Caractérisation des mesures de performance pertinentes en gestion alternative Alexis BONNET Isabelle NAGOT Methodology Group CERMSEM Université Paris1Panthéon-Sorbonne 2 avril 2004
Quelles sont les mesures de performance? Allocation optimale de risque dans un portefeuille Cas de la gestion alternative (vente àdécouvert, tous produits dérivés) Nécessité de combiner différents horizons de stratégie de trading
Variable pertinente = P&L net Variation de valeur liée à une prise de risque : trade dans lequel on investit + ou - nette des coûts de transaction et avec tous les cash-flo correctement actualisés. X =P&Lnet
Pourquoi P&L plutôt que rendement On regarde de la même manière (au travers de X): une stratégie de trade un sous-fonds un dérivé OTC (aussi complexe soit-il) un produit traité sur un marché ou un fonds classique On considérera toute distribution possible (ex : cat bond). Remarque : tendance des contreparties à faire des appels de marge basés sur le risque la distribution de X (global netting agreement, VaR à 3 jours).
Objectif allocation optimale de risque dans un portefeuille (sans contraintes comme dans Markowitz) mesure de la performance (espérée ou réalisée) de cette allocation
Existant Optimisation et mesure de la performance sont basées sur : essentiellement le ratio de Sharpe Sortino, VaR, CvaR, 3 ou 4 premiers moments,... Sharpe : basé sur deux 1ers moments, intuitif et simple Sh(X) = E(X) V (X) Allocation optimale : poids = E(X) V (X) (actifs indépendants) Ex : pour X gaussien, Sh =2 proba de gain = 97,5% (cf P (X > 1, 96) = 2, 5)
Problème : distributions non gaussiennes Exemple : si on autorise la vente de volatilité sur des actifs gaussiens Maximisation du Sharpe avec des options (Goetzmann, Ingersoll, Spiegel and Welch) : Sharpe passe de 2 à8(etde3à 90) pour le portefeuille optimal
Remèdes? 1. Stutzer 2. Hodges 3. Omega Ne répondent pas complètement à l objectif allocation + mesure Pour 1. et 2. (utilité CARA), choix validé par : mesure qui coïncide avec Sharpe pour les gaussiennes
Questions Comment caractériser toutes les bonnes mesures? Quelle représentation pour ces mesures (forme explicite) Quelles seront celles qui, en plus, vérifieront : la monotonie (par rapport à la dominance stochastique) l axiome d indépendance (pour une fonction d utilité)?
Quelles conditions pour la mesure, notée BN? BN(X) ne dépend que de la distribution de X Pour une famille d actifs indépendants : propriété d addivité : (Sharpe : Max Portef Sh 2 = Sh(X i ) 2 ) propriété d indépendance de l allocation optimale : (Sharpe : poids optimal pour l actif i = E(X i) V (X i ) propres) ne dépend que de ses caractéristiques propriété de régularité : 2 distributions voisines ont des BN voisins.
Résultat sur les gaussiennes Proposition : on suppose (A) :max λ BN( λ i X i )= BN(X i ) (B) :maxbn(αx + βy ) atteint en α = λ(x) etβ = λ(y ) où λ(z) nedépend que de la distribution de Z (sera noté λ Z ) (Rg) : BN(N (x, x)) borné sur un intervalle d intérieur non vide. Alors, pour X gaussienne, BN(X) =C ste Sh 2 (X) et poids optimal = C stee(x) V (X) (actifs indépendants) Ex : Sh 2 et les mesures de Stutzer-Hodges vérifient (A) (B) (Rg).
Idée de la preuve (A) (B) pour X, X 1,..., X n iid, on a Conséquence : BN(X 1 +... + X n )=nbn(x) x 0, r IQ +, BN(N (rx, rx)) = rbn(n (x, x)) Extension à r IR + grâce à (Rg). α IR, BN(αX) =maxbn(βαx +0)=BN(X) donc pour m, σ IR, β BN(N (m, σ 2 )) = BN( σ2 m N (m2 σ 2, m2 σ 2 )) = Sh2 (X)BN(N (1, 1))
Caractérisation : basée sur la transformée de Laplace Définition : H X (λ) = ln E(e λx ) (-LogLaplace) Domaine de H X : D X, intervalle contenant 0 Si D X {0}, la distribution de X est déterminée par H X, donc BN(X) peutêtre considéré comme une fonction de H X. H X est concave, analytique sur int(d X ). Intérêt: additivité Les distributions X et Y seront proches ssi H X et H Y proches : Famille de semi-normes sur C : pour K compact IR, p IN, et H, H C : H H K,p =max 0 k p max K k H k H
Résultat de représentation Th 1 : si BN vérifie (A) et (B), ie max BN(αX + βy )=BN(X)+BN(Y ) atteint en α = λ(x) etβ = λ(y ) et (R) : condition de Lipschitz au voisinage des gaussiennes Alors, il existe une application linéaire et continue J telle que BN(X) =max J (H λx) et max atteint en un unique point : λ X λ J =Note,BN =BestNote
Idée de la preuve (1) : dérivée de BN X infiniment divisible Z n N(2n, 2n) BN(Z n )=n et λ Zn =1. X = X 1 +... + X n iid, alors n 1 H X = H ξ1,etn 1 H Z n = H Z1 donc BN(H Z1 + n 1 H X)= n 1 BN(H Z n + H X ) Donc lim n + BN(H Z1 + 1 n H X) BN(H Z1 ) 1 n = lim n + [BN(Z n + X) n]. X quelconque : J (H X ) = lim [BN(Z n + X) n] n + candidat pour la dérivée au sens de Fréchet en Z 1, dans la direction de H X. On cherche une condition sur BN pour que J soit linéaire continue: c est (R).
Idée de la preuve (2) : BN =BestNote BN(Z n )=n et λ Zn = 1, donc BN(Z n + λ X X)=max α,β BN(αZ x + βx) =BN(Z n )+BN(X) donc J(λ X X) = lim [BN(Z n + λ X X) n] =BN(X), n + et pour tout λ IR, BN(Z n + λx) BN(Z n )+BN(X), donc J(λX) BN(X) alors BN(X) =max λ J(λX) =J(λ XX) (1)
Résultat sur J Déf: BN admissible si vérifie hypothèses du th1 + (F) : exclusion de v.a. centrée de BN arbitrairement grand, Th 2 : Si BN est admissible, J est une distribution d ordre 2 qui s écrit: J (H X )=E(X)+ 1 2 < Γ,H X > avec < Γ, 1 >= 1 et Γ mesure 0. Corollaire: E(X) =0 BN(X) =0 E(X) etλ X ont même signe (λ X éventuellement nul) Remarque : H X 0 donc < Γ,H X > est négatif et < Γ,H X > s interprète comme une mesure de risque (moyenne pondérée de variances d Esscher).
Propriétés de Γ Exemples: pour Γ = δ 0,onaJ(X) =E(X)+ 1 2 H X (0) et BN(X) =sup λ Stutzer: Γ(x) =2(1 x)1i [0,1]. [λe(x) λ2 2 V (X)], ie Sharpe ratio. Prop : BN est monotone (parmi les v.a. d espérance 0) par rapport à la dominance stochastique d ordre 1 ssi J (H X )=E(X)+ 1 2 < Γ,H X > avec < Γ, 1 >= 1 g = µ + + l avec µ + mesure positive de support IR + et l distribution de support {0}, d ordre 1. ( supp Γ IR + )
Relation de préférences associée à J Dans J, la partie mesure de risque vérifie les axiomes d une mesure cohérente sauf la positivité homogène. Axiome d indépendance
Exemple sur un ens d actifs Un future, gaussien, + call et put standards Portefeuille optimal : 1. Selon Sharpe: 2. Selon CARA: 3. Selon BN:
blabla Résumé
Travaux en cours Actifs corrélés CAPM Choix de Γ (selon activité)
... Hypothèse (R)