Brevet Blanc de Mathématiques 4 Points sont réservés à la propreté et à la qualité de rédaction de la copie. Exercice 1 (En précisant les différentes étapes du calcul): 1. Calculer le nombre A et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible : A = 2. Un moustique pèse en moyenne 1,5 1-6 kg. Combien faut-il de moustiques pour obtenir le poids d'un éléphant pesant 6 1 3 kg? 2 3 1 2 17 9 1 3 Exercice 2 ( voir et compléter la feuille annexe à rendre avec la copie) Au collège Petite lande, 2 élèves suivent avec beaucoup de sérieux les cours en classe de troisième. Lors d'un brevet blanc, les notes obtenues par les élèves à l'épreuve commune de mathématiques sont scrupuleusement analysées. Ces dernières sont regroupées dans le tableau ci-dessous. notes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 effectifs 2 6 11 9 12 1 4 13 5 8 2 16 8 11 15 11 8 9 6 11 5 1. Complète le tableau fourni sur la feuille annexe avec la ligne des effectifs cumulés croissants 2. Calculer la moyenne des notes obtenues en mathématiques au brevet blanc par l'ensemble des élèves des classes de troisième. 3. Représenter cette série de résultats par un diagramme en bâtons sur le graphique fourni sur la feuille annexe. 4. À partir du tableau, donner la valeur du premier quartile de la série de notes. Interpréter ce résultat par une phrase. 5. À partir du tableau, donner la valeur de la médiane de la série de notes. Interpréter ce résultat par une phrase. 6. Quel est le pourcentage des élèves qui ont eu une note supérieure ou égale à 18? Exercice 3 : On donne : D = 9x² 4 (3x 2)(x 3). 1. Développer et réduire D. 2. Factoriser 9x² 4 et en déduire la factorisation de D. 3. Résoudre l équation (3x 2)(2x + 5)=. Exercice 4 : Soit g la fonction affine définie: pour tout nombre réel x, par g : x g (x) = 3x + 2. Soit la fonction affine f telle que f(2) = 5 et f(7) = 15 1. Calculer l'image de 1 par g. 3 2. Calculer l'antécédent de 4 par g. 3. Déterminer la fonction f.
Exercice n 5 : ( voir et compléter la feuille annexe à rendre avec la copie) M. Dubois réfléchit à son déménagement. Il a fait réaliser deux devis : 1. L entreprise A lui a communiqué le graphique présenté en annexe. Celui-ci représente le coût du déménagement en fonction du volume à transporter. a. Quel serait le coût pour un volume de 2 m 3? Vous laisserez vos tracés apparents. b. Le coût est-il proportionnel au volume transporté? Justifier. c. Soit g la fonction qui à x, volume à déménager en m 3, associe le coût du déménagement avec cette entreprise. Exprimer g(x) en fonction de x. 2. L entreprise B lui a communiqué une formule : f(x) = 1x + 8 où x est le volume (en m 3 ) à transporter et f(x) le prix à payer (en ). a. Calculer f(8). Que signifie le résultat obtenu? b. Déterminer par le calcul l antécédent de 3 5 par la fonction f. c. Représenter graphiquement la fonction f sur le graphique présenté en annexe. 3. M. Dubois estime à 6 m 3 le volume de son déménagement. Quelle société a-t-il intérêt à choisir? Vous justifierez graphiquement votre réponse en laissant vos tracés apparents. Exercice n 6 : ABC est un triangle tel que AB = 6,5 cm ABC =37 et AC = 4 cm. H est le pied de la hauteur issue de A. 1. Faire une figure. 2. a. Calculer BH (on donnera la valeur arrondie au mm). b. Vérifier par le calcul que l arrondi au mm de AH est 3,9cm. 3. Calculer HCA au degré près. Exercice 7 : Teva vient de construire lui-même sa pirogue. 1. Pour vérifier que les deux bras du balancier sont parallèles entre eux, il place sur ceux-ci deux bois rectilignes schématisés sur le dessin ci-dessus par les segments [OK] et [OL] avec I [OK] et J [OL]. La mesure des longueurs OI, OJ, OK et OL donne les résultats suivants : OI = 1,5 m OJ = 1,65 m OK = 2 m OL = 2,2 m Les deux bras sont-ils parallèles? Justifier ta réponse. 2. Pour vérifier que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier il mesure les longueurs AB, AC et CB et obtient : AB = 15 cm AC = 25 cm CB = 2 cm Peut-il affirmer que la pièce [AB] est perpendiculaire au balancier? Justifier ta réponse.
ANNEXE Exercice n 5 À rendre avec la copie Coût en Société A 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Volume en m 3
Exercice 2 : notes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 effectifs 2 6 11 9 12 1 4 13 5 8 2 16 8 11 15 11 8 9 6 11 5 E.C.C E.C.C. signifie : Effectifs Cumulés Croissants Exercice 2 : Construire le diagramme en bâtons 1 1
Exercice 1 2 3 1 4 2 6 3 6 1. A = 17 9 1 A = 17 3 9 3 9 2. B = 6 13 1,5 1 6 B = 6 A = 7 6 14 9 A = 7 6 9 14 A = 7 3 3 2 3 2 7 1,5 13 ( 6 ) B = 4 1 3 + 6 B = 4 1 9 Il faut la masse de 4 milliards de moustiques pour avoir la masse d un éléphant. A = 3 4 Exercice 2 - Statistiques Au collège Petite lande, 2 élèves suivent avec beaucoup de sérieux les cours en classe de troisième. Lors d'un brevet blanc, les notes obtenues par les élèves à l'épreuve commune de mathématiques sont scrupuleusement analysées. Ces dernières sont regroupées dans le tableau ci-dessous. 1. Compléter la ligne 3 du tableau notes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 effectifs 2 6 11 9 12 1 4 13 5 8 2 16 8 11 15 11 8 9 6 11 5 effectifs cumulés 2 8 19 28 4 5 54 67 72 8 1 116 124 135 15 161 169 178 184 195 2 2. Calculer la moyenne des notes obtenues en mathématiques au brevet blanc par l'ensemble des élèves des classes de troisième. M= (2 + 6 1 + 11 2 + 9 3 + 12 4 + 1 5 + 4 6 + 13 7 + 5 8 + 8 9 + 2 1 + 16 11 + 8 12 + 11 13 + 15 14 + 11 15 + 8 16 + 9 17 + 6 18 + 11 9 + 5 2) 2 268 2 = 1,34 3. Représenter cette série de résultats par un diagramme en bâtons. 25 2 15 1 Série1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 4. À partir du tableau, donner les valeurs du premier et du troisième quartile de la série de notes. Interpréter ce résultat par une phrase. 1 élèves médiane 1 élèves notes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 effectifs 2 6 11 9 12 1 4 13 5 8 2 16 8 11 15 11 8 9 6 11 5 effectifs cumulés 2 8 19 28 4 5 54 67 72 8 1 116 124 135 15 161 169 178 184 195 2 1 er quartile = 2 1 4 = 5. Q1 est la 5ème valeur de la série soit 5. 1 des élèves ont au plus 5. 4 5. À partir du tableau, donner la valeur de la médiane de la série de notes. La médiane est la valeur du caractère qui sépare l effectif total en deux parties égales. 2 1 = 1. La médiane est donc 1,5. 2 La moitié des élèves ont une note inférieure à 1,5 et l autre moitié une note supérieure à 1,5. 6. Quel est le pourcentage des élèves qui ont eu une note supérieure ou égale à 18. 6 + 11 + 5 = 22 (ou 2 178 = 22) ont un note supérieure ou égale à 18. 22 1 = 11. 11% des élèves ont eu une note supérieure ou égale à 18. 2
Exercice 3 : 1. D = 9x 2 4 - (3x 2)(x 3) D = 9x 2 4 (3x 2 9x 2x 6) = 9x² 4 3x² + 9x + 2x 6 D = 6x 2 + 11x 1 2. 9x 2 4 = (3x) 2 2 2 = (3x 2)(3x 2) D = (3x 2)(3x 2) (3x 2)(x 3) = (3x 2)(3x 2 x + 3) = (3x 2)(2x + 5) 3. (3x 2)(2x + 5)=. Résoudre cette équation de la forme A B = revient à résoudre A = et B =. 3x 2 = ou 2x + 5= 3x = 2 2x = 5 x = 2 3 x = 5 2 L équation admet deux solutions : 2 3 et 5 2. Exercice 4 : fonction affine Soit g la fonction affine définie: pour tout nombre réel x, par g : x g (x) = -3x + 2. Soit la fonction affine f telle que f(2) = 5 et f(7) = 15 1. Calculer l'image de 1 3 par g g : 1 3 g 1 3 3 + 2 = 1 + 2 =1 g 1 3 2. Calculer l'antécédent de 4 par g g : x g (x) = -3x + 2 = 4 3x + 2 = 4 3x = 4 2 3x = 2 x = 2 3 x = 2 3 3. Déterminer la fonction g On utilise la formule des accroissements a = f(x 2) f(x 1 ) a = 15 5 x 2 x 1 7 2 a = 1 5 a = 2 On remplace a par la valeur trouvée dans f : x f(x) = ax + b On choisit f(2) = 5 pour trouver b f : 2 f(5) = 2 2 + b = 5 4 + b = 5 b = 5 4 b = 1 f : x f(x) = 2x + 1 Exercice 5 M. Dubois réfléchit à son déménagement. Il a fait réaliser deux devis : 1. Entreprise A : a. Le coût pour un volume de 2 m 3 est 6 (voir le graphique). f : x f(x) = 2x + b b. La représentation graphique d une situation de proportionnalité est une droite passant par l origine : c est le cas ici donc le coût est proportionnel au volume transporté. c. Soit g la fonction qui à x, volume à déménager en m 3, associe le coût du déménagement avec cette entreprise : g(x) = 3x. 2. Entreprise B : a. f(x) = 1x + 8. f(8) = 1 8 + 8 = 8 + 8 = 1 6. Le coût d un déménagement de 8 m 3 avec l entreprise B est 1 6. b. 1x + 8 = 3 5. 1x = 3 5 8 1x = 2 7 x = 2 7 1 L antécédent de 3 5 par la fonction f est 27. c. Représentation graphique de la fonction f (voir le graphique en annexe). x = 27 3. M. Dubois estime à 6 m 3 le volume de son déménagement. Il a intérêt à choisir la société B : 1 4 alors que le coût avec la société A est 1 8. (Voir les tracés sur le graphique).
Exercice n 6 : 1. Faire une figure. H C 2. (AH) est la hauteur donc BHA est rectangle en H. cos HBA = BH BA cos 37 = BH 6,5 B BH = cos 37 6,5 BH 5,2 cm A sin HBA = AH BA sin 37 = AH 6,5 AH = sin 37 6,5 AH 3,9 cm 3. Dans le triangle HCA rectangle en H, sin HCA = HA CA Exercice 7 : sin HCA = 3,9 4 HCA 77 1. OI OK = 1,5 2 = 3 4 I [OK] J [OL] et OI OJ OL = 1,65 2,2 = 165 165 55 = 22 22 55 = 3 4 OK = OJ OL OI donc OK = OJ (ou,75 avec la calculatrice!) OL La réciproque de la propriété de Thalès est vérifiée donc les droites (IJ) et (KL) sont parallèles. Les deux bras sont donc parallèles. 2. AB 2 + BC 2 = 15 2 + 2 2 = 225 + 4 = 625 AC 2 = 25 2 = 625 donc AB 2 + BC 2 = AC 2 Le triangle ABC est rectangle en B d après la réciproque du théorème de Pythagore. La pièce [AB] est donc bien perpendiculaire au balancier.
ANNEXE Exercice n 5 question 2. C. et 3 À rendre avec la copie Coût en Société A 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 9 1 8 1 7 Société B 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Volume en m 3