1 Courbes de Bézier Objectif Tracer une courbe contrôlée par des contraintes représentées par des points appelés points de contrôle. Les courbes de Bézier se construisent à partir des polynômes de Bernstein. Polynômes de Bernstein... Les coefficients du binôme (rappel)... Courbe de BEZIER contrôlée par des points... 4 La courbe de BEZIER passe par le premier et le dernier point de contôle... 5 Equations paramétriques de la courbe... 6 Exemple de courbe de BEZIER contrôlée par 4 points: équations paramétriques.... 7 Etude de la courbe de BEZIER à partir de ses équations paramétriques... 8 Informations nécessaires à la construction de la courbe... 9 Construction de la courbe...11 Tangente à une courbe paramétrée...1 Application à l'exemple...1
Polynômes de Bernstein Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B (n, p), cette variable aléatoire prend toutes les valeurs de l ensemble d entiers {0, 1,,.n} et les probabilités de prendre ces valeurs sont : P (X = k) = k p k (1 p) n k Cn pour k = 0,1,,...n Comme p est une probabilité p est choisi dans l intervalle [0, 1]. Envisageons p comme une variable notée t par exemple, nous obtenons pour tout entier k (k=0, 1,,...n) une fonction définie sur [0, 1] par : k k n k Bkn : t P(X = k) = Bkn (t) = Cnt (1 t) les fonctions Bkn s' appellent POLYLOMES DE BERNSTEIN. Exercice Exprimer Bk(t) pour k=0, 1,,. Résoudre les équations B k(t) = 0 pour k=0, 1,,. Solution B,B t 0 (t) = (1 t), B 1 (t) = t(1 t) (t) = (1 B0(t) = 0 :S = B1(t) = 0 :S = B (t) = 0 :S = { 1} { 0,1 }, B(t) = 0 :S = { 0,1 }, { 0}. t),b (t) = t.
Les coefficients du binôme (rappel) C k n = n! k! ( n k)! 0! =! = 4! =... n! = n! = 1, 1! = 1,! = 1 1 4 1 1... n n ( n 1)! Exercice Vérifier directement la FORMULE DE PASCAL : C k 1 C k k n 1 + n 1 = Cn. (Pourk n 1). Solution k 1 k (n 1)! (n 1)! C n 1 + C n 1 = + (k 1)!(n 1 (k 1))! k!(n 1 k)! (n 1)! = + (k 1)!(n k))! (n 1)! = k!(n k 1)! k(n 1)! + k!(n k))! (n k)(n 1)! = k!(n k)! n(n 1)! = k!(n k)! k Cn
4 Courbe de BEZIER contrôlée par des points On se place dans le plan, muni d un repère d origine O (en général orthogonal). On fixe n+1 points P0,P1,...,P n dans le plan. A chaque valeur de t [0,1] on fait correspondre le point M (t) du plan défini de la manière suivante : Exemple n = n OM (t) = B kn (t)op k k= 0 OM(t) = B0(t)OP0 + B1(t)OP1 + B(t)OP + B(t)OP M (t) O Exercice Dans le cadre de l exemple vérifier quem (0) = P0,M(1) = P Réponse Cela provient du fait suivant: B0 (0) = 1 B1 (0) = 0 B (0) = 0 B (0) = 0 B0 (1) = 0 B1 (1) = 0 B (1) = 0 B (1) = 1
5 La courbe de BEZIER passe par le premier et le dernier point de contôle En effet : Soient P0,P1,...,P n les points de contrôle de la courbe ; appelons P 0 «le premier point», Pn «le dernier point». Les points de la courbe sont les points M(t) telsque t [ 0, 1] et : n OM (t) = Bkn (t)opk k= 0 B k k n k kn (t) = Cnt (1 t) pour 0 < k < n B kn (0) = 0 et Bkn (1) = pour 0 < k < n B (1 t) n 0n (t) = B t n nn (t) = B0n (0) = 1 Bnn (0) = 0 B0n (1) = 0 Bnn (1) = 1 Bkn (0) = 0 et Bkn (1) = pour 0 < k < n n OM(0) = Bkn (0)OPk k= 0 donc : M(0) = P0 = OP0 P0 est un point de la courbe. n OM(1) = Bkn (1)OPk k= 0 donc : M(1) = P1 = OPn Pn est un point de la courbe.
6 Equations paramétriques de la courbe Un point M(t) du plan a des coordonnées x(t) et y(t) qui sont des fonctions de la variable t. y (t) M (t) O x (t) Les fonctions x : t x(t) et y : t y(t)sont définies sur [0,1] par : k= n x(t) = Bkn (t)xpk k= 0 k= n y(t) = B kn (t)y P k k= 0 (xpk, ypk ) étant les coordonnées du point Pkdans le plan pour k = 0,1,...,n. Vocabulaire Les expressions des fonctions x(t) et y(t) paramétriques de la courbe". s'appellent "équations
7 Exemple de courbe de BEZIER contrôlée par 4 points: équations paramétriques. Exemple 1 P P 0 1 P 0 P 1 Equations paramétriques de la courbe de Bézier controlée par les 4 points P 0,P 1,P,P x(t) = B0(t) 0 + B1(t) 1 + B(t) 1 + B(t) 0 y(t) = B0(t) 0 + B1(t) 0 + B(t) 1 + B(t) 1 x(t) = t(1 y(t) = t t) + t t (1 t) + (1 t) x(t) = t t y(t) = t t
8 Etude de la courbe de BEZIER à partir de ses équations paramétriques Lorsque les équations paramétriques sont connues pour construire la courbe correspondante on construit le tableau de variations conjoint des deux fonctions x (t) et y (t). t 0 1 x (t) signe y (t) signe x (t) variations y (t) variations Exemple étudié x(t) = t t y(t) = t t x'(t) = 6t y'(t) = 6t 6t t 0 0.5 1 x (t) + 0 y (t) 0 + 1.5 + 0 x (t) 0.75 0 y (t) 0.5 1 1 P (II) P.5 M(.5) (I) P 0 P 0 0.75 1
9 Informations nécessaires à la construction de la courbe Il faut bien se rendre compte que nous n étudions pas y en fonction de x mais x en fonction de t et y en fonction de t, nous voulons représenter tous les points du plan de coordonnées (x (t), y (t)) lorsque t varie de 0 à 1. 4 cas de variations conjointes de x et y peuvent se présenter : (I) t a b x (t) x (a) x (b) y (t) y (a) y (b) y(b) M (b) y(a) M (a) x (a) x(b) (II) t a b x (t) x (a) x (b) y (t) y (a) y (b) y(a) M (a) y(b) M (b) x (b) x(a)
10 (III) t a b x (t) x (a) x (b) y (t) y (a) y (b) y(a) M (a) M (b) y(b) x (a) x(b) (IV) t a b x (t) x (a) x (b) y (t) y (a) y(b) y(b) M (b) y(a) M (a) x (b) x(a) Remarque Si x et y varient dans le même sens, la portion de courbe est représentée comme si y était une fonction croissante de x (le sens de parcourt sur la courbe dépend du sens de variations de x et y en fonction de t). Si x et y varient dans des sens opposés, la portion de courbe est représentée comme si y était une fonction décroissante croissante de x (le sens de parcourt sur la courbe dépend du sens de variations de x et y en fonction de t)
11 Construction de la courbe Nous sommes dans les cas (I) et (IV). T 0 0.5 1 x (t) + 0 y (t) 0 + 1.5 + 0 x (t) 0.75 0 y (t) 0.5 1 (I) (IV) ( 0.5 ( P 0 0.75 P INFORMATIONS La courbe de Bézier passe toujours par le premier point et par le dernier point(ne passe pas par les autres points en général, mais cela est tout de même possible). La tangente au premier point passe par le deuxième point, la tangente au dernier point passe par l avant dernier point.
1 Tangente à une courbe paramétrée Le vecteur vitesse en un point M (t 0 ) C est un vecteur directeur de la tangente; voici ses coordonnées : r v (t0) = (x'(t0),y'(t0)). C est le vecteur vitesse au point M (t 0 ). v r (t0) x(t 0 ) M (t 0 ) y(t 0 ) Pour qu un point M(x, y) soit situé sur la tangente en M (t 0 ) il faut et il suffit que le vecteur d'origine M (t 0 ) et d'extrémité M soit colinéaire au vecteur vitesse en t 0 ce qui s'exprime par l'équation: x'(t0) y'(t0) x x(t0) y y(t0) = 0. En développant ce déterminant on obtient l équation d une droite.
1 Application à l'exemple Rappelons les équations paramétriques de la courbe de Bézier controlée par les 4 points P 0, P1, P, P. x(t) = t t x'(t) = 6t, = y'(t) = 6t 6t y(t) t t 1 Equation de la tangente au point M. 4. 1 1 5 x =, y = 4 4 1 Coordonnées du point M. 4 1 1 5 x =, y =. 4 4 Coordonnées du vecteur vitesse 1 1 5 x ' =, y' =. 4 4 4 1 Equation de la tangente au point M. 4 x = 0. 5 5 y 4 5 5 y x = 0 4 96y - 80x + 105 = 0