MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels page /5 Système formé de deux points matériels Table des matières Éléments cinétiques. Éléments cinétiques dans R.......................2 Centre de masse.............................3 Référentiel barycentrique....................... 2.4 Éléments cinétiques dans R..................... 2.4. Quantité de mouvement totale................ 2.4.2 Moment cinétique total en G................. 2.4.3 Énergie cinétique totale.................... 2 2 Dynamique du système 3 2. Forces intérieures et forces extérieures................ 3 2.2 Théorème de la quantité de mouvement............... 3 2.3 Théorème du moment cinétique.................... 3 2.4 Étude énergétique........................... 3 2.4. Théorème de l énergie cinétique................ 3 2.4.2 Puissance des forces intérieures................ 4 2.4.3 Énergie potentielle - Énergie mécanique........... 4 3 Système isolé de deux points matériels 4 3. Lois de conservation.......................... 4 3.. Conservation de la quantité de mouvement......... 4 3..2 Conservation du moment cinétique.............. 4 3..3 Conservation de l énergie mécanique............. 4 3.2 Réduction du problème à deux corps à un problème à un corps.. 5 3.2. Mobile fictif - Masse réduite.................. 5 3.2.2 Éléments cinétiques...................... 5 Soit le système formé par deux points matériels M de masse m, de vitesse v, soumis à des forces de résultante F et M 2 de masse m 2, de vitesse v 2, soumis à des forces de résultante F 2. On notera m la somme Par défaut, les vitesses et les accélérations sont calculées par rapport à un référentiel R galiléen Éléments cinétiques. Éléments cinétiques dans R p = p i = m i v i = m v + m 2 v 2 i i est la quantité de mouvement totale ou résultante cinétique du système dans R L O = i L Oi = i OM i m i v i = OM m v + OM 2 m 2 v 2 est le moment cinétique total du système en O dans R E c = i E ci = i 2 m iv 2 i = 2 m v 2 + 2 m 2v 2 2 est l énergie cinétique totale du système dans R.2 Centre de masse Le centre de masse du système (ou encore centre d inertie, centre de gravité, barycentre) est le point G défini par ( )OG = m OM + m 2 OM 2 O étant un point quelconque de R ; si O = G Choisissons un point O fixe dans R m GM + m 2 GM 2 = 0 v G = dog = m v + m 2 v 2 est la vitesse du centre de masse G par rapport à R
MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels page 2/5.3 Référentiel barycentrique Le référentiel barycentrique ou référentiel du centre de masse, noté R, est le référentiel en translation par rapport à R dans lequel le centre de masse G est fixe (souvent pris comme origine de R ) Attention : pour que R soit galiléen, il faut bien sûr que R soit galiléen mais aussi que v G = cte étant en translation par rapport à R, on peut dériver indifféremment par rapport à R ou R, la composition des vitesses s écrit R L G = (GO + OM ) m v + (GO + OM 2 ) m 2 v 2 = GO (m v + m 2 v 2) + OM m v + OM 2 m 2 v 2 = 0 + OM m (v v G ) + OM 2 m 2 (v 2 v G ) = OM m v + OM 2 m 2 v 2 (m OM + m 2 OM 2 ) v G = L O OG mv G Cette relation, qui sera étudiée en 2 e année, est appelée théorème de Koenig relatif au moment cinétique L O = L G + OG mv G v = v + v e = v + v G la composition des accélérations.4.3 Énergie cinétique totale a = a + a e = a + a G.4 Éléments cinétiques dans R E c = i E c i = i 2 m iv i 2 = 2 m v 2 + 2 m 2v 2 2.4. Quantité de mouvement totale E c = 2 m v 2 + 2 m 2v 2 2 p = i p i = i m i v i = m v + m 2 v 2 = 2 m (v v G ) 2 + 2 m 2(v 2 v G ) 2 p = m (v v G ) + m 2 (v 2 v G ) = 0 = 2 m v 2 + 2 m 2v 2 2 (m v + m 2 v 2 ).v G + 2 ( )v 2 G = E c mv 2 G + 2 mv2 G La quantité de mouvement totale du système dans R est nulle p = 0 = E c 2 mv2 G.4.2 Moment cinétique total en G Cette relation, qui sera étudiée en 2 e année, est appelée théorème de Koenig relatif à l énergie cinétique L G = i L G i = i GM i m i v i = GM m v + GM 2 m 2 v 2 E c = E c + 2 mv2 G
MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels page 3/5 2 Dynamique du système 2. Forces intérieures et forces extérieures Décomposons F en F ext +F 2 où F ext est la force exercée par l extérieur sur M et F 2 la force exercée par M 2 sur M. De même F 2 = F ext 2 + F 2 Les forces F 2 et F 2 s exerçant entre M et M 2 sont appelées forces intérieures au système, les autres forces étant les forces extérieures au système 2.2 Théorème de la quantité de mouvement ou théorème de la résultante cinétique R étant galiléen, on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique à M = F = F ext + F 2 2 = F 2 = F ext 2 + F 2 en ajoutant membre à membre on fait apparaître la quantité de mouvement totale d(p + p 2 ) = F + F 2 = F ext + F ext 2 + F 2 + F 2 en utilisant la 3 e loi de Newton ou principe de l action et de la réaction = F ext où p est la quantité de mouvement totale et F ext la résultante des forces extérieures qui s exercent sur le système Le mouvement de G est identique à celui d un point matériel de masse m = soumis à une force égale à la résultante des forces extérieures 2.3 Théorème du moment cinétique Soit O un point fixe de R galiléen Appliquons le théorème du moment cinétique en O à M dl O dl O2 = OM F = OM F ext + OM F 2 = OM 2 F 2 = OM 2 F ext 2 + OM 2 F 2 en ajoutant membre à membre on fait apparaître le moment cinétique total d(l O + L O2 ) = OM F ext + OM 2 F ext 2 + M M 2 F 2 en utilisant la 3 e loi de Newton ou principe de l action et de la réaction dl O = M Oext où L O est le moment cinétique total en O et M Oext le moment résultant en O des forces extérieures qui s exercent sur le système 2.4 Étude énergétique 2.4. Théorème de l énergie cinétique R étant galiléen, on peut appliquer le théorème de l énergie cinétique à M p = m v + m 2 v 2 = mv G = m dv G = ma G = F ext 2 = F.v = F ext.v + F 2.v = F 2.v 2 = F ext 2.v 2 + F 2.v 2
MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels page 4/5 en ajoutant membre à membre on fait apparaître l énergie cinétique totale d(e c + E c2 ) = F ext.v + F ext 2.v 2 + F 2.v + F 2.v 2 Contrairement aux deux cas précédents, il n y a, a priori, aucune raison que les termes faisant apparaître les forces intérieures disparaissent 3. Lois de conservation 3.. Conservation de la quantité de mouvement = 0 p = mv G = cte Le référentiel barycentrique est donc galiléen = P ext + P int 3..2 Conservation du moment cinétique où E c est l énergie cinétique totale, P ext la puissance des forces extérieures et P int la puissance des forces intérieures 2.4.2 Puissance des forces intérieures Remarquons que la puissance des forces intérieures est indépendante du référentiel P int = F 2.v + F 2.v 2 = F 2.(v 2 v ) = F 2.(v 2 v ) En particulier, pour un système rigide, P int = 0 2.4.3 Énergie potentielle - Énergie mécanique Si toutes les forces sont conservatives ou ne travaillent pas = de p où E p est l énergie potentielle totale, alors l énergie mécanique totale E = E c +E p se conserve 3 Système isolé de deux points matériels Si le système est isolé, F ext = 0 et F ext 2 = 0, alors F ext = 0, M Oext = 0 et P ext = 0 dl O = 0 L O = cte R et R étant en translation l un par rapport à l autre, on peut dériver indifféremment; comme L G = L O OG mv G dl G = dl O v G mv G OG m dv G dl G = 0 L G = cte = dl O On aurait pu aussi appliquer le théorème du moment cinétique en G (fixe dans R ) dans R galiléen 3..3 Conservation de l énergie mécanique = P int Dans le cadre du programme les forces intérieures qui s exercent entre M et M 2 sont conservatives (par exemple interaction gravitationnelle ou électrostatique) de = 0 E = cte R et R étant en translation l un par rapport à l autre, on peut dériver indifféremment; comme E c = E c 2 mv2 G de c = mv G. dv G = = P int = P int = de p
MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels page 5/5 de = 0 E = cte 3.2 Réduction du problème à deux corps à un problème à un corps 3.2. Mobile fictif - Masse réduite Reprenons m a = F 2 a = a 2 a = F 2 m 2 F 2 m m 2 a 2 = F 2 = F 2 m 2 avec µ = m + m 2, µ appelé masse réduite + F 2 m a = a 2 a = d2 OM 2 2 d2 OM 2 = d2 M M 2 2 Soit P appelé mobile fictif et défini par GP = M M 2 = re r = F 2 µ La relation µa = F 2 peut donc être considérée comme le PFD appliqué dans le référentiel barycentrique (a = a et dérivation indifférente) à un mobile équivalent P de masse µ et soumis à une force F 2 La vitesse du mobile fictif d où v = dgp = dm M 2 = dom 2 dom v = m 2 v v 2 = + m v = v 2 v = v 2 v d autre part, les relations m GM + m 2 GM 2 = 0 et GP = M M 2 = GM 2 GM conduisent à GM = m 2 GP GM 2 = + m GP calculons alors l énergie cinétique et le moment cinétique E c = 2 m ( m ) 2 2 v + ( 2 m 2 + m ) 2 v = 2 µv2 L G = GM m v + GM 2 m 2 v2 = m ( 2 GP m m ) 2 m m v + GP m 2 v = GP µv En général, La force F 2 est conservative, portée par M M 2 et ne dépend que de la distance relative entre M et M 2 F 2 = F(r)e r Tout se passe donc comme si le mobile équivalent P ressentait la force centrale conservative créée par le centre de force fixe G 3.2.2 Éléments cinétiques La quantité de mouvement totale dans R est nulle par définition de R p = m v + m 2 v 2 = 0