Chapitre 7 Déterminants Dans ce chapitre, on se donne un corps K et on suppose que dans ce corps + 6=. De façon équivalente 6= (on dit que le caractéristique du corps est différente de 2). 7. Déterminants des 2 2 matrices. A chaque matrice carrée A est associé un scalaire qui s appelle son déterminant et se note det(a) ou parfois A. Nous discutons d abord le cas des matrices de taille 2 2. Définition Le déterminant d une 2 2 matrice est défini par a a det 2 = a a 2 := a a 2 a 22 a 2 a a 22 a 2 a 2. 22 Théorème 7... Le déterminant des 2 2 matrices vérifie les propriétés suivantes : a) det( A) = 2 A. b) Le déterminant d un produit de deux matrices est égal au produit des déterminants : det(a B) =det(a) det(b). c) La 2 2 matrice A est inversible si et seulement si det(a) 6=.Danscecasona a a 2 a 2 a 22 = a22 a 2 det(a) a 2 a d) Deux vecteurs colonne de K 2 sont linéairement indépendants si et seulement si leurs composantes forment une matrice de déterminant non nul : x y x y et sont linéairement indépendants, det 6=. x 2 y 2 x 2 y 2 87
Preuve. La propriété (a) suit immédiatement de la définition. Pour (b), il suffit de calculer et simplifier : a a det 2 b b 2 (a b =det + a 2 b 2 ) (a b 2 + a 2 b 22 ) a 2 a 22 b 2 b 22 (a 2 b + a 22 b 2 ) (a 2 b 2 + a 22 b 22 ) =(a b + a 2 b 2 )(a 2 b 2 + a 22 b 22 ) (a b 2 + a 2 b 22 )(a 2 b + a 22 b 2 ) =(a a 22 a 2 a 2 )(b b 22 b 2 b 2 ) a a =det 2 a 2 a 22 b b det 2 b 2 b 22. Pour prouver (c), on observe que a a 2 a22 a 2 a 2 a 22 a 2 a =det(a) Cette équation montre que si det(a) 6= alors A est inversible et son inverse est donnée par la formule du point (c). Inversément, supposons que la matrice A est inversible, alors il existe A telle que A A = I 2,donc =det(i 2 )=det(a A )=det(a) (A ),. ce qui entraîne que det(a) 6=. Pour prouver (d) on observe que les vecteurs x y,onadonc x 2 y 2 det(a) 6=, A : K 2! K 2 est surjective, x x 2 x x 2 et et y y 2 y y 2 engendrent l image de A = sont linéairement indépendants. Exemples. 3 3 = 3 6 3, s s = et 3 2 5 = 5 6 2 3 88
7.2 Déterminants des 3 3 matrices. Le déterminant d une 3 3 matrice est la fonction det : M 3 (K)! K définie par a a 2 a 3 det @ a 2 a 22 a 23 A = a a 22 a 33 + a 2 a 32 a 3 + a 3 a 2 a 23 a a 32 a 23 a 2 a 2 a 33 a 3 a 22 a 3. a 3 a 32 a 33 Il est parfois commode de voir le déterminant comme une fonction det : K 3 K 3 K 3! K des 3 vecteurs colonne de K 3 formant la matrice A 2 M 3 (K). Il prend alors la forme x y z det(x, Y, Z) =det@ x 2 y 2 z 2 A = x y 2 z 3 + x 2 y 3 z + x 3 y z 2 x z 2 y 3 x 2 y z 3 x 3 y 2 z. x 3 y 3 z 3 x où X = @ x 2 A Y = @ y 2 A et Z = @ z 2 A. x 3 y 3 z 3 y z On note aussi A pour le déterminant d une matrice. Il est alors facile de voir que le déterminant d une matrice de M 3 (K) s exprime de la manière suivante comme une combinaison linéaire de trois déterminants 2 2 : x y z x 2 y 2 z 2 = x x 3 y 3 z 3 y 2 z 2 y 3 z 3 x 2 y z y 3 z 3 + x 3 y z y 2 z 2 Par exemple 3 4 3 5 3 = 3 3 3 4 3 +5 = ( 9) + ( 3 2) + 5 (9 4) = 5. 3 4 3 7.3 Définition générale du déterminant et premières propriétés Dans une matrice carrée A =(a ij ) 2 M n (K), ilyan! façons de former un monôme du type a i a i2 2 a inn qui contient un et un seul coefficient de chaque colonne et de chaque ligne, c est à dire que i,i 2,...,i n est une permutation de, 2,...,n. On obtient le déterminant de la matrice A en multipliant ce monôme par la signature de la permutation associée et en sommant tous les termes obtenus. Définition. Le déterminant de la matrice A =(a ij ) 2 M n (K) est le scalaire défini par det(a) = A = X 2S n sgn( )a () a (2)2 a (n)n, (7.) 89
où S n est le groupe symétrique des permutations de {, 2,...,n} et sgn( )=± est la signature de la permutation 2S n. Il est parfois commode (et fréquent parmi les physiciens) d écrire le déterminant sous la forme det(a) = i = i 2 = " i,i 2,...,i n a i a i2 2 a inn, (7.2) i n= où " i,i 2,...,i n 2{,, } est le symbole de Levi-Civita défini par 8 >< + si i,i 2,...,i n est une permutation paire de, 2,...,n, " i,i 2,...,i n = si i,i 2,...,i n est une permutation impaire de, 2,...,n, >: si i,i 2,...,i n n est pas une permutation de, 2,...,n. Remarquer que la somme (7.2) possède n n termes, mais seulement n! parmi ces termes sont non nuls (par exemple si n =5, la somme (7.2) contient 325 = 5 5 termes dont seulement 2 = 5! sont non nuls). Exemple. Le déterminant d une matrice diagonale est le produit des termes diagonaux de cette matrice : d d 3 det B @... C A = d d 2 d n, d n car tous les termes de la somme (7.) sont nuls sauf celui qui correspond à la permutation = id. Proposition 7.3.. Le déterminant d une matrice carrée est égal au déterminant de sa transposée det(a > )=det(a). Preuve. Rappelons que la signature d une permutation est égale à la signature de la permutation inverse. L opération de transposer une matrice échange les lignes et les colonnes, on adonc det(a > )= X 2S n sgn( )a () a (2) a 2 (n) = X 2S n sgn( )a ()a (2)2 a (n)n = X 2S n sgn( )a () a (2)2 a (n)n (on a posé = ) =det(a). Une conséquence importante de cette proposition est que toute propriété du déterminant qui s applique au colonnes d une matrice s applique également aux lignes de cette matrice. 9
Dans la suite de ce paragraphe, il est commode d associer à un n-tuple de vecteurs colonne (A,A 2,...A n ) 2 K n K n K n la matrice dont la j me colonne est le vecteur A j (on utilise donc l isomorphisme naturel (K n ) n! M n (K) ; on peut ainsi regarder le déterminant comme une application On a alors les propriétés suivantes. det : K n K n {z K n }! K. n Théorème 7.3.2. a) Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonnes : det(a,...,a j, ( A j + µa j),a j+,...,a n ) = det(a,...,a j,a j,a j+,...,a n ) + µ det(a,...,a j,a j,a j+,...,a n ) pour tous 6 j 6 n et tous, µ 2 K. b) Pour toute permutation 2S n on a det(a (),...,A (n) ) = sgn( )det(a,...,a n ). c) Si E,E 2,...E n est la base canonique de K n,alors det(e,...,e n )=. Preuve. a) Si A j = A j + µa j, alors pour chaque coefficient de la jême colonne on a a ij = ( a ij + µa ij ). Donc pour chaque monôme formant le déterminant, on a a i a ij j a inn = a i a i j j a inn + µa i a i j j a inn, et en faisant la somme (7.), on obtient la propriété (a). b) Soit 2S n, et notons A la matrice obtenue en appliquant la permutation aux colonnes de A, donc les colonnes de A sont A (),...,A (n).onaalors det(a )= X 2S n sgn( )a (), () a (2), (2) a (n), (n) = X 2S n sgn( )a (), a (2),2 a (n),n (on à posé = ) = sgn( ) X 2S n sgn( )a () a (2)2 a (n)n = sgn( )det(a). Car sgn : S!{+, } est un homomorphisme de groupes et on a sgn( ) = sgn( ) sgn( ) = sgn( ) sgn( ). 9
c) Le déterminant det(e,...,e n ) est le déterminant de la matrice identité dont les coefficients sont les symboles de Kronecker ij. Tous les termes de la somme (7.) sont nuls, sauf celui correspondant à la permutation =Id, et le mônome correspondant est sgn(id) 22... nn =. Définition. Une application : K n K n K n! K vérifiant les conditions (a) et (b) de ce théorème est dite multilinéaire et alternée. Corollaire 7.3.3. Si deux colonnes sont identiques, i.e. A r = A s avec 6 r<s6 n, alors det(a,...,a n )=. Preuve. Soit =(r, s) 2S n la transposition qui échange r et s, alors la propriété (b) du théorème précédent implique que det(a,...,a r,...,a s,...a n ) = sgn( )det(a,...,a s,...,a r,...a n ) donc ce déterminant est nul. = det(a,...,a s,...,a r,...a n ) = det(a,...,a r,...,a r,...a n ) Corollaire 7.3.4. a.) Si on ajoute à la j ème colonne de la matrice A 2 M n (K) une combinaison linéaire des autres colonnes, alors le déterminant ne change pas. b.) Si les colonnes de la matrice A 2 M n (K) sont linéairement dépendantes, alors det(a) =. Preuve. a.) On a det(a,...,...a r, (A r + X j6=r ja j ),A r+,...a n )=det(a,...,a r,...a n ) + X j6=r j det(a,...,a r,a j,a r+,...a n ), on obtient donc l affirmation voulue par le corollaire précédent car chaque terme de cette dernière somme est nul. b.) Les colonnes de A 2 M n (K) sont linéairement dépendantes si et seulement si l une des colonnes est combinaison linéaire des autres colonnes. Supposons par exemple que la colonne A r est combinaison linéaire des autres colonnes On a alors par l affirmation (a) : det(a,...,a r,...a n )=det(a,...,,...a n )=. Exemple. On a x det B x 2 C @ x 3 A =det B C @ x 3 A = x 3. x 4 92
Plus généralement si X =(x,x 2,...,x n ) >,alors det(e,...,e j,x,e j+,...e n )=x j, 7.4 Théorème fondamental Théorème 7.4. (Théorème fondamental de la théorie des déterminants.). Soit : K n K n K n! K une application mutilinéaire et alternée, alors il existe 2 K tel que = det, i.e. (A,...,A n )= det(a,...,a n ) pour tous A,...,A n 2 K n.deplus, = (E,...,E n ). Preuve. On a A = a E + + a n E n, donc par multilinéarité de, ona (A,...,A n )= On a aussi A 2 = a 2 E + + a n2 E n,donc (A,...,A n )= a i (E i,a 2,...,A n ). i= i= j= en continuant avec les colonnes A 3...,A n, on obtient a i a j2 (E i,e j,a 3...,A n ). (A,...,A n ) = a i a i2 2 a inn(e i,e i2,...,e in ). i = i 2 = i 2 = Or nous avons supposé que est alternée, cela entraîne que (E i,...,e in )=" i...i n (E,...,E n ). Posons = (E,...,E n ),alorsnousavons (A,...,A n ) = " i...i n a i a i2 2 a inn i = i 2 = i 2 = = det(a). Corollaire 7.4.2. Si A et B appartiennent à M n (K), alors det(a B) =det(a) det(b). 93
Preuve. La j ème colonne de A B est l image par A de la j ème colonne de B (AB) j = A B j = b j A + b 2j A 2 + + b nj A n. Si on note : M n (K)! K l application définie par (B) =det(a B), alors est une application multilinéaire et alternée. Le théorème précédent montre alors que det(ab) =(B) = det(b) avec = (I n )=det(ai n )=det(a). Doncdet(A B) =det(a) det(b). Corollaire 7.4.3. Le déterminant d une matrice carrée est nul si et seulement si ses colonnes sont linéairement dépendantes. Preuve. On a déjà vu que si les colonnes de A 2 M n (K) sont linéairement dépendantes, alors det(a) =. Supposons réciproquement que les colonnes de A 2 M n (K) sont linéairement indépendantes. Alors l application linéaire L A : K n! K n est injective et donc inversible, ce qui implique que la matrice A est inversible. On a alors ce qui implique que det(a) 6=. =det(i n )=det(a A )=det(a) det(a ), Observons que la preuve montre aussi que det(a )= det(a). Théorème 7.4.4. (Règle de Cramer) Soient A 2 M n (K) et X, B 2 K n.supposonsqueax = B, alors la j ème composante de X vérifie det(a) x j =det(a,...,a j,b,a j+,...a n ). En particulier si A est inversible, alors cette formule permet de résoudre le système linéaire AX = B. Preuve. Notons S j la matrice (E,...,E j,x,e j+,...e n ), alors la condition AX = B est équivalente à A S j =(A,...,A j,b,a j+,...a n ). Donc det(a) det(s j )=det(a,...,a j,b,a j+,...a n ), mais nous avons vu plus haut que det S j = x j. 94
Théorème 7.4.5. (Théorème d unicité du déterminant.) Le déterminant est l unique application K n K n K n! K vérifiant les trois propriétés suivantes : (i) (ii) det est multilinéaire, i.e. linéaire en chaque variable. Si la matrice A possède deux colonnes adjacentes qui sont égales, alors sont déterminant est nul. En d autres termes det(a,...,a r,a r+...,a n )=. (iii) det(e,...,e n )=(où {E i }2K n est la base canonique), Preuve. Il est clair à partir du théorème 7.3.2 et du corollaire 7.3.3 que le déterminant vérifie les propriétés (i), (ii) et (iii). Prouvons la réciproque. Soit : K n K n K n! K une application vérifiant les conditions (i), (ii) et (iii) ci-dessus, on doit montrer que coïncide avec le déterminant. Par le théorème fondamental 7.4., il suffit de démontrer que est alterné. Montrons d abord que (A,...,A n ) change de signe si on transpose deux colonnes adjacentes : En effet les propriétés (i) et (ii) entrainent =(A,...,(A r + A r+ ), (A r + A r+ ),...,A n ) = (A,...,A r,a r,...,a n )+(A,...,A r,a r+,...,a n ) + (A,...,A r+,a r,...,a n )+(A,...,A r+,a r+,...,a n ) = (A,...,A r,a r+,...,a n )+(A,...,A r+,a r,...,a n ), donc (A,...,A r+,a r,...,a n )= (A,...,A r,a r+,...,a n ). On peut réécrire cette propriété de la façon suivante : si =(r, r + ) est la transposition qui échange r et r +,alors (A (),...,A (n) )= (A,...,A n ). Supposons maintenant que =(r, s) est la transposition qui échange r et s avec apple r<sapple n. Alors peut s écrire comme composition de 2k +transpositions adjacentes : =(r, s) =(r, r + k) =(r + k, r+k )...(r +2,r+ )(r, r + )(r +,r+ 2)...(r + k,r+ k). Donc (A (),...,A (n) )=( ) 2k+ (A,...,A n )= (A,...,A n ). Soit maintenant une permutation quelconque 2S n. On sait qu on peut écrire comme produit de transpositions : = s où chaque k est une permutation. En répétant l argument précédent s fois, on trouve que (A (),...,A (n) )=( ) s (A,...,A n ). Mais ( ) s = sgn( ), on a donc démontré que l application est alternée. Le théorème 7.4. nous dit alors que =det. 95
7.5 Cofacteurs et formule de Laplace Définitions. Les cofacteurs de la n n matrice A =(a ij ) sont définis par c ij =( ) i+j det A(i j) où A(i j) est la (n ) (n ) matrice obtenue en supprimant la i ème ligne et la j ème colonne de A. Lamatrice des cofacteurs de A est la n n matrice C = Cof(A) =(c ij ). Proposition 7.5.. On peut calculer le déterminant d une matrice A =(a ij ) 2 M n (K) par la formule de récurrence suivante (valable pour tout i) : det(a) = a ij c ij = j= ( ) i+j a ij det A(i j). (7.3) Cette formule s appelle le développement de Laplace du déterminant suivant la i ème ligne. Preuve. Pour une matrice A 2 M n (K), on écrit i (A) = j= ( ) i+j a ij det A(i j). j= Il est clair que i (I n )=et que i est multilinéaire en tant qu application K n K n! K. Montrons que i s annule lorsque deux colonnes adjacentes de la matrice A sont identiques. Supposons donc que A r = A r+ avec r<n,alors i (A) =( ) i+r a ir det A(i r)+( ) i+r+ a i(r+) det A(i (r + )) + X ( ) i+j a ij det A(i j). j6=r,r+ Or si i 6= r et i 6= r +, alors la sous-matrice A(i j) possède deux colonnes adjacentes qui sont égales, donc det A(i j) =.D autreparta(i (r + )) = A(i r) et a i(r+) = a ir,donc i (A) = pour toute matrice A ayant deux colonnes adjacentes égales. Le théorème 7.4.5 entraîne alors que i (A) =det(a) pour tout A 2 M n (K). Corollaire 7.5.2. On peut aussi calculer le déterminant d une matrice A =(a ij ) 2 M n (K) en développant suivant la j ème colonne : det(a) = a ij c ij = i= ( ) i+j a ij det A(i j). i= Preuve. C est une conséquence de la proposition précédente et du fait que det(a > )=det(a). 96
Exemple. Le déterminant de la matrice A = @ colonne, ce qui donne 2 2 A peut se développer selon la première det(a) = 2 2 2 = () 2 ( 2) + ( ) =4, + Il peut aussi se développer selon la troisième colonne, ce qui donne ou encore selon la deuxième ligne : det(a) = 3 2+ =4, det(a) = 2 2 + = 2 ( 2) + () (2) =4. 2 On simplifie le calcul d un déterminant en choisissant de le développer selon une ligne ou une colonne qui contient un ou plusieurs zéros (si c est possible). On simplifie encore si un ou plusieurs cofacteurs sont nuls. Dans l exemple ci-dessus c est le développement selon la deuxième ligne qui est le plus efficace. La proposition 7.5. a aussi la conséquence suivante : Corollaire 7.5.3. Si k 6= i, alors ( ) i+j a kj det A(i j) =. j= Preuve. Notons Z la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la i ème ligne de A par la k ème ligne, i.e. ( a r,s si r 6= i, z r,s = si r = i a k,s alors det(z) =car cette matrice à deux lignes identiques. Par construction on a Z(i j) =A(i j) et z ij = a kj pour tout j et pour tout k, donc l équation (7.3) appliquée à la matrice Z entraîne que =det(z) = ( ) i+j z ij det Z(i j) = ( ) i+j a ik det A(i j) =det(z) =. j= j= Théorème 7.5.4. (Formule de Laplace) On a A Cof(A) > = Cof(A) > A =det(a) I n 97
Preuve. La proposition précédente et son corollaire nous dit que a kj c ij = ik det(a) j= Ce qui signifie que A Cof(A) > =det(a) I n. On prouve Cof(A) > A =det(a) I n de la même manière. Corollaire 7.5.5. Une matrice carrée A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Si c est le cas, l inverse est donnée par la transposée de la matrice des cofacteurs divisée par le déterminant : A = det(a) Cof(A)>. Exemple. Reprenons la matrice A = @ 2 2 On a det(a) =4et la matrice des cofacteurs c ij =( Ainsi A = Cof(A) = @ A. 2 3 2 2 2 det(a) (Cof(A))> = @ 4 ) i+j det(a ij ) est A. 2 2 2 3 2 Le lecteur est invité à vérifier qu en effet le produit de cette matrice par A donne la matrice identité. A. Résumé des propriétés du déterminant : ) Le déterminant définit une application multilinéaire det : K n K n! K. 2) On a det(a) =det(a > ) et det( A) = n det(a) (en particulier det( A) =( ) n det(a)). 3) Le déterminant de la matrice A change de signe si on échange deux lignes ou deux colonnes de A. 4) Plus généralement det(a (),...,A (n) ) = sgn( )det(a,...,a n ) pour toute permutation (et on a une formule similaire sur les lignes de la matrice). 5) Si une matrice A est obtenue à partir de A en ajoutant à une colonne de A une combinaison linéaire des autres colonnes de A, alorsdet(a )=det(a). 6) Si une matrice A est obtenue à partir de A en ajoutant à une ligne de A une combinaison linéaire des autres lignes de A, alorsdet(a )=det(a). 7) Les vecteurs colonnes A,...,A n sont linéairement indépendants si et seulement si det(a,...,a n ) 6=. 98
8) det(a B) =det(a) det(b). 9) Le déterminant peut se calculer à partir des cofacteurs en développant selon une ligne ou une colonne : det(a) = a ij c ij = a ij c ij. j= où les C ij sont les cofacteurs de A : c ij =( i= ) i+j det A(i j). ) La matrice A 2 M n (K) est inversible si et seulement si det(a) 6=. Dans ce cas on a A = det(a) (Cof(A))>. Exemple. Soit à calculer le déterminant A =detb @ 4 2 2 2 2 2 3 2 C A. On obtient une matrice A de même déterminant en soustrayant la quatrième ligne à la deuxième ligne. On développe ensuite selon les cofacteurs de la deuxième ligne et on obtient det(a) =det(a )= 4 2 2 3 2 3 2 = 3 = 3 2 2 2 3 2 2 + 2 3 2 = 3(2 3 2 6) + (4 3 2 5) = 2. 4 2 2 2 + 4 2 2 2 2 7.6 Calcul de déterminants par l algorithme de Gauss-Jordan Pour calculer un déterminant, on peut utiliser le développement par les cofacteurs. Concrètement cela signifie qu on remplace le calcul d un déterminant n n par n déterminants (n ) (n ). Cette méthode n est pas utilisable pour les matrices de grandes taille. On préfère alors utiliser l algorithme de Gauss-Jordan pour calculer des déterminants. On a vu au paragraphe 6.4 la définition des matrices élémentaires. Leurs déterminants sont très simples à calculer : Proposition 7.6.. Les déterminants des matrices élémentaires sont donnés par det(p (r,s) )=, det(d (4) ( )) = et det L (r,s) ( )=. La preuve est une simple application des propriétés du déterminant. Rappelons que le théorème 6.4. nous dit que pour toute matrice A 2 M n n (K) il existe Q 2 GL n (K) telle que Q est le produit d un nombre fini de matrices et A = Q A est de forme 99
échelonnée. Cela nous conduit à la méthode suivante pour calculer le déterminant d une matrice A 2 M n (K) :. Ramener A à une forme échelonnée A par l algorithme de Gauss-Jordan. 2. Comme A est une n n échelonnée, c est une matrice triangulaire. 3. Noter S k la matrice élémentaire qui correspond à la k ème étape de l algorithme, alors S m S m S A = A, où m est le nombre d étapes de la réduction à la forme échelonnée. La matrice Q est donc le produit Q = S m S m S. 4. On a donc my det(a) =det(q) det(a )= det(s k ) det(a ) et chaque det(s k ) est facile à calculer. Le déterminant det(a ) est aussi facile à calculer car c est une matrice triangulaire. Remarquer que si A contient une ligne nulle, alors Rang(A) = Rang(A ) <net donc det(a) =. Exemple. Considérons la matrice A = @ Cette matrice peut s échelonner en 3 étapes : A =! 4 2 4 7 7 7 3 9 4 3 7 7 7 3 9 4 k= 4 2 4 7 7 7 3 9 4! A. 3 4 3 9 4! 3 4 = A La première étape est une opération élémentaire de type II, qui est la multiplication de la première ligne par 4, la seconde opération de type III (on ajoute 7 fois la première ligne à la seconde) et la troisième opération est aussi de type III (on soustrait 3 fois la première ligne de la troisième). Matriciellement, cela nous donne : A = L (3,) ( 3) L (2,) (7) D () ( 4 ) A ) A = D ()(4) L (2,) ( 7) L (3,) (3) A. Ce qu on peut vérifier en multipliant les matrices : = 4 2 4 7 7 7 3 9 4 Le déterminant de A vaut 4, donc 4 7 3 3 4 det(a) =det(d () (4)) det(l (2,) ( 7)) det(l (3,) (3)) det(a )=4 4 = 6.. Remarque. Il est (presque) évident à partir du théorème 7.3.2 que pour tous S, B 2 M n (K), où S est une matrice élémentaire, on a det(sb) =det(s)det(b). Comme toute matrice carrée est un produit de matrice élémentaires, on en déduit une nouvelle preuve de l identité det(ab) =det(a)det(b) qui ne dépend pas du théorème fondamental 7.4. (mais cette preuve repose sur l algorithme de Gauss-Jordan et donc sur le théorème 6.3.).