ANNEXE 3. QELQES FONCTIONS DE LA THEOIE D CONSOMMATE.... PESENTATION.... APPLICATION DANS LE CAS DE LA FONCTION D'TILITE COBB-DOGLAS... 7 3. L'EQATION DE SLTSKY... 9 3.. Comenston de Hcks... 0 3.. Comenston à l Slutsky... 3.3. L foncton d'utlté de tye Cobb-Dougls et l'équton de Slutsky... 3 4. LES ELASTICITES... 4 4.. L'élstcté revenu... 5 4.. L'élstcté r drecte... 7 4.3. L'élstcté r crosée... 8 4.4. L'équton de Slutsky en termes d'élstcté... 8 --
ANNEXE 3. QELQES FONCTIONS DE LA THEOIE D CONSOMMATE. PESENTATION Nous vons récédemment écrt le rogrmme du consommteur de l fçon suvnte : M... n s.c. N ce qu eut s'écrre lus smlement en osnt le vecteur des N bens et le vecteur des N r : M s. c. Ce rogrmme ermet d'obtenr les fonctons de demnde. On eut donc réécrre l foncton d'utlté. L foncton est elée foncton d'utlté ndrecte. Elle ndque le nveu mmum d'utlté que le consommteur eut ttendre étnt donnés les r des bens et son revenu. En d'utres termes : m s. c. On l'églté cr à l'otmum les demndes sont telles que le revenu est entèrement déensé sous l'hyothèse de non-stété. Les rorétés de cette foncton d'utlté ndrecte sont : --
- est non crossnte en c'est-à-dre que s ' lors '. De même est strctement crossnte en s l'hyothèse de non-stété est vérfée. - est qus-convee en - est homogène de degré 0 en et donné donnés Le er grhque ndque le nveu d'utlté ttent our un nveu de revenu donné en foncton du r des bens. --
Le nd grhque ndque l'utlté ttente our des r données en foncton du nveu de revenu. Ce nd grhque eut églement se lre de fçon nverse comme ndqunt le nveu de revenu nécessre our ttendre un nveu d'utlté donné étnt donné le r des bens. L foncton qu rele ns le revenu et l'utlté c'est-à-dre l'nverse de l foncton d'utlté ndrecte s'elle l foncton de déense et est notée E. De fçon équvlente l foncton de déense est donnée r le rogrmme suvnt : E mn s. c. En d'utres termes l foncton de déenses ndque le coût mnmum our ttendre un certn nveu d'utlté. Cette foncton est strctement équvlente à l foncton de coût du roducteur elle en ossède les rorétés : - Elle est strctement non décrossnte en - Elle est homogène de degré en s les r sont multlés r un certn fcteur t le revenu étnt r défnton constnt l déense est multlée r ce fcteur t - Elle est concve en s le r d'un ben ugmente les utres étnt constnt l déense dot nécessrement ugmenter ms à un tu décrossnt cr le consommteur v substtuer u ben dont le r ugmente les utres bens L résoluton du rogrmme de mnmston de l déense cdessus ermet de défnr des fonctons de demnde qu sont foncton des r et de l'utlté. Ces fonctons de demnde -3-
s'ellent les fonctons de demnde Hcksennes ou fonctons de demnde comensée cr elle fournt l demnde otmle à utlté donnée et sont notées h. Ces fonctons de demnde ne sont ben entendues s drectement observble usqu'elles déendent de l'utlté. Seules les fonctons de demnde ermée en foncton des r et du revenu sont observbles ce sont les fonctons de demnde ordnres que l'on résentée vnt. On les elle rfos les fonctons de demnde Mrshllennes. Etnt données ces dfférentes fonctons on eut résenter quelques denttés mortntes qu relent ces fonctons entre elles. - E : l déense mnmle our ttendre un nveu d'utlté est. - E : le nveu mmum d'utlté que l'on eut retrer d'une déense E est - h : l demnde Mrshllenne our un nveu de revenu est l même que l demnde Hcksenne our un nveu d'utlté - h E : l demnde Hcksenne corresondnt à un nveu d'utlté est l même que l demnde Mrshlenne corresondnt à une déense E. L dernère dentté est robblement l lus mortnte cr elle rele ensemble l demnde Hcksenne "nobservble" et l demnde Mrshlenne "observble". Cette dentté ndque que l demnde Hcksenne c'est-à-dre l soluton du rogrmme de mnmston de l déense est égle à l demnde Mrshlenne our un nveu roré de revenu lus récsément le nveu de revenu nécessre à r donnés our ttendre le nveu désré d'utlté. Cel sgnfe que n'morte -4-
-5- quel ner otml est uss ben l soluton du rogrmme de mmston de l'utlté que du rogrmme de mnmston de l déense c'est l théore de l dulté cf. rès. ne mlcton de ces denttés est l'dentté de oy qu est : qu ndque que l demnde otmle Mrshlenne d'un ben est égle u TMS entre le revenu du consommteur et le r de ce ben. Démonstrton : L foncton d'utlté ndrecte est donnée r : S on dfférence r rort à on obtent : N Comme est l foncton de demnde elle stsft les condtons du er ordre du rogrmme de mmston de l'utlté λ. On obtent donc N λ
-6- L foncton de demnde est églement telle que le revenu est entèrement déensé sot.. S on dfférence cette dentté r rort à on obtent : + N 0 S on remlce cel dns l'équton c-dessus on obtent : λ Mntennt s l'on reft rel ms en dfférencnt r rort u revenu on obtent our l dfférencton de l foncton d'utlté ndrecte : N λ et our l dfférencton de l contrnte budgétre : N Ces deu dernères reltons nous donne : λ résultt que nous vons déà vu qu est que le multlcteur de Lgrnge rerésente l'utlté mrgnle du revenu.
On donc λ et λ ce qu ermet donc ben de démontrer l'dentté de oy : Les dfférentes fonctons que l'on résenté dns cette secton sont ssus de l théore de l dulté. Deu systèmes sont dts duu s les concets utlsés dns chcun d'entre eu ermettent d'étblr une corresondnce entre leurs résultts resectfs. Les théorèmes de dulté dsent lors que s une rooston eut être rouvée dns l'un des systèmes et s l'on eut montrer qu'une rooston dns l'utre système est dule de celle-c lors l rooston dule est églement vérfée. Ans les rogrmmes M s.c. budgétre et Mn E s.c. d'utlté sont strctement équvlents. L'ntérêt est que certnes démonstrtons sont rfos beucou lus smles à fre dns un système lutôt que dns l'utre. Ans lutôt que d'nlyser le système ntl rml on eut référer construre son système dul et y effectuer les démonstrtons. C'est ce que nous llons fre lus bs dns le cdre des équtons de Slutsky.. APPLICATION DANS LE CAS DE LA FONCTION D'TILITE COBB-DOGLAS Sot l foncton d'utlté. Les fonctons de demnde Mrshlennes euvent être obtenues en résolvnt le rogrmme de mmston de l'utlté. -7-
-8- Les condtons du er ordre nous donnent : En remlçnt dns l contrnte budgétre on obtent : + + On obtent donc les fonctons de demnde Mrshlennes : S on remlce ces fonctons de demnde dns l foncton d'utlté on obtent l foncton d'utlté ndrecte : L résoluton du rogrmme de mnmston de l déense nous donne l foncton de déenses : s c Mn E +.. On eut réécrre ce rogrmme : Mn + L condton du er ordre est 0 On obtent donc les demndes Hcksennes :
-9- h h S on remlce ces fonctons de demnde dns l foncton à mnmser on obtent l foncton de déense : E + On eut églement retrouver l'dentté de oy. Celle-c ndque : Or s on dérve l foncton d'utlté ndrecte on obtent : On donc : + ce qu corresond ben à l'dentté de oy. 3. L'EQATION DE SLTSKY
L'équton de Slutsky ermet d'ndquer ce qu se sse our l demnde Mrshlenne de ben lorsque le r du ben vre le r du ben et le revenu étnt constnt. Elle décomose l'effet du chngement de r en effets l'effet substtuton et l'effet revenu. Comme nous l'vons vu grhquement l'effet revenu rovent du ft que l vrton du r du ben ndut une vrton du revenu réel ouvor d'cht du consommteur rovoqunt donc une évoluton de l demnde de bens. A cet effet revenu vent s'outer un effet de substtuton l'ugmentton du r reltf du ben condut le consommteur à substtuer du ben u ben. Pour dstnguer cet effet de substtuton de l'effet revenu on suose que l'on fournt u consommteur un revenu comenstore lu ermettnt sot de conserver son nveu d'utlté ntle comenston de Hcks sot de se rocurer son ner de ben ntl comenston de Slutsky. 3.. Comenston de Hcks Dns le cs de l comenston de Hcks l'effet de substtuton ou effet r comensé ser égle à l vrton de l demnde ndute r une vrton des r à utlté nchngée. L'effet de substtuton de Hcks est donc tout smlement h. On l'écrt rfos uss. L'effet revenu v être le rodut de l vrton du revenu nécessre our grder un nveu d'utlté constnt r l'nfluence de l vrton du revenu sur l demnde de ben. L'nfluence de l vrton du revenu sur l demnde de ben est mesurée r. Il reste donc à clculer l vrton de revenu nécessre our mntenr l'utlté constnte. Ce qu revent à se demnder quelle est l déense mnmum que le -0-
consommteur dot fre our conserver son utlté constnte lorsque le r du ben vre. Cette déense est donc mesurée E r. Ceendnt du ft des rorétés de l foncton E de déense on. Donc u totl l'effet revenu est. ffecté d'un sgne négtf usque l'ugmentton du r du ben condut à rédure l consommton du ben. Donc u fnl l'équton de Slutsky dns le cs d'une vrton comenstrce à l Hcks est : Effet totl effet substtuton + effet revenu h 3.. Comenston à l Slutsky Lorsqu'on fournt u consommteur une comenston à l Slutsky on lu fournt un revenu comenstore lu ermettnt de contnuer à se rocurer son ner ntl. Comme récédemment l'nfluence de l vrton du revenu sur l demnde de ben est mesurée r. Il reste donc à clculer l vrton de revenu nécessre our mntenr l ossblté de consommer le ner ntl. Il consommt ntlement de ben son revenu réel ouvor d'cht dmnue donc u tu de frnc d'ugmentton dns le r du ben sgnfe de mons à déenser. Donc u totl l'effet --
revenu est de comme vnt on multle le tu de vrton de l consommton du ben ndute r une vrton du revenu r le tu de vrton du revenu. L'effet de substtuton de Slutsky s'étude églement de l même fçon qu'vnt. Il est égle à l vrton de l demnde de ben ndute r une vrton du r du ben schnt que l'on lu fournt un revenu comenstore contnuer à se rocurer son ner ntl. On eut lors défnr une foncton de demnde de Slutsky s. L'effet de substtuton de Slutsky sert lors s égl à qu mesure l'effet de l vrton du r du ben sur l demnde de ben schnt que le consommteur eut touours se rocurer le ner de ben ntl. Donc u totl l'effet sur l demnde Mrshlenne du ben est : s Effet totl effet substtuton + effet revenu On donc équtons de Slutsky dfférentes. Ceendnt on eut montrer que our des vrtons nfntésmles des r les effets de substtuton sont dentques condusnt u même effet totl. On retent donc en générl l ère comenston à l Hcks. équton de Slutsky S le r du ben vre de d on lors : d d h d d --
-3-3.3. L foncton d'utlté de tye Cobb-Dougls et l'équton de Slutsky On eut retrouver l'équton de Slutsky dns le cs de l foncton d'utlté de tye Cobb-Dougls vec bens. Comme on l' vu récédemment on lors l foncton de demnde hcksenne our le ben qu est : h S on dérve r rort u r on obtent : h h On eut remlcer r l foncton d'utlté ndrecte cr cette foncton rerésente l'utlté mmum obtenue à l'otmum du consommteur : On obtent donc : h h
-4- Les fonctons de demnde mrshlenne our les bens et sont : S on dérve l foncton de demnde du ben r rort u revenu et u r on obtent : 0 On obtent donc : 0 h h ce qu corresond ben u équtons de Slutsky. 4. LES ELASTICITES Comme nous l'vons vu grhquement l vrton de l consommton d'un ben qu résulte de l vrton ou des r eut dfférer fortement selon les bens. Pour mesurer cette lus ou mons grnde sensblté de l demnde u revenu et u r on se réfère générlement à l noton d'élstcté.
4.. L'élstcté revenu On elle élstcté revenu de l demnde en ben le rort de l vrton reltve de l demnde de ben et de l vrton reltve du revenu sot : d d η qund l est évdent que l'on rle de d d demnde Mrshlenne l n'est s utle d'écrre l'ntégrlté de l foncton de demnde. Pour des ettes vrtons du revenu cette élstcté eut se clculer r les dérvées rtelles : η. Sot q le coeffcent budgétre du ben qu mesure l rt du revenu du consommteur conscrée à l'cht de ben. θ vec N θ θ On obtent donc : On donc : -5-
θ > 0 s > 0 cd s η > : l rt du revenu conscré à ce tye de ben ugmente vec le revenu ce sont des bens de lue losr culture trnsort etc. θ 0 s 0 cd s η : cel crctérse des bens dont le coeffcent budgétre ne vre s sensblement vec le revenu ce sont des bens normu. θ < 0 s < 0 cd s η < : le coeffcent budgétre de ces bens dmnue lorsque le revenu ugmente c'est le cs de l lurt des bens de ère nécessté que l'on elle générlement des bens rortres lmentton. Dns ce derner cs on eut vor uss les bens nféreurs our lesquels η < 0 c'est-à-dre dont l consommton dmnue lorsque le revenu ugmente. Ce sont les bens nféreurs comme certns bens lmentres omme de terre n. -6-
4.. L'élstcté r drecte On elle élstcté r drecte de l demnde en ben le rort de l vrton de l demnde de ben et de l vrton du r du ben sot our de ettes vrtons: ε d d Cette élstcté r drecte est générlement négtve suf dns le cs lus théorque que réel des bens Gffen. Pour récser l relton entre élstctés r drecte et sensblté de l demnde on note D l déense du consommteur en ben : D D On donc : + + + ε On obtent lors : D D > 0 < 0 s s ε > ε < On donc tyes de bens. Ceu dont l'élstcté r drecte est fble en vleur bsolue ε >. Pour ces bens l husse du r ne rédut que fblement l demnde de sorte que l déense ugmente. Les roduts lmentres et l'énerge font rte des bens dont l demnde est fblement élstque r rort u r. On d'utre rt les bens dont l demnde est -7-
fortement élstque u r ε <. ne husse des r condut lors à une forte réducton de l consommton. Ce sont r eemle de nombreu bens de losr ou de culture. 4.3. L'élstcté r crosée On elle élstcté r crosée de l demnde en ben r rort u r du ben le rort de l vrton reltve de l demnde de ben et de l vrton reltve du r du ben sot our de ettes vrtons: ε d d Lorsque cette élstcté est ostve cel sgnfe que les bens sont substtubles tnds que s elle est négtve les bens sont comlémentres. ne élstcté nulle sgnfe que les bens sont ndéendnts tro élognés our que l consommton de l'un nfluence celle de l'utre. Etnt donnés ces dfférentes élstctés on eut lors réécrre l'équton de Slutsky en termes d'élstcté. 4.4. L'équton de Slutsky en termes d'élstcté L'équton de Slutsky est : h -8-
S on multle cette équton r / on obtent : sot ε ε η. θ h h L'élstcté r crosée du ben élstcté r crosée comensée du ben.e. à utlté constnte élstcté revenu du ben * coeffcent budgétre du ben. -9-