Algèbre question 1, Juillet 2007

Algèbre question 1, Juillet 2007 Résoudre dans IR l équation 2 4x+3 + 3(4 x ) 2 1 = 0.

Algèbre question 2, Juillet 2007 a) Déterminer les valeurs réelles des paramètres a, b, c pour que le polynôme P (x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + ax + c soit divisible par 1 x 2. b) Pour les valeurs des paramètres trouvées ci-dessus : 1. déterminer le quotient de la division du polynôme P par 1 x ; 2. factoriser P au maximum dans R 3. factoriser P au maximum dans C ; en déduire les racines complexes de ce polynôme et les représenter dans le plan de Gauss.

Algèbre question 3, Juillet 2007 Résoudre dans IR 3, en discutant en fonction du paramètre réel m, le système x 2y m z = 1 2x (m + 3)y + 3z = 2m (m R). mx (1 + m)y + (1 2m 2 )z = m Indiquer un résumé final de la discussion de ce système.

Algèbre question 4, Juillet 2007 Déterminer toutes les valeurs réelles du paramètre m pour lesquelles la matrice 2m 2 + 4 m 1 + m 2 A = 3m m 2 m est inversible. 2m 2 + 1 m + 1 m 2 Calculer l inverse de cette matrice dans le cas où m = 1 2.

Analyse question 1, Juillet 2007 Soit la fonction f de IR dans IR définie par f(x) = x e x2 et C la courbe d équation y = f(x) (C est le graphe de f ). a) La fonction f est-elle dérivable en 0? Justifier (utiliser la définition de la dérivée). b) Calculer f (x) et f (x) c) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point d abscisse 1 d) Etablir le tableau des variations de f, f et f contenant - les racines de f, f et f - les signes de f (x) et de f (x) - les extrema de f, les domaines de croissance et de décroissance de f - les points d inflexion de f et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de f e) Tracer soigneusement la courbe C d après les résultats du d).

Analyse question 1 (suite), Juillet 2007

Analyse question 2, Juillet 2007 Soient f et g les fonctions de IR dans IR définies par on note f(x) = 1 1 + e x, g(x) = I = 1 0 f(x)dx, J = 1 1 + e x, 1 0 g(x)dx a) Calculer f(x) + g(x), en déduire I + J (sans calculer I et J ) b) Calculer J et en déduire I c) Démontrer que pour tout x IR + : f(x) g(x) d) Calculer l aire du domaine D := {(x, y) IR 2 0 x 1, f(x) y g(x)}

Analyse question 3, Juillet 2007 a) Soit n IN. Calculer n x dx où x est le plus grand entier x. b) Soit t IR +. Calculer Indication : t t < t + 1 0 t 0 x dx

Trigonométrie question 1, Juillet 2007 a) Résoudre dans IR l équation 8x 4 8x 2 + 1 = 0 b) Résoudre l équation cos 4z = 0 c) Déduire de a) et b) la valeur de cos π 8 et cos 3π 8.

Trigonométrie question 2, Juillet 2007 a) Démontrer que pour tout x IR + 0 on a b) Résoudre dans IR + l équation arctgx + arctg ( ) 1 = π x 2 arctgx + arctg(x 1) = π 2

Géométrie et Géométrie Analytique : Juillet 2007 Les étudiants sont priés : 1 ) d écrire lisiblement. 2 ) d indiquer leur nom et prénom dans le coin supérieur gauche de chaque feuille. 3 ) d indiquer le numéro de la place qui leur a été assignée dans le coin supérieur DROIT de chaque feuille I Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d origine 0 et d axes X et Y, on donne les points A(2, 0) et B(0, 1). Une droite mobile de coefficient angulaire k coupe l axe X au point P et l axe Y au point Q. 1) déterminer une équation cartésienne du lieu géométrique du point M d intersection des droites AQ et BP ; 2) discuter la nature de ce lieu géométrique en fonction de k ; 3) construire ce lieu pour k = 2 (faire une figure en prenant comme unité 2cm) ; 4) construire ce lieu pour k = 2 (faire une figure en prenant comme unité 2cm). II Dans l espace rapporté à un repère orthonormé d origine 0 et d axes X, Y et Z, on donne le point P (0, 3, 4). 1) établir des équations cartésiennes de la droite d parallèle à OX, passant par P ; 2) établir une équation cartésienne du plan contenant d et l axe OX ; 3) déterminer les coordonnées des sommets P et R du carré OP QR, sachant que Q est sur d et que son abscisse est positive ; 4) établir des équations paramétriques de la perpendiculaire p au plan du carré passant par le centre de celui-ci ; 5) déterminer les coordonnées des points S et S, sommets des pyramides droites dont le carré est la base et dont les hauteurs mesurent cinq unités de longueur ; 6) déterminer le cosinus de l angle aigu des arêtes SO et SP, une équation cartésienne du plan OP S, la longueur de l arête OS ainsi que le volume du polyèdre de sommets OP QRSS. III 1) Déterminer le barycentre de deux points distincts A et B de masses respectives 2 et -1. 2) Déterminer le barycentre G de trois points non alignés, A, B, C, affectés de masses égales et le barycentre G de ces mêmes points affectés de masses respectives 1, 1 et -1. 3) Soit M un point quelconque du plan ABC. Exprimer, en tenant compte des résultats du 2) les sommes vectorielles suivantes : MA + MB + MC et MA + MB MC. 4) Déterminer le lieu des points M tels que les sommes vectorielles considérées au 3) soient des vecteurs orthogonaux.

Algèbre question 1, Septembre 2007 Résoudre dans IR le système d inéquations 3x + 5 7 3x < 4 12x 2 + 13x 14 2 x 0

Algèbre question 2, Septembre 2007 a) Vérifier que 3i est racine du polynôme P (x) = x 4 2x 3 + 7x 2 18(x + 1). b) Enoncer une propriété qui vous permet de déduire du a) une autre racine de P. c) Factoriser P au maximum dans C.

Algèbre question 3, Septembre 2007 Factoriser au maximum le déterminant a + b b + c c + a a b b c c a (a, b, c IR). a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2

Algèbre question 4, Septembre 2007 Résoudre dans IR 3, en discutant en fonction du paramètre réel m, le système x + (m 2 1)y + m z = m m 2 x + m 2 y (m 3 + 1)z = m 3 (m IR). (1 m 2 )x (2m 2 1)y + m 3 z = 1 m 2 Indiquer un résumé final de la discussion de ce système.

Analyse question 1, Septembre 2007 Soit la fonction f de IR dans IR définie par f(x) = 8 x e x2 2 et C la courbe d équation y = f(x) (C est le graphe de f ). a) La fonction f est-elle dérivable en 0? Justifier (utiliser la définition de la dérivéee). b) Calculer f (x) et f (x) c) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à C au point d abscisse 1 d) Etablir le tableau des variations de f, f et f contenant - les racines de f, f et f - les signes de f (x) et de f (x) - les extréma de f, les domaines de croissance et de décroissance de f - les points d inflexion de f et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de f e) Tracer soigneusement la courbe C d après les résultats du d).

Analyse question 1 (suite), Septembre 2007

Analyse question 2, Septembre 2007 a) Soit la fonction de IR dans IR définie par f(x) = min{ x, x 2 } où min{a, b} est le plus petit des deux nombres réels a et b Tracer le graphe de f Pour a > 0, calculer en discutant suivant les valeurs de a. b) Calculer π 3 π 6 a a f(x)dx ln(tgx)dx Indication. Scinder cette intégrale une différence de deux intégrales et, dans l une d elles, poser u = π 2 x

Analyse question 3, Septembre 2007 Dans l espace euclidien IR 3 muni du repère orthonormé Oxyz, soient S la région du plan Oxy définie par { S = (x, y, 0) IR 3 π 2 x π } 2, 0 y cos2 x D le solide engendré par la rotation d un tour complet de S autour de l axe Ox. a) Faire le croquis de S b) Calculer l aire de S c) Calculer le volume de D

Trigonométrie question 1, Septembre 2007 Soit un triangle d angles A, B et C et dont les côtés sont de longueurs a, b et c. Démontrer que (a + b) tg A B 2 + (b + c) tg B C 2 + (c + a) tg C A 2 = 0

Trigonométrie question 2, Septembre 2007 Résoudre dans IR l équation 2 sin 2 x + 4 sin x cos x 4 cos 2 x = 1

Géométrie et Géométrie Analytique : Septembre 2007 Les étudiants sont priés : 1 ) d écrire lisiblement. 2 ) d indiquer leur nom et prénom dans le coin supérieur gauche de chaque feuille. 3 ) d indiquer le numéro de la place qui leur a été assignée dans le coin supérieur DROIT de chaque feuille I On donne un triangle de sommets A, B et C. Soit M le milieu du segment [A, B]. Calculer la longueur de la médiane [C, M] en fonction, uniquement, des longueurs des côtés du triangle. II Dans l espace rapporté à un repère orthonormé d origine 0 et d axes X, Y et Z, on donne les points M(a, 0, 0), N(0, b, 0), P (0, 0, c) et (Q(a, b, c)(a, b et c sont des réels strictement positifs). Soit d la droite qui passe par O et Q et g celle qui passe par N et P. 1) établir une équation cartésienne du plan qui est parallèle à g et qui contient d ; 2) établir une équation cartésienne du plan contenant g et qui est parallèle à d ; 3) montrer que la droite f joignant M au milieu de NP possède un point commun avec la droite d et déterminer les coordonnées de ce point ; 4) déterminer les conditions sur a, b et c pour que la droite f soit perpendiculaire aux droites d et g ; 5) déterminer dans les conditions trouvées au 4), l angle et la distance des droites d et g. III Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d origine 0 et d axes X et Y, on donne le point A(a, 0)(a > 0). 1) déterminer une équation cartésienne de la famille des cercles tangents à l axe X en O ; 2) déterminer une équation cartésienne du lieu du point de contact entre les cercles et leurs tangentes (autres que OX) issues de A ; 3) construire ce lieu pour a = 1 (faire une figure en prenant comme unité 2cm) ;