X PC 7 : Muement é-issé, hant des erres Crrié prpsé par Séerine Mensh (seerine.mensh@wanad.fr) et Phiippe Bre (phibre@numeriabe.fr). Meri de nus sinaer tute erreur. I Prinipe du muement «é-issé» I.. Thérème du entre d inertie dans e référentie aiéen du abratire en prjetin sur Oy m. + N + N = Thérème du mment inétique en G dans * référentie baryentrique : a. N ( D a). N = d'ù ( D a). m D = et N =. m. N. D a I..Le TMC reste aabe dans * et absene de muement sur Oy nsere a première reatin dn es expressins préédentes restent aabes ae D et a ariabes : a( =. m N. ( a( ). m = et N. I.. Le supprt sur eque a barre isse en premier est eui sur eque a barre appuie e mins, dn, ae a < D a, 'est e supprt (). d'ù F a(. N =.. m. = ae tant que e supprt () ne isse pas a(=a Le TCI dnne ars F : G se dépae à /, dn a G = et F F = d'ù F = F =. N m D a =.... t I.4. La nditin d'absene de issement sur () est F < s. N, r F diminue, dn à un instant t e issement en () est inéitabe. t est dnné par F ( t) = s. N( t) dn a t ) a.. m s. s. D ( s + s). a =. m d'ù t = et t ) t ) s. t ) = a + = D s I.5. Au deà de t es supprts issent ar auune des nditins d'absene de issement n'est réaisée. La itesse de issement sur e supprt () est diriée ers a auhe, ee du supprt () ers a a( a( drite, dn F =. N=.. m et F =. N=.. m d'ù. a( F + F =. m. à t=t t ). a( t ) = a +. a = a < ar < s dn F s + F <. s Le pint G raentit du fait du issement des supprts, sa itesse a passer de / (supprt () bqué) à - / à 'instant t' ù e supprt () se bquera, F + F reste néatif durant tute ette phase (rq : 'expériene peut être faiement réaisée ae une rèe en pexias supprtée par dits...) I.6. Lrs de a phase suiante, 'est e supprt () qui est bqué, e supprt () isse. Cette phase /6
s'étudie dn mme au I4), es rôes de et snt inersés, et es CI deiennent t' ) et a(t' ) d'ù = [ t ') a( t '). ] + s I.7. Si n peut néier a durée de a phase de issement des supprts, n assimie t' ) à t ) = a. + et a(t' )=a(t )=a, dn = [ t ') a( t '). ] + = a. a + =. t ) s + s. s s s On peut dn déterminer expérimentaement / s en auant es rapprts suessifs des nueurs entre es supprts rsque e issement hane de ôté. (rq :effetiement expérimentaement ae a rèe n ne it pas ette phase.) II Anayse d'un muement d'siatin II.. On herhe une psitin d'équiibre / ié au abratire : = + = + =, e tapis tapis/ issement se fait ers a auhe, a fre de frttement est ers a drite. A 'équiibre e TCI s'érit -kx+f= ae F =. m. (équiibre sur y et nditin de issemen d'ù. m.. xéq = = k II.. si X < ars < et F >, e PFD dans s'érit m. x= k. x+. m. d'ù X +. X = () si X > X +. et F< 'équatin du muement deient m. x= k.. m. d'ù ars > x. X. = xeq S'i y a ae, dn (). X = = ste dn X =, e TCI s'érit k. x+ F = à a nditin que F< s. m s k. x< s. m d'ù X x éq < xéq + dn [ ] s s X X,X ae X= x éq + et X = x éq + II.. Si a masse est psée sans itesse initiae /, <, 'est 'équatin () qui dnne e muement. Ae es CI prpsées, a sutin est X( = X.s(. Pur rester dans es nditins de issement i faut t, X < dn X. < sit X < / = Xm II.4. xeq q eq=., = qeq(+ γ) q, q = qeq( γ ) II.5. X X d dq dq q = = =. = dθ θ '. dn Xm X =.q ' et X =. '. = X. '+q= ('), aabe si < m dn 'équatin () se simpifie sus a frme ()deient '+q=-q eq (') ae >,5 q Ae es CI q()=,5 et ()=, n est dans es nditins du II ), es siatins snt /6
harmniques, e diaramme de phase est un ere : II.6. Les pints représentants es états de ae rrespndent à x= dn X = situés sur e diaramme de phase sur 'axe =, entre q =-q eq =-,5 et q =q eq =,5. et = : is snt II.7. Ae es CI prpsées, a première phase du muement rrespnd à >, 'est dn 'équatin (') qui dnne e muement : a sutin est aabe tant que <. Cette phase nduit à un ar de ere dans e diaramme de phase : I suit une phase d'siatin ers a drite, 'équatin du muement est ('), e diaramme de phase est un ar de ere entré sur 'axe q en -q eq =- q - q fis dans a zne de ae, et suit a drite = jusqu'à q : e muement deient péridique. Lrs du deuxième passae par =, e pint est dans a zne de ae : i se e et part dn sur a drite jusqu'à atteindre q. Une fis en q, n retrue 'équatin (') : e diaramme de phase est à nueau un ar de ere de entre O, rsque e pint atteint = i est ette -,5 q Le ye ne dépend pas des nditins initiaes, 'ar de ere est entré en O, entre (q,) et (-q,), a phase de ae entre (-q,) et (q,). II.8. Une fis que e réime péridique est étabi, T se démpse en T =t +t : t durée de a phase de ae de -q à q et t = durée de a phase de issement. q. X q t =. m =. θ = π + Finaement θ t = ù θ est 'ane d'uerture de 'ar de ere dérit dans e pan de phase, dn. Ars( q ) et π +. Ars( q) t = T = π +. Ars( q ) +. q II.9. En 'absene de ae : /6
. F =.m t dn P= F =. m.( ) et W =. m.( ). Or sur une péride T : x = dx= dn W =...... π m T = m S'i y a ae : = pendant a phase de ae, dn P= et W= F =. m. pendant a phase de issement (durée t ), dn P= F =. m.( ) et. W =.. m.( ) 'intérae prtant ette fis uniquement entre et t, ù q passe de q à -q, dn = qx m t W. m d. q sit Xm π +. Ars( q ) W =. m. q.. =... +. X t m q m et finaement W =. m.. T [ ] Ainsi, dans es as, n true une puissane myenne W T W T P my = = =. m.. Qu'i y ait u nn une phase de ae, a puissane myenne par ye est a même : en as de ae, a puissane s'annue pendant e ae mais est pus imprtante pendant e issement. On préfère un freinae sans ae pur que a puissane instantanée sit nstante, e qui éite des à-ups et des ibratins à a fréquene qui apparaissent dans e as du ae. III.Le hant du erre : III..Anayse énerétique de a ibratin III... Pur θ=k.π/ r =.s(. es ibratins présentent un entre et pur θ=π/4+k.π/ r = e snt des nœuds de ibratins. Ces résutats snt nfrmes à a fiure. III...Pur un pint au brd du erre, par exempe sur e entre θ=, a défrmatin est sinusïdae ( =.s(. E est a smme d un terme d énerie inétique A. ( d ) et d un terme d énerie ptentiee éastique B. de type parabique nfrme aux défrmatins sinusïdaes. III... Sans amrtissement énerie méanique se nsere sit de/=. d Après simpifiatin A.. + B = équatin d un siateur harmnique de pusatin prpre = B A. III..Enerie inétique du tube yindrique III... dm=ρ..dθ.h.a d( + r) III... r = =..s(. θ).sin(. 4/6
ds( ϑ, III...On intère a reatin +.s(. ϑ ).s(. = par rapprt à θ, dϑ s( ϑ, =.sin(. ϑ ).s(. + f(, ae f(= a aeur myenne tempree de s(θ, étant nue. s(,.sin(. ϑ ).s(. ds ϑ ϑ = et (, =..sin(. ϑ ).sin(. III..4. Les défrmatins snt suppsées panes, z = = + r s ( d sin (. ) ) ( ds ). H.. a.... s(. ). d.sin (. r θ + = ρ θ + θ de =. dm. 4 Intérns de énerie inétique éémentaire de éément de pari dm entre et.π : π s (. θ ). dθ = s(. θ ).π = π = sin (. θ ). dθ E........sin (. ) 8 5 = π ρ H a t π III..Anayse énerétique de a ibratin. Enerie ptentiee éastique III...En éiminant θ des deux reatins =. θ et= ( + u). θ, i ient ( ) =. + u Quand e rayn de urbure passe de à e fiament subit un anement de.( ) = ( ') ( ) =. u ' a/ du u (u) Fiament pur un rayn de urbure III...La i de Hke dnne ae es ntatins suiantes = + u Cmme a<<, u<< dn ( ) Y ds F =. ae ds=du.z ;. ; F Y.. du. z= Y. u. ( ). du. z '. III...Cnsidérns e fiament qui s arît de sa nueur à +, ntns x une ariabe muette et nsidérns e traai d un pérateur qui réaise ette pératin. Wp= F. dx ae F = Y. x. du. dz x W Y p = x. dx. du. dz En définissant énerie ptentiee par d Ep= W p, d Y Ep=.( ). du. dz Ae =. u. ( ) ' et, d Ep Y. ( ) u du dz.... ' ' = pur e fiament. En suppsant a défrmatin unifrme dans a pari, n intère u entre a/ et a/ Pur btenir énerie ptentiee du fiament d épaisseur a, de hauteur z. 5/6 ( a/ ) u du z Y (.... =.. ). a. z de Y p=. ' ' a / 4 ' '
En assimiant a défrmatin à a ariatin de rayn de urbure et a nsidérant faibe n peut ars érire ( ) ' ' r dans expressin préédente. III..4.On tient mpte de a dépendane en θ de a défrmatin, pur e fiament éémentaire de areur anuaire dθ, d épaisseur du et de hauteur z, énerie ptentiee d Ep s érit en rempaçant par =. dθ : d Ep Y.( ) u du dz dθ..... ' ' = ae ' = r + r' et r+ r' ' =..s(. θ ).s(. t ) d Ep=. Y..s (. θ ).s (.. dθ. u. du. z. 9 Pur anneau de hauteur z i faut intérer u entre a/ et a/ et θ entre et.π. a/ dep = 9. Y..s (.. z. u. du. s (. θ ). d θ sit après aus a/ dep=...s (. ).. 8.. π Y a t z π III.4.Fréquene de ibratin du tube En tenant mpte dans e mdèe de a nn indépendane des anneaux du yindre, énerie ptentiee s érit par intératin sur z : Ep=. π....s(. ) 8..( H Y a t σ ) Par identifiatin ae e terme B, B=. π. H. Y. a 8..( σ ) Par identifiatin du terme d énerie inétique de a questin III..4. ae e terme ( d ) A=... H.. a 8 5 π ρ A., La fréquene du mde de ibratin s érit : f =. =. π A. π. 5. ρ.( σ ) A.N. f=948 Hz B a. Y emarque en rdre de randeur: Suppsns que e mde fndamenta de ibratin rrespnd à une nde qui dérit a irnférene du erre en une péride, a fréquene est de rdre de f /(.π.) ù est sa itesse de prpaatin Y, n btient f Y ρ.π.. Le au dnne f=5,6khz! L rdre de ρ randeur n est pas bn. En effet e mdèe simpiste préédent ne tient pas mpte de épaisseur du erre ; e rempaement de / par a/ de même dimensin permet de retruer un rdre de randeur rret f a Y,kHz.. = π. ρ 6/6