Ax = b. 2x + 6y = 8 2x y = Ó Ø y = ³Ó y = 1 Ø x = 1º

ÓÙÖ ÒÓ Ä ½ Ñ Ö ¾¼½¾ Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÔÐ ÕÙ Ø ÒÙÑ Ö ÕÙ Ä Ò ÔØ Ó Ò ÒÒ ¾¼½½¹¾¼½¾ ¾ Ñ ØÖ ÈÖ ÒØ Ø ÓÒ ÝÒØ Ø ÕÙ Ù ÓÙÖ Â ÒÚ Ö ÂÙ Ò ¾¼½¾ ÓÙÖ ÓÒÒ Ò 3 e ÒÒ Ä Ò Ë Ò Ð ÔÐ Ò Ø Ì ÖÖ Ô Ö Å Ð Ð Ø Â Ò ÊÓÙÜ Ì Ô Ö ÅÓ Ñ ÓÙ ÐÐÓ ÓÐ ÒÓÖÑ Ð ÙÔ Ö ÙÖ È Ö

½ Ë ÔØ Ñ ÓÙÖ Ð Ö Ð Ò Ö ÁÁº Ê ÓÐÙØ ÓÒ Ý Ø Ñ Ð Ò Ö Ax = b Ô Ö Ñ Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö Ø º Ò ÓÙÖ ÓÒ Ö Ö ÓÙ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ò Ö Ù Ú ÒØ Ø ÒØ ÓÒÒ Ð Ñ ØÖ A Ø Ð Ú Ø ÙÖ b ØÖÓÙÚ Ö Ð Ú Ø ÙÖ x ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ý Ø Ñ Ax = b. º¼º½µ ÇÒ Ò Ø Ô ØÓÙ ÓÙÖ ÔÖ ÓÖ Ð Ñ ØÖ A Ø ÒÚ Ö Ð ³ Ø¹ ¹ Ö Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ º¼º½µ ÙÒ ÓÐÙØ ÓÒ ÙÒ ÕÙ º ÁÐ Ø ÓÒ ÓÙ Ø Ð ÔÓ Ö Ñ Ø Ó ÕÙ Ò ÒØº Ä Ñ Ø Ó Ö Ø ÜÔÓ ¹ ÔÖ Ð Ô ÖÑ ØØ ÒØº ÆÓÙ ÒÓÙ Ð Ñ Ø ÖÓÒ ÙÜ Ý Ø Ñ ÖÖ Ø Ö Ð Ú A R n,n Ø b R n º Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ð³ ÒØ Ö n Ô ÙØ ØÖ ØÖ Ö Ò ÔÓÙÖ ÖØ Ò ÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒÓÑ Ö n Ø Ð³ÓÖ Ö Ù Ñ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ö ÔÐÙ º ÈÖ ÓÒ ÕÙ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ ØÝÔ ÒØ ÖÚ ÒØ Ò ØÖ ÒÓÑ Ö ÙÜ ÔÖÓ Ð Ñ Ð³ Ò ÐÝ ÒÙÑ Ö ÕÙ º Ä³ ØÙ Ñ Ø Ó Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ô Ò Ð º Ä Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ý Ø Ñ Ð Ò Ö ³ÓÔ Ö Ô Ö ÙÜ ØÝÔ Ñ Ø ¹ Ó Ð Ñ Ø Ó Ö Ø Ø Ð Ñ Ø Ó Ø Ö Ø Ú º Ä Ñ Ø Ó Ö Ø ÓÒØ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ð Ý Ø Ñ Ð Ò Ö Ó Ð Ñ ¹ ØÖ Ø ÔÐ Ò Ô Ù ³ Ð Ñ ÒØ ÒÙÐ µ ÓÙ Ò ØÖÙØÙÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ù ØÝÔ ØÖÙØÙÖ ¹ Ò ØÖÙØÙÖ ¹ ÐÓµ Ø»ÓÙ ÔÖÓÔÖ Ø ³ÙÒ ÖØ Ò ØÝÔ Ñ ØÖ ÓÒ Ð ÓÑ Ò ÒØ µ ÕÙ ÔÔ Ö Ø Ö ÕÙ ÑÑ ÒØ Ô Ö Ð Ö Ø Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÜ Ö Ú Ô ÖØ ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Ó Ø Ö Ò Ò ÓÙ ³ Ð Ñ ÒØ Ò º Ä Ý Ø Ñ Ð Ò Ö Ú ØÖÙØÙÖ ÓÙ ÕÙ ÔÓ ÒØ Ô Ù ³ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ Ý Ø Ñ Ö ÙÜµ ÓÒØ ÔÖ Ò Ô Ð Ñ ÒØ Ö ÓÐÙ Ô Ö Ð Ñ Ø Ó Ø Ö Ø Ú º º½ ÓÒ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ Ø Ø Ð Ø ÍÒ ÓÙ ÓÒ Ø ÒØ Ò Ò ÐÝ ÒÙÑ Ö ÕÙ Ó Ø ØÖ Ð ÔÖ ÓÒ Ú Ð ÙÖ ÐÙÐ º ÌÓÙ Ð ÐÙÐ Ø ÒØ ØÙ Ú ÖÖ ÙÖ ³ ÖÖÓÒ Ð³ Ø ÖÖ ÙÖ Ô ÙØ ØÖ Ò Ð Ð ÓÙ Ø ØÖÓÔ ÕÙ º Å Ù Ð ÔÖÓ ¹ Ð Ñ Ö ÓÙ Ö Ô ÙØ ÔÖ ÒØ Ö ÒØÖ Ò ÕÙ Ñ ÒØ ÙÒ Ö Ø Ö ³ Ò Ø Ð Ø º ÓÒ ÖÓÒ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ð Ý Ø Ñ { 2x + 6y = 8 2x + 6.y = 8.. Ò ÔÓÖØ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ð ÓÒ ÓÒ 8 6y+6.y = 8. Ó Ø.y =. ³Ó y = Ø x = º

¾ ËÓ Ø Ñ ÒØ Ò ÒØ Ð Ý Ø Ñ ÚÓ Ò { 2x + 6y = 8 2x + 5.99999y = 8.2 Ñ Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ 8 6y+5.99999y = 8.2 Ó Ø.y =.2 ³Ó y = 2 Ø x = ÕÙ Ø ÐÓ Ò ³ ØÖ ÚÓ Ò Ð ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖ ÒØ º ÇÒ Ø ³ÙÒ Ø Ð Ý Ø Ñ ÕÙ³ Ð Ø Ñ Ð ÓÒ Ø ÓÒÒ º Ä ÕÙ Ø ÓÒ Ù ÓÒ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ Ò³ Ø Ô ÓÖ Ò ÓÙÖ ÚÓ Ö Ð ÚÖ µº º¾ Å Ø Ó ÒÙÑ Ö ÕÙ Ö Ø ÈÓÙÖ Ð Ñ Ø Ó Ö Ø ØÖÓ ÓÒØ Ö Ø Ò Öº ÇÒ Ò ÐÙÐ Ñ A º ÇÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ð Ñ ØÖ Ú ÑÑ ÒØ Ò Ò Ö Ð Ó¹ ÐÙØ ÓÒ Ù Ý Ø Ñ µ Ò ÙÒ ÓÖÑ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÕÙ Ø Ð ¹ Ñ ÒØ Ö ÓÐÙ Ð Ô Ö ÙÒ Ö ÙÖÖ Ò Ò ÙØ º Ò Ø ÓÒ ÐÙÐ ÐÓÖ Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÖÒ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ð ÖÒ Ö Ð Ò Ð Ñ ØÖ ÔÙ Ð³ Ú ÒØ¹ ÖÒ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ð³ Ú ÒØ¹ ÖÒ Ö Ð Ò Ð Ñ ØÖ Ø ÔÖÓ Ò ÔÖÓ Ð ÔÖ ¹ Ñ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò Ð Ñ ØÖ Ð (n ) ÖÒ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ø ÒØ ÐÙÐ º ÁÐ Ø Ð ÓÑÔØ Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ µ ÕÙ Ð³ÓÒ ÙØ Ð º Ñ Ø Ó ÓÒØ Ø Ö Ø Ö ÐÐ ÐÙÐ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÕÙ Ô ÙØ ØÖ Ö Ò µ Ø ÓÒÒÙ ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ º ÁÐ Ò³Ý Ô Ø Ø ³ ÖÖ Ø Ð Ñ Ø Ó ÓÒ ÐÙÐ Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒº ÐÓÖ ÓÒ Ú ÐÙ Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò ³ÙÒ Ñ Ø Ó Ö Ø Ò ÓÑÔØ ÒØ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÐÙÐ Ò ÕÙ Ð³ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ñ Ø Ó º Æ ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ Ð Ø ÐÓÖ ÔÓ Ð ÔÙ ÕÙ Ð³ÓÒ ØÖ Ú ÐÐ Ò Ö Ø Ñ Ø ÕÙ Ò µ ³ ØÙ Ö Ð Ò Ð Ø Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ ÙÜ ÓÒÒ Ò Ð Ø Ù Ð ÔÖÓÔ Ø ÓÒ ÙÜ ÖÖ ÙÖ ³ ÖÖÓÒ º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º½º ÈÓÙÖÕÙÓ Ò Ô ÙØ Ð Ö Ð ÓÖÑÙÐ Ö Ñ Ö ÇÒ Ö ÔÔ ÐÐ ÕÙ x k = det(a k )/det(a) Ó A k Ø Ð Ñ ØÖ ÖÖ Ó Ø ÒÙ Ò Ö ÑÔÐ ÒØ Ð k eme ÓÐÓÒÒ A Ô Ö Ð Ð Ú Ø ÙÖ b º¼º½µº ÓÖ¹ ÑÙÐ Ö Ú ÒÒ ÒØ ÐÙÐ Ö (n + ) Ø ÖÑ Ò ÒØ º ÇÖ ÙÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ü (n )n! ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ø (n! ) Ø ÓÒ º Ä³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ø ÓÒ ÒÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ù ÔÓ ÒØ ÚÙ Ù ÒÓÑ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÔº Ðºµ Ø Ô Ö ÓÒ ÕÙ ÒØ ØÓØ Ð Ñ ÒØ ÒÙØ Ð ÕÙ n Ô Ð ÒÕÙ ÒØ Ò º È Ö Ü ÑÔÐ n = Ð ÓÒÒ ÒÚ ÖÓÒ ¼¼ Ñ ÐÐ ÓÒ ³ÓÔº Ðºº Ò ÓÑÔ Ö ÓÒ ÒÓÙ Ú ÖÖÓÒ ÚÓ Ö Ê Ñ ÖÕÙ º¾º µ ÕÙ Ð Ñ Ø Ó Ù Ñ Ò ÒÚ ¹ ÖÓÒ 2n 3 /3 ÓÔº Ðº ØØ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø ØÖ ÖÓ Ö Ñ ÐÐ ÔÖ Ð³ÓÖ Ö Ö Ò ÙÖµ ÕÙ ÓÒÒ ÙÐ Ñ ÒØ ÒÚ ÖÓÒ ¼ ÓÔº Ðº ÔÓÙÖ n = º

º¾º½ Å Ø Ó Ù Ö ÔØ ÓÒ ÔÖ Ø ÕÙ ÇÒ ÙÔÔÓ ÔÓÙÖ ÔÖ ÒØ Ö Ð Ñ Ø Ó ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ø ÔÖ ÓÖ Ö ÙÐ Ö º ÇÒ Ú ÖÖ ÚÓ Ö Ê Ñ ÖÕÙ º¾º µ ÕÙ Ð Ñ Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÙÖ Ð Ö Ù¹ Ð Ö Ø Ð Ñ ØÖ Aº ÇÒ ÔÓ A = A () = (a () ij )º ÇÒ ÙÔÔÓ ÓÒ ÕÙ det(a () ) º ÇÒ ÓÙ Ø ÕÙ a () º Ë Ø Ð Ò³ Ø Ô Ð ÓÒ ÔÖ ¹ ÑÙÐØ ÔÐ A Ô Ö ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö P λ,µ ¹ Ó ³ Ø Ð Ô ÚÓØ º Ä³ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ú ÒØÙ ÐÐ µ Ð Ñ ØÖ P λ,µ Ò³ Ö Ò ÚÓ Ö Ú Ð Ö ÙÐ Ö Ø Aº ËÓ Ø ÓÒ A () = P,ζ A () = (α () ij ). º¾º½µ Ú α () º Ò Ð Ñ Ø Ó Ù ÓÒ ØÖ Ú ÐÐ ØÓÙ ÓÙÖ Ú Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ð ÑÓØ Ð Ñ ÒØ Ö Ö Ò Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ Ò ÕÙ Ù Øº Ä ÔÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ A Ô Ö Ð Ñ ØÖ Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø ÓÒ P,ζ Ô ÖÑÙØ Ð Ð Ò ½ Ø ζ Ð Ñ ØÖ A ÓÑÑ Ð Ñ ØÖ A Ø ÙÔÔÓ Ö ÙÐ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ Ò³ Ø Ô ÒÙÐÐ Ø Ð Ø ØÓÙ¹ ÓÙÖ ÔÓ Ð Ô ÖÑÙØ Ö a () = Ð Ð Ò ½ Ø ÙÒ Ð Ò ζ Ö Ø Ö Ô Ö a () ζ, º Ë a() Ð Ô ÚÓØ Ò Ñ Ð Ô Ò Ö ÔÖ ÓÖ Ø Ð³ÓÒ Ô ÙØ ÖÓ Ö ÕÙ³ Ð Ù Ø ÔÓ Ö P,ζ = Iº Å ÙÖ ÓÖ Ò Ø ÙÖ ÓÒ ØÖ ¹ Ú ÐÐ ØÓÙ ÓÙÖ Ò Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ÒÓÒ Ü Ø ³ Ø¹¹ Ö Ò Ú Ö ÙÐ ÓØØ ÒØ Ø ³ Ð Ü Ø ÔÐÙ ÙÖ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ ÓÒ Ú ÖÖ ÕÙ ÔÓÙÖ Ö ÓÒ ³ ÖÖ ÙÖ ³ ÖÖÓÒ Ð Ø Ò Ö Ó Ö Ð ÔÐÙ Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÑÓ ÙÐ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ ÕÙ Ò Ø ÔÖ ÕÙ ØÓÙ ÓÙÖ Ó Ö P,ζ Iº Ò Ð Þ Ö Ö ÕÙ Ù Ø ÒÓØÖ ÐÓÙØ ÓÒ ÔÖ ÕÙ ØÓÙ ÓÙÖ µ Ó a () Ø Ð ÔÐÙ Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÑÓ ÙÐ Ð Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ Ð Ò³ Ø Ô Ò Ö Ö ÙÒ Ô ÖÑÙØ ¹ Ø ÓÒ Ð Ò ½ Ø ζ ÕÙ Ö Ú ÒØ Ñ ØÖ ÐÐ Ñ ÒØ Ö P,ζ = P, = I ÓÒØ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú ÙØ ½º Å ÒØ Ò ÒØ ÓÑÑ Ò Ð ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº ÇÒ ³ ÓÖ ³ ÒÒÙÐ Ö ØÓÙ Ð Ø ÖÑ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ A () Ð³ Ü ÔØ ÓÒ Ù ÔÖ Ñ Öº ËÓ Ø ÓÒ Ú E () = A (2) = E () A () α() 2 α () º º º º º º ºº α() n α ()... Ä Ñ ØÖ E () Ø ÓÒ ØÖÙ Ø ÔÓÙÖ ÒÒÙÐ Ö ØÓÙ Ð Ø ÖÑ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ Ð³ Ü ÔØ ÓÒ Ù ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ º Ä³ ÒØ Ö Ø Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø Ú ÒØ Ò ÚÓÝ ÒØ ÙÖ º½µ Ð ØÖÙØÙÖ Ð Ñ ØÖ A (2) Ó Ø ÒÙ º.

α () A (2) = Ã (2) ÙÖ º½ ÈÖ Ñ Ö Ø Ô Ð Ñ Ø Ó Ù º Ä ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ø ÑÓÖ Ø Ð ÔÖÓ Ù Ú ÔÓÙÚÓ Ö ÔÓÙÖ Ù ÚÖ º Ò Ø A (2) = E () A () = E () P,ζ A () Ú det(e () ) = Ö Ð Ñ ¹ ØÖ E () Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò Ö ÙÖ Ú ½ ÙÖ Ð ÓÒ Ð º ÇÒ Ö Ô¹ Ô ÐÐ ÔÐÙ ÕÙ P Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÐÓÖ det(p) = ÚÓ Ö Ð ÚÖ µº ÇÒ ÓÒ det(a (2) ) = ± det(a () ) Ð Ò ÔÖ Ò ÒØ Ò ÓÑÔØ Ð³ Ú ÒØÙ Ð Ø ³ÙÒ ÒÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ú P,ζ = Iµ Ø Ð Ñ ØÖ A (2) Ø Ö ÙÐ Ö Ö ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÒÓÒ ÒÙÐº ÓÑÑ det(a (2) ) = α () det(ã(2) ) ÙÖ º½µ Ø ÓÑÑ Ô Ö ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ α () ÓÒ Ò Ù Ø ÕÙ det(ã(2) ) º Ä Ñ ØÖ Ã(2) Ø Ö ÙÐ Ö ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ Ø ÒÓÒ ÒÙÐÐ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÔÔÐ ÕÙ Ö ØØ Ñ ØÖ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖ ÒØº Ä³ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÔÓÙÖ Ù ÚÖ Ú ÔÖ ÑÙÐØ ¹ ÔÐ Ø ÓÒ ÕÙ Ø Ô ³ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÔÙ Ô Ö ÙÒ Ñ ØÖ E (k) ÓÒØ ÓÒ ÓÑÔÖ Ò Ñ ÒØ Ð ØÖÙØÙÖ ÚÓ Ö ÙÖ º¾µ Ô ÖØ Ö ÐÐ E () º ÓÐÓÒÒ k E (k) = e ik = α(k) ik α (k) kk ÙÖ º¾ ËØÖÙØÙÖ E k º, k + i nº Ð Ò k Ú ÑÑ ÒØ Ð Ò ÙØ Ô ÓÙ Ð Ö ÕÙ Ø Ô Ô ÖÑÙØ Ö Ù Ð ÓÑÔÓ ÒØ Ù ÓÒ Ñ Ñ Ö Ø Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ô Ö Ð E (i) º ü Ð Ò

Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò n Ø Ô µ ÓÒ Ó Ø ÒØ ÙÒ Ý Ø Ñ Ù ØÝÔ Ux = b (n), Ó U Ø ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ º Ë Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ú ÒØ ÓÑÑ ÒÓÙ Ð³ ÚÓÒ Ü Ñ Ò º Å Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ô ÙØ Ô ³ ÔÔÐ ÕÙ Ö Ø Ð ÕÙ Ð ÙÒ ØÖ Ø Ó Ü Ô ÚÓØ ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ô ÚÓØ Ð³ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ Ó Ò Ð ÓÐÓÒÒ ³ Ø Ð³ Ð Ñ ÒØ α () Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ô µ Ø Ò Ö º Ä³ Ü ÑÔÐ Ù Ú ÒØ Ú ÒÓÙ Ò ÓÒÚ ÒÖ º ÌÖ Ú ÐÐÓÒ Ú ÙÒ ÐÙÐ Ø ÙÖ ØÖÓ Ö Ò Ø Ò Ú Ö ÙÐ ÓØØ ÒØ µ Ø Ö ÓÒ Ö ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ { 4 x + y = x + y = 2. Ä ÓÐÙØ ÓÒ Ü Ø Ø { x =, y =,9999, Ó Ð ÝÑ ÓÐ Ò Ð Ú Ð ÙÖ Ö ÐÐ Ñ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ð ÐÙÐ Ø ÙÖº ÉÙ Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ØÖ Ø Ô ÚÓØ ÓÑÑ a () = 4 ÒÓÙ ÔÓÙÚÓÒ ÓÑÑ Ò Ö ÔÖ ÓÖ Ð ÐÙÐ Ú ÓÒ Ò Ò ÔÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÕÙ Ö Ú ÒØ ÔÖ Ò Ö P = Iµº ÔÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö Ð Ñ ØÖ E () = 4, Ð Ý Ø Ñ Ò Ø Ð Ú ÒØ Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ù Ú ÒØ { 4 x + y = ( 4 + )y = 4 + 2. ÌÖ Ù ÓÒ Ð Ö Ò Ú Ö ÙÐ ÓØØ ÒØ { 4 + =, 5 +, 5, 5 4 + 2 =, 5 +,2 5, 5. Ä ÙÜ Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒÒ ÐÓÖ ÑÑ Ø Ñ ÒØ y ÕÙ Ø ÓÖÖ Øº Å Ò Ö ÔÓÖØ ÒØ ØØ Ú Ð ÙÖ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ ØÖÓÙÚ x ÕÙ Ø ØÓÙØ Ø ÖÖ Ð Ø ÝÓÒ ÐÓÖ Ò Ò ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò Ú Ð ÙÜ Ñ Ô ÚÓØ Ö Ú a () 2 = Ð Ñ ØÖ E() ³ Ö Ø E () = 4,

Ø Ð Ý Ø Ñ Ú ÒØ Ò³ÓÙ Ð ÓÒ Ô Ð Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÔÖ Ð Ð µ { x + y = 2 ( 4 + )y = 2. 4 +, Ú Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ Ó ÒØ, Ø 4, Ð Ý Ø Ñ Ø ØÖ Ù Ø Ò Ñ Ò Ô Ö Ð Ý Ø Ñ { x + y 2 y, Ð Ú ÒØ ÓÒ y ³Ó Ò Ö ÔÓÖØ ÒØ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ Ø ÓÒ x Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ù Ø Ü ÑÔÐ ÑÓÒØÖ Ð Ö Ñ ÒØ Ð Ò Ø ³ÙÒ ØÖ Ø Ô ÚÓØ º ÙÜ Ø Ò ÕÙ ÓÒØ ÙØ Ð Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ô ÚÓØ Ô ÖØ Ð ÓÒ ÔÖ Ò Ð ÔÐÙ Ö Ò Ð Ñ ÒØ ÓÙ ÓÒ Ð Ø ÖÑ ÓÒ Ð ÒÐÙ µ Ò ÑÓ ÙÐ Ð ÓÐÓÒÒ ÓÒØ ÓÒ Ö ÒÒÙÐ Ö Ð Ø ÖÑ ÓÙ ¹ ÓÒ ÙÜº Ô ÚÓØ ØÓØ Ð ÓÒ ÔÖ Ò Ð ÔÐÙ Ö Ò Ð Ñ ÒØ Ò ÑÓ ÙÐ ØÓÙØ Ð ÓÙ ¹Ñ ØÖ Ã(2) Ö Ôº Ã (k) µ Ð³ Ø Ô ¾ Ö Ôº kµ Ø ÓÒ ÙØ Ð Ð Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ÓÒÚ Ò Ð Ð Ò Ô Ö ÔÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ñ ØÖ Ù ØÝÔ P ÓÐÓÒÒ Ô Ö ÔÓ ØÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ù Ñ Ñ ØÝÔ µº Ê Ñ ÖÕÙ º¾º¾º Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ò ÕÙ ÙÒ Ô Ù ÑÓ Ò Ó Ø Ù Ò Ø ÑÔ ÐÙÐµ Ø ØÖ ÓÙÚ ÒØ Ù ÒØ º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º ÔÖ ÓÖ ÓÒ Ò Ø Ô ØÓÙ ÓÙÖ Ð Ñ ØÖ A Ø Ö ÙÐ Ö º Ç ÖÚÓÒ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ð ØÖ Ò ÙÐ Ö Ø ÓÒ ) Ð³ Ø Ô k ¹ ÙÖ º µº ÁÐ Ø Ð Ö ÕÙ det(a (k+) ) = det(ã(k+) ) Ø ÔÐÙ ( k i= α(i) ii A (k+) = α () α (k) kk Ã (k+) ÙÖ º det(a () ) = ( ) l det(a (k+) ) Ð³ ÒØ Ö l Ø ÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ò º º Ð ÒÓÑ Ö Ô ÚÓØ µ ØÙ Ù ÕÙ³ Ð³ Ø Ô k Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ º Ò Ð Ñ ØÖ A(= A () ) Ø Ò ÙÐ Ö ÙÒ ÖØ Ò Ø Ô k Ð Ñ ¹ ØÖ Ã(k+) Ö Ò ÙÐ Ö ØØ Ò ÙÐ Ö Ø ÔÔ Ö ÒØ Ú ÙÒ ÔÖ Ñ Ö

ÓÐÓÒÒ ÓÒ Ø ØÙ ³ Ð Ñ ÒØ ÒÙÐ Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ð Ø Ø ÒÙÐÐ Ø Ù Ô ÚÓØ Ø Þ Ð Ø Ó Öµº Ä³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ô ÖÑ Ø ÓÒ Ö Ð Ò ÙÐ Ö Ø ³ÙÒ Ñ ØÖ º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º Ò Ð Ó A Ø Ö ÙÐ Ö ÓÒ ÚÓ Ø ÕÙ det(a) = ( ) p det(a (n) ) Ð Ñ ØÖ A (n) Ø ÒØ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ det(a (n) ) Ø Ð Ù ÔÖÓ Ù Ø Ð Ñ ÒØ ÓÒ ÙÜº ³ Ø¹¹ Ö ÕÙ ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø Ð Ù Ò ÔÖ Ù ÔÖÓ Ù Ø Ô ÚÓØ º Ä Ò Ø ÓÒÒ Ô Ö ( ) p Ð³ ÒØ Ö p Ø ÒØ Ð ÒÓÑ Ö Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ò ØÙ Ù ÓÙÖ ØÓÙØ Ð ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ÒÓÑ Ö ÕÙ Ð³ÓÒ ÓÒÒ Ø Ô Ö Ð Ñ Ò ÙÚÖ Ð Ñ Ø Ó º ³ Ø ÙÒ Ö ÙÐØ Ø Ô Ö Ó ÙØ Ð ÙÒ Ô Ù ÑÔÖ ÚÙ Ð Ñ Ò ÙÚÖ Ð Ñ Ø Ó Ù º ÔÖÓ ÐÙÐ Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÙÓÙÔ ÑÓ Ò Ó Ø ÙÜ ÕÙ ÐÙ Ñ Ø Ó Ù Ù ÐÐ ÓÒ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÚÓ Ö Ð Ê Ñ ÖÕÙ º¾º½µº º¾º¾ Ò ÐÝ Ñ ØÖ ÐÐ Ð Ñ Ø Ó Ù ÑÔÐ ÇÒ ÙÔÔÓ Ò Ô Ö Ö Ô ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ø Ö ÙÐ Ö Ø ÕÙ Ð Ô ÚÓØ ØÖÓÙÚ ØÓÙ ÓÙÖ ³ Ñ Ð ÙÖ Ð ÓÒ Ð º Ö ÚÓÒ Ð ÓÖ¹ ÑÙÐ Ò Ö Ð Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ A (k) Ô Ö Ð Ñ ØÖ E (k) ÓÒÒ ÒØ Ð Ø ÖÑ Ð Ñ ØÖ Ã(k+) ÙÖ º µº a (k+) ij = a (k) ij +e ika (k) kj, k+ i,j n, Ú e ik = a(k) ik a (k) kk, k+ i n. º¾º¾µ ÆÓØÓÒ ÕÙ Ð k ÔÖ Ñ Ö Ð Ò A (k) ÓÒØ ÓÒ ÖÚ Ø ÕÙ Ð Ø ÖÑ Ð (k) e ¹ÓÐÓÒÒ A (k+) Ù¹ ÓÙ a (k) kk ÓÒØ ÒÙÐ ÙÖ º µº Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒØ Ð ÓÖÑÙÐ º¾º¾µ ÕÙ ÓÒÒ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö ÓÔº Ðº Ð Ñ Ø Ó Ù º Ò Ø Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ù Ý ¹ Ø Ñ Ux = b (n) Ó U Ø ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ø ÔÔÖÓÜ¹ Ñ Ø Ú Ñ ÒØ Ò n 2 ÓÔº Ðº ÙÒ ÓÖ Ö Ö Ò ÙÖ ÑÓ Ò ÕÙ Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ñ ÒØ Øµº ÆÓØÓÒ ÕÙ Ð Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ ³ Ð Ñ ÒØ Ò ÓÒØ Ô ÓÑÔØ Ð ÓÑÑ ÓÔº Ðº Ò ÕÙ Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ Ò Ð Ö Ö Ù Ó Ø Ð ÙØ ÔÖ Ò Ö Ò ÓÑÔØ Ð Ø ÑÔ Ö Ö Ô ÚÓØ º ÇÒ ÚÓ Ø ÙÖ Ð ÓÖÑÙÐ º¾º¾µ ÕÙ Ð³ÓÒ Ø ÕÙ ÔÔ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº ÍÒ ÓÑÔØ ÑÙÒ Ø ÙÜ ÑÓÒØÖ ÕÙ³ Ð ÙØ Ò Ò Ð ÒØ Ð Ø ÖÑ Ò n 2 Ø Ò n ÕÙ Ø Ð Ø Ñ ÕÙ n Ø Þ Ö Ò µ n 3 /3 Ø ÓÒ Ø n 3 /3 ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ò ÙÚÖ Ù º ÆÓØÓÒ Ò Ò ÕÙ Ð Ñ Ø Ó Ò Ø ÔÖ ÓÖ Ð³ÓÖ Ö n 2 /2 Ú ÓÒ ÓÒØ Ð Ø ÑÔ ³ Ü ÙØ ÓÒ Ø ÙÔ Ö ÙÖ Ð ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ù Ò Ð ÐÙÐ e ik ÚÓ Ö º¾º¾µµ Ð Ø ÓÒ ØÖ Ö ÓÑÑ Ò ÐÙÐ Ö ³ ÓÖ Ð³ ÒÚ Ö a (k) kk ÕÙ Ò Ø Ù ØÓØ Ð ÙÐ Ñ ÒØ n Ú ÓÒ µ Ø Ò Ù Ø ÐÙÐ Ö Ð e ik ÔÓÙÖ i (k + ) Ô Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº

ÁÒÚ Ö Ñ ÒØ Ð Ô Ð³ Ø Ö Ø ÓÒ (k+) Ð³ Ø Ö Ø ÓÒ (k) ³ Ö Ø ÓÒ a (k) ij = a (k+) ij e ik a (k+) kj, k + i,j n, Ö a (k) kj = a(k+) kj. ÓÐÓÒÒ k L k = e ik,k + i n Ð Ò k ÙÖ º Ö ÔØ ÓÒ L k Ú e kk = º ËÓ Ø Ñ ØÖ ÐÐ Ñ ÒØ A (k) = L k A (k+) Ú L k Ü Ð ÙÖ º º ÔÖÓ Ò ÔÖÓ A () = L L 2 L n A (n) º ÇÒ Ó ÖÚ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ù Ø L L 2 ³ Ö Ø ÓÑÑ Ð ÙÖ º º Ä ÔÖ Ñ Ö Ö Ôº ÙÜ Ñ µ ÓÐÓÒÒ Ù ÔÖÓ Ù Ø Ø ÓÒ Ø ØÙ Ð ÓÐÓÒÒ L Ö Ôº L 2 µº L = L 2 = L L 2 = ÙÖ º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º ØØ ÒØ ÓÒ Ð Ò³ Ø ÚÖ ÕÙ Ò Ø ÓÖ Ö L 2 L Ö Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò Ö ÙÖ Ñ ÖØ Ò Ð Ñ ÒØ ÙÜ ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ ÓÒØ ÔÖÓ Ù Ø Ð Ñ ÒØ L Ø L 2 µº ÇÒ ÓÒÚ ÒÖ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ñ ÒØ ÕÙ Ð ÔÖÓ Ù Ø L = n i= L i Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö Ò Ö ÙÖ Ú ÙÖ Ð ÓÒ Ð µº Ò Ð Ñ ÒØ ÓÒ A = A () = LA (n) = LU, Ó U Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ º ³ Ø ÕÙ Ð³ÓÒ ÔÔ ÐÐ Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ LU Ð Ñ ØÖ Aº

ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ ØÙ Ö Ð Ñ ÒØ Ø ÒØ ÓÒÒ Ð ØÖÙØÙÖ Ñ ØÖ ¹ µ Ð ÐÙÐ Ù Ú ÒØ { Ly = b Ux = y. Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º Ò ÔÖ Ø ÕÙ Ò Ð ³ÙÒ ÙÐ Ý Ø Ñ ÐÙÐ Ö ÓÒ Ö ÓÙØ Ux = b (n) Ú b (n) ÐÙÐ Ò ÓÙÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ø ÓÒº Å Ð³ÓÒ Ó Ø Ö ÓÙ Ö ÔÐÙ ÙÖ Ý Ø Ñ Ú Ð Ñ Ñ Ñ ØÖ A Ñ ¹ ÓÒ Ñ Ñ Ö Ö ÒØ Ð Ø Ú ÑÑ ÒØ ØÖ ÙØ Ð Ö Ö Ò Ñ ÑÓ Ö Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ A = LU ÕÙ Ò³ Ø Ø ÕÙ³ÙÒ ÙÐ Ó Ø Ö ÓÙ Ö ÓÑÑ Ò ÕÙ Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÔÖ ÒØ ÔÓÙÖ Ð Ö ÒØ ¹ ÓÒ Ñ Ñ Ö º Ù Ô ÚÓØ Ô ÖØ Ð ÇÒ ÑÓÒØÖ ÚÓ Ö Ð ÚÖ µ ÕÙ Ð ØÖ Ø Ù Ú Ô ÚÓØ Ô ÖØ Ð Ö Ú ÒØ ØÖÓÙÚ Ö Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÄÍ ³ÙÒ ÖØ Ò Ñ ØÖ PA Ó P Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð Ò º ÆÓØÓÒ Ò Ò ÕÙ Ð ÔÖ Ü Ò Ø ÑÔ Ñ Ò Ð Ö Ö Ò Ô Ò ¹ Ð Ù Ô ÚÓØ ÕÙ Ø Ô Ô ÙØ¹ ØÖ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ Ó Ø ÙÜº Ò ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö Ö ÕÙ ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ó Ø ÙÐ Ñ ÒØ Ð³ÓÖ Ö 2n 3 /3 ÙÖÓ Ø ÐØ Ö Ð Ô Ö ÓÖÑ Ò Ð Ñ Ø Ó Ù ÐÐ Ø Ñ ÙÖ ÙÐ Ñ ÒØ Ò ÒÓÑ Ö ³ÓÔº Ðºº Ù Ô ÚÓØ ØÓØ Ð ÇÒ ÑÓÒØÖ ÚÓ Ö Ð ÚÖ µ ÕÙ Ð ØÖ Ø Ù Ú Ô ÚÓØ ØÓØ Ð Ö Ú ÒØ ØÖÓÙÚ Ö Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÄÍ ³ÙÒ ÖØ Ò Ñ ØÖ PAQ Ó P Ø Q ÓÒØ Ñ ØÖ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒº º¾º Å Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Ö ÇÒ ÙÔÔÓ ØÓÙ ÓÙÖ ÕÙ Ð Ñ ØÖ A Ø Ö ÐÐ º ÇÒ Ú ÙØ Ð Ö ÙÒ Ø Ò ÕÙ Ò Ö Ð ÕÙ Ô ÖÑ Ö Ô Ö ³ÙÒ Ñ ØÖ A Ò ÙÙÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ù ØÝÔ Ð ÙÖ º º O O ÌÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ À Ò Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÌÖ ÓÒ Ð ÙÖ º ÍÒ Ñ ØÖ À Ò Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ö Ôº Ò Ö ÙÖ µ Ø ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ö Ô Ò Ö ÙÖ µ Ú Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÙ ¹ Ö Ôº ÙÖ¹ µ ÓÒ Ð ÒÓÒ ÒÙÐÐ º ³ Ø Ô ÖØ Ö ÙÜ ÖÒ Ö ÓÖÑ ÕÙ Ð³ÓÒ Ô ÙØ ÐÙÐ Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ Ð Ñ ØÖ Aº Ñ Ò ÓÖÑ ÓÒØ O O

½¼ ÔÖ Ð Ð Ù ÐÙÐ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ A Ò ÔÖ ÒØ ÕÙ ÔÓÙÖ Ð ÓÖÑ ØÖ ÓÒ Ð Ð Ø ÚÖ Ô ÕÙ Ñ ÒØ ÐÓÖ ÕÙ A Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ º ü Ô ÖØ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÖÑ ÓÒ Ô ÙØ ÒÓÖ Ö ÓÙ Ö Ð Ý Ø Ñ Ax = bº Ò ÕÙ Ù Ø ³ Ø ÒØ ÐÐ Ñ ÒØ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ô ÖØ Ö Ð Ñ ¹ ØÖ A Ð Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÕÙ Ú ÒÓÙ ÒØ Ö Öº ÈÖ Ò Ô Ð Ñ Ø Ó ÇÒ ØÖ Ú ÐÐ Ú Ñ ØÖ Ð Ñ ÒØ Ö H Ø ÀÓÙ ÓÐ Ö Ù ÒÓÑ ÓÒ ÒÚ ÒØ ÙÖµ Ù ØÝÔ H = I 2uu T, u R n, u Ú u T u = Ó Ø u 2 = º Ò ÔÖ ¹ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ð Ñ ØÖ A Ô Ö Ñ ØÖ Ù Ú ØÝÔ H ÓÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ð Ý Ø Ñ Ò ÙÒ Ý Ø Ñ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ÕÙ ÐÙ Ø ÕÙ Ú Ð ÒØº Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º ÇÒ Ú Ö ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÕÙ Hu = u 2u = u ÕÙ Ò ÕÙ Ø Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ ÑÔÐ H Ó Ù Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ uº Ä ÑÑ º¾º½º Ä Ñ ØÖ H Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ ÝÑ ØÖ Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð³ ÝÔ ÖÔÐ Ò P ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ù Ò Ô Ö P = {v;v T u = }º ÔÐÙ ÓÒ det(h) = º ÈÖ ÙÚ ÇÒ Ð Ó Hu = u Ø v P Hv = v 2u(u T v) = vº ÓÒ ØÓÙØ Ú Ø ÙÖ Ð³ ÝÔ ÖÔÐ Ò P Ø ÓÒ ÖÚ Ô Ö H Ø ÓÒ Ø ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ H ÑÙÐØ ÔÐ Ø (n ) Ó v ÐÓÖ ÕÙ Ð Ú Ø ÙÖ u ÓÖØ Ó ÓÒ Ð P Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ô Ö H Ò ÓÒ ÝÑ ØÖ ÕÙ ÚÓ Ö ÕÙ u Ø ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÔÖÓÔÖ H Ó Ð Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ º Ä³ ÖØ ÓÒ Ù Ð ÑÑ Ø ÓÒ ÑÓÒØÖ º ÙÖÖÓ Ø ÕÙ ÔÖ ÑÓÒØÖ ÕÙ det(h) = ( )() n = º ÈÖÓÔÖ Ø H H T = H Ò Ø ÓÒ H T = I (2uu T ) T = H Ð Ñ ØÖ H Ø ÝÑ ØÖ ÕÙ º HH T = I Ð ÒÓÖ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ø ÑÑ Ø º ÇÒ HH T = H 2 = (I 2uu T )(I 2uu T ) = I 4uu T + 4u(u T u)u T = I Ö u T u = Ô Ö ÝÔÓØ º ÁÐ Ò Ö ÙÐØ ÕÙ H Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ø Ð Ñ ÒØ Ö µ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð º ÇÒ Ò Ù Ø ÕÙ H = H T = H Ð Ñ ØÖ ÒÚ Ö H ÓÒØ Ù Ñ ØÖ ÀÓÙ ÓÐ Ö Ð Ñ ÒØ Ö º ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ð Ñ ØÖ H Ä ÑÑ º¾º¾º Ð ÑÑ ¹Ð Ð Ñ Ø Ó µ ËÓ Ø a R n ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÒÓÒ ÒÙÐ Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ØÖ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖØ Ó ÓÒ Ð H Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö Ö Ð ÒÓÒ ÒÙÐ α Ø Ð ÕÙ Ha = αe Ó e Ø Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ Ð ÒÓÒ ÕÙ R n º

½½ ÈÖ ÙÚ ËÙÔÔÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÓÐÙº ÁÐ Ü Ø ÓÒ ÙÒ Ú Ø ÙÖ u R n Ø ÓÒ ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð H = I 2uu T Ø Ð ÕÙ Ha 2 = a 2 Ò Ø ÓÒ ÒÓØ Ô Ö (.,.) Ò Ð ÔÖÓ Ù Ø Ð Ö Ò R n ÓÒ Ha 2 2 = (Ha,Ha) = (H T Ha,a) = a 2 2 Ö H Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð µº ÐÓÖ ÓÑÑ e 2 = Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÓÐÙ ÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ α = a 2. º¾º µ ÓÑÑ Ha = αe Ð Ú ÒØ (I 2uu T )a = αe Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ µ = 2u T a µu = αe a Ø ÓÒ µu = a αe. º¾º µ ÈÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÓÒ Ò Ò º¾º µ Ô Ö 2a T Ò Ø Ò ÒØ ÓÑÔØ º¾º µ Ð Ú ÒØ 2a T µu = µ 2 = 2α 2 2α(a T e ). Ò ÒÓØ ÒØ a Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ù Ú Ø ÙÖ a ÓÒ ÓÒ µ 2 = 2α(α a ). º¾º µ ÐÓÖ Ð Ú Ø ÙÖ a Ø ÒØ ÓÒÒ º¾º µ ÓÒÒ α Ù Ò ÔÖ α = ± a 2. Ò Ù Ø º¾º µ ÓÒÒ Ð Ð Ö µ Ú ÒÓÖ ÙÒ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ù Ò µº Ò Ò º¾º µ Ò Ð Ú Ø ÙÖ uº Î Ö ÓÒ ÕÙ Ð Ú Ø ÙÖ u Ø Ð Ñ ØÖ H Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒØ Ð ÔÖÓ¹ ÔÖ Ø Ö ÕÙ º ÇÒ ÙÔÔÓ ÕÙ µ ÕÙ Ö Ú ÒØ ÙÔÔÓ Ö Ð Ú Ø ÙÖ a Ø ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐ Ô Ö ÝÔÓØ ÕÙ Ð Ú Ø ÙÖ a ÔÓ ÙÒ ÓÑÔÓ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÙØÖ ÕÙ a ÒÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÓÐÙ Ø H = Iµº ÐÓÖ ÓÑÔØ Ø ÒÙ º¾º µ Ø º¾º µ ÓÙ ÒÓÖ ³ ÔÖ º¾º µ u 2 2 = (µu)t (µu) µ 2 = (a αe ) T (a αe ), 2α(α a ) u 2 2 = α2 2αa + α 2 2α(α a ) = 2α(α a ) 2α(α a ) =, ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ÕÙ u 2 = Ð Ú Ø ÙÖ u Ð ÒÓÖÑ Ö ÕÙ º ³ ÙØÖ Ô ÖØ Ô Ö Ð Ò Ø ÓÒ µ ÓÒ Ha = (I 2uu T )a = a uµ Ø ÓÒ ³ ÔÖ º¾º µ Ha = αe Ð Ñ ØÖ H Ò ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒÚ ÒØº Ä³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ H ÙØ Ð Ù Ú Ñ ÒØ ÙÜ ÜØÖ ¹ Ø ÓÒ Ö Ò ÖÖ ÙÒ ÔÓÙÖ α Ð³ ÙØÖ ÔÓÙÖ µº Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ô ÙØ ÑÔÐ Ö Ò ÔÓ ÒØ ν = µ 2 /2 Ø v = µuº ÐÓÖ Ò ÙÔÔÓ ÒØ ØÓÙ ÓÙÖ µ ÓÒ H = I vv T /ν Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú ÒØ ( n α = a 2 i i= ν = α(α a ) v = a αe ) 2 º¾º µ

½¾ Ó ÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ö ÙÒ ÙÐ ÜØÖ Ø ÓÒ Ö Ò ÖÖ º Ä³ÓÖ Ö ÐÙÐ Ù Ú Ø ÙÖ v Ø Ù Ð Ö ν Ø Ò Ö ÒØº ÁÐ ÙØ Ð Ú Ö Ð³ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ò αº ÈÓÙÖ Ñ Ò Ñ Ö Ð ÖÖ ÙÖ ³ ÖÖÓÒ Ð ÙØ ÕÙ Ð ν ÕÙ ÒØ ÖÚ ÒØ Ù ÒÓÑ Ò Ø ÙÖµ Ó Ø Ð ÔÐÙ Ö Ò ÔÓ Ð Ò ÑÓ ÙÐ ÕÙ ÒØÖ Ò ÕÙ α Ó Ø ØÖ Ù Ò a º ÇÒ ÔÖ Ò ÓÒ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ ³ ÔÖ º¾º µ α = sgn(a ) ( n ν = α a + sgn(a ) i= a 2 i ( n i= ) 2. º¾º µ a 2 i ) 2. º¾º µ Ò Ö ÙÑ a Ø ÒØ Ö ÔÔ ÐÓÒ ¹Ð Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ù Ú Ø ÙÖ a Ð ÐÙÐ Ð Ñ ØÖ H = I vv T /ν ³ ØÙ Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ú ÒØ ( n α = sgn(a ) ν = α(α a ) v = a αe a 2 i i= ) 2 º¾º µ Å Ò ÙÚÖ Ð Ñ Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Ö ÁÐ Ø Ò Ö ³ ÚÓ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÙÐ Ù ÔÖÓ Ù Ø ³ÙÒ Ú Ø ÙÖ d ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ô Ö Ð Ñ ØÖ Hº ÇÒ ÔÓ c = Hd = (I vv T /ν)d ÐÓÖ c = d βv/ν Ú β = v T d = n v i d i ³Ó Ò Ð Ñ ÒØ c = d γv Ú γ = β/νº i= Ò Ö ÙÑ Ó Ø Ð Ñ ØÖ ÀÓÙ ÓÐ Ö H = I vv T /ν Ð ÐÙÐ Ù ÔÖÓ Ù Ø ³ÙÒ Ú Ø ÙÖ d Ô Ö Ð Ñ ØÖ H Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù Ú ÒØ β = v T d = n v i d i A () = i= γ = β/ν c = Hd = d γv º¾º½¼µ Ð ÓÖ Ø Ñ ÀÓÙ ÓÐ Ö ËÓ Ø A ÙÒ Ñ ØÖ Ö ÙÐ Ö ÕÙ Ð³ÓÒ ÒÓØ A () Ú Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ a () a () n º º a () n a () nn ÓÒ ÒÓØ a Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ ÓÐÓÒÒ Ð Ñ ØÖ A () º º¾º½½µ

½ ÈÖ ÓÒ ÙÐ Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø Ô Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ º ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ð Ñ ØÖ H () = I vv T /ν Ø ÐÐ ÕÙ H () a = αe Ô Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ º¾º µº ÐÓÖ ÓÒ A (2) = H () A () = º a (2) a (2) 2 a (2) n a (2) 22 a (2) 2n º º a (2) n2 a (2) nn º¾º½¾µ Ú a (2) = α Ø α = a 2 Ö Ð Ñ ØÖ A () Ø Ö ÙÐ Ö Ô Ö Ý¹ ÔÓØ º Ò ØØ ÔÖ Ñ Ö Ø Ô ØÓÙ Ð Ð Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ A () ÓÒØ ÒÒÙÐ Ð³ Ü ÔØ ÓÒ ÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ ÒØ ÕÙ ÓÒ ÒØÖ ØÓÙØ Ð ÔÓ Ð ÒÓÖÑ ÙÐ ÒÒ µ Ù Ú Ø ÙÖ Ó Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ º Ò Ò Ð ÓÐÓÒÒ A (2) Ô ÖØ Ö Ð ÙÜ Ñ ÓÒØ ÐÙÐ Ô Ö Ð ÓÖÑÙÐ º¾º½¼µº ËÓ Ø A (2) 22 ÓÒ ÓÒ det(a (2) ) = det(a () ) Ö Ð Ñ ØÖ A () Ø Ö ÙÐ Ö º Ð ÓÙ ¹Ñ ØÖ (a(2) ij ),2 i,j n A(2) º ÓÑÑ det(h () ) = ³ ÙØÖ Ô ÖØ det(a (2) ) = a (2) det(a(2) 22 ) Ø Ð ÖØ ÓÒ ÔÖ ÒØ Ñ¹ ÔÐ ÕÙ ÒØ ÕÙ det(a (2) 22 ) º Ä Ñ ØÖ A(2) 22 Ø ÓÒ Ö ÙÐ Ö Ø Ð ÔÖÓ Ù ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ô ÙØ ÔÓÙÖ Ù ÚÖ ÙÖ ØØ Ñ ØÖ Ò ÓÒ Ö ÒØ Ñ Ò¹ Ø Ò ÒØ ÔÖ Ñ Ö ÓÐÓÒÒ º ÇÒ ÚÓ Ø ÕÙ Ð Ð Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ò A (2) Ò ÓÒØ ÔÐÙ ÓÒ ÖÒ Ô Ö Ð Ù Ø Ð ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒº Ä³ Ü Ñ Ò Ù Ô A (r ) A (r) Ø Ø Ò Ð Ð ÚÖ Ú ØÓÙØ Ð ÓÖÑÙÐ Ö ÕÙ º Ä³ Ò ÐÝ Ñ ØÖ ÐÐ Ð Ñ Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Ö Ø Ô ÖØ ÙÐ Ö Ñ ÒØ ÑÔÐ º ÇÒ A (n) = H (n ) H (n 2) H () A (), º¾º½ µ Ú A (n) ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ º Ä Ñ ØÖ A (n) Ø ÒÚ Ö Ð A = A () Ø ÒÚ Ö Ð º A (n) = r ieme Ð Ò ÙÖ º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º º Ë A = A () Ò³ Ø Ô ÒÚ Ö Ð ÓÒ ØÖÓÙÚ Ö ÙÒ Ú Ø ÙÖ ÒÙÐ ÙÒ Ø Ô r Ú Ø ÙÖ Ø ÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ ÓÐÓÒÒ ³ÙÒ Ñ ØÖ A (r) 22 º Ò Ð rieme Ø ÖÑ Ð ÓÒ Ð Ø ÙÒ Þ ÖÓ ÓÒ ÔÖ Ò H (r) = I Ø ÓÒ Ô ÙØ ÓÒØ ÒÙ Ö Ð ØÖ Ò ÙÐ Ø ÓÒ Ù ÕÙ³ Ð Òº Ä Ñ ØÖ A (n) ÐÓÖ Ð ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ ÙÖ º µº

½ Ê Ñ ÖÕÙ º¾º½¼º Ä Ñ Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Ö Ø Ø Ð ÒÙÑ Ö ÕÙ Ñ ÒØ Ù Ò ÕÙ³ ÐÐ Ò Ö Ô Ð ÓÒ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ Ò Ø Ð Ð Ñ ØÖ Aº ÐÐ ÙØ Ð Ò Ø Ñ ØÖ ÀÓÙ ÓÐ Ö H ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ø Ì ÓÖ Ñ ½º¾ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð Ò µ ÕÙ Ð ÓÒ Ø ÓÒÒ Ñ ÒØ cond 2 (A) Ø ÒÚ Ö ÒØ Ô Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ö º Ê Ñ ÖÕÙ º¾º½½º ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ø Ó Ù ÚÓ Ö Ð Ê Ñ ÖÕÙ º¾º µ Ð Ñ Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Ö Ø ÙÒ ÓÙØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ ³ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ ³ÙÒ Ñ ØÖ º ÁÐ Ø Ð Ö ³ ÔÖ º¾º½ µ Ð³ ÒÚ Ö ³ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Ø ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÕÙ det(a) = ( ) n det(a (n) ), ÐÓÖ ( ) det(a) = ( ) n a (2) a(n+) n,n. º¾º½ µ Ä³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÀÓÙ ÓÐ Ö ÓÒÒ ÙÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÓ ¹ Ø ÓÒ Ø ÉÍ ³ÙÒ Ñ ØÖ º Ì ÓÖ Ñ º¾º½º ÈÓÙÖ ØÓÙØ Ñ ØÖ A Ð Ü Ø ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Q ÔÖÓ Ù Ø (n ) Ñ ØÖ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ö Ð Ñ ØÖ ÀÓÙ ÓÐ Öµ Ø ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ U Ø ÐÐ ÕÙ A = QUº ÈÖ ÙÚ ÐÐ Ø Ð Ò Ð ÓÒØ ÜØ º ÇÒ ³ ÔÖ º¾º½ µ A () = A = [H () ] [H (n ) ] A (n). ÈÓ ÓÒ Q = [H () ] [H (i) ] [H (n ) ] ÒÓÙ ÚÓÒ ÚÓ Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø H Ð Ë Ø ÓÒ º¾º µ ÕÙ [H (i) ] = H (i) Ú Ú ÒØÙ ÐÐ ¹ Ñ ÒØ H (i) = Iµ ÐÓÖ Q = H () H (i) H (n ) ÔÓ ÓÒ ÔÐÙ U = A (n) ÕÙ Ø ØÖ Ò ÙÐ Ö ÙÔ Ö ÙÖ Ð ÓÒÐÙ ÓÒ Ù Øº Ê Ñ ÖÕÙ º¾º½¾º ÓÑÑ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ø Ó Ù ÓÒ Ô ÙØ ÓÑÔØ Ö Ü Ø Ñ ÒØ Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔº Ðº Ö ÕÙ ÔÓÙÖ Ð Ñ Ò ÙÚÖ Ð Ñ Ø Ó ÀÓÙ ÓÐ Öº ÇÒ Ú Ö ÕÙ³ Ð ÙØ Ð³ÓÖ Ö 2n 3 /3 Ø ÓÒ Ø 2n 3 /3 ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÓÒ ÙÜ Ó ÔÐÙ Ö ÕÙ Ð Ñ Ø Ó Ù º ÆÓØÓÒ Ù ÕÙ³ ÐÐ Ò Ø Ð ÐÙÐ n Ö Ò ÖÖ º Ô Ò ÒØ Ð Ñ Ø Ó Ò Ñ Ò ÙÙÒ ØÖ Ø Ô ÚÓØ ÓÒ Ó ÖÚ ÕÙ ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ú Ø Ñ Ñ ØÓÙØ Ô ÚÓØ Ñ ÒØº ÇÖ Ö ÔÔ ÐÓÒ ÕÙ Ð Ö Ö Ù Ô ÚÓØ Ø Ò Ö Ò Ð Ñ Ø Ó Ù ÕÙ Ú ÑÑ ÒØ ÙÒ Ó Ø ÒÓÒ Ò Ð Ð º ÖÑ Ö ÕÙ ÀÓÙ ÓÐ Ö Ø ÙÜ Ó ÔÐÙ Ö ÕÙ Ù Ø ÓÒ ÒÙ Ò Öº

½ ÁÒØ Ö Ø ØØ Ñ Ø Ó ÈÓÙÖ ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÖÒ Ö Ö Ñ ÖÕÙ Ð Ø ÙØ Ð Ö Ô ØÙÐ Ö Ú ÒØ º ³ Ø ÙÒ Ñ Ø Ó Ø Ð Ù Ò Ó ÒÓÙ Ð³ ÚÓÒ ÒØ Ò Ù Ð Ê ¹ Ñ ÖÕÙ º¾º½¼º È Ö ØØ Ñ Ø Ó ÓÒ Ô ÙØ ØÓÙ ÓÙÖ ØÖ Ò ÙÐ Ö Ö ÙÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ð¹ ÓÒÕÙ Ò ÙÐ Ö ÓÙ ÒÓÒº Ë ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÙÒ Ñ ØÖ H Ø ÐÐ ÕÙ ØÓÙØ Ú Ø ÙÖ a R n Ô ÙØ ØÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÙÒ ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ò Ö Ð ÓÖÑ Ha = αe + βe 2 Ó e Ø e 2 ÓÒØ Ð ÙÜ ÔÖ Ñ Ö Ú Ø ÙÖ Ð ÒÓÒ ÕÙ R n ÐÓÖ ÓÒ Ô ÙØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ö A Ò Ð ÔÖ ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ Ô Ö H Ò ÙÒ Ñ ØÖ Ù ØÝÔ À Ò Ö ÙÔ Ö ÙÖº Ä³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ³ÙÒ Ø ÐÐ Ñ ØÖ H ÙØ Ð Ð Ö Ñ ÒØ Ð ÔÖ ÒØ Ø Ð Ø Ô Ò ÔÐÙ ÓÑÔÐ ÕÙ º È Ö ØØ Ñ Ø Ó ÓÒ Ô ÙØ ÐÓÖ ØÖ ÓÒ Ð Ö ÙÒ Ñ ØÖ º ÁÐ Ù Ø ÔÖ ¹ Ø ÔÓ Ø¹ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ð Ñ ØÖ A (r) Ù Ú Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒÚ Ò Ð ÕÙ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØ ØÓÙØ Ú Ø ÙÖ a Ò Ð ÓÑÑ αe + βe 2 µ ÓÒ Ñ Ò Þ Ò ØÙÖ ÐÐ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Å ÒØ ÓÒÒÓÒ ÕÙ Ð ÙÜ ÖÒ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ñ ØÖ A ÓÒØ ÙØ Ð Ò ÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÙÐ Ú Ð ÙÖ ÔÖÓÔÖ Aº ³ Ø ÙÒ Ø Ô ÔÖ Ð Ð ÐÙÐº