu il existe M > tel que : t [, 1], f(t) Mt. (b) Prouver que lim H(x) =. x + Exercice 64 (++) (fonction définie par une intégrale) Soit F définie par : F (x) = cos x sin x e t ln(2 + t) dt 1. Justifier que F est bien définie sur R. 2. Déterminer le signe de F sur [, π 2 ]. 3. Prouver que F est dérivable sur R puis calculer F. Exercice 65 (++) (fonction définie par une intégrale, exponentielle, encadrements) On définit la fonction ψ sur R + par : ψ(x) = 1. Montrer que ψ est croissante sur R +. 2. Prouver que : x 1, x 1 e u2 x e u2 2 du. x 2 du e u 2 du 2e 1 2. 3. En déduire que : x, ψ(x) ψ(1) + 2e 1 2. 4. Prouver l existence de l = lim x + ψ(x). 1 Exercice 66 (+++) (fonction définie par une intégrale, fonction réciproque) Soit f : R + R dérivable et strictement croissante telle que f() = et lim f = +. + Pour x > on pose : H(x) = x f(t)dt + f(x) f 1 (t)dt. Justifier que H est dérivable puis calculer H. En déduire que H(x) = xf(x). Exercice 67 [Oral AGRO 24] (+++) (fonction définie par une intégrale, encadrements, équivalents) On pose pour tout x : 1 t x F (x) = 1 + t dt. 1. Calculer F () et F (1). 2. Montrer que F est décroissante sur [, + [. 3. Montrer que F (x) + F (x + 1) = 1 1. En déduire que F (x) x + 1 2x lorsque x +. 14
3 - Divers Exercice 68(++) (primitive, équation différentielle d ordre 1) Trouver toutes les applications f : R + R continues telles que : x R +, 2xf(x) = 3 x f(t) dt Exercice 69 (+++) (Taylor-Lagrange, intégrales, dérivabilité) On considère la fonction ϕ : R R définie par la relation ϕ(x) = π/2 e x sin t dt. 1. Montrer que, quel que soit le réel u, on a : e u 1 u u2 2 e u. π/2 2. En déduire que : (x, h) R 2, ϕ(x + h) ϕ(x) + h e x sin t sin t dt 1 2 h2 e h ϕ(x). 3. En déduire que ϕ est dérivable sur R et que : x R, ϕ (x) = 4. Etudier les variations de ϕ. π/2 e x sin t sin t dt. Exercice 7 (+++) (changement de variable) 1 2 + t Calculer dt. 1 + t Exercice 71 (++++) (calcul de primitive, application réciproque) Montrer que f : R + R +, x x 2 + x 3, admet une application réciproque f 1 définie sur R +. dx Exprimer x + f 1 (x) en fonction de x et f 1 (x). Exercice 72 (+++) (calcul de primitive) dx Calculer x + 2 x 1. 15
4 Polynômes Exercice 73 (++) (coefficients) Déterminer le polynôme P n tel que P n P n = 1 n! Xn. Exercice 74 (++) (racines multiples, décomposition) Soit A(X) = X 4 4λX 3 + 3. Déterminer les valeurs de λ R pour lesquelles A admet des racines multiples puis factoriser A sur R lorsque λ = 1. 3 Exercice 75 (++) (polynômes et équations différentielles) On considère l équation différentielle du second degré : t y (t) 2y (t) + 4y(t) = 4t 4 + 12t 6. Déterminer un polynôme P solution de cette équation. Exercice 76 (++) (décomposition de polynôme) Décomposer dans C, puis dans R, le polynôme P = (X 1) 6 + (X 1) 3 + 1 =. Exercice 77 (++) (racines multiples) Soient P C[X], a C, on pose : Q = 1 2 (X a)(p + P (a)) + P (a) P. Prouver que a est une racine au moins triple de Q. Exercice 78 (++) (racines et factorisation de polynôme) On considère A(X) = X 4 4X 3 + 11X 2 14X + 1. 1. Vérifier que (1 + i) est racine de A. 2. Factoriser A dans R[X]. 3. Factoriser A dans C[X]. Exercice 79 (++) (décomposition) Soient a, b et c les zéros supposés distincts d un polynôme complexe unitaire P. a Démontrer que : P (a) + b P (b) + c P (c) =. Exercice 8 (++) (racines, décomposition d un polynôme) Soit P = (X + 1) 7 X 7 1. 1. Déterminer le degré de P. 2. Montrer que P possède deux racines réelles et en donner l ordre de multiplicité. 3. Montrer que P est divisible par (X j), avec j = e 2iπ 3. Montrer que j est racine d ordre au moins 2. 4. Factoriser P dans C[X], puis dans R[X]. 16