DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE par Benoît Kloeckner L'objectif de ce cours est d'introduire le déterminant d'une famille de vecteurs dans R 2 et R 3, ainsi que le produit vectoriel. Les prérequis sont limités au programme de la lière scientique du lycée (vecteur et produit scalaire essentiellement). Plutôt que de donner directement le déterminant par une formule, on a essayé de motiver géométriquement caque nouveau concept, de façon à faire apparaître dès son introduction le déterminant comme un volume signé. On note u v le produit scalaire de deux vecteurs et u la norme. 1. Dans le plan 1.1. Volume des parallélogrammes. Considérons deux vecteurs u = (x 1, y 1 ) et v = (x 2, y 2 ) de R 2. On appelle parallélogramme engendré par u et v l'ensemble suivant, représenté sur la gure 1 : {α u + β v α, β [0, 1]} v u + v u Fig. 1. Parallélogramme engendré par deux vecteurs.
2 BENOÎT KLOECKNER Calculons l'aire A de ce parallélogramme. On sait qu'elle est égale à la longueur d'un côté, multipliée par la auteur correspondante : avec les notations de la gure 2, on a A = b. b b Fig. 2. Calcul de l'aire d'un parallélogramme (1). Pour obtenir A en fonction des coordonnées de u et v, il sut alors d'introduire le vecteur u = ( y 1, x 1 ). Ce vecteur est en eet ortogonal à u et de même norme, de sorte que comme illustré sur la gure 3. v u = u = b = A u b v u Fig. 3. Calcul de l'aire d'un parallélogramme (2). On obtient donc : A = x 1 y 2 y 1 x 2 1.2. Le déterminant. On introduit d'abord une notation : pour quatre nombres a, b, c, d, a c b d := ad bc
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE 3 Ce qui précède motive la dénition suivante. Dénition 1.1. Soit B = ( ı, j) la base canonique et u = x 1 ı + y 1 j, v = x 2 ı + y 2 j deux vecteurs quelconques de R 2. On appelle déterminant de ( u, v) dans la base B le nombre Det B ( u, v) := x 1 x 2 y 1 y 2 = x 1y 2 y 1 x 2 Par construction, on sait déjà que la valeur absolue du déterminant donne l'aire du parallélogramme engendré. Ceci se révèle crucial dans diérents domaines des matématiques, par exemple en analyse pour obtenir une formule de cangement de variable pour les intégrales doubles. La raison pour laquelle on a introduit les coordonnées des vecteurs par u = x 1 ı + y 1 j plutôt que u = (x 1, y 1 ) est qu'ainsi, la dénition pourra s'appliquer dans n'importe quelle base. Toutefois, le rapport entre déterminant et aire ne persiste tel quel que dans les bases ortonormées. Exemple 1.2. On a, on notant toujours B la base canonique, Det B ( ı, ı + j) = 1 1 0 1 = 1 1 0 1 = 1 Det B ( ı + 2 j, 3 ı + 4 j) = 1 3 2 4 = 1 4 2 3 = 2 Tournons-nous maintenant vers quelques propriétés importantes du déterminant. Proposition 1.3. Pour tous vecteurs u, v, s de R 2 et tout λ R, on a : 1. (antisymétrie) Det B ( v, u) = Det B ( u, v) ; 2. Det B ( u, u) = 0 ; 3. (linéarité à gauce) Det B (λ u, v) = λ Det B ( u, v) et Det B ( u + s, v) = Det B ( u, v) + Det B ( s, v) ; 4. (linéarité à droite) Det B ( u, λ v) = λ Det B ( u, v) et Det B ( u, v + s) = Det B ( u, v) + Det B ( u, s).
4 BENOÎT KLOECKNER v u v v + s λ u s Fig. 4. Illustration géométrique de la bilinéarité (linéarité à gauce et à droite). Démonstration. Notons (x 1, y 1 ) les coordonnées de u dans la base B, (x 2, y 2 ) celles de v et (a, b) celles de s. On a Det B ( u, v) = x 1 x 2 y 1 y 2 = x 1y 2 y 1 x 2 Det B ( v, u) = x 2 x 1 y 2 y 1 = x 2y 1 y 2 x 1 = (x 1 y 2 y 1 x 2 ) ce qui montre 1. On peut montrer 2 par un calcul ou en utilisant 1 : Det B ( u, u) = Det B ( u, u) La linéarité est également facilement obtenue par le calcul, à gauce par exemple : et Det B (λ u, v) = (λx 1 )y 2 (λy 1 )x 2 = λ(x 1 y 2 y 1 x 2 ) = λ Det B ( u, v) Det B ( u + s, v) = (x 1 + a)y 2 (y 1 + b)x 2 = (x 1 y 2 y 1 x 2 ) + (ay 2 bx 2 ) = Det B ( u, v) + Det B ( s, v)
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE 5 La linéarité à droite s'obtient de la même manière, ou en exploitant l'antisymétrie : et Det B ( u, λ v) = Det B (λ v, u) = λ Det B ( v, u) = λ Det B ( u, v) Det B ( u, v + s) = Det B ( v + s, u) = Det B ( v, u) Det B ( s, u) = Det B ( u, v) + Det B ( u, s) Corollaire 1.4. Pour tous vecteurs u, v de R 2 et tout λ R, on a : Det B ( u, v + λ u) = Det B ( u, v) Démonstration. En eet d'après la proposition précédente, Det B ( u, v + λ u) = Det B ( u, v) + λ Det B ( u, u) = Det B ( u, v) + 0 v v + λ u u b Fig. 5. Illustration géométrique du corollaire 1.4 : ni ni b ne cangent. Avant de passer à la dimension 3, signalons que le déterminant permet de caractériser par une équation les paires de vecteurs colinéaires. Proposition 1.5. Avec les notations précédentes, on a : les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si Det B ( u, v) = 0.
6 BENOÎT KLOECKNER Démonstration. En notant u = (x 1, y 1 ), v = (x 2, y 2 ) et en introduisant le vecteur u = ( y 1, x 1 ), ortogonal à u, on obtient : Det B ( u, v) = 0 u v = 0 v u ce qui est équivalent à : u et v sont colinéaires. 2. Dans l'espace 2.1. Volume des parallélépipèdes. Essayons de reproduire la construction précédente dans le cas de l'espace R 3. On considère donc trois vecteurs u = (x 1, y 1, z 1 ), v = (x 2, y 2, z 2 ) et w = (x 3, y 3, z 3 ). On appelle parallélépipède engendré par u, v et w l'ensemble suivant, représenté sur la gure 6 : {α u + β v + γ w α, β, γ [0, 1]} w u v Fig. 6. Parallélépipède engendré par trois vecteurs. Les vecteurs u et v engendrent à eux deux un parallélogramme dans l'espace, déni comme avant comme l'ensemble {α u + β v α, β [0, 1]}. C'est une face du parallélépipède qu'on considère. Le volume V de ce parallélépipède est le produit de l'aire de cette face et de la auteur correspondante : avec les notations de la gure 7 on a V = B. Ce volume est en eet l'intégrale de l'aire des trances orizontales dont un exemple a été représenté sur la gure, toutes de même aire B. Pour exprimer V en fonction des coordonnées des vecteurs u, v et w, on peut essayer d'utiliser la même métode qu'en dimension 2, et donc cercer un vecteur u qui soit ortogonal à u et v, et de norme B. On aura alors V = w u comme illustré par la gure 8. Ceci peut paraître coquant d'un point de vue pysique : on est en train de parler
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE 7 B B est l'aire de cette face Fig. 7. Calcul du volume d'un parallélépipède (1). d'un vecteur dont la norme est une aire, et pas une longueur! Il faut interpréter ce vecteur comme une sorte de produit des vecteurs u et v. On l'appelle d'ailleurs, comme on va le voir, le produit vectoriel. u B w B Fig. 8. Calcul du volume d'un parallélépipède (2). 2.2. Produit vectoriel. Un cas simple dans la recerce de ce vecteur u est celui où z 1 = z 2 = 0. En eet, on cerce alors u sous la forme (0, 0, z), avec z = B. Mais notre travail dans le plan nous permet d'exprimer B facilement en fonction de x 1, y 1, x 2, y 2, par un déterminant : le vecteur ( u = 0, 0, x ) 1 x 2 y 1 y 2
8 BENOÎT KLOECKNER convient. On trouve de la même façon un vecteur u convenable dans les cas y 1 = y 2 = 0 et x 1 = x 2 = 0, et il est alors naturel d'introduire la dénition suivante. Dénition 2.1. Soient u = (x 1, y 1, z 1 ) et v = (x 2, y 2, z 2 ) deux vecteurs quelconques de R 3. On appelle produit vectoriel de u avec v le vecteur ( ) y u v := 1 y 2 z 1 z 2, z 1 z 2 x 1 x 2, x 1 x 2 y 1 y 2 Pour calculer le produit vectoriel, le plus pratique est d'écrire u et v en colonne, et de recopier les deux premières coordonnées de cacun des vecteurs en-dessous. Dans la gure 9 on a encadré les trois déterminants à calculer. x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 première coordonnée deuxième coordonnée troisième coordonnée Fig. 9. Calcul d'un produit vectoriel. On admet la proposition suivante, qu'on a vériée dans des cas particuliers. Proposition 2.2. Quels que soient les vecteurs u et v, l'aire du parallélogramme engendré {α u + β v α, β [0, 1]} est égale à u v. Avant de revenir au calcul de l'aire de notre parallélépipède, signalons quelques propriétés du produit vectoriel. Proposition 2.3. Pour tous vecteurs u, v et s de R 3 et tout λ R, on a : 1. (antiymétrie) v u = u v et donc u u = 0 ; 2. (linéarité à gauce) (λ u) v = λ( u v) et ( u+ s) v = u v + s v ; 3. (linéarité à droite) u (λ v) = λ( u v) et u ( v + s) = u v + v s ; 4. u ( v + λ u) = u v.
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE 9 Démonstration. Dans l'expression du produit vectoriel, cacune des coordonnées est un déterminant en deux des trois coordonnées de u et v. Le résultat découle donc directement de la proposition 1.3. Les détails sont laissés en exercice. Proposition 2.4. Avec les notations précédentes, on a : les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si u v = 0. Démonstration. Donnons une démonstration géométrique : on a u v = 0 l'aire du parallélogramme engendré par u et v est nulle u et v sont colinéaires On peut justier plus précisément la dernière équivalence en considérant le déterminant de ( u, v) dans une base quelconque d'un plan vectoriel qui les contient. On peut donner une autre démonstration par le calcul, ce qui est laissé en exercice. 2.3. Déterminant. Revenons au calcul du volume V du parallélépipède engendré par trois vecteurs u, v, w de R 3. D'après ce qui précède, on a V = ( u v) w. La dénition suivante est donc la continuation directe de celle du déterminant dans le plan. Dénition 2.5. Notons B = ( ı, j, k) la base canonique de R 3 considérons trois vecteurs u = x 1 ı + y 1 j + z 1 k v = x 2 ı + y 2 j + z 2 k w = x 3 ı + y 3 j + z 3 k On appelle déterminant de ( u, v, w) dans la base B le nombre (1) Det B ( u, v, w) = ( u v) w On introduit la notation (on parle encore de déterminant) x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 := x 3 y 1 y 2 z 1 z 2 y 3 x 1 x 2 z 1 z 2 + z 3 x 1 x 2 y 1 y 2 ce qui permet d'écrire x 1 x 2 x 3 (2) Det B ( u, v, w) = y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 et
10 BENOÎT KLOECKNER ou encore (3) Det B ( u, v, w) = x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 2 z 2 z 1 y 2 x 3 z 2 y 3 x 1 z 3 y 1 x 2 Par construction, la valeur absolue de Det B ( u, v, w) est le volume du parallélépipède engendré par u, v et w. Remarquons que la dénition (équation (1)) n'est valable que pour une base ortonormée B, puisqu'un produit vectoriel intervient. Dans une base quelconque on peut dénir le déterminant par l'équation (2). Pour calculer un déterminant, on utilise en général la règle de Sarrus illustrée par la gure 10, qui permet de mémoriser la formule (3) : pour caque èce on fait le produit des coecients par lesquels elle passe et on l'aecte du signe indiqué. Le déterminant est la somme des six nombres obtenus. x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 + + + Fig. 10. Règle de Sarrus. Il est également intéressant de remarquer que dans la formule (2), les déterminants de taille 2 qui apparaissent sont obtenus à partir du déterminant à calculer, en omettant la ligne et la colonne du coecient x 3, y 3 et z 3 successivement. On peut généraliser cette formule, cas particulier de développement par rapport à une ligne ou à une colonne (ici, on développe par rapport à la troisième colonne).
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE 11 Exemple 2.6. On a : 1 4 7 2 5 8 = 7 2 5 3 6 9 3 6 8 1 4 3 6 + 9 1 4 2 5 = 7(2 6 3 5) 8(1 6 3 4) + 9(1 5 2 4) = 7 ( 3) 8 ( 6) + 9 ( 3) = 21 + 48 27 = 0 Pour terminer, voyons que le déterminant a le même type de propriétés en dimension 3 qu'en dimension 2. Proposition 2.7. Soit B une base quelconque de R 3, disons la base canonique. Pour tous vecteurs u, v, w, s de R 3 et tout λ R, on a : 1. (antisymétrie) Det B ( v, u, w) = Det B ( u, w, v) = Det B ( w, v, u) = Det B ( u, v, w) 2. Det B ( u, u, w) = Det B ( u, v, u) = Det B ( u, v, v) = 0 ; 3. Det B ( v, w, u) = Det B ( w, u, v) = Det B ( u, v, w) ; 4. (trilinéarité) Det B (λ u + s, v, w) = λ Det B ( u, v, w) + Det B ( s, v, w) et de même pour les deux autres arguments ; 5. Det B ( 0, v, w) = Det B ( v, 0, w) = Det B ( u, v, 0) = 0 ; 6. enn, le déterminant ne cange pas si on ajoute à un argument un multiple d'un autre : par exemple Det B ( u, v + λ u, w) = Det B ( u, v, w) On ne démontre pas ces propriétés ici, elles découlent de calculs élémentaires. Commentons les un peu. Le point 1 dit que si l'on écange deux arguments, on cange le signe du déterminant mais pas sa valeur absolue. Cette invariance n'est pas surprenante, car le parallélépipède engendré par trois vecteur ne dépend pas de l'ordre dans lequel ils sont donnés. Le point 2 est directement impliqué par l'antisymétrie : si deux arguments sont égaux, le déterminant est nul. Le point 3 dit que si l'on permute circulairement les trois arguments, on ne cange pas du tout le déterminant. C'est une conséquence du point 1, car une permutation circulaire s'obtient en écangeant deux paires d'arguments.
12 BENOÎT KLOECKNER Le point 4 dit que le déterminant est linéaire en cacun de ses arguments, c'est-à-dire qu'il se comporte naturellement par rapport aux combinaisons linéaires. Le point 5 s'ensuit (prendre λ = 1 et s = u). Le point 6 est une conséquence de la linéarité et de l'antisymétrie. Corollaire 2.8. Soit B la base canonique de R 3. Des vecteurs u, v, w sont coplanaires si et seulement si Det B ( u, v, w) = 0. Calculer le déterminant permet donc de déterminer si une famille de vecteurs est libre ou non. Ce résultat reste vrai dans n'importe quelle base, mais le démontrer sera plus simple lorsque l'on saura relier les déterminants dans deux bases distinctes. Démonstration. On pourrait utiliser le volume du parallélépipède engendré par les trois vecteurs, mais on peut aussi procéder comme suit. Si deux des vecteurs sont nuls, alors le résultat est clair. Sinon, si u v = 0, alors le déterminant est nul et les vecteurs sont tous les trois dans le plan engendré par w et l'un quelconque non nul de u et v, car ces deux vecteurs sont colinéaires. Il reste à vérier le cas où u v 0. Mais alors le déterminant est nul si et seulement si w est ortogonal à u v, ce qui revient à dire qu'il est dans le plan engendré par u et v. Benoît Kloeckner