Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014

Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc :

Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : Pour n = 2 :........................

Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : 2(2 + 1) Pour n = 2 : 1 + 2 = 3 et = 3 2

Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : 2(2 + 1) Pour n = 2 : 1 + 2 = 3 et = 3 2 Pour n = 3 :........................

Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la somme des entiers naturels de 1 à n est égale à n(n + 1) 2 On peut vérifier l exactitude de ce résultat pour n = 2, n = 3, etc : 2(2 + 1) Pour n = 2 : 1 + 2 = 3 et = 3 2 Pour n = 3 : 1 + 2 + 3 = 6 et 3(3 + 1) = 6 2

Introduction Principe de récurrence Exemple Même si on le vérifie jusqu à n = 100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout n.

Introduction Principe de récurrence Exemple Même si on le vérifie jusqu à n = 100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout n. Pour effectuer cette démonstration, on dispose d un outil particulier : le raisonnement par récurrence. Idée : le raisonnement par récurrence "est un instrument qui permet de passer du fini à l infini" (Poincaré).

Introduction Principe de récurrence Exemple Même si on le vérifie jusqu à n = 100, cela ne démontre pas que ce résultat est vrai pour tout n. Pour effectuer cette démonstration, on dispose d un outil particulier : le raisonnement par récurrence. Idée : le raisonnement par récurrence "est un instrument qui permet de passer du fini à l infini" (Poincaré). Le principe est le suivant : si on peut se placer d abord sur un barreau d une échelle, et si on peut ensuite passer d un barreau quelconque à son suivant, alors on peut gravir tous les barreaux de cette échelle.

Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer par récurrence qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes :

Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer par récurrence qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie que P n0 est vraie, c est-à-dire que P n est vraie pour n = n 0. C est le premier barreau de l échelle.

Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer par récurrence qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie que P n0 est vraie, c est-à-dire que P n est vraie pour n = n 0. C est le premier barreau de l échelle. Hérédité : On suppose que pour un entier k quelconque, la proposition P k est vraie. Sous cette hypothèse, on démontre que la proposition P k+1 est vraie. C est le passage d un barreau quelconque au suivant.

Introduction Principe de récurrence Exemple Pour démontrer par récurrence qu une proposition P n est vraie pour tout entier naturel n n 0, (n 0 un entier naturel quelconque, en général 0 ou 1), on procède en trois étapes : Initialisation : on vérifie que P n0 est vraie, c est-à-dire que P n est vraie pour n = n 0. C est le premier barreau de l échelle. Hérédité : On suppose que pour un entier k quelconque, la proposition P k est vraie. Sous cette hypothèse, on démontre que la proposition P k+1 est vraie. C est le passage d un barreau quelconque au suivant. Conclusion : P n est vraie pour tout entier n ou pour tout entier n n 0.

Exemple Raisonnement par récurrence Introduction Principe de récurrence Exemple n Montrons que q = 1 + 2 +... + n = q=1 On note cette proposition P n. n(n + 1). 2

Exemple Raisonnement par récurrence Introduction Principe de récurrence Exemple Montrons que n n(n + 1) q = 1 + 2 +... + n =. 2 q=1 On note cette proposition P n. Initialisation :..........................................................................................

Exemple Raisonnement par récurrence Introduction Principe de récurrence Exemple Montrons que n n(n + 1) q = 1 + 2 +... + n =. 2 q=1 On note cette proposition P n. Initialisation : Montrons que P n est vraie au rang 1, c est-à-dire que P 1 est vraie : 1(1 + 1) = 1 ; c est vérifié. 2

Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité :.........

Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité : Supposons que, pour un certain rang k, P k k(k + 1) est vraie, c est-à-dire que :1 + 2 +... + k =. 2 Montrons alors que P k+1 est vraie : c est-à-dire que : (k + 1)(k + 2) 1 + 2 +... + (k + 1) =. 2 k(k + 1) Or 1 + 2 +... + (k + 1) = + (k + 1) = ( ) 2 k (k + 1) 2 + 1 (k + 1)(k + 2) =. cqfd 2

Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité : Supposons que, pour un certain rang k, P k k(k + 1) est vraie, c est-à-dire que :1 + 2 +... + k =. 2 Montrons alors que P k+1 est vraie : c est-à-dire que : (k + 1)(k + 2) 1 + 2 +... + (k + 1) =. 2 k(k + 1) Or 1 + 2 +... + (k + 1) = + (k + 1) = ( ) 2 k (k + 1) 2 + 1 (k + 1)(k + 2) =. cqfd 2 Conclusion :...........................................................................

Introduction Principe de récurrence Exemple Hérédité : Supposons que, pour un certain rang k, P k k(k + 1) est vraie, c est-à-dire que :1 + 2 +... + k =. 2 Montrons alors que P k+1 est vraie : c est-à-dire que : (k + 1)(k + 2) 1 + 2 +... + (k + 1) =. 2 k(k + 1) Or 1 + 2 +... + (k + 1) = + (k + 1) = ( ) 2 k (k + 1) 2 + 1 (k + 1)(k + 2) =. cqfd 2 Conclusion : La propriété P n est vraie pour tout n 1, n(n + 1) c est-à-dire : 1 + 2 +... + n =. 2

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Par "étudier le comportement de la suite (u n )", on sous-entend étudier les propriétés du nombre u n lorsque l entier n devient de plus en plus grand (variations, encadrement, comportement à l infini... ).

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est :

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si........................

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M.

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si........................

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si pour tout n N, u n m.

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si pour tout n N, u n m. bornée si...........................

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soient M et m deux nombres réels. On dit que la suite (u n ) est : majorée par M si pour tout n N, u n M. minorée par m si pour tout n N, u n m. bornée si pour tout n N, m u n M.

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Exemples

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Exemples Soit la suite ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ;.......................................................................................................................................

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Exemples Soit la suite ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ; pour tout n N, 1 n > 0. Cette suite est donc minorée par 0, mais aussi par tout réel négatif : un minorant n est donc pas unique.

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Exemples Soit la suite ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ; pour tout n N, 1 n > 0. Cette suite est donc minorée par 0, mais aussi par tout réel négatif : un minorant n est donc pas unique. Soit la suite (n 2 ) n 0 = {0; 1; 4;...} ;.......................................................................................................................................

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Exemples Soit la suite ( 1 n ) n 1 = {1/1; 1/2; 1/3;...} ; pour tout n N, 1 n > 0. Cette suite est donc minorée par 0, mais aussi par tout réel négatif : un minorant n est donc pas unique. Soit la suite (n 2 ) n 0 = {0; 1; 4;...} ; pour tout n N, n 2 0. Cette suite est aussi minorée par 0 et par tout réel négatif ; en plus ici, 0 est le minimum de la suite atteint au rang 0.

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions La suite (u n ) admet pour limite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient...................................................

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions La suite (u n ) admet pour limite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang.

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions La suite (u n ) admet pour limite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. On écrit alors :.........

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions La suite (u n ) admet pour limite le réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. On écrit alors :. lim u n = l n

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Interprétation graphique u n b u p l a p n

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soit A R. La suite (u n ) admet pour limite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient.............................................

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soit A R. La suite (u n ) admet pour limite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang.

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soit A R. La suite (u n ) admet pour limite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. On écrit alors :...........................

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Définitions Soit A R. La suite (u n ) admet pour limite + (resp. ) si tout intervalle de la forme ]A; + [ (resp. ] ; A[) contient toutes les valeurs de u n à partir d un certain rang. On écrit alors :. lim u n = + (resp. ) n

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Interprétation graphique u n u p A p n

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n =... n +

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n +

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + n2 =...

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + n2 = +

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + n2 = + lim n =... n +

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + n2 = + lim n = + n +

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n =... lim n + n2 = + lim n = + n +

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n = + n +

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 =... lim n = + n +

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n = + n +

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n = + n + lim n + 1 =... n

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n = + n + lim n + 1 = 0 n

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n = + n + lim n + 1 = 0 n Pour tout entier k 1 : lim n + nk =...

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n = + n + lim n + 1 = 0 n Pour tout entier k 1 : lim n + nk = +

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n + nk = + lim n = + n + lim n + lim n + 1 = 0 n 1 n k =...

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Théorèmes lim n = + n + lim n + 1 n = 0 Pour tout entier k 1 : lim n + n2 = + lim n + 1 n 2 = 0 lim n + nk = + lim n = + n + lim n + lim n + 1 = 0 n 1 n k = 0

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Preuve de lim n + n2 = + :......

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Preuve de lim n + n2 = + : soit A un réel quelconque.

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Preuve de lim n + n2 = + : soit A un réel quelconque. Si A 0 alors n 2 > A pour tout n 1 ; on choisit donc N = 1.

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Preuve de lim n + n2 = + : soit A un réel quelconque. Si A 0 alors n 2 > A pour tout n 1 ; on choisit donc N = 1. Si A > 0, pour tout entier n > A, on a n 2 > A, car la fonction carrée est strictement croissante sur ]0; + [. Soit N le plus petit entier tel que N > A ; alors n N on a n 2 > A.

Suites majorées, minorées, bornées Limite finie d une suite Limite infinie d une suite Limites des suites usuelles Preuve de lim n + n2 = + : soit A un réel quelconque. Si A 0 alors n 2 > A pour tout n 1 ; on choisit donc N = 1. Si A > 0, pour tout entier n > A, on a n 2 > A, car la fonction carrée est strictement croissante sur ]0; + [. Soit N le plus petit entier tel que N > A ; alors n N on a n 2 > A. Donc lim n + n2 = +

Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + +

Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + +

Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n

Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l

Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l +

Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l +

Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l + +

Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l + +

Somme de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l l + + lim n + v n l + + lim n + u n + v n l + l + + F. I. F. I. = forme indéterminée ; on ne connait pas à priori la réponse.

Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ±

Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ± lim n + v n l ± ±

Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ± lim n + v n l ± ± lim n + u n v n

Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ± lim n + v n l ± ± lim n + u n v n l l

Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ± lim n + v n l ± ± lim n + u n v n l l ± avec R. S.

Produit de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 0 ou ± lim n + v n l ± ± lim n + u n v n l l ± avec R. S. F. I. R. S. = règle des signes.

Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ±

Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ±

Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± lim n + u n v n

Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l

Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l 0

Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l 0 F. I.

Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l 0 F. I. ± (R. S.)

Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.)

Quotient de deux suites Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées lim n + u n l l 0 l 0 ± ± lim n + v n l 0 ± 0 0 l ± u n l lim n + v n l 0 F. I. ± (R. S.) ± (R. S.) F. I.

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur N par : u n = 2 3n + 5

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur N par : u n = 2 3n + 5 lim 2 = 2 n +

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur N par : u n = 2 3n + 5 lim 2 = 2 n + et lim (3n + 5) = + n +

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Etudier la limite de la suite (u n ) définie sur N par : u n = 2 3n + 5 lim 2 = 2 n + et lim (3n + 5) = + n + Donc par quotient : lim n + 2 3n + 5 = 0

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note...........................

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ", "0 ", " 0 0 ", " "

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ", "0 ", " 0 0 ", " " mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction.

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Les cas des formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu ils se présentent. Pour les mémoriser, on les note " ", "0 ", " 0 0 ", " " mais ces écritures ne doivent jamais être utilisées dans une rédaction. Le principe est toujours le même pour "lever" une indétermination : il faut changer l écriture de la suite.

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = +

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =,

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =, donc lim n + 3n 2 n 5 = F. I. (" ").

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =, donc lim n + 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =, donc lim n + 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 lim n + n 2 = +

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =, donc lim n + 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 lim n + n 2 = + et lim n + (3 1 n 5 ) = 3 n 2

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 1 : u n = 3n 2 n 5 lim n + 3n 2 = + et lim n + ( n 5) =, donc lim n + 3n 2 n 5 = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n 2 (3 1 n 5 ) n 2 lim n + n 2 = + et lim n + (3 1 n 5 ) = 3 n 2 Donc par produit lim n + u n = +

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = +

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =,

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =, donc lim n + u n = F. I. (" ").

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n lim n + (3 + 5 n ) = 3

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n lim n + (3 + 5 n ) = 3 et lim n + ( 2 + 7 n ) = 2

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 2 : u n = 3n + 5 2n + 7 lim n + (3n + 5) = + et lim n + ( 2n + 7) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n(3+ 5 n ) = 3+ 5 n( 2+ 7 n, (n 0) n ) 2+ 7 n lim n + (3 + 5 n ) = 3 et lim n + ( 2 + 7 n ) = 2 Donc par quotient lim n + u n = 3 2

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = +

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =,

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =, donc lim n + u n = F. I. (" ").

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 n n ) = n(1 1 n )

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 lim n + n = + n n ) = n(1 1 n )

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 lim n + n = + et lim n + (1 1 n ) = 1 n n ) = n(1 1 n )

Somme de deux suites Produit de deux suites Quotient de deux suites Exemple Formes indéterminées Exemple 3 : u n = n n lim n + n = + et lim n + ( n) =, donc lim n + u n = F. I. (" "). Changement d écriture : u n = n n = n(1 lim n + n = + et lim n + (1 1 n ) = 1 Donc par produit lim n + u n = + n n ) = n(1 1 n )

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorèmes Soient deux suites (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si lim u n = +, alors............... n +

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorèmes Soient deux suites (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si lim u n = +, alors lim v n = + n + n +

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorèmes Soient deux suites (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si lim u n = +, alors n + Majoration : si lim v n = + n + lim v n =, alors............... n +

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorèmes Soient deux suites (u n ) et (v n ) et un entier naturel N tels que pour tout entier n N, u n v n. Minoration : si lim u n = +, alors lim v n = + n + n + Majoration : si lim v n =, alors lim u n = n + n +

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) :

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n +

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang.

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme lim u n = +, l intervalle ]A; + [ n + contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A.

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme lim u n = +, l intervalle ]A; + [ n + contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [.

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme lim u n = +, l intervalle ]A; + [ n + contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [. On en déduit que lim v n = + n +

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Démonstration du théorème de minoration (ROC) : On suppose que lim u n = + n + Il s agit de démontrer que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient toutes les valeurs de v n à partir d un certain rang. Soit A un réel. Comme lim u n = +, l intervalle ]A; + [ n + contient tous les u n à partir d un rang p : n p, u n > A. Alors pour tout n p, on a v n u n > A, donc v n ]A; + [. On en déduit que lim v n = + n + La démonstration est analogue pour le théorème de majoration.

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème "des gendarmes" (admis) On considère trois suites (u n ), (v n ) et (w n ). Soit un entier N et un réel l. On suppose que pour tout entier n N, on a u n v n w n. Si les suites (u n ) et (w n ) convergent vers la même limite l, alors la suite (v n )........................

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème "des gendarmes" (admis) On considère trois suites (u n ), (v n ) et (w n ). Soit un entier N et un réel l. On suppose que pour tout entier n N, on a u n v n w n. Si les suites (u n ) et (w n ) convergent vers la même limite l, alors la suite (v n ) converge également vers l

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème Soit une suite (u n ) convergeant vers un réel l. Si la suite (u n ) est croissante, alors elle est............

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème Soit une suite (u n ) convergeant vers un réel l. Si la suite (u n ) est croissante, alors elle est majorée par l.

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème Soit une suite (u n ) convergeant vers un réel l. Si la suite (u n ) est croissante, alors elle est majorée par l. c est-à-dire que pour tout entier naturel n,......

Comparaison Cas des suites monotones et convergentes Théorème Soit une suite (u n ) convergeant vers un réel l. Si la suite (u n ) est croissante, alors elle est majorée par l. c est-à-dire que pour tout entier naturel n, u n l.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une suite croissante et majorée, alors elle.........

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une suite croissante et majorée, alors elle converge.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si (u n ) est une suite décroissante et minorée, alors elle.........

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si (u n ) est une suite décroissante et minorée, alors elle converge.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorèmes Si (u n ) est une suite croissante et majorée, alors elle converge. Si (u n ) est une suite décroissante et minorée, alors elle converge. Attention : Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite de la suite, mais seulement son existence et un majorant, ou un minorant, de la suite.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée..................

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +. Preuve (ROC) :.......

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une suite croissante non majorée et soit A R.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une suite croissante non majorée et soit A R. Comme (u n ) n est pas majorée, il existe au moins un entier p tel que u p > A.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une suite croissante non majorée et soit A R. Comme (u n ) n est pas majorée, il existe au moins un entier p tel que u p > A. Comme (u n ) est croissante, on a n p, u n u p d où n p, u n > A.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Corollaire : une suite croissante non majorée a pour limite +. Preuve (ROC) : Soit (u n ) une suite croissante non majorée et soit A R. Comme (u n ) n est pas majorée, il existe au moins un entier p tel que u p > A. Comme (u n ) est croissante, on a n p, u n u p d où n p, u n > A. Donc à partir du rang p, tous les termes de la suite appartiennent à ]A; + [. Conclusion : lim u n = +. n +

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n )....................................

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n ) diverge vers + : lim n + qn = +

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n ) diverge vers + : lim n + qn = + Si 1 < q < 1, alors la suite (q n )....................................

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n ) diverge vers + : lim n + qn = + Si 1 < q < 1, alors la suite (q n ) converge vers 0 : lim n + qn = 0

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n ) diverge vers + : lim n + qn = + Si 1 < q < 1, alors la suite (q n ) converge vers 0 : lim n + qn = 0 Si q 1, alors la suite (q n )..............................

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Théorème Soit q un réel. Si q > 1, alors la suite (q n ) diverge vers + : lim n + qn = + Si 1 < q < 1, alors la suite (q n ) converge vers 0 : lim n + qn = 0 Si q 1, alors la suite (q n ) diverge et n admet pas de limite.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) :

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation :

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et 1 + 0 a = 1 ; donc P 0 est vraie.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et 1 + 0 a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité :

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et 1 + 0 a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et 1 + 0 a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka et montrons alors que P k+1 est vraie, c est-à-dire (1 + a) k+1 1 + (k + 1)a ;

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et 1 + 0 a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka et montrons alors que P k+1 est vraie, c est-à-dire (1 + a) k+1 1 + (k + 1)a ; (1 + a) k+1 = (1 + a) k (1 + a)

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et 1 + 0 a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka et montrons alors que P k+1 est vraie, c est-à-dire (1 + a) k+1 1 + (k + 1)a ; (1 + a) k+1 = (1 + a) k (1 + a) et (1 + a) k 1 + ka d après l hypothèse de récurrence.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et 1 + 0 a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka et montrons alors que P k+1 est vraie, c est-à-dire (1 + a) k+1 1 + (k + 1)a ; (1 + a) k+1 = (1 + a) k (1 + a) et (1 + a) k 1 + ka d après l hypothèse de récurrence. On en déduit que (1 + a) k+1 (1 + ka)(1 + a) car 1 + a > 0.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Preuve pour q > 1 (ROC) : montrons d abord par récurrence la propriété P n : pour tout n N, avec a réel positif, (1 + a) n 1 + na. Initialisation : pour n = 0, (1 + a) 0 = 1 et 1 + 0 a = 1 ; donc P 0 est vraie. Hérédité : supposons que pour un certain entier k, P k est vraie, soit (1 + a) k 1 + ka et montrons alors que P k+1 est vraie, c est-à-dire (1 + a) k+1 1 + (k + 1)a ; (1 + a) k+1 = (1 + a) k (1 + a) et (1 + a) k 1 + ka d après l hypothèse de récurrence. On en déduit que (1 + a) k+1 (1 + ka)(1 + a) car 1 + a > 0. Ainsi : (1 + a) k+1 1 + ka + a + ka 2 1 + (k + 1)a car ka 2 > 0, et P k+1 est vraie.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na. On pose maintenant q = 1 + a avec a > 0, donc q > 1.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na. On pose maintenant q = 1 + a avec a > 0, donc q > 1. Alors q n 1 + na, d après la propriété P n.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na. On pose maintenant q = 1 + a avec a > 0, donc q > 1. Alors q n 1 + na, d après la propriété P n. Or lim (1 + na) = +, car a > 0. n +

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na. On pose maintenant q = 1 + a avec a > 0, donc q > 1. Alors q n 1 + na, d après la propriété P n. Or lim (1 + na) = +, car a > 0. n + Donc d après le théorème de minoration : lim n + qn = +.

Convergence des suites monotones Limite d une suite géométrique Nous avons montré la propriété P n pour tout n N : si a 0, (1 + a) n 1 + na. On pose maintenant q = 1 + a avec a > 0, donc q > 1. Alors q n 1 + na, d après la propriété P n. Or lim (1 + na) = +, car a > 0. n + Donc d après le théorème de minoration : lim n + qn = +.