Correction du CAPES externe de Physique 009 A AI Etude de l'éolienne Fonctionnement de l'hélice AI Soit S une section plane et v la vitesse du fluide qui lui est perpendiculaire, pendant le temps le fluide qui a traversé S a rempli un cylindre de base S et de hauteur v, et donc de volume d = Sv La masse dm dans ce cylindre S est donc dm = d, et le débit massique, dont la définition est la masse ayant traversé S pendant, est égal à : dm v D M = = S v La conservation du débit massique entraîne donc S v = Cte, soit (comme = Cte) S v = Cte, et S v =S v et S v =S v AI A B Ligne De Courant En appliquant le théorème de Bernoulli en stationnaire le long de la ligne de courant dessinée sur la figure (et de part et d'autre de l'éolienne, car ce n'est pas la même constante de chaque coté) : p v² g h=cte, et comme par hypothèse on néglige les effets de la pesanteur (g=0), on obtient p A v A ²= p v ² et p B v B ²= p v ², soit : {p A = p 0 v ² v² p B = p 0 v ² v² PL CAPES PHYSIQUE 009 correction /0
AI3 Le résultat demandé peut s'obtenir par utilisation du théorème d'euler relatif à la quantité de mouvement, mais, guidé par l'énoncé, nous allons le démontrer en faisant un bilan de quantité de mouvement : soit la surface de contrôle cylindrique limitée par le tube de courant et les sections S A et S B sur lesquelles il s'appuie En s'aidant du système fermé qui est toujours un cylindre, dont la face S A système ouvert v A S B v B gauche a avancé de va et la face droite de vb, on identifie une partie commune (transparente sur le schéma) et deux parties d'échange (rentrante à gauche et sortante à droite) On peut alors calculer d P sys fer la variation de quantité de mouvement du système fermé en fonction des quantités relatives au système ouvert : d P sys fer = P sys fer t P sys fer t= P sys ouv t P sys ouv td P sortant d P entrant Calculons chacun des termes : P sys ouv t P sys ouv t= P sys ouv = t 0 car le mouvement de l'air est stationnaire par hypothèse, d P sortant =d M sortant v B = S B v B v B et d P entrant =d M entrant v A = S A v A v A Appliquons à présent le théorème de la résultante dynamique au système fermé constitué par le fluide qui est à l'intérieur de la surface de contrôle à l'instant t : F ext =Ma=M d v d M v = = d P sys fer Effectuons le bilan des forces extérieures appliquées au système fermé : les forces de pression, la force exercée par l'éolienne sur l'air (qui est opposée à celle de l'air sur l'éolienne : action/réaction), les forces de pesanteur étant négligées, on a : p A S A e z p B S B e z 0 F = d P sys fer ( 0 étant la résultante des forces de pressions sur la partie latérale de la surface de contrôle) En regroupant avec les résultats précédents : p A S A e z p B S B e z F = S B v B v B S A v A v A, or SA=SB=S et va=vb=v, et en réutilisant les valeurs de pa et pb obtenues en AI, on obtient : F = S v ² v ² e z La force est d'autant plus grande que la différence entre les vitesses amont et aval est grande, c'est à dire que l'éolienne a pu 'ralentir' le vent, ou encore 'prendre' sur son énergie cinétique AI4 Le raisonnement est strictement identique à celui qui précède, mais cette fois la surface de contrôle est le tube de courant fermé par les sections S et S La pression étant constante (p 0 ) sur la surface de contrôle, la résultante des forces de pression est nulle, et la seule force extérieure est égale à F On obtient donc : F=S v v S v v, soit F =D M v v e z v v PL CAPES PHYSIQUE 009 correction /0
AI5 En identifiant les deux expressions de F obtenues en AI4 et AI3, on obtient : F = S v ² v ²= D v v = S vv v M et v= v v AI6 Le fluide étant parfait, la puissance qu'il reçoit de l'hélice est opposée à celle que l'hélice reçoit du fluide (pas de dégradation de la puissance mécanique), donc P= F v=f v, soit P=D M v v v, et, tous calculs faits : P= x² x S v ³ dp AI7 Cherchons l'extremum de P(x) : dx = S 4 x 3x²= S 4 x3x dp dx =0 si x= v = v 3, et P est alors égal à P max : P Max =P x=/3= 6 7 S v ³ AI8 p A p 0 p(z) p B v v v(z) La différence de pression pa pb qui fait avancer le fluide malgré la résistance de l'éolienne se fait dans la zone entourant l'éolienne, cette différence de pression est d'autant plus grande que v est petite, mais v diminue aussi quand v diminue : il y a donc deux effets antagonistes, ce qui explique le maximum de puissance que l'on peut extraire vu dans la question précédente AI9 S v z 0 z Le volume élémentaire engendré est égal à d =S v, l'énergie cinétique portée par la matière comprise dans ce volume est égale à d E c =e c d = v ² S v (ec étant l'énergie cinétique z v volumique), et enfin le débit D EC est égal à l'énergie cinétique PL CAPES PHYSIQUE 009 correction 3/0
divisée par le temps pendant lequel elle a traversé la section S : en déduit : r eth = P x² x = D EC D EC = d E c = S v ³ On AI0 P max = 9,3 0 W et r eth Max = 6/7 = 59 % AI Comme r eréel = P réel r D eth = P x² x, alors P E C D réel P et C P 6 E C 7 Numériquement, on obtient : C P = P réel D E C 0,5 AII Fonctionnement de la génératrice AII Calculons le flux de B à travers le cadre C : = C B d S= C B n ds= C B e y cos e x sin e y ds=b S C sin, d'où = B S C sin AII e = d = N B S C cos AII3 Dans le circuit schématisé ci-contre, on obtient : i = e = N B S C cos i AII4 Il suffit de remplacer par dans l'expression de e pour obtenir l'expression de e : e =N B S C sin AII5 De même pour i : e n i = e = N B S C sin AII6 = M B= N² B² S C ² cos ² e z, = M B= N² B² S C ² sin ² e z On remarque que les couples électromagnétiques et sont ici toujours des couples résistants : P = 0 et P = 0 AII7 Le théorème du moment cinétique appliqué au solide constitué des deux cadres, au point O s'écrit : M O,ext = d O M =J d² ² AII8, et en projection sur l'axe s'écrit : On en déduit, en remplaçant les couples sur les cadres par les valeurs obtenues plus haut, M N²B²S ² C d = J d², ou en : ² M N²B²S ² C =J d PL CAPES PHYSIQUE 009 correction 4/0
En régime permanent, on en déduit : = M N²B²S C ² et P m = M = M ² N²B²S C ² AII9 P = i ²= N B S C P e =P P = N² B² S ² C cos ² Et P = i ²= N B S C sin ², donc ²= ² M Toute la puissance mécanique fournie par N² B² S C ² l'hélice sur l'arbre de la machine est donc utilisée dans les deux résistances AII0 = 750 trmn - = 39,3 rads - et M = P e =0, Nm B BI Unité de production électrique solaire ''dish-stirling'' Miroir parabolique et absorbeur BI Le foyer d'un miroir parabolique est le point de convergence après réflexion de tous les rayons incidents parallèles à l'axe (de révolution) du miroir Les conditions de Gauss sont les conditions d'utilisations des rayons paraxiaux (proches de l'axe et peu inclinés sur l'axe) Le foyer d'un miroir sphérique est au milieu du segment joignant le sommet et le centre BI C F F' Image du soleil D'après le schéma, d = f ' tan 30 f ' = 360 60 5=4,4 cm C F F' a l f ' P BI3 La surface collectrice est celle du disque de rayon P, donc P 0 =S E= P ² E Numériquement, on obtient : P 0 = 50, kw BI4 Le facteur de concentration en puissance est le rapport des surfaces (S disque miroir/s absorbeur), d'où : a ² F C = P ² et a = P F C Numériquement on obtient a = 9 cm BI5 D'après le schéma ci-contre (en réalité simplifié, car l'image du soleil n'est pas ponctuelle comme le schéma le laisse penser), on a a l = P f ' PL CAPES PHYSIQUE 009 correction 5/0
et la longueur l à laquelle il faut placer l'absorbeur vaut : obtient : l = 0 cm Puissance incidente BII Le moteur de Stirling l= f ' a P Numériquement on BI6 Dessinons un schéma des transferts de puissance : On a donc P t P réémise P réfléchie =P 0, d'où : P t =P 0 8 00 P 0 a ² T⁴ Numériquement on obtient : Pt = 39,4 kw BII De l'équation d'état du gaz parfait PV=nT, on déduit [ ]= [ P ][V ] = F [T ] L² L³ =F L =E est homogène à une énergie divisée par un temps, ses unités sont donc des JK - BII Puissance réfléchie Puissance réémise Puissance transmise au moteur de Stirling P A D B C V BII3 Pour la transformation AB : l'énergie interne du Gaz Parfait ne dépend que de la température, elle est donc constante sur AB, d'où U AB =0=W AB Q AB et B Q AB = W AB = P dv, comme PV=nT et T=T C, on trouve A Q AB =n T C ln V V >0 (le système reçoit de la chaleur de la source chaude) Pour la transformation BC : à volume constant Q=nC v dt, d'où C Q BC = nc v dt =n C v T f T C B V V <0 (le système donne de la chaleur au régénérateur) Pour la transformation CD : un raisonnement identique à celui fait pour la transformation AB donne : Q CD =n T f ln V V <0 (le système donne de la chaleur à la source froide) PL CAPES PHYSIQUE 009 correction 6/0
Pour la transformation DA : un raisonnement identique à celui fait pour la transformation BC donne : Q DA = D régénérateur) A n C v dt =nc v T C T f >0 (le système reçoit de la chaleur du BII4 Sur un cycle U =W Q=0 et donc W = Q= Q AB Q BC Q CD Q DA, d'où : W cycle = n T C T f ln V = n T V C T f lna W = - 66 J et Q AB = 493 J Numériquement on trouve BII5 Le rendement est le quotient de l'énergie utile par l'énergie investie : r th = W cycle Q AB On obtient numériquement r th = 0,67 Ce rendement n'est en pratique jamais atteint en raison des écarts à l'idéalité supposée du cycle (les isothermes ne le sont pas vraiment, ni les isochores, le régénérateur ne rend pas toute la quantité de chaleur reçue) : la surface du cycle (-W cycle ) est donc plus petite que la surface théorique, sans que Q AB soit grandement diminué BII6 r réel = W Q AB =0,36 BII7 N = 080 cyclesmin - = 080/60 cycless - et P mot =W cycle N =4, kw P abs =Q AB N =39, kw P t On constate que la puissance thermique prise à la source chaude par le moteur de stirling est celle donnée à l'absorbeur par le miroir concentrateur (on se trouve donc en régime permanent) C CI CI Unité de cellules photovoltaïques Cellules photovoltaïques En circuit ouvert (i=0), on obtient u=u 0 ln S E I S, ce qui donne les valeurs : UC = 0,566 V ; UC = 0,54 V ; UC3 = 0,5 V CI En court circuit (u=0), on obtient i= S E, ce qui donne les valeurs : i CC = 0,336 A ; i CC = 0,6 A ; i CC3 = 0,04 A CI3 i u C u C Caractéristique d'obscurité E=0 E=E3=00 Wm - E=E=300 Wm - i CC3 i CC u C3 u E=E=800 Wm - i CC PL CAPES PHYSIQUE 009 correction 7/0
CI4 La cellule étant en convention récepteur, la puissance qu'elle fournit s'écrit : P u = u i= u I S exp u U 0 S E CI5 Déterminons la position des extréma de P u : d P u du =0 I S exp u U 0 S E u I S U 0 exp u U 0 =0, on obtient donc l'équation en u suivante : I S u U 0 exp u U 0 = S E La résolution numérique donne u Max = 0,490 V et pour obtenir i Max il faut calculer i(u Max ) : i Max = i(u=u Max ) = - 0,336 A La loi d'ohm impose : = u Max i Max =,46 CI6 = P Max = u i Max Max =0,7=7% Le rendement est relativement faible puisque P sol S E seulement 7% de l'énergie lumineuse incidente peut être convertie en énergie électrique (sans compter le reste de la chaîne de conversion/distribution) CI7 Avec l'assemblage proposé : VD = ns umax = 4,5 V ID = np IMax = 8,4 A CI8 Par la loi d'ohm : M = V D I D =,9 CI9 Les cellules étant identiques, la tension totale est partagée par les n S cellules en série et u= U D =0,48V n S De même les cellules étant identiques (un problème que ne n P soulève pas l'énoncé est d'ailleurs une éventuelle dissymétrie des cellules et/ou de leur éclairement qui peut être critique ici), le courant débité par chaque cellule se calcule à l'aide de la caractéristique : i= I S exp u S E= 0,34 A, et, comme il y a n U P branches : I D = n P i = 8, A 0 CII CII Etude de l'onduleur E n S u(t) - E 0 T/ T t CII Dans la branche,l : ut=u u L =it L d it, soit, sous forme PL CAPES PHYSIQUE 009 correction 8/0
canonique, : d it u t it= L, avec = L CII3 u(t) est une fonction constante par morceaux, la solution particulière de l'équation différentielle sera donc une constante, égale à E/ pour i et -E/ pour i La solution de l'équation homogène sera elle de la forme i = A e t / et i = A e t /, d'où les solutions pour i et i : i = E A e t / et i = E A e t / CII4 Le courant traversant l'inductance devant être une fonction continue, on a : i t= T =i t= T, soit : A A = E CII5 En régime permanent le courant est périodique, et l'on doit donc avoir : i t=t =i t=0, soit : ² A A = E Le système à résoudre est donc : E A= {A ² A A = E, et on obtient les solutions : {A = E A = E CII6 On en déduit : i t= E E e t / et i t = E E e t / E/ i(t) i max T/ T t i min -E/ CII7 Calculons la fonction de transfert complexe : H j = v S v = i i j L i = j L / = Etudions les fonctions j H ~ H ~ équivalentes (comportement asymptotique) : et, ce qui est bien 0 le comportement d'un filtre passe bas du premier ordre CII8 H = H max Si = C = PL CAPES PHYSIQUE 009 correction 9/0
CII9 Le système étant linéaire, il n'y a dans la réponse que les fréquences présentes dans l'excitation, c'est à dire les entiers (k+), c'est à dire les impairs Soit la composante n (k+) de la tension d'excitation u(t), elle est, par hypothèse, de la forme b k sin k 0 t, passons en complexe : u k t = j b k e j k 0t =u k, calculons la composante n (k+) de la tension de sortie complexe : u S,k =H j k 0 u k, ou b k u S, k = k e j S, k j e j k t 0 = j e j k 0t =H j k j k 0 u k 0 Il ne reste plus qu'à identifier la partie réelle (et imaginaire normalement, mais seule la partie b k réelle est demandée dans l'énoncé) : k = On en déduit ² k² 0 ² b = ² 0 ² = 4 E b et ² 0 ² 3 = 3 9 ² 0 ² = 4 E 3 9² 0 ² CII0 De la question précédente on déduit B= 3 = 3 ² 0 ² 9 ² 0 ² Si 0 = C =, alors B= 3 5 0,5, l'amplitude du premier harmonique présent dans la décomposition de la tension de sortie (c'est à dire à un coefficient multiplicatif près du courant absorbé par la charge) est de 5% du fondamental et le courant absorbé n'est pas sinusoïdal Le but des deux questions qui viennent est de montrer comment on peut tirer un courant sinusoïdal malgré un dispositif commandé en tout ou rien grâce à la technique de Modulation de Largeur d'impulsion (MLI ou PWM en anglais) CII Pour annuler l'harmonique de rang 3, il faut que le coefficient de la décomposition soit nul, c'est à dire cos 3 0 =0 c'est à dire = pour la plus petite valeur 3 0 positive et, avec le même raisonnement que précédemment, D= d 5 = b 5 H 5 0 d b H 0 5 On trouve : D= d 5 = 6 d 5 cos 5² C ² = =0,055=5,5% Ici, le premier 53 cos 6 ² C ² harmonique ne représente que 5,5% du fondamental et le courant appelé est quasi sinusoïdal CII Soient ut=u sin 0 t U sin 0 t et it =I sin 0 t I sin 0 t les développements de u(t) et i(t), la moyenne de la puissance p(t)=u(t)i(t) fait apparaître des termes de la forme U U T p I p sin p 0 t p sin p 0 t p égaux à p I p et des termes de la forme : T T U p I q sin p 0 t p sin q 0 t q qui sont nuls, tout se passe comme si chaque T harmonique transportait sa puissance, d'où ici : P moy =P P 5 = d ² d ² 5, la valeur relative des termes d et d 5 autorise à dire que la puissance moyenne est celle transportée par le fondamental : P moy =P = 3 E ² ² PL CAPES PHYSIQUE 009 correction 0/0