TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE

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1 TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE Mre-Pscle Deléglse, Chrstn Hess, Sébsten Nouet To cte ths verson: Mre-Pscle Deléglse, Chrstn Hess, Sébsten Nouet. TARIFICATION, PROVISION- NEMENT ET PILOTAGE D UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE. Bulletn Frnçs d Acturt, Insttut des Actures, 2009, 9 (17), pp.70. <hlshs > HAL Id: hlshs Submtted on 19 Dec 2011 HAL s mult-dscplnry open ccess rchve for the depost nd dssemnton of scentfc reserch documents, whether they re publshed or not. The documents my come from techng nd reserch nsttutons n Frnce or brod, or from publc or prvte reserch centers. L rchve ouverte plurdscplnre HAL, est destnée u dépôt et à l dffuson de documents scentfques de nveu recherche, publés ou non, émnnt des étblssements d ensegnement et de recherche frnçs ou étrngers, des lbortores publcs ou prvés.

2 TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE 1 RÉSUMÉ Mre-Pscle DELÉGLISE 2 Chrstn HESS 34 Sébsten NOUET 5 À prtr des résultts de l'enquête ``Hndcp-Incpctés-Dépendnce" du Mnstère de l Snté et des scénros d'évoluton future de l dépendnce des personnes âgées, publés pr l DREES 6, on emne de mnère prospectve l trfcton, le provsonnement et l'équlbre des comptes reltfs à un portefeulle de contrts dépendnce. Les méthodes et les résultts présentés ont pour but d'der l'ssureur à ploter le portefeulle en foncton de l'évoluton de l'envronnement démogrphque et fnncer. SUMMARY: Bsed on the report ``Hndcp-Incpctés-Dépendnce" of the French ``Mnstère de l Snté" nd on the DREES scenros for the dsblty of elder persons, the rtng, the reservng nd the fnncl blnce reltve to such dsblty porfolo re emned n prospectve pproch. The methods nd the results m t helpng the nsurer to control the portfolo ccordng to the evoluton of the demogrphc nd fnncl envronment. MOTS-CLÉS : Assurnce dépendnce, ncdence, prévlence, tbles prospectves, provsons technques, bénéfces fnncers, lo de chute. 1. INTRODUCTION En Frnce et dns d'utres pys développés, pluseurs études lssent prévor un ccrossement du phénomène de dépendnce u cours des prochnes nnées. Cel 1 Ce trvl été morcé à CAPA Consel et bénéfcé du souten de l chre Rsques et Chnces de l Trnston Démogrphque de l Fondton du Rsque de Prs Duphne 2 CNP Assurnces 3 Unversté Prs Duphne, Centre de recherche Strtéges et Dynmques Fnncères (SDF), Mster d'acturt 4 Auteur correspondnt : Chrstn HESS - Déprtement MIDO, Mthémtques - Unversté Prs-Duphne, Plce du Mréchl de Lttre de Tssgny PARIS CEDEX 16 - Chrstn.Hess@duphne.fr 5 Unversté Prs Duphne, CREA-SDF et Centre de l Recherche de l EMLV 6 Drecton de l Recherche, des Études, de l'évluton et des Sttstques (Sécurté Socle) BULLETIN FRANÇAIS D ACTUARIAT, Vol. 9, n 17, nver un 2009, pp

3 TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D'UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE 71 s'eplque pr le vellssement de l populton qu lu-même est dû à deu cuses prncples : les progrès de l'hygène et de l médecne qu ont perms l'llongement de l'espérnce de ve l forte ntlté sur l pérode , communément dénommée ``bby-boom", suve pr une pérode de ntlté fble, entrner l'ccrossement du nombre de personnes âgées dns l populton quelques décennes plus trd. L'enquête ``Hndcps-Incpctés-Dépendnce" (HID), menée en Frnce dns les nnées 1990, montré que l'effectf de l populton des personnes dépendntes llt connître une ugmentton sgnfctve. Ce phénomène soulève l queston de l'ssurblté du rsque dépendnce et donc de l vblté des produts dépendnce proposés en Frnce pr les ssureurs. Autrement dt, l'éventulté d'un ccrossement du phénomène de dépendnce représente-t-elle pour l'ssureur une opportunté ou, u contrre, représentet-elle pour lu un rsque dffcle à ppréhender, vore non ssurble? Fce à cette queston, l trfcton et le provsonnement de ce rsque devront être emnés d'une mnère prospectve. De plus, fn d'vor une mge précse de l'équlbre des comptes de l'ssureur, d'utres éléments devront être prs en compte tels que les bénéfces fnncers et les bndons de contrt (chutes), ssez fréquents pour ce type de rsque, ces deu éléments contrbunt à corrger un déséqulbre éventuel. Le suet de l dépendnce déà été bordé dns pluseurs rtcles ou mémores. Nous en ctons quelques uns dns l bblogrphe, sns toutefos prétendre à l'ehustvté. Notre trvl tros obectfs prncpu. Le premer est de montrer comment, à prtr de sttstques ntonles qu fournssent les tu de prévlence, on peut évluer le rsque de dépendnce dns l populton frnçse. Le deuème est d'étuder l'évoluton future des coûts de l dépendnce en nous bsnt sur les scénros prospectfs envsgés pr l DREES. Cel nous condut, en trosème leu, à proposer une pproche pour le plotge de portefeulles de rsques dépendnce. Dns un souc de smplfcton, nous vons lmté le chmp de l'étude à l dépendnce totle et permnente. Pr lleurs, nous vons chos d'eplcter de mnère ssez précse les rguments cturels et sttstques pour évter que l'rtcle ne pusse être lu que pr des eperts de l dépendnce. L'rtcle est orgnsé de l mnère suvnte. Après vor stué le problème de l dépendnce des personnes âgées dns le contete démogrphque ctuel, on eplque les

4 72 M.-P. DELEGLISE C. HESS S. NOUET rsons du cho de l'pproche forftre, doptée dns ce trvl. On ntrodut uss les grndeurs cturelles du modèle, spéclement l prévlence, l'ncdence et le tu de mortlté des dépendnts. On montre comment estmer smplement les tu de prévlence dns l populton frnçse pour l'nnée 2000, cec à prtr de l'enquête HID. Un ustement en foncton de l'âge est uss proposé. Les deu epressons permettnt le clcul de l prme d'ssurnce dépendnce sont lors rppelées et dscutées en lson vec une relton entre l'ncdence et l prévlence. L'étude prospectve est ensute bordée en référence à des scénros d'évoluton de l dépendnce, consdérés dns l'enquête HID. On complète ces scénros pr des hypothèses sur l'évoluton des tu d'ntérêt. Dns ce cdre élrg, on emne sur un eemple type comment sont susceptbles de vrer les trfs et les provsons technques de l'ssureur. Cel est complété pr l'étude du rôle des bénéfces fnncers et des bndons de contrts. 2. DÉFINITION DE LA DÉPENDANCE Pour décrre les conséquences du vellssement chez les personnes âgées ou des mldes dégénértves de l'âge dulte, l este pluseurs termes qu recouvrent des réltés dfférentes. On prle en effet de dépendnce, d'nvldté, d'ncpcté, de hndcp, de perte d'utonome, de défcence, etc. C'est l défnton des professonnels de l snté que nous retendrons : ``Sont dépendntes les personnes dultes qu dépendent d'une utre pour les ctes de l ve quotdenne, que ce sot les ctes élémentres de l ve cournte (s'hbller, fre s tolette, s'lmenter, se déplcer) ou les tâches domestques (fre ses courses, préprer des reps, prendre ses médcments)". Dns ce trvl, nous nous lmterons u cs de l dépendnce permnente et totle des personnes âgées de 55 ns u mons et c'est dns ce sens que nous emploerons le terme de dépendnce. L dépendnce peut être permnente ou temporre. L dépendnce permnente concerne les personnes dultes qu dépendent d'une utre, de mnère défntve, pour les ctes de l ve quotdenne. L dépendnce permnente peut-être à son tour segmentée en deu ctégores : l dépendnce totle et l dépendnce prtelle. 2.1 L grlle AGGIR Plus précsément, les personnes dépendntes sont clssées à l'ntéreur de l grlle Autonome Gérontologe-Groupes Iso-Ressources (AGGIR). Cette grlle consttue uourd'hu l'outl offcel d'évluton de l dépendnce en Frnce. Elle se décompose en cnq ctégores GIR 1 à GIR 5. Les nveu GIR 1 et 2 représentent l dépendnce totle,

5 TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D'UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE 73 tnds que les nveu GIR 3, 4, et 5 crctérsent l dépendnce prtelle. L dépendnce totle est uss ppelée ``lourde". Comme ndqué précédemment on s'ntéresse essentellement à l dépendnce totle, c'est à dre à celle codfée pr les nveu GIR 1 et 2. En Frnce, ce rsque est couvert pr les ssureurs et prend surtout en chrge ce qu'l est convenu d'ppeler le ``nursng". Les frs médcu qunt à eu sont générlement prs en chrge pr l Sécurté Socle et les complémentres Snté. 3. LE CONTEXTE DÉMOGRAPHIQUE Les chffres donnés c-dessous permettent de prendre l mesure de l'llongement de l'espérnce de ve, de l'ccrossement de l populton des senors et de l'mpct de ce vellssemnt sur le phénomène de dépendnce. On st uourd'hu que l'espérnce de ve s'ccroît de 3 mos chque nnée. En 1998 pr eemple, cette évoluton se trdust pr un gn de 1,9 ns pr rpport à 1990 pour les hommes et de 1,3 ns pour les femmes (cf. tbleu c-dessous). Année Hommes 67,8 69,8 72,3 72,7 73,9 74,6 Femmes 75,2 77,9 80,5 80,9 81,9 82,2 Tu de mortlté 1,10% 1,02% 0,93% 0,93% 0,91% 0,92% Tbleu 1 - Évoluton de l'espérnce de ve de 1968 à 1998 (en nnées) 1 Des proectons de l pyrmde des âges permettent d'estmer l'évoluton de l'espérnce de ve en 2025 à 81,2 ns pour les hommes et 87,4 ns pour les femmes, sot un gn de durée de ve d'envron 6 ns pr rpport à L'ugmentton de l proporton des senors églement été soulgnée. Au 1er nver 1998, l populton totle de l Frnce métropoltne étt estmée à 58,7 mllons d'hbtnts, dont 11,9 mllons de personnes âgées de 60 ns ou plus, dont 4 mllons d'u mons 75 ns. Les personnes âgées de 60 ns ou plus, représentent donc déà plus de 20% de l populton frnçse. S l'on s'en tent u prévsons de l'insee, l proporton des plus de 60 ns dépsser 25% en D'c à 2025, le nombre de senors frnçs devrt 1 Source : INSEE Bln démogrphque 98, Févrer INED Populton et Socété, Mrs 99

6 74 M.-P. DELEGLISE C. HESS S. NOUET croître de fçon consdérble (+48%) pour ttendre près de 14,5 mllons de personnes. Qunt u nombre de senors les plus âgés (plus de 80 ns), l fer plus que trpler pr rpport à l'n 2000 en pssnt de 2,1 mllons à près de 7 mllons en L Frnce comptt centenres en 2001, et en compter plus de en Qunt à l populton dépendnte, pluseurs évlutons ont été données pr l'enquête HID déà ctée. Pr des technques de sondge, l'effectf de cette populton été évlué en 2000 à envron personnes. De cette enquête, on pu uss dédure des proectons sur l'évoluton future de l populton dépendnte. En prtculer, on pu prévor un ccrossement de l dépendnce en Frnce, spéclement u sens de l dépendnce lourde (GIR 1 et 2). Pluseurs scénros que nous décrrons plus lon ont été envsgés. Selon certns de ces scénros, dts dynmques, le nombre des personnes dépendntes ttendrt , vore , en Il connîtrt une ugmentton comprse entre 30% et 80% envron. Selon un utre scénro, dt sttque, l populton dépendnte ttendrt même en APPROCHE INDEMNITAIRE ET APPROCHE FORFAITAIRE Afn de détermner le montnt de l prme d'un contrt dépendnce, les deu composntes de l snstrlté, fréquence (ou nombre) et coût, dovent être estmées. Le rsque dépendnce étnt un rsque long, l'ssureur dot être en mesure, non seulement d'estmer ces deu composntes à une époque donnée, ms uss d'en prévor l'évoluton future. À défut, l'ssurblté du rsque dépendnce pourrt poser problème. En ce qu concerne le coût de snstre, beucoup d'ssureurs ont contourné l dffculté de prévson en proposnt des contrts dont l grnte en cs de snstre est forftre plutôt qu'ndemntre. En effet, dns le cdre de l grnte ndemntre l'ssureur dot rembourser à l'ssuré le montnt totl des dépenses occsonnées pr le snstre, utrement dt pr l'entrée en dépendnce et ses conséquences. S l grnte prévue u contrt est forftre, l'ssureur ne verser à l'ssuré qu'une rente vgère de montnt fé à l'vnce, cec à prtr de l'entrée en dépendnce, quel que sot le montnt des dépenses occsonnées pr le snstre. Le seul lé subsstnt lors pour l'ssureur résde dns l durée de versement de cette nnuté. Dns ce trvl nous nous bornerons à emner le cs de l'pproche forftre. Nous verrons que l composnte ``fréquence des snstres" peut être convenblement estmée. Qunt à son évoluton future pluseurs scénros seront envsgés, ce qu nous

7 TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D'UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE 75 mèner à emner les rsques de sous-trfcton et de sous-provsonnement pour un groupe de contrts dépendnce. On rsonner pr rpport à un produt d'ssurnce dépendnce très répndu, à svor l rente vgère à prtr de l dte d'entrée en dépendnce s cette dernère survent. Nous nous bserons sur les dfférents scénros médco-socu du Mnstère de l Snté. Comme on l' déà ndqué, nous nous lmterons u cs de l dépendnce totle ou lourde, segment de l dépendnce l plus grve et essentellement couvert en Frnce pr le secteur de l'ssurnce. 5. LA PRÉVALENCE, L'INCIDENCE ET LA MORTALITÉ DES DÉPENDANTS Dns l'étude sttstque de l dépendnce, deu ndcteurs sont utlsés : l prévlence et l'ncdence. Pour un âge donné, l prévlence est défne comme l proporton des personnes dépendntes dns une certne populton et l'ncdence, comme l probblté de devenr dépendnt. Pr conséquent, l prévlence représente un stoc de personnes dépendntes à un âge ou pour un ntervlle d'âges donné, tnds que l'ncdence représente un flu entre deu âges consécutfs. D'près l'enquête HID, on estme à 10% de l populton générle l prévlence à 80 ns pour l dépendnce des nveu GIR 1 à 4. L prévlence pour le rsque de dépendnce totle (GIR 1 et 2) est estmée à 4% u même âge. Qunt à l'ncdence à l'âge de 80 ns, elle est de l'ordre de 2,1% pour l dépendnce totle. L'ncdence et l prévlence sont lées pr une relton qu ser donnée plus lon et qu met en eu l lo de mortlté générle et celle des dépendnts. Ces los ntervendront dns l trfcton et le provsonnement du rsque dépendnce. Toutefos, d'utres éléments devront être utlsés. En ce qu concerne l mortlté, nous utlserons les tbles de l'ined de 2000, 2010, 2020, 2030 et Le tu d'ntérêt technque ser églement nécessre pour détermner l prme et les provsons technques. Le tu de rendement des produts fnncers, notmment le tu d'ntérêt du mrché oblgtre, ntervendr qunt à lu pour évluer l vblté du contrt dépendnce, ns que s rentblté. L'ncdence et l prévlence, de même que les los de mortlté et le tu d'ntérêt technque, sont susceptbles d'évoluer u cours du temps, ce qu v modfer l'enggement de l'ssureur vs-à-vs de l'ssuré, ns que l'enggement de l'ssuré vs-à-vs de l'ssureur. En ce qu concerne l'ctf, l'évoluton des tu d'ntérêt sur le mrché oblgtre, comme celle des utres plcements, nfluer sur les bénéfces fnncers.

8 76 M.-P. DELEGLISE C. HESS S. NOUET 5.1 Les fonctons cturelles du modèle Le produt d'ssurnce consdéré c s'dresse u personnes non dépendntes et l grnte consste dns versement d'une rente vgère en cs d'entrée en dépendnce. Il n'y ps de composnte d'éprgne. En contreprte, l'ssuré s'engge à verser une cotston nnuelle à l'ssureur, tnt qu'l est vvnt et vlde. L'ssureur mutulse les rsques u nveu de son portefeulle. Tous les ssurés ne devendront ps dépendnts u cours de leur ve, cr l pluprt d'entre eu décèderont sns être devenus dépendnts. Les contrts seront supposés souscrts en début d'nnée pr des ssurés dont l'nnversre tombe le 1 er nver et l dte de souscrpton ser prse pour orgne du temps. Les nottons suvntes, conformes à l notton cturelle nterntonle, seront utlsées. p = probblté pour l'ndvdu, d'âge à une époque prse pour orgne (époque 0), de vvre usqu'à l'époque, utrement dt usqu'à l'âge sns devenr dépendnt, ( comme ctf, synonyme de non dépendnt). q = probblté pour l'ndvdu vlde, d'âge à l'époque 0, de décéder vnt l'époque sns trnster pr un étt de dépendnce. = p probblté de surve usqu'à l'époque pour un ndvdu d'âge déà dépendnt à l'époque 0 ( comme nvlde, synonyme de dépendnt). = q probblté de décès vnt l'époque pour un ndvdu d'âge déà dépendnt à l'époque 0. = p probblté de surve usqu'à l'époque pour un ndvdu d'âge en début d'nnée, ssu de l populton générle, qu'l sot nvlde ou non. = q probblté de décès vnt l'époque pour un ndvdu d'âge, ssu de l populton générle, qu'l sot nvlde ou non à l'époque 0. Lorsque = 1, on omet l'ndce de guche, conformément à l notton cturelle nterntonle. = tu d'ncdence à l'âge ; l est égl à l probblté pour un ndvdu d'âge en début d'nnée de devenr dépendnt dns l'nnée et d'être vvnt en fn d'nnée. Ans, le décès d'un ndvdu entré en dépendnce u cours d'une nnée donnée ne peut se produre u plus tôt que l'nnée suvnte. = tu de prévlence à l'âge. C'est l proporton des personnes dépendntes dns l populton générle. Au stde où nous en sommes, cette défnton est suffsnte,

9 TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D'UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE 77 ms nous serons menés à l précser à l secton 6. On suppose églement qu'une personne dépendnte ne peut redevenr vlde, ce qu est conforme à l'observton, dns le cs l dépendnce totle à lquelle nous restregnons notre ttenton svor : Pour un ndvdu vvnt et vlde à l'âge, l y tros étts possbles à l'âge 1, à être vvnt et vlde vec probblté p, être décédé (sns être devenu dépendnt) vec probblté q, être devenu dépendnt vec probblté (on suppose donc qu'l ser encore vvnt et dépendnt en fn d'nnée). Pour un ndvdu dépendnt vvnt à l'âge deu cs sont possbles à l'âge 1 : être vvnt (et dépendnt) vec probblté p, être décédé vec probblté q. Les nottons suvntes sont églement utles : l = nombre moyen de personnes (dépendntes ou non) vvntes à l'âge, l = nombre moyen de survvnts vldes à l'âge, l = nombre moyen de survvnts dépendnts à l'âge, Pr eemple, l prévlence à l'âge peut s'écrre l = l Les tu d'ncdence et de prévlence ntervendront drectement dns l'étude de l trfcton des produts d'ssurnce dépendnce, notmment pour évluer le coût de l rente vgère dfférée. Compte tenu des hypothèses ftes, les qunttés ntrodutes précédemment sont lées pr les reltons c-près p q = 1 et p q = 1 Nous verrons à l secton 6 que d'utres reltons estent entre l'ncdence et prévlence (formules (2) et (3)). 5.2 Modélston du tu de mortlté des dépendnts Le tu de mortlté des dépendnts est générlement supéreur à celu de l populton générle. Nous utlsons l formule étble pr l SCOR en 1995 (vor [1]). Pour

10 78 M.-P. DELEGLISE C. HESS S. NOUET chque âge, ce tu s'eprme comme une foncton ffne du tu de mortlté générle, sot q = q (1) Dns cette églté, les q sont ceu de l tble TD Le coeffcent trdut une surmortlté multplctve lée à l'étt de dépendnce. Qunt à, c'est un coeffcent de surmortlté ddtve. On peut le vor comme trdusnt l surmortlté lée à l'étt de dépendnce de l personne, ms non à son âge. Les coeffcents et ont été supposés ndépendnts de l'âge et leur estmton condut à = 2 et = 0,035. Dns l'étude prospectve que nous llons effectuer, nous supposerons pour smplfer que l même formule s'pplque, vec les mêmes vleurs des prmètres, pour tous les scénros envsgés et nous nous bserons, comme cel été ft à l SCOR, sur les tbles TD À l secton 7.5 nous emnerons brèvement l'nfluence d'éventuelles vrtons des q sur le montnt de l prme d'ssurnce dépendnce. Comprson vec une lo de mortlté plus récente L lo SCOR est ssez ncenne. Les los de mortlté pour les dépendnts font mntennt ntervenr deu vrbles : l'âge et l'ncenneté en dépendnce. On peut cter pr eemple l lo de mnten donnée pr l FFSA [6] qu, en outre, dstngue l populton msculne et l populton fémnne. Nous vons utlsé chcune de ces deu tbles fn de clculer l vleur ctuelle probble des rentes de dépendnce. Il s'vère que, pour les âges nféreurs à 91 ns pour les femmes et à 96 ns pour les hommes, l'nnuté clculée pr l lo SCOR est nettement supéreure à l lo FFSA. Cel est llustré pr le tbleu suvnt : hommes femmes âge nnuté FFSA nnuté SCOR nnuté FFSA nnuté SCOR 60 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,98560 Tbleu 2 - Vleur ctuelle probble de l rente de dépendnce (pour une unté de rente) (tu d'ntérêt technque 2,50%)

11 TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D'UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE 79 L lo de mortlté de l SCOR pprît donc comme plus prudente que celle de l FFSA, d'utnt plus que les contrts dépendnce sont rrement souscrts u-delà de 70 ou 75 ns. Dns l sute de ce trvl, nous utlserons l lo SCOR. 5.3 Estmton et ustements des tu de prévlence pour l'nnée 2000 Le tu de prévlence pour chque âge est estmé à prtr de l'enquête HID du Mnstère de l Snté. Comme ndqué précédemment, elle est bsée sur un recensement de l populton dépendnte effectué pr l'insee en 1999 prm les personnes âgées de 60 ns et plus. Les résultts sont présentés dns le tbleu c-près, qu réprtt les effectfs pr clsse d'âges décennle à l'ntéreur de chque nveu GIR. GIR 60 à 69 ns 70 à 79 ns 80 à 89 ns 90 ns et plus Totl 1 ou Totl Tbleu 3 - Réprtton des personnes âgées de 60 ns et plus dns l grlle AGGIR 1 L'effectf de l populton des 60 ns et plus de l'nnée 2000 est évlué pr l'insee à personnes, sot une dfférence reltve pr rpport à l'enquête HID de 1999 (sot ) nféreure à 0,1%. Des rsons d'homogénété condusent, pour obtenr le quotent de l populton dépendnte, à utlser les chffres fourns pr l'insee. En effet, dns ce qu sut, le clcul de l moyenne de chcune des clsses d'âges s'ppue sur l réprtton âge pr âge fourne pr l'insee, ms bsente dns l'enquête HID. L proporton des personnes dépendntes de 0,70% de l clsse des 60 à 69 ns est resttuée pr le rto entre et En effectunt l même démrche pour les tros utres clsses d'âges, on obtent les estmtons suvntes : 1,71% pour l ctégore des ns, 7,35% pour l ctégore des ns, 20,83% pour l ctégore des plus de 90 ns. 1 Sources : INSEE, enquêtes HID 1998 et 1999.

12 80 M.-P. DELEGLISE C. HESS S. NOUET Afn d'évluer les tu de prévlence pour chque âge enter, on procède à un ustement pour les âges de 60 à 99 ns. Pour cel, on suppose que chcun des qutre tu de prévlence décennu représente l prévlence de l moyenne spécfque à chcune des clsses d'âges décennles. L moyenne reltve à une clsse d'âge décennle est pr défnton l'âge moyen des ndvdus de cette clsse. Pr eemple, pour l ctégore des ns, l'âge moyen est de 64,5 nnées. Il ne s'gt ps du centre de l clsse, cr dns le clcul de l moyenne, les âges sont pondérés pr les effectfs. Ans, pour l ctégore des 90 ns et plus, l moyenne de cette clsse est de 92,67 ns. On clcule donc l moyenne pondérée de chque clsse, à lquelle on ssoce le pourcentge de dépendnts clculé pour l clsse d'âges décennle ssocée. On obtent lors le tbleu c-près Clsse d'âges Age moyen Tu de prévlence décennle ns 64,50 ns 0,70% ns 74,27 ns 1,71% ns 84,20 ns 7,35% 90 ns et plus 92,67 ns 20,83% Tbleu 4 - Tu de prévlence en foncton de l'âge L représentton dns un pln des qutre ponts : A(64,50;0,70%) ; B(74, 27;1,71%) ; C(84, 20;7,35%) ; D (92,67;20,83%), montre que ceu-c ne sont ps lgnés. On consdère mntennt en ordonnée le logrthme des tu de prévlence. Cette fos l représentton des qutre ponts A(64,50 ; ln(0,70%)) ; B(74, 27;ln(1,71%)) ; C(84,20;ln(7,35%)) et D(92,67;ln(20,83%)), ft pprître qu'ls sont sensblement lgnés. Fgure 1

13 TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D'UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE 81 On détermne les estmteurs â et ˆb, de et b respectvement, pr l méthode des mondres crrés sur le modèle ln( y) = b sous les hypothèses hbtuelles. On obtent ˆ = 0,12314 et b ˆ = 13,019. De mnère équvlente cette équton peut s'écrre y = Bep( ) 6 vec B ˆ = ep( b ˆ ) = 2, Le coeffcent de corrélton lnére 2 R est supéreur à 0,99. On retendr donc ce modèle pour estmer les tu de prévlence en 2000 entre les âges moyens du tbleu c-dessus. L vldton de ce résultt obtenu sur bses INSEE et HID est confrmée en vérfnt que le modèle pprome ben l populton dépendnte recensée pr l'enquête HID. Notre tu de prévlence prévoyt un nombre de dépendnts pour l'n 2000 lors que l'enquête HID en recense Le modèle fournt donc un résultt correct vec une erreur d'envron 5,5%, écrt reltf fble compte tenu des lés sur les mesures. 6. PRIME D'UN CONTRAT DÉPENDANCE ET VARIABILITÉ DES RÉSULTATS On commence pr étblr des égltés mportntes qu relent ncdence et prévlence, pus on ndque les formules de clcul des prmes, ns que l vrnce du résultt d'un contrt dépendnce. 6.1 Reltons entre ncdence et prévlence Le résultt suvnt montre que l'ncdence peut s'eprmer en foncton de l prévlence, du tu de surve dns l populton générle et du tu de surve des dépendnts. Proposton 6.1 Sous les hypothèses précédentes on l'églté 1 p p = 1 Démonstrton. L'ncdence à l'âge est le quotent de l dfférence entre les nombres de dépendnts à l'âge 1 et l'âge pr le nombre de non dépendnts à l'âge, sot l 1 = (1 ) l l p (2)

14 82 M.-P. DELEGLISE C. HESS S. NOUET d'où, en dvsnt numérteur et dénomnteur pr l, l l l l l l = ce qu donne ben l formule nnoncée. C.Q.F.D. Remrque 6.1 D'utres conventons sont possbles pour défnr l prévlence et l'ncdence, ce qu condut à des vrntes de l formule (2). Pr eemple, l este une vrnte de cette formule dns lquelle le fcteur (1 0,5 ) pprît u dénomnteur, ce qu correspond à l'hypothèse d'entrée en dépendnce en mleu d'nnée. Toutefos, cel ne modfe ps sensblement les résultts numérques. Inversement, l est possble de clculer l prévlence à prtr de l'ncdence. Étnt donné que le tu de prévlence correspond à un stoc lmenté pr le flu des entrées en dépendnce, on dot u prélble fer un âge ntl 0 à prtr duquel on commence à compter les dépendnts. Cel condut à ntrodure pour l prévlence l notton plus précse ( 0) qu mentonne eplctement 0. Dns ces condtons, l'églté suvnte est vérfée 1 l p p p ( 0 ) = y y y y = 0 y y y l y= 0 y= 0 0 y 0 p q (3) Dns l'epresson précédente, on ft l somme de toutes les personnes entrées en et, et qu sont encore en ve à l'âge. dépendnce à un âge y comprs entre 0 Remrque 6.2 () S l'âge ntl de décompte 0 est remplcé pr 1, vec 1 > 0, lors l prévlence à un âge > 1 est modfée et l'on de mnère précse ( 0 ) ( 1) = y y y y l y= 0 0 l p (4) On vot en prtculer que ( 0 ) > ( 1) quel que sot > 1. () Des études récentes ont étbl que l mortlté des dépendnts est nfluencée, non seulement pr l'âge, ms uss pr l'ncenneté dns l'étt de dépendnce. Cel perms l constructon de tbles de mortlté des dépendnts foncton de ces deu grndeurs ou, ce qu est équvlent, l'élborton de los de mnten. Ctons pr eemple les Chers Technques de l FFSA [6]. Une pplcton numérque permettnt de comprer l lo de mnten l FFSA et celle de l SCOR été trtée à l secton 5.2.

15 TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D'UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE 83 () S l'âge ntl 0 de décompte des dépendnts est de l'ordre de 55 ns, lors le nombre de dépendnts d'âge nféreur à 0 ser néglgeble devnt l'effectf totl de l populton dépendnte. 6.2 Les deu epressons de l prme pure unque Comme on l' déà ndqué, l'ssureur s'engge à verser une rente vgère à l'ssuré en cs d'entrée en dépendnce. Le montnt de l rente est chos pr l'ssuré à l sgnture du contrt. En contreprte, l'ssuré s'engge, tnt qu'l est vvnt et vlde, à pyer une prme nnuelle dont le montnt ntl est foncton du nveu de l rente chose et de l'âge à l souscrpton. Sot ( ) une tête d'âge, vvnte et vlde à l'époque de l sgnture du contrt, prse comme orgne. On note X = ndcteur de surve de ( ) Y = ndcteur de dépendnce de ( ) On les équvlences X ( ) = 1 ( ) est vvnt à lépoque Y ( ) = 1 ( ) est dépendnt à lépoque Les vrbles létores X ( ) et Y ( ) ne sont ps ndépendntes : l est nécessre d'être vvnt pour être dépendnt. L vleur ctuelle des enggements de l'ssureur est donnée pr où W = X ( ) Y( ) v (5) =0 1 v = 1 est le fcteur d'ctulston correspondnt u tu technque et où est l'âge lmte de l tble de mortlté utlsée. Cette vleur ctuelle est une vrble létore dont on peut clculer les moments. L'espérnce mthémtque ou vleur ctuelle probble (vp) est l prme pure unque donnée pr = E( W ) = E( X ( ) Y ( )) v =0 Nous vons E( X ( ) Y ( )) = P( X ( ) = 1 et Y ( ) = 1) = P( X ( ) = 1) P( Y ( ) = 1/ X ( ) = 1) sot fnlement

16 84 M.-P. DELEGLISE C. HESS S. NOUET E( X ( ) Y ( )) = p ( ) (6) où ( ) est le tu de prévlence à l'âge, reltvement à une populton d'ndvdus vvnts et vldes à l'âge. Il en résulte que = p ( ) v (7) 0 Remrque 6.3 L'epresson de l prme pure unque donnée pr (7) utlse les tu de prévlence ( ) ce qu correspond ben u rsque prs en chrge pr l'ssureur. Il est clr en effet que s une personne âgée de 70 ns souhte souscrre un contrt dépendnce, le tu de prévlence qu ntéresse l'ssureur pour le clcul de l prme est celu reltf à l populton des plus de 70 ns. Le nombre de dépendnts qu sont entrés en dépendnce vnt 70 ns ne devr ps ntervenr dns ce cs. Cel soulève une dffculté, cr les tu ( ), pour 0 ne sont générlement ps connus et l'ssureur ser condut à utlser les tu ( 0 ) reltfs à une populton d'âge u mons égl à <. 0 D'près l remrque 6.2 (), nous svons que ( ) > ( ) 0 quel que sot l'enter 0, ce qu entrîne que l prme pure clculée à prtr des tu de prévlence ( 0 ) ser plus grnde que. Comme ndqué dns [16] et [18], le bs ns ntrodut ne ser ps trop mportnt s l'âge reste nféreur à 75 ns, cr le nombre d'entrées en dépendnce vnt 75 ns est fble. Pr contre, s étt supéreur à 75 ns, l prme pourrt être modfée. Nous revendrons sur ce pont à l secton 7.5. Une utre epresson de l prme pure unque peut être donnée. Dns [16] et [18] (où l formule (7) vt déà été donnée), l est étbl que l prme pure unque peut uss s'eprmer en foncton de l'ncdence, de l lo de mortlté des vldes et de celle des dépendnts. Plus précsément, les uteurs étblssent l formule = p v =0 (8) qu peut s'nterpréter de l mnère suvnte : s un ctf, d'âge ( ) à l sgnture du contrt, est vvnt et ctf à l'époque (vec probblté p ) et devent dépendnt (vec probblté ), lors l'ssureur lu verser une nnuté ve entère dont l vp à l'époque est. Qunt à l prme pure nnuelle, notée P, on suppose qu'elle est constnte et pyble tnt que ( ) est vvnt et non dépendnt (ou ctf). Elle s'écrt

17 TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D'UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE 85 P = où est l vleur ctuelle probble d'une nnuté, de montnt unté, pyble d'vnce tnt que ( ) est vvnt et vlde. Elle est donnée pr l formule = p v =0 Dns cette epresson et les précédentes, p représente l probblté pour que ( ) sot vvnt et non dépendnt à l'âge schnt qu'l étt dns cet étt à l'âge. Dns les clculs numérques, nous vons utlsé l formule (7) pour le clcul de. Un frctonnement églement été ntrodut en supposnt que l'nnuté (rente d'nvldté) est pyée à l fn de chque mos. Pour l'nnuté non frctonnée, nous vons m1 = m=0m p v L'nnuté mensuelle s'en dédut en outnt 11/ Vrnce ssocée à un contrt dépendnce Pour un contrt donné, l vp des dépenses de l'ssureur, sot E( W ), été clculée précédemment. Elle représente l'espérnce mthémtque ctulsée des pement qu seront effectués pr l'ssureur pour ce contrt. On peut uss clculer l vrnce V ( W ) de cet échéncer. En revennt à (5) et en utlsnt l formule de l vrnce d'une somme de vrbles létores, on obtent 0 m1 =0 m1 2 m V ( W ) = V ( X ( ) Y ( )) v cov( X ( ) Y ( ), X ( m) Y ( m)) v (9) (les sommtons sont évdemment lmtées à ). L relton (6) entrîne que, pour tout enter 0 l vrble létore X ( ) Y ( ) sut l lo de Bernoull de prmètre P( X ( ) = 1 et Y ( ) = 1) = p ce qu mplque V ( X ( ) Y ( )) = p (1 p ) (10) Qunt u clcul des covrnces nous vons, quels que soent les enters et m vérfnt < m, E( X ( ) Y ( ) X ( m) Y ( m)) = P( X ( ) Y ( ) = 1 et X ( m) Y ( m ) = 1)

18 86 M.-P. DELEGLISE C. HESS S. NOUET = P( X ( m) Y ( m) = 1/ X ( ) Y ( ) = 1) P( X ( ) Y ( ) = 1) Or, s X ( ) Y ( ) = 1 c'est que ( ) est vvnt et nvlde à l'époque. Pr conséquent, l ser encore nvlde à l'époque m s'l est vvnt, ce qu se produr vec probblté p. On en dédut et m E( X ( ) Y ( ) X ( m) Y ( m)) = p p m cov( X ( ) Y ( ), X ( m) Y ( m)) = p ( p p ) m m m On obtent l'epresson de V ( W ) en revennt à (9), sot m1 2 m m m m 0 m1 =0 (11) V ( W ) = p (1 p ) v p ( p p ) v Pour un ssuré de 55 ns souscrvnt un contrt dépendnce u début de l'nnée 2000 pour une rente dépendnce de montnt unté, on obtent E( W ) = 0,367, V ( W ) = 1,969 et ( W ) = 1,403. Cel condut à un coeffcent de vrton de 3,82 pour un contrt. Pour un groupe de contrts supposés ndépendnts, ce coeffcent n'est plus que de 0, DESCRIPTION DES SCÉNARIOS ENVISAGÉS Après vor défn les scénros qu seront utlsés, on emne l'évoluton de l prévlence et de l'effectf de l populton des personnes dépendntes en Frnce à l'horzon Évolutons reltves de l mortlté et de l morbdté Comme on l' vu, l est essentel de d'étuder et s possble de prévor l'évoluton de l'ncdence et de l prévlence de l populton des dépendnts u cours du temps. D'près l'enquête HID, pluseurs scénros reltfs à leur évoluton à l'horzon 2040 peuvent être envsgés. On consdéré un scénro sttque et tros scénros dynmques. Le scénro sttque, ou plus précsément de morbdté sttque, correspond à l'hypothèse où les tu de prévlence restent constnts vec le temps pour chque âge. Ans, vec l'llongement de l'espérnce de ve, le nombre de dépendnts v ugmenter et le temps moyen pssé en dépendnce v s'ccroître. Les scénros dynmques, ou de morbdté dynmque, sont u nombre de tros : le scénro pessmste, le scénro optmste et le scénro centrl. Le scénro pessmste correspond à l'hypothèse selon lquelle les gns d'espérnce

19 TARIFICATION, PROVISIONNEMENT ET PILOTAGE D'UN PORTEFEUILLE DÉPENDANCE 87 de ve en vldté (c'est-à-dre sns dépendnce) évoluent de mnère prllèle u gns d'espérnce de ve de l populton générle. Dns ce scénro, l prévlence bsse donc à un rythme dentque u gns d'espérnce de ve de l populton générle. Ces gns d'espérnce de ve en vldté mplquent que le nombre de dépendnts et donc le temps moyen pssé en dépendnce reste stble. Le scénro optmste correspond à l'hypothèse selon lquelle les gns d'espérnce de ve en vldté vont contnuer à évoluer à un rythme dentque à celu observé dns les nnées 1990, c'est-à-dre à un rythme supéreur à celu des gns d'espérnce de ve de l populton générle. Le scénro centrl consttue une moyenne des deu scénros précédents. Dns ce scénro les gns d'espérnce de ve en vldté vont évoluer à un rythme mons rpde que dns le scénro optmste, tout en restnt plus rpde que les gns d'espérnce de ve de l populton générle. 7.2 Évoluton de l prévlence pour un âge donné selon les scénros. Des études de l DREES (vor pr eemple [3]) ont ms en évdence une tendnce à l'ccrossement de l'espérnce de ve en vldté pour un même âge, ce qu v retrder l'âge moyen d'entrée en dépendnce. S l'on dmet que ce phénomène v persster, on peut consdérer que l vleur de l prévlence, observée uourd'hu pour un ndvdu donné, est égle à celle observée d ns plus tôt pour un ndvdu plus eune d'un certn nombre d'nnées. Ce phénomène est ppelé ``déclge de l prévlence". Le tbleu suvnt ndque les déclges de l prévlence à prtr de 60 ns selon le see et le scénro consdéré. De 60 à 79 ns 80 ns et plus pessmste centrl optmste Hommes Femmes Hommes Femmes Hommes Femmes 1,3 n 1,4 n 1,3 n 1,4 n 1,3 n 1,4 n 0,6 n 0,7 n 1,1 n 1,3 n 1,7 n 2,0 ns Tbleu 5 - Déclges d'âges selon les scénros, pr âge pr see 1 Le tbleu se lt de l fçon suvnte : pour le scénro pessmste pr eemple, le 1 Source : DREES, n 160, Personnes âgées dépendntes et dnts potentels : une proecton à l'horzon 2040.

20 88 M.-P. DELEGLISE C. HESS S. NOUET tu de prévlence pour les hommes de 60 à 79 ns à un âge donné, est dentque à celu qu'l étt à l'âge 1,3 ns, d ns plus tôt. En prtnt du tbleu précédent et des tu de prévlence pour l'nnée 2000, on peut donc obtenr les tu de prévlence futurs pour chcun des scénros dynmques, et pour chque âge. Hypothèses et ppromtons Les données dont nous dsposons nous ont condut à ntrodure quelques hypothèses et ppromtons. () Les vleurs des déclges sont ssus d'études sttstques sur l dépendnce lourde, celle regroupnt les nveu GIR 1, 2, 3 et 4. On est mené à supposer que ceu-c s'pplquent de mnère dentque à l dépendnce totle, c'est-à-dre u regroupement des nveu GIR 1 et 2 seuls. () De plus, le modèle cturel que l'on v utlser étblt des trfs dont l'âge de souscrpton débute à 50 ns, ce qu condut à supposer uss que les déclges d'âges entre 60 et 79 ns s'pplquent à l'dentque entre 50 et 60 ns. () Les données c-dessus concernnt l dépendnce lourde dstnguent les hommes et les femmes. Toutefos, les utres données dont nous dsposons ne dstnguent ps les deu popultons. De plus, les trfs pplqués sont dentques pour les deu sees. Pr conséquent, pour pplquer les déclges d'âges c-dessus, on clculer u prélble l moyenne des déclges des deu sees à l'ntéreur de chcune des deu trnches d'âges et pour chcun des tros scénros. Afn de smplfer, nous vons supposé que les hommes et les femmes étent en nombres égu. pessmste centrl optmste De 50 à 79 ns 1,35 n 1,35 n 1,35 n 80 ns et plus 0,65 n 1,20 n 1,85 n Tbleu 6 - Déclges d'âges pour l'évoluton du tu de prévlence (hommes et femmes confondus) Ce tbleu permet d'obenr les tu de prévlence pour l'nnée ( pouvnt prendre les vleurs 2010, 2020, 2030 ou 2040), u moyen de l formule générque = Bep{ ( d ( ))} dns lquelle représente l'âge et d ( ) le déclge d'âge reltf à l'nnée et à l'âge. Dns le cs du scénro sttque on touours d ( ) = 0. Pour le scénro centrl, on prs d (2010) = 1, 35 lorsque est comprs entre 50 et 79 ns, et d (2010) = 1, 2 lorsque est u mons égl à 80 ns. Ces formules permettent donc une