1 ère S Exercices sur la géométrie dans l espace (2)

1 ère S xercices sur la géométrie dans l espace () 1 1 1 1 Soit un tétraèdre On note,, K, L les points définis par,, K, 1 L éterminer la nature de KL en utilisant les vecteurs Soit S une pyramide régulière de sommet S dont la base est un carré de centre O alculer SSSS 1 Soit un tétraèdre éterminer l ensemble des points M de l espace tels que M M M M 1 Soit un tétraèdre et k un réel distinct de 1 éterminer l ensemble des points M de l espace tels que M km M km 1 Soit et deux points distincts de l espace éterminer l ensemble des points M de l espace tels que M M Soit GH un cube On note le centre de gravité du triangle G 1 ) Recopier et compléter l égalité : Pour tout point M de l espace, on a : M M MG ) Écrire l égalité précédente pour M Préciser la position de sur le segment [] ) n déduire que Soit un tétraèdre On note et les centres de gravité respectifs des triangles et émontrer que () est parallèle au plan () 5 Soit un tétraèdre On note,, G les points définis par, et 1 G émontrer que G est le milieu de [] 6 Soit un tétraèdre On note et les milieux respectifs de [] et [] 1 ) émontrer que 1 ) Que peut-on en déduire pour les vecteurs, et? 7 Soit un tétraèdre On pose u et v On note la droite de repère (, u ) et la droite de repère (, v ) Étudier la position relative de et 8 Soit GH un parallélépipède 1 1 1 ) onstruire le point P tel que P ) émontrer que P est le centre de la face G 9 Soit,, trois points quelconques non alignés de l espace Pour tout réel m, on note G le barycentre des points pondérés (, 1 m),, m, (, m) éterminer l ensemble des points G lorsque m décrit R 1 Soit un tétraèdre On note le milieu de [], le point tel que soit un parallélogramme et le point tel que soit un parallélogramme émontrer que les droites () et () sont sécantes en un point Préciser la position de 11 Soit GH un cube On note et les milieux respectifs de [] et [] émontrer que les points,, G, sont coplanaires

Énoncés des exercices sur les vecteurs de l espace version terminale (janvier 1) 1 1 1 1 Soit un tétraèdre On note,, K, L les points définis par,, K, 1 L éterminer la nature de KL en utilisant les vecteurs Soit S une pyramide régulière de sommet S dont la base est un carré de centre O alculer SSSS Soit GH un cube On note le centre de gravité du triangle G On pourra regarder le rappel sur le centre de gravité ci-après 1 ) émontrer que pour tout point M de l espace, on a : M M MG M ) Écrire l égalité précédente pour M Préciser la position de sur le segment [] ) n déduire que Soit un tétraèdre On note et les centres de gravité respectifs des triangles et émontrer que () est parallèle au plan () 11 Soit GH un cube On note et les milieux respectifs de [] et [] émontrer que les points,, G, sont coplanaires 1 Soit un tétraèdre On note et les points définis par et 1 ) xprimer en fonction de et en fonction de ) émontrer que pour tout point M de l espace, on a : M M M et M M M ) éterminer l ensemble des points M de l espace tels que M M M M 1 Soit un tétraèdre et k un réel distinct de 1 On note et les points définis par k et k 1 ) xprimer en fonction de et en fonction de ) émontrer que pour tout point M de l espace, on a : M km 1 k M et M km 1 k M ) éterminer l ensemble des points M de l espace tels que M km M km 1 Soit et deux points distincts de l espace éterminer l ensemble des points M de l espace tels que M M 15 Rajouter exercice sur vecteurs coplanaires 5 Soit un tétraèdre On note,, G les points définis par, et 1 G émontrer que G est le milieu de [] 6 Soit un tétraèdre On note et les milieux respectifs de [] et [] 1 ) émontrer que 1 ) Que peut-on en déduire pour les vecteurs, et? 7 Soit un tétraèdre On pose u et v On note la droite de repère, u et la droite de repère, v Étudier la position relative de et 8 Soit GH un parallélépipède 1 1 1 ) onstruire le point P tel que P ) émontrer que P est le centre de la face G 9 Soit,, trois points quelconques de l espace tels que ne soit pas le milieu de 1 mg mg mg Pour tout réel m, on note G le point tel que 1 ) xprimer G en fonction de et de ) n déduire l ensemble des points G lorsque m décrit R 1 Soit un tétraèdre On note le milieu de [], le point tel que soit un parallélogramme et le point tel que soit un parallélogramme émontrer que les droites () et () sont sécantes en un point Préciser la position de

Rappel sur le centre de gravité d un triangle : Soit un triangle quelconque Soit G son centre de gravité (point de concours des médianes) On a : G G G ette égalité caractérise le point G (c est-à-dire qu il n y a qu un seul point G qui vérifie cette égalité) On sait aussi que G est situé chaque médiane aux deux tiers en partant du sommet c est-à-dire : G ', G ', G ' où ', ', ' désignent les milieux respectifs des segments [], [] et [] orrigé version Terminale 1 Mettre les hypothèses sous forme d une liste sans phrases dans un encadré aire une figure (1/ ou 1/ de page) La représentation en perspective d un tétraèdre peut montrer 1,, faces visibles n général, on privilégie une représentation en perspective avec faces visibles tétraèdre 1 1 1 K 1 L L K éterminons la nature du quadrilatère KL 1 1 1 1 insi LK donc KL est un parallélogramme LK L K 1 1 LK 1 L K 1 LK

À partir de l égalité LK, on ne peut rien dire de plus On ne peut pas aller plus loin en l absence de précision sur le tétraèdre H G S : une pyramide régulière de sommet S : carré de centre O S H G O 1 ) émontrons que M M M MG M est le centre de gravité du triangle G donc G * alculons S S S S S S S S SO O SO O SO O SO O S S S S SO O O O O Or est un carré de centre O donc O est le milieu de [] et [] insi OO et O O On en déduit que S S S S SO GH : cube : centre de gravité du triangle G aire une figure Pour placer, on trace deux médianes du triangle G * ette égalité caractérise le centre de gravité d un triangle On a alors M M M MG M M M G M ) Écrivons l égalité précédente pour M n appliquant l égalité précédente pour M, on obtient : G Pour répondre à cette question, il suffit de remplacer M à dans l égalité établie à la question précédente (il n y a pas de calcul vectoriel) ) éduisons-en que [] et précisons la position de sur le segment [] GH est un cube donc, d après la règle du parallélépipède, G On peut donc écrire : 1 Par suite, 1 Or 1, donc appartient au segment [] est situé sur le segment [], au tiers en partant de

: tétraèdre : centre de gravité de : centre de gravité de La question précédente n est peut être pas forcément utile : G G G G G G 1 ère méthode : Soit K le milieu de [] et L le milieu de [] On a K et L (le centre de gravité d un triangle est situé sur chaque médiane aux deux tiers à partir du sommet) L K L K KL et KL sont colinéaires donc () // (KL) Or (KL) () où () // () e méthode : K L U V Sur la figure, les médianes sont en pointillés bien qu étant sur des faces visibles, elles devraient être en tracées en traits pleins La seule raison est qu il s agit de traits de constructions pour placer les centres de gravité utre perspective possible : () horizontal à gauche au-dessus émontrons que () est parallèle au plan () Soit U le milieu de [] et V le milieu de [] On a U et V (le centre de gravité d un triangle est situé sur chaque médiane aux deux tiers à partir du sommet)

V U V U UV et UV sont colinéaires donc () // (UV) Or (UV) // () (théorème des milieux dans le triangle ) Or si une droite est parallèle à une droite d un plan alors elle est parallèle à ce plan où () // () e méthode : sans introduire de nouveau point On a Or (relation de hasles) est le centre de gravité de donc ; est le centre de gravité de donc On peut donc écrire et Par suite, où onc () // () On en déduit que () // () 5 1 ère méthode : G G On en déduit que G est le milieu de e méthode : G G G G G G G G G G G On en déduit que G est le milieu de utre méthode : car donc et donc onc en divisant les deux membres par, on obtient : G 1 1 On remarque que G onc G est le milieu de [] 6 : tétraèdre 1 G émontrons que G est le milieu de [] : tétraèdre : milieu de [] : milieu de [] aire une figure codée (coder les milieux)

7 : tétraèdre u v : droite de repère, u : droite de repère, v aire une figure Éviter de faire deux côtés du tétraèdre parallèles 1 ) émontrons que 1 (relation de hasles en introduisant les points et ) ' joutons membre à membre les deux égalités milieu de [] donc milieu de [] donc On obtient donc Par conséquent, 1 (1) ) Que pouvons-nous en déduire pour les vecteurs, et? 1 1 L égalité (1) donne donc les vecteurs, et sont coplanaires (car s exprime comme combinaison linéaire des vecteurs et ) Étudions la position relative de et On utilise la propriété : Soit le milieu de [] Si w u v, alors les vecteurs u, v, w sont coplanaires On a : u et v On exprime le vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs et (avec des coefficients réels) On peut démontrer ces deux égalités à l aide de la relation de hasles u u u

v v v On peut aussi utiliser directement la propriété du cours M M M M puis particulariser M en prenant M puis M a pour repère, u donc passe par a pour repère, v donc passe par On en déduit que les droites et ' sont sécantes au point, milieu de [] 8 GH : parallélépipède 1 1 1 ) onstruisons le point P tel que P H P G 9,, : trois point non alignés de m R G : point défini par 1 mg mg mg 1 ) xprimons G en fonction de et de (1) donne successivement : 1 G G G G m m G m m G m () m m m (1) (relation de hasles) ) éduisons-en l ensemble des points G lorsque m décrit R omme n est pas le milieu de, on a : onc d après l égalité (), l ensemble des points G lorsque m décrit R est la droite passant par et de vecteur directeur Rappel : Soit un point fixé de l espace et u un vecteur fixé non nul de l espace L ensemble des points M pour lesquels il existe un réel tel que Mu est la droite passant par et de vecteur directeur u (ou de repère, u ) ) émontrons que P est le centre de la face G P P P 1 1 1 P 1 P H 1 P G On en déduit que P est le milieu du segment [G] omme GH est un parallélépipède, toutes ses faces sont des parallélogrammes On en déduit en particulier que la face G est un parallélogramme et donc que P est le milieu de la face G Si on le désire, on peut poser u On peut aller plus loin : avec milieu de [] onc d après l égalité (), l ensemble des points G lorsque m décrit R est la droite passant par parallèle à () On peut réaliser une figure

1 : tétraèdre : milieu de [] : point tel que soit un parallélogramme : point tel que soit un parallélogramme 11 GH : cube : milieu de [] : milieu de [] H G émontrons que les droites () et () sont sécantes en un point Précisons la position de vertissement : la figure ne permet pas forcément de «voir» le résultat ; il ne faut pas hésiter à en faire une deuxième est un parallélogramme donc est un parallélogramme donc Or est le milieu de [] donc Par suite, On en déduit que le quadrilatère est un parallélogramme onc ses diagonales se coupent en leur milieu () et () sont donc sécantes au point milieu de [] émontrons que les points,, G, sont coplanaires ans le triangle, est le milieu de [] et est le milieu de [] onc d après le théorème des milieux, on a : () // () Or () // (G) onc () // (G) On sait que si deux droites sont parallèles, alors elles sont coplanaires onc les droites () et (G) sont coplanaires ; par suite, les points,, G, sont coplanaires et exercice n a pas de trop de rapport avec les vecteurs dans l espace si ce n est la notion de vecteurs coplanaires Les exercices 1, 1, 1 ne se prêtent pas à la réalisation de figures

1 Solution détaillée : : tétraèdre (1) () 1 ) xprimons en fonction de (1) donne successivement : (relation de hasles) xprimons en fonction de () donne successivement : (relation de hasles) ) Réductions de sommes vectorielles émontrons que M M M M M M M M M M (car émontrons que M M M M M M M M M M (car d après (relation de hasles) 1 ) (relation de hasles) d après ) éterminons l ensemble M / M M M M Soit M un point quelconque de M M M M M M M M M 1 M 1 M M M M ) et omme est un tétraèdre, les points,,, ne sont pas coplanaires donc points et ne sont pas confondus On en déduit que l ensemble est le plan médiateur du segment [] ; par suite, les (l est important d avoir dit préalablement que les points et ne sont pas confondus pour pouvoir affirmer que l ensemble cherché est le plan médiateur du segment []) 1 : tétraèdre k 1 k k 1 ) 1 xprimons en fonction de 1 donne successivement : k (relation de hasles) 1 k k k ( k 1 par hypothèse donc k 1 ) k 1 xprimons en fonction de donne successivement : k (relation de hasles) 1 k k k ( k 1 par hypothèse donc k 1 ) k 1 ) émontrons que M M 1 M M k k M M km M km k 1 k M (car k (relation de hasles) d après 1 )

émontrons que M M 1 M M k k M M km M km k 1 k M (car k (relation de hasles) d après ) éterminons l ensemble M / M km M km Soit M un point quelconque de M M km M km k1 M k1 M k 1 M k 1 M M M (car k 1 par hypothèse, donc k 1 et par suite, k1 ) et et Or ne sont pas coplanaires donc et ne sont pas confondus (on peut écrire ) omme est un tétraèdre, les points,,, ne sont pas coplanaires ; par suite, les points et ne sont pas confondus On en déduit que l ensemble est le plan médiateur du segment [] ) e étape : recherche de l ensemble M M M M M M e étape : conclusion (identification de l ensemble) L ensemble est la sphère de centre et de rayon N : On peut aussi dire que est la sphère de diamètre [] omplément : Soit et deux points distincts de l espace éterminer l ensemble G des points M de l espace tels que M M M G M L ensemble G est la boule fermée de centre et de rayon (l est important d avoir dit préalablement que les points et ne sont pas confondus pour pouvoir affirmer que l ensemble cherché est le plan médiateur du segment []) et exercice est une généralisation de l exercice précédent n effet, on retrouve l énoncé de l exercice précédent en prenant k 1 Solution détaillée : éterminons l ensemble des points M de l espace tels que M M 1 ère étape : réduction de la somme vectorielle On note le milieu de [] M M M M (propriété du cours)