7 : Déterminants Le déterminant : une forme multilinéaire alternée Notion de déterminant Notation Dans tout le chapitre, n est un entier naturel non nul et K = R ou C Notation 2 Soit A M n (K une matrice carrée d ordre n et (i, j ; n 2 On note A ij M n (K la matrice de taille n obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j de la matrice A 2 Exemple Soit A = 4 5 6 Alors A 2 = 7 8 9 ( 4 6 Que vaut A? A? 7 9 Définition Le déterminant d une matrice carrée A M n (K est un nombre det(a K, défini une relation de récurrence sur la taille n de la matrice A : det(a = n ( +j a j det(a j où A = (a ij i n j= pour n 2, et par det(a = a si n = et A = (a M (K j n a a 2 a n a a 2 a n a 2 a 22 a 2n Notation Si A = M a 2 a 22 a 2n n,p(k, on note det(a = K a n a n2 a nn a n a n2 a nn Exemple 2 Vérifier que a c b 2 d = ad bc Calculer 4 5 6 7 8 9 Exemple Soit T M n (K une matrice triangulaire inférieure Montrer par récurrence sur n que det(t est le produit des coefficients diagonaux de T Que vaut det(id n? 2 Caractère alterné Proposition Caractère alterné Lorsqu on permute deux colonnes d une matrice carrée, son déterminant change de signe Si une matrice carrée a deux colonnes identiques, alors son déterminant est nul Démonstration On démontre par récurrence la propriété le cas où j = i +, pour n 2 : initialisation : a b c d = ad bc = (bc ad = b a d c : la propriété est vraie au rang 2 transmission : on suppose la propriété vraie au rang n, et on considère A M n (K On note A la matrice obtenue en échangeant les colonnes i et j = i + Ainsi, pour k i, j on a par hypothèse det(a k = det(a k, et donc : ( k a k det(a k = ( k a k det(a k On a aussi : ( i a i det(a i + ( i+ a,i+ det(a,i+ = ( i a,i+ det(a,i+ + ( i+ a i det(a i = (( i+ a,i+ det(a,i+ + ( i a i det(a i D où : n+ n+ det(a = ( +k a j det(a k = ( +k a j det(a k = det(a wwwyann-angelifr [20 février 206] ATS 205-206, 7 : Déterminants /6
conclusion : permuter deux colonnes consécutives d une matrice change le signe de son déterminant Pour permuter les colonnes i et j (avec i < j, on effectue j i permutations du type p k,k+, pour k = i,, j, suivies de j i permutations du type p k,k+ pour k = j 2,, i On a au final un nombre impair de permutations consécutives, donc un changement de signe La deuxième partie de la proposition vient du fait qu en permutant deux colonnes identiques de A, on obtient det(a = det(a 0 0 0 Exemple 4 Calculer : 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 Exemple 5 Calculer le déterminant d ordre n : D n = 0 0 0 0 Remarque La proposition s interprète en terme d opérations élémentaires : Si (i, j ; n 2, la matrice de permutation p ij = Id n + E ij + E ji E ii E jj vérifie donc det(a p ij = det(a et det(p ij = Multilinéarité du déterminant Proposition 2 Caractère multilinéaire Le déterminant est linéaire par rapport à chacune de ses colonnes : det(, λc j + C j, = λ det(, C j, + det(, C j, On dit que le déterminant est une application n-linéaire Démonstration On procède par récurrence sur n initialisation : le déterminant d une matrice de M (K est égal à son unique coefficient : il s agit d une application linéaire transmission : on suppose que le déterminant de matrices d ordre n est n-linéaire, on va montrer que le déterminant de matrices d ordre n + est n + -linéaire Soient les vecteurs c,, c j, c j, c j, c j+, c n de K n+ et les matrices C = (, λc j + c j,, C = (, c j, et C = (, c j, Si j ; n +, det(c = ] ( k c k det(c k + ( j (λc j + c j det(c j + [ j n+ k=j+ ( k c k det(c k = k j( k c k (λ det(c k + det(c k + λ( j c j det(c j + c j det(c j car C j = C j = C j = λ [ n+ ] ( k c k det(c k + det(c = λ det(c + det(c [ n+ ( k c k det(c conclusion : le déterminant des matrices d ordre n est n-linéaire k ] en posant pour k j, c k = c k = c k Remarque 2 En conséquence, une matrice carrée dont une colonne est nulle est de déterminant nul wwwyann-angelifr [20 février 206] ATS 205-206, 7 : Déterminants 2/6
Remarque (Dilatations Lorsqu on multiplie une colonne d une matrice A M n (K par α K, son déterminant est multiplié par α Si i ; n, la matrice de dilatation d i (α = Id n + (α E ii vérifie donc det(a d i (α = α det(a et det(d i (α = α Remarque 4 (Transvections Ajouter à une colonne d une matrice carrée un multiple d une autre de ses colonnes ne change pas son déterminant Pour (i, j, α ; n ; n K on définit la matrice de transvection t ij (α = Id n + αe ji On a : A M n (K, det(a t ij (α = det(a et det(t ij (α = 2 Exemple 6 Calculer le déterminant suivant, en se ramenant à un déterminant triangulaire : 2 5 7 4 4 7 8 2 Déterminant et produit 2 Déterminants nuls Proposition Reconnaître un déterminant nul Soit A M n (K une matrice carrée d ordre n Dans les cas suivants, on a det(a = 0 : si A a une colonne nulle si une colonne de A est combinaison linéaire des autres si la matrice A n est pas inversible si le rang de la matrice A est inférieur ou égal à n (les colonnes de A n engendrent pas K n si la famille des colonnes de A est liée Démonstration Le premier point vient de la multilinéarité, qui implique, lorsqu une colonne est nulle : det(a = det(a + det(a donc det(a = 0 Le second point vient de l invariance du déterminant par transvection et du premier point Les quatre derniers points sont équivalents au second a b + c Exemple 7 Soit A = b a + c où (a, b, c C Calculer det(a c a + b La proposition 5 nous permettra d établir la réciproque : Proposition 4 Caractérisation des matrices inversibles Soit A une matrice carrée d ordre n Les propriétés suivantes sont équivalentes : det(a 0 A GL n (K : A est une matrice inversible rg(a = n : le rang de A, qui est la dimension du sous-espace engendré par ses colonnes, vaut n les colonnes de A forment une base de K n l endomorphisme canoniquement associé à A est un automorphisme wwwyann-angelifr [20 février 206] ATS 205-206, 7 : Déterminants /6
22 Multiplicativité du déterminant Proposition 5 Multiplicativité du déterminant Soient A et B deux matrices carrées d ordre n On a : det(ab = det(a det(b Démonstration Si l un des facteurs n est pas inversible, disons A / GL n (K, alors det(a = 0 On a aussi AB non inversible, sinon AB(AB = Id n de sorte que A = B(AB : contradiction Donc 0 = det(ab = det(a det(b Dans le cas ou (A, B GL n (K 2, on a vu que la propriété était vraie si B est la matrice d une opération élémentaire (remarques, et 4On a vu dans le 9 matrices que toute matrice inversible est le produit de matrices d opérations élémentaires On en déduit la propriété attendue Remarque 5 En conséquence, det(a = det A et plus généralement det(an = ( det A n 2 Invariance par transposition Proposition 6 Invariance du déterminant par transposition Soit A une matrice carrée d ordre n On a : det(a = det( t A En conséquence, toute propriété valable sur les colonnes d un déterminant, l est aussi sur les lignes Démonstration Si A n est pas inversible, det(a = 0 et t A n est pas inversible non plus, donc det (t A = 0 Si A est une matrice d opérations élémentaire, sa transposée est une matrice d opération élémentaire de même déterminant Ainsi, A GL n (K étant le produit de matrices d opérations élémentaires, la proposition 5 permet de conclure Proposition 7 Développement suivant une ligne ou une colonne Soit A une matrice carrée d ordre n On a pour tous (i, j ; n 2 : det(a = n ( i+k a ik det(a ik et det(a = n ( k+j a kj det(a kj La première formule est le développement du déterminant suivant la i-ème ligne, la seconde, le développement suivant la j-ème colonne Démonstration C est une conséquence de la définition, de la proposition (sur les permutations et de l invariance par transposition du déterminant (proposition 6 + + Remarque 6 En pratique, on trouve le signe ( i+j + à l aide du schéma suivant : + + Exemple 8 On note C M (K la matrice dont les colonnes sont (c, c 2, c Vérifier la cohérence des définitions avec celles du chapitre 8 (Géométrie dans l espace : [c, c 2, c ] = (c c 2 c = det(c wwwyann-angelifr [20 février 206] ATS 205-206, 7 : Déterminants 4/6
Exemples et applications Déterminant d une famille de vecteurs Définition 2 Soit B = (e,, e n une base d un K-espace vectoriel de dimension finie n On se donne (u,, u n une famille de n vecteurs de E Le déterminant de (u,, u n dans la base B est le déterminant de la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des u i dans B : det B (u,, u n = det ( Mat B (u,, Mat B (u n Exemple 9 Soit, avec les notations de la définition 2, B une autre base de E Montrer que det B (u,, u n = det(p det B (u,, u n où P est la matrice de passage de la base B vers la base B Remarque 7 Avec les mêmes notations, (u,, u n est une base de E si et seulement si det B (u,, u n 0 2 Déterminant d un endomorphisme Exemple 0 On rappelle que deux matrices A et B carrées d ordre n sont semblables si et seulement s il existe P GL n (K telle que B = P AP Vérifier que deux matrices semblables ont même déterminant Montrer avec la matrice nulle et la matrice E que la réciproque est fausse Définition Soit f un endomorphisme d un K espace vectoriel de dimension finie Le déterminant de f est le nombre det(f = det ( Mat B (f où B est une base de E Le déterminant de f ne dépend pas de la base choisie Il est non nul si et seulement si f est un automorphisme Démonstration En notant A = Mat B (f, P la matrice de passage de la base B vers la base B et A = Mat B (f, on a : A = P AP Ainsi det(a = det(p AP = det(p det(a det(p = det(a L endomorphisme f est un endomorphisme si sa matrice dans une base est inversible, ce qui équivaut au fait que son déterminant soit non nul Systèmes de Cramer Proposition 8 (Hors programme Si A GL n (K, A = Démonstration La coordonnées (i, j du produit A t à est par définition : tã où det(a à = ( ( i+j det(a ij i n j n n a ik ( i+k det ( A jk Soit i = j et on reconnaît le développement de det(a, soit i j et on a le développement d un déterminant ayant deux colonnes identiques, donc valant 0 Finalement, A t à = det(aid n ce qui permet de conclure ( a b Exemple Soit A = où ad bc 0 Donner A en fonction de a, b, c et d c d Définition 4 Un système d équations linéaires à coefficients dans K est appelé système de Cramer si et seulement s il admet une solution unique k=0 Proposition 9 Un système est de Cramer si et seulement s il est carré et si det(a 0 où A est la matrice de ses coefficients Dans ce cas, si det A 0 et AX = B avec A M n (K, X K n et B K n, alors i ; n, x i = det A i det A où A i est la matrice obtenue en remplaçant la i-ème colonne de A par le vecteur B wwwyann-angelifr [20 février 206] ATS 205-206, 7 : Déterminants 5/6
Démonstration La méthode du pivot montre qu un système a une solution unique si et seulement si le nombre de colonnes de A égale son nombre de lignes et le nombre de pivot, ce qui équivaut à A carrée d ordre n et de rang n, ou encore A carrée et det(a 0 Dans ce cas, X = A B, et on conclut avec la proposition 8 Remarque 8 La proposition précédente a surtout une portée théorique, en pratique, la méthode du pivot reste plus efficaces pour la résolution d un système 4 Déterminant de matrice bloc triangulaire Proposition 0 Soit A M n (K, D M p (K et B M np (K Le déterminant qui suit est dit déterminant d une matrice bloc triangulaire supérieure : ( A B det 0 pn D = det(a det(d Démonstration On procède par récurrence sur la taille n de la matrice bloc A Remarque 9 Cette formule ne se généralise pas à une matrice bloc non triangulaire Bilan du 7 Objectifs prioritaires définition et développement relativement à une ligne ou colonne (proposition 7 2 savoir utiliser les opérations élémentaires pour calculer un déterminant (a savoir calculer le déterminant d une matrice triangulaire : exemple (b savoir reconnaître un déterminant nul (proposition (c propositions (permutations, remarques (dilatations et 4 (transvections (d exercices et 2 connaître le déterminant d un produit : proposition 5 4 connaître le déterminant d une transposée : proposition 6 5 savoir interpréter le déterminant d une famille de vecteurs (section, exercice 9 6 savoir interpréter le déterminant d un endomorphisme (section 2, exercices et 0 Objectifs secondaires savoir calculer des déterminants d ordre n (exercices 2 connaître le calcul de déterminants triangulaires par blocs (section 4 Approfondissement connaître le lien entre déterminant et matrice inverse (proposition 8 2 connaître le lien entre déterminant et système de Cramer (proposition 9 wwwyann-angelifr [20 février 206] ATS 205-206, Bilan du 7 6/6
TD du 7 Exercice Déterminants numériques Calculer le déterminant : 2 0 2 0 6 2 4 4 5 4 5 5 6 7 5 6 2 4 0 0 2 5 4 5 2 2 5 7 4 4 7 8 Exercice 2 Déterminants finis à paramètres Donner une expression factorisée du déterminant suivant : a c c b a b c a b c où (a, b, c R 2 c a b c c b a c où (a, b, c R + x b c c a + 2x où x C ( n ( n+ ( n+2 ( n+ 0 ( 0 0 0 n+ ( n+2 ( n+ ( n+4 cos(a cos(2a 4 ( n+2 ( n+ ( n+4 ( n+5 où n N 5 cos(b cos(2b où (a, b, c R 2 2 2 2 ( n+ ( n+4 ( n+5 ( n+6 cos(c cos(2c Exercice Déterminants d ordre n Calculer le déterminant suivant : s s S n = s 2 s 2 où (s,, s n C n 2 n = s s 2 s n x x de taille n N, où x R Exercice 4 Déterminant de Vandermonde Soient (a,, a n C n avec n 2 a a 2 a n a 2 a 2 2 a n 2 On considère le déterminant de Vandermonde d ordre n : V n = a n a 2 n a n n On souhaite démontrer que V n = (a j a i i<j n Démontrer la formule par récurrence sur n Lors de la transmission, on ajoutera à chaque colonne, en commençant par la dernière, un multiple astucieusement choisi de la précédente Exercice 5 Inversibilité d une matrice à paramètre Pour quelles valeurs du réel m la matrice suivante est elle inversible? Donner son rang en fonction de m m m 2 m m m m 2 Exercice 6 Divisibilité et déterminant 6 5 9 Sachant que divise 659, 2626, 52 et 4004, montrer que divise 2 6 2 6 5 2 4 0 0 4 Exercice 7 Déterminant et alignement dans le plan Le plan est rapporté à un repère (O ; ı ; ȷ x x x Montrer que les points M(x ; y, M (x ; y et M (x ; y sont alignés si et seulement si y y y = 0 wwwyann-angelifr [20 février 206] ATS 205-206, TD du 7 /2
Exercice 8 Déterminants d une matrice antisymétrique Montrer que le déterminant d une matrice antisymétrique d ordre est nul Est-ce le cas pour les matrice antisymétriques d ordre 2? 2 Soit A une matrice carrée d ordre n N Que vaut det( A? En déduire qu une matrice antisymétrique d ordre impair est de déterminant nul Exercice 9 Déterminant d une base de l espace Soit la famille B = (u, v, w où les coordonnées dans la base canonique C(e, e 2, e de R de u, v et w sont u, 0 v 2, La famille B est-elle une base de R? Calculer det B (e, e 2, e 0 w 2 Exercice 0 Déterminants et automorphisme polynomiale Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur λ R pour que l endomorphisme soit un automorphisme f : R 2 [X] R 2 [X], P (X 2 P + (λx + P + P Exercice Déterminants et automorphisme de l espace m 0 Soit m R et φ m l endomorphisme de R canoniquement associé à la matrice A = 2 m 2 0 m Donner une condition nécessaire et suffisante sur m pour que φ m soit un automorphisme Déterminer une base de Kerφ m et Imφ m dans les cas où φ m n est pas un automorphisme wwwyann-angelifr [20 février 206] ATS 205-206, TD du 7 2/2