Calcul Stochastique et Applications Financières

0 Calcul Stochastique et Applications Financières Aurélia Istratii Luis Macavilca Taylan Kunal M I.E.F.

SOMMAIRE I. MODELE DE COX-ROSS-RUBINSTEIN II. III. INTRODUCTION AUX METHODES DE MONTE CARLO EQUATION DE BLACK & SCHOLES ET METHODES DES DIFFERENCES FINIES

MODELE DE COX-ROSS-RUBINSTEIN ) Mesure de probabilité neutre au risque et A.O.A a) Quelle est la condition qui doit être satisfaite par les paramètres!, r,! pour que ce marché admette une mesure de probabilité neutre au risque Q*? La mesure Q* vérifie : q* est une probabilité si q*!] 0,[ q* = e(r!µ)"! e!# " e # "! e!# " Les conditions qui doivent vérifier!, r,! pour que q*! 0, Cela est possible à condition que : { e (r!µ)"! e!# " > 0 ] [ sont tels que : { e (r!µ)"! e!# " < e # "! e!# " {(r! µ)" >!# " $ µ! r # < " {(r! µ)" < # " $ µ! r # >! " Nous constatons que q*!] 0,[ si et seulement si : µ! r " < #

b) On suppose que Q* est une mesure de probabilité neutre au risque. Déterminez la loi de! k sous Q*. Nous allons déterminer la loi de! k sous (!,F,!*). Le modèle de l actif risqué est donné par le modèle suivant : S tk+ = S tk e! "# k++µ" Où! = T N est le pas du temps,! >0 et µ >0 sont deux réels données et (! k ) k" est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribués. Soit! S le processus de prix actualisé tel que :!S = e!rt k { S tk;k=0,,...,n }!S tk+ = e!rt k+ S tk e" #$ k++µ#!s tk+ = e!r" e!rt k S tk e# "$ k++µ"!s tk+ =! S tk e! "# k++(µ$r)" Comme!* est une mesure de probabilité neutre au risque alors :!!* Stk+ " "# / F tk $ % = S " tk C est à dire :!!* & Stk " ' e " #$ k++(µ%r)# / F tk ( ) = S " tk!s tk est F tk - mesurable et! k+ est indépendant de F tk alors :!!* & Stk " ' e " #$ k++(µ%r)# / F tk ( ) = S " tk!!* & Stk " e " #$ k+ ' ( ) e(µ%r)# La mesure de probabilité!* vérifie : = e (µ!r)" #!* & "S tk e $ "% k+ ' ( )

La loi de! k sous!* : [ ] [ ] q * k+ =!!* " k+ = + # q * k+ =!!* " k+ = # C) Montrez que ce marché vérifie la condition A.O.A en exhibant une mesure de probabilité neutre au risque. = e (µ!r)" #!* & "S tk e $ "% k+ ' ( ) = e (µ!r)" { q * e # " + (! q * )e }!# "! q { * e! " # e } #! " = e #(µ#r)" # e #! " La mesure de probabilité neutre au risque qui vérifie la condition A.O.A est donc : q * = e(r!µ)"! e!# " e # "! e!# " Sous la mesure de probabilité neutre au risque!* le modèle binomial est décrit par : q So e µ!+"! q So e! " +µ" -q So q So e µ! -q So e µ#! -q So e µ#! t = 0 t = t =

) Evaluation dans un arbre binomial a) Binomial à une seule période avec le modèle CRR Function: price_call_binomial(k,s,r,u, d,n) K 50 S 80 r 5% u. d 0.9 N 00 Call Binomial 79.6 b) Convergence du modèle CRR vers le modèle de Black & Scholes Function: BSprice_call_binomialapprox (K, S, T, sigma, N) La limite du prix Cox, Ross et Rubinstein est égale au prix Black-Scholes lorsque N tend vers l infini (graphe ci-dessous). Le modèle binomial suppose que les mouvements dans le prix suivent une distribution binomiale, lorsque le nombre d essai augmente, cette loi binomiale se rapproche de la distribution normale assumée par Black-Scholes.

INTRODUCTION A LA METHODE MONTE CARLO APPLICATION A L EVALUATION D UNE OPTION D ACHAT ET D UNE OPTION DE VENTE a) Pour déterminer le prix de l option nous suivons les étapes suivantes : Ø Simulation de N trajectoires différentes pour le sous-jacent, en posant l hypothèes que les rendements du sous_jacent suivent une loi log-normale de moyenne r et de variance sigma Ø Calcul du pay-off de l option pour chaque trajectoire et actualistion Ø La moyenne de tous les pay-offs actualisés sera le prix du call Le prix d un call obtenu par la méthode de Monte Carlo semble converger vers le Prix de Black-Scholes si le nombre de simulations tend vers l infini. Plus le nombre de simulation augmente (N augmente), plus l estimateur de Monte Carlo est précis grace à la loi des grands nombres.

b) PARITÉ CALL-PUT P : Prix Put S=Prix Spot du sous-jacent C=Prix Call K=Prix d exercice («Strike») r = taux sans risque En absence d opportunité d arbitrage, il existe une relation entre le prix d'un call et celui d'un put, qui ont tous deux le même prix d'exercice et la même échéance: P + S = C + K!! METHODE POUR AMELIORER L ESTIMATION DE MONTE CARLO DU PRIX DU CALL, CONNAISSANT LE PRIX DU PUT! (S! K)! =! (S! K)! (S! K)! -! (S! K)!! (S! K)! =! S! K -! (S! K)! C! = e!! (S! K)! = e!! S! K + P! C! = S! - Ke! + P!

METHODE DE LA VARIABLE DE CONTROLE Il s agit de construire un estimateur à variance inférieure à l estimateur de Monte Carlo. En effet, l estimateur de Monte Carlo ne se comporte plus comme une somme de variable aléatoire IID. Cependant, son comportement asymptotique ne se modifie pas. On doit écrire! g(x) =! g X h(x) +! h(x) où! h(x) est connue Il reste à évaluer la quantité par la méthode de Monte Carlo! g X h(x) et voir si var g X h(x) < var g X Nous constatons dans le tableau ci-dessous que cette méthode nous permet de réduire la variance de l estimateur. On peut l apercevoir également dans le graphique. La simulation avec contrôle semble fluctuer moins autour du prix de Black-Scholes, alors qu une simulation sans contrôle semble avoir une dispersion plus importante. S 50 T K 50 r 5% sigma 5% N 000 alpha 5% Variance sans contrôle 90. Variance avec contrôle 9.46

EQUATION DE BLACK ET SCHOLES ET METHODE DES DIFFERENCES FINIES. MODELE DE MARCHE FINANCIER On se donne un espace de probabilité (Ω, F,P) sur lequel est défini un mouvement Brownien B. On considère une action S dont le prix évolue selon la dynamique suivante : Avec S 0 =s 0. Ici!, b et s 0 sont des constantes strictement positives données. On suppose que le marché financier comporte également un actif sans risque qui peut être assimilé à un placement bancaire au taux d intérêt sans risque r 0. On a La stratégie de Trading :!! est le nombre d actions sans risque au moment t,!! est le nombre d unités actifs risqué détenues dans le portefeuille au moment t. La condition d autofinancement : La condition nécessaire pour l intégrale stochastique précédente est : Remarque : Lemme d Itô :

Avec : et. EQUATION DE BLACK & SCHOLES On s intéresse au problème d évaluation d une option de maturité T de valeur terminale est une application continue donnée., ici. On note P t Φ le prix à la date t de cette option. Quelle est l expression de P t Φ.. Supposons qu il existe une stratégie de réplication pour G. sous AOA. Nous réécrivons l équation : et déterminons : Après, en utilisant la relation, nous déterminons :

Avec :. Par conséquent, g satisfait : a) b) En conclusion, g satisfait : a) b) 3. La stratégie de réplication : A partir de la question, on en déduit que : Pour tout t, et 4. a) On s intéresse au cas particulier où l option considérée est une option d achat européenne de maturité T et de prix d exercice On considère les fonctions suivantes :, et Vérifions que la fonction est la solution du problème : Tout d abord, nous introduisons comme notation : τ=t-t On a: τ,! = N(d(τ,x)). Nous notons également : f ( x) x C( S) = f (x). S = C (S) S ln + rτ + K d = σ τ σ ² τ S rτ ln + lne + K = σ τ σ ² τ S σ ² τ ln + rτ Ke = σ τ ln S σ ² τ τ ( ) + r Ke = σ τ

d = rτ σ ² ln S ln Ke + σ τ τ,! = = [x*n(d ) Ee -rτ N(d )] =.N[d (x)]+x*{n[d (x)]} -Ke -rτ {N[d (x)} {u[v(x)]} = u [v(x)]. v (x) x² Si N(x) = π dt N (x) = π e =f(x) t x e τ,! = N (d ) + x*.f[d (x)].d (x) -Ke -rτ.f[d (x)].d (x). Or : d (x)= d (x)- σ τ d (x)= d (x) ( d σ f ( d ) = f(d -σ τ ) = e π t ) d σ τ + dσ τ = dσ τ e = e. e. e π π d σ τ S σ τ d σ τ d ln + σ τ σ τ rτ S = Ke e. e. e = e.. e. e rτ π π K. e = d e π S. K. e rτ f d ) = ( f S d ). K. e ( rτ Nous en déduisons : τ,! = N (d ) + x*f(d ).d - Ke -rτ. S f ( d ).. d rτ K. e Ensuite, nous simplifions par Ke -rτ et par x*f(d ).d et nous obtenons : τ,! = N(d(τ,x))!²! ²!,! = N' ( d) x *σ τ!²! ²!,! = [N(d(τ,x))]!²! ² f(x) =!,! = [N(d(τ,x))] = {N[d (x)]} = f[d (x)]. d (x) x². π e : la densité de proba de la loi normale centrée réduite!²! ²!,! = N' ( d) x *σ τ Où : d = x σ ² τ ln + rτ Ke σ τ et f(x) =. e x² π

Simultanément:!,! = - r.k*e -rτ N(d ) - K. f ( d). f (τ ) = x*{n[d (τ )]} +r*ke -rτ N[d (τ )]-Ke -rτ {N[d (τ )]} σ τ où d = x σ ² τ ln + rτ Ke σ τ σ et d (τ ) = d (τ )-σ τ donc : d (τ ) = d (τ )- τ {N[d (τ )]} = f[d (τ )].d (τ ) et {N[d (τ )]} = f[d (τ )].d (τ )!,! = - x*.f[d (τ )].d (τ )-r*ee -rτ N[d (τ )]+K*e -rτ.f[d (τ )].d (τ ) Or : f d ) = ( f x d ). K. e ( rτ Ici :!,! = - x. f [ d( τ)].d (τ )-r.ke -rτ Φ[d (τ )]+Ke -rτ. x σ f [ d ( τ )].. [d rτ (τ )- ] K. e τ σ!,! = - x. f [ d( τ)].d (τ )-r.ke -rτ N[d (τ )]+ x. f [ d( τ)]. [d (τ )- τ ] Nous simplifions par. f [ d( τ)] x.d (τ ) : = -r.ke -rτ N(d )- f ( d ) x.. σ τ!,! +!!!,! +!!!²!²!²! ²!,! = -r.ke -rτ N(d )- x. N'( d). σ τ + r*x N(d) +! * N' ( d )! σ *x σ * = r*x* N(d) - r.ke -rτ N(d ) - x. N'( d). +!! x *σ τ τ * N' ( d ) σ *x * x *σ τ = r*[x* N(d) - Ke -rτ N(d )] = r*!!,! En sachant que pay-off du call européen est Max(S t -K, 0),nous déterminons que f est bien une solution du problème. b) En déduire le prix de cette option d achat européen, ainsi que la stratégie qui permet de la répliquer : Nous utilisons les expressions suivantes :

(, )!,!(, ) = (, )!, +!(, ) =!²!(, )!, +!,!(, ) = ()² ² Nous introduisons les résultats dans l équation de Black and Scholes, = (, ) (, )!²!(, ) +! +!² ()² ² Nous obtenons:, = +! +!²!,!(, )!, +!(, )!, +!, +!(, ) ()² Donc :!, =!,!!, +! +!²!,!!!(,!)!!,!! +!, +!(, ) ()² =!,!!,!²!,!, + +! ()²

+!²!, +!(, )! +!² ()²!(, ) ()² Mettons en facteur :!,,!,,!, +!(, ) :!, =!, (!!! ) +!, + (! +!² )!, (!!! ) ()²!, =!, (!!!! +!²!! ) +!, + (!!!!!! )!, (!!! ) ()²!! Cette équation nous permet de calculer le prix de!, et donc de déterminer de prix du call. La stratégie de réplication est donnée par:!,! =!, +!,, =!! =!,!, +!,! 3. METHODE DE DIFFERENCES FINIES Les méthodes des différences finies sont une simple extension des arbres binomiaux et trinomiaux. Au lieu de se situer dans un arbre, on se situe dans une grille complète. L abscisse de la grille représente la division du temps et l ordonnée représente les variations du prix de l action.

Maintenant, nous allons solutionner l équation différentielle de Black and Scholes dans cette grille. Il existe plusieurs méthodes numériques, dans ce tp, nous allons procéder la méthode explicite: La méthode explicite des différences finies calcule une différence forward pour évaluer la dérivée première. Introduisons le prix du call au temps i et dans l état j sur la grille, soit Cij, que nous voulons calculer à partir des trois nœuds indiqués de la période suivante. On a utilisé des approximations suivantes pour pouvoir construire un schéma explicite: En substituent ces dérives dans l équation de Black and Scholes :

On obtient : En regroupant les termes comme suit: Nous pouvons simplifier d avantage comme en écrivant: L équation différentielle s écrit de façon suivante: Cette équation nous a servi de calculer le prix de l option. L idée, c est de commencer à faire les calculs à la fin de la grille, là où les cash-flows des options sont connus, puis de recalculer dans la grille jusqu au nœud où se situe le prix de l option C(0,0). Comme dans un arbre trinomial, p u représente la probabilité d un mouvement de hausse du prix de l action, p m la probabilité d un mouvement nul et p d, celle d un mouvement de baisse. En utilisant les probabilités des trois cash-flows, on a calculé la pondération C ij.

PRIX D OPTION A TRAVERS LA METHODE DE DIFFERENCES FINIES ET LA FORMULE FERMEE Nous avons défini Smax en étant 50 donc l axe x représente bien les prix de 0 à 50. Afin d avoir un pas de prix égale à 0, on a prix nx=5. En utilisant la méthode de différence finies, on retrouve bien les prix calculés par la formule fermée de Black and Scholes.