TD ELM5 : Conducteurs éectriques Equations de Maxwell Pour apprendre son cours Exercice n 1 Une prise de terre est constituée d une demi-boule supposée équipotentielle de centre O et de rayon a = 10 cm enfoncée dans le sol (figure ci-dessous). Le sol occupe le demi-espace z < 0 et est assimilé à un conducteur ohmique de conductivité γ = 1,0. 10 2 S. m 1. La prise de terre est destinée à recevoir un courant d intensité I = 5,0. 10 4 A en provenance d un paratonnerre. Dans le sol, on suppose que la densité de courant est radiale : j (M) = j(r)e r en coordonnées sphériques. On supposera les courants stationnaires. 1. Exprimer j(r) en fonction de I et r. 2. Déterminer le potentiel V(r) dans le sol en supposant que V(r ) = 0. 3. A quelle distance minimale D m de la prise de terre un homme doit-il se trouver, afin d être certain que son corps soit traversé par un courant inférieur à I max = 25 ma (risque de mort pour une valeur supérieure)? On donne la résistance R 2,5 kω du corps humain entre ses deux pieds distants de d 1,0 m. 4. Déterminer la résistance de cette prise de terre. Pour s entrainer Exercice n 2 : Ecrantage du champ électrique ou écrantage de Debye On considère un milieu globalement électriquement neutre, dans un état ionisé (un plasma par exemple), constitué de particules de charges + q et q, de densités moyennes identiques égales à n 0. On considère une charge q de ce milieu au point O. La présence de la charge q en O modifie localement la répartition des charges positives et négatives, celles-ci ayant les densités n + (r) et n - (r) respectivement, à la distance r de O. Ces densités sont données par la loi de Boltzmann : n + (r) = n 0 e qv(r) kt ; n (r) = n 0 e + qv(r) kt, l énergie d une charge est qv(r), k est la constante de Boltzmann. A grande distance de l origine O, le milieu retrouve sa neutralité globale et les densités de charges positives et négative tendent vers la même valeur n 0 ; en prenant lim V(r) = 0 on retrouve n + (r) = n (r) = n 0. r 1. Etablir l équation de Poisson. 1
2. Etablir l équation différentielle vérifiée par le potentiel V(r). 3. En linéarisant cette équation pour qv(r) kt, montrer qu elle s écrit : d2 (rv(r)) 2n 0q 2 rv(r) = 0. dr 2 ε 0 kt Où ε 0 est la permittivité du vide 4. Résoudre cette équation, en faisant apparaître une distance caractéristique d, dont on donnera l expression. 5. Montrer que d, longueur dite de Debye du plasma, caractérise l écrantage du potentiel coulombien de la charge +q par les autres entités chargées du milieu ionisé. Données : Opérateur laplacien en coordonnées sphériques f(r, θ, φ) = 1 r r 2 (rf(r, θ, φ)) + 1 r 2 sinθ θ 2 f(r, θ, φ) (sinθ ) + θ Exercice n 3 : sphère supraconductrice Une sphère supraconductrice de centre O et de rayon a est plongée dans un champ magnétique statique et uniforme B = B 0 e z en l absence de la sphère. On admet, comme une propriété fondamentale des matériaux supraconducteurs, que le champ magnétique est nul à l intérieur de tout volume supraconducteur. 1. Déterminer le système d équations différentielles et les conditions aux limites pour le champ magnétique à l extérieur de la sphère. 2. Montrer que ce champ magnétique vérifie : B = grad ψ et établir l équation différentielle vérifiée par (r) à l extérieur de la sphère. 3. On cherche une solution de la forme ψ(r, θ) = R(r)cosθ avec θ = (B, 0 e ). r Déterminer R(r). 4. Déterminer les courants portés par la sphère. Données : Opérateur gradient en coordonnées sphériques 1 2 f(r, θ, φ) r 2 sin 2 θ φ 2 f grad f(r, θ, φ) = e r r + 1 r f e θ θ + 1 f e rsinθ φ φ. Exercice n 4 : Champs électrique et magnétique à l intérieur d un solénoïde Champ électrique à l intérieur d un solénoïde On considère un solénoïde circulaire de rayon R comportant n spires jointives par unité de longueur. Sa longueur est très grande devant ses dimensions latérales et on peut considérer que le solénoïde se comporte comme un solénoïde infini. Les spires du solénoïde sont parcourues par une intensité sinusoïdale de pulsation : i(t) = I 0 cos (ωt). L espace est rapporté à la base cylindrique (e, r e, θ ). e z Un point quelconque de l espace est repéré par ses coordonnées (r,, z). 2
1. Montrer l existence d un champ électrique E est nécessairement créé par le solénoïde. 2. En admettant que le champ électrique est orthoradial et ne dépend que de r et du temps, déterminer l expression du champ électrique E créé par le solénoïde en tout point M de l espace en fonction de 0, n, I 0,, r et t. Introduction d un conducteur dans le solénoïde Un cylindre métallique de conductivité, de rayon a et de longueur h très grande par rapport à a est placé à l intérieur du solénoïde précédent. L axe du solénoïde et l axe du cylindre sont confondus. On fait l hypothèse que l introduction du conducteur cylindrique ne modifie pas sensiblement les champs électrique et magnétique créés à l intérieur du solénoïde en l absence du cylindre conducteur. Effet Joule dans le cylindre métallique 3. En appliquant la loi d Ohm locale, déterminer la densité de courant volumique j qui apparaît dans le cylindre conducteur. 4. Déterminer la puissance instantanée P J dissipée par effet Joule dans le cylindre. On exprimera P J en fonction de, h, a, 0, n,, I 0 et t. En déduire la moyenne temporelle P J de la puissance instantanée P J en fonction de, h, a, 0, n, et I 0. 5. Citer une application classique du phénomène physique ainsi mis en évidence dans la question précédente. Pour aller plus loin Influence du conducteur cylindrique sur le champ magnétique Soit B le champ magnétique variable créé par la densité volumique de courant j calculée au 3. à l intérieur du cylindre conducteur. On admettra que le champ B se met sous la forme : B = B (r, t)ez où B (r,t) est une fonction qui ne dépend que de r et du temps t et que le champ B est nul à l extérieur du cylindre conducteur. 6. En utilisant le théorème d Ampère, déterminer l expression de B à l intérieur du cylindre conducteur. On précisera clairement le contour choisi pour l application de ce théorème. 7. On souhaite déterminer les conditions dans lesquelles l hypothèse faite précédemment est valable (l introduction du conducteur ne modifie pas le champ magnétique existant dans le solénoïde en l absence du cylindre conducteur). B désignant le champ magnétique créé dans le solénoïde en l absence du cylindre conducteur, déterminer le rapport B des amplitudes des champs magnétiques B et B en B un point se trouvant à l intérieur du cylindre conducteur. On exprimera ce rapport en fonction de r, a,, 0 et. 8. Les dimensions du solénoïde et du cylindre conducteur étant fixées, quelles sont les conditions sur et à vérifier pour que l hypothèse précédente soit valable? Données : Formule donnant le rotationnel d un vecteur A en coordonnées cylindriques (r,, z) rot A = ( 1 A z A θ ) e r θ z r + ( A r A z ) e z r θ + ( 1 r 3 (ra θ ) 1 r r A r )e. θ z
Exercice n 5 : Etude d un supraconducteur Un supraconducteur a, entre autres, les caractéristiques suivantes : sa résistivité tombe à zéro et il expulse partiellement tout champ magnétique. La loi d'ohm est alors remplacée par la loi de London : rot j = B. μ 0 l² On étudie une lame supraconductrice à faces parallèles illimitées, d'épaisseur d, plongée dans un champ magnétique extérieur uniforme et constant B, 0 parallèle à ses faces. 1. Par quel vecteur B est-il porté dans la plaque? De quelle(s) variable(s) dépend-il? 2. Quelle est l'équation sur B dans la lame? On utilisera la formule d'analyse vectorielle : (rot B ) = grad (div(b )) ΔB. 3. Calculer B dans la lame supraconductrice (privilégier l'écriture de la solution avec des fonctions trigonométriques hyperboliques). On se place à une échelle telle que tous les courants sont volumiques, le champ magnétique est alors continu à l'interface entre le supraconducteur et le vide. 4. Représenter l'allure des courbes représentatives du champ magnétique et de la densité de courant. Sur quelle distance le champ magnétique et le courant sont-ils non nuls dans la plaque? Exercice n 6 : Courants de Foucault dans un cylindre On place un cylindre conducteur d axe Oz, de section S 0 = πr 2, de longueur L et de conductivité γ dans un champ magnétique extérieur uniforme B 0 = B 0 cos (ωt)e. z On suppose que le champ magnétique induit est négligeable devant le champ magnétique extérieur appliqué. On se place dans le cadre de l ARQS magnétique et on néglige les effets de bord. 1. On admet que E = E(r, t)e. θ Montrer que : E (P) = 1 rωb 2 0sin (ωt)e. θ 2. Déterminer la puissance moyenne dissipée par effet Joule dans le cylindre. 3. Que devient la puissance moyenne dissipée par effet Joule si au lieu d un seul conducteur cylindrique, on utilise N conducteurs cylindriques identiques, de même longueur L, de section S 0 = S 0 sachant que le volume total occupé par les N cylindres est le même que précédemment? Expliquer l intérêt du feuilletage : procédé qui consiste à diviser la section du noyau de fer en de multiples feuillets, pour la réalisation des transformateurs. N 4
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Exercice n 6 8
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