LISTE DE QUESTIONS DE COURS sur le polycopié d Algèbre de 2008/2009 Chapitre 1 1. Définition 1.1 : Espace vectoriel. 2. Proposition 1.3 : Espace vectoriel produit. 3. Définition 1.2 : Sous-espaces vectoriels. 4. Preuve de la proposition 1.5 : l intersection de deux sous-espaces vectoriels est un espace vectoriel. 5. Définition 2.1 : Famille génératrice. 6. Définition 2.4 : Famille libre. 7. Preuve de la proposition 2.3 : Soient x 1,..., x n des vecteurs linéairement indépendants. Soit F le sous-espace vectoriel engendré par x 1,..., x n. Si x F alors (x, x 1,..., x n ) est libre. 8. Définition 2.5 : Base. 9. Définition 2.6 : Dimension finie et infinie. 10. Définition 2.7 : Dimension. 11. Preuve du théorème 2.5 : dim(e F ) = dim(e) + dim(f ). 12. Théorème 2.6 : de la base incomplète. 13. Théorème 2.7 : Nombre d éléments d une famille libre ou génératrice. 14. Théorème 2.8 : Équivalence entre famille libre, famille génératrice et base lorsque le nombre d éléments de la famille est égal à la dimension. 15. Définition 2.8 : Rang d une famille de vecteurs. 16. Proposition 2.4 : Condition sur le rang, pour qu une famille de vecteurs soit libre. 17. Définition 3.1 : Somme de deux sous-espaces vectoriels. 18. Preuve de la proposition 3.1 : Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels alors F + G est un sous-espace vectoriel. 1
19. Preuve de la proposition 3.2 : Si F et G sont engendrés respectivement par (u 1,, u p ) et (v 1,, v q ), alors F + G est engendré par (u 1,, u p, v 1,, v q ). 20. Définition 3.2 : Somme directe. 21. Preuve de la proposition 3.3 : F et G en somme directe F G = {0} Pour tout (x, y) F G, si x + y = 0 alors x = y = 0. 22. Preuve de la proposition 3.4 : dim(f G) = dim(f )+dim(g) et une base de F G est obtenue en réunissant une base de F et une base de G. 23. Définition 3.3 : Supplémentaires. 24. Théorème 3.2 : Formule de Grassmann. 25. Preuve du corollaire 3.2 : Critère pour que deux sous-espaces vectoriels soient supplémentaires. Chapitre 2 26. Définition 1.1/1.2 : Application linéaire. 27. Définition 1.3 : Endomorphisme. 28. Preuve de la proposition 1.5 : soient E, F et G trois K-espaces vectoriels et g : E F et f : F G deux applications linéaires. Alors l application f g est une application linéaire de E dans G. 29. Proposition 2.1 : Image d un sous-espace vectoriel par une application linéaire. 30. Définition 2.1 : Image d une application linéaire. 31. Proposition 2.4 : Image réciproque d un sous-espace vectoriel. 32. Définition 2.2 : Noyau d une application linéaire. 33. Proposition 2.5 avec preuve : Critère d injectivité pour une application linéaire. 34. Théorème 2.1 : du rang. 35. Définition 3.1 : Isomorphisme. 36. Définition 3.2 : Automorphisme. 37. Preuve de la proposition 3.1 : Si f est un isomorphisme, alors f 1 est une application linéaire. 2
38. Proposition 3.3 avec preuve : équivalence entre applications linéaires injectives, surjectives et isomorphismes quand les espaces de départ et d arrivée ont même dimension. 39. Définition 4.1 : rang d une application linéaire. Chapitre 3 40. Définition 1.7 : Matrice identité. 41. Définition 2.1 : Matrice d une application linéaire. 42. Définition 4.1 : Produit de deux matrices. 43. Théorème 4.1 : Interprétation du produit matriciel comme composé de deux applications linéaires. 44. Théorème 4.2 avec preuve : Associativité du produit matriciel. 45. Définition 4.3 : Inversibilité des matrices. 46. Preuve de la proposition 4.2 : Unicité de l inverse. 47. Proposition 4.4 avec preuve : Inversibilité du produit de deux matrices. 48. Proposition 4.5 : Produit de deux matrices diagonales. 49. Définition 4.7 : Matrices triangulaires supérieures et triangulaires supérieures strictes (resp. inférieures). 50. Définition 5.1 : Transposée d une matrice. 51. Proposition 5.1 : Opérations usuelles et transposée. Chapitre 4 52. Définition 1.1 : Matrice des coordonnées d un vecteur. 53. Définition 1.2 : Matrice d une famille de vecteurs. 54. Définition 1.3 : Matrice de passage. 55. Théorème 1.1 : Changement de coordonnées. 3
56. Proposition 2.1 : Formule reliant les coordonnées X de x aux coordonneés Y de y = f(x) pour f linéaire ainsi que la réciproque. 57. Théorème 2.1 avec preuve : Changement de base. 58. Définition 3.1 : Rang d une matrice. 59. Proposition 3.2 : Rang d une famille de vecteurs et rang de la matrice associée. 60. Théorème 3.1 : Rang d une application linéaire et rang de la matrice associée. 61. Définition 3.2 : Matrices semblables. 62. Proposition 3.4 : Rang de deux matrices semblables. 63. Proposition 4.1 : Rang d une matrice et pivot de Gauss. 64. Corollaire 4.1 : Inversibilité d une matrice et rang. 65. Proposition 4.2 : Rang de la transposée d une matrice. 66. Définition 5.4 : Système de Cramer. 67. Théorème 5.1 : Équivalence entre inversibilité, système de Cramer, rang et AX = 0 = X = 0. 68. Proposition 5.4 : Sous-espace vectoriel obtenu comme l ensemble des solutions d un système homogène et relation entre dimension et rang du système. Chapitre 4 69. Définition 1.1 : Permutation. 70. Définition 1.2 : Transposition. 71. Définition 2.1 : Application multilinéaire et forme p-linéaire. 72. Définition 2.2 : Application multilinéaire alternée. 73. Proposition et définition 3.1 : Déterminant d un endomorphisme. 74. Proposition 3.1 avec preuve : det(f g) = det(f) det(g). 75. Théorème 3.1 : det(ab) = (det A)(det B). 76. Proposition 3.4 : det t A = det A. 4
77. Proposition 3.5 : Déterminant d une matrice triangulaire. 78. Proposition 3.6 : Si une colonne (ou une ligne) est combinaison linéaire d autres colonnes (ou lignes) alors det A = 0. Si deux colonnes (ou deux lignes) sont égales, alors det A = 0. 79. Proposition 3.7 : Opérations sur les lignes et les colonnes. 80. Définition 4.1 : Cofacteurs et comatrice. 81. Théorème 4.1 : Développement suivant une ligne ou une colonne. 82. Corollaire 4.1 : Critère d inversibilité d une matrice et inverse d une matrice en fonction de la comatrice. 83. Proposition 5.1 : Formules de Cramer. 84. Théorème 6.1 : Rang d une matrice. 5