Chapitre- Propagation d'une onde.- Définition Lorsqu'une source éet un signal et crée une perturbation locale d'une grandeur physique, cette perturbation se transet de proche en proche constituant ainsi une onde qui se propage dans le ilieu enironnant. La source déterine la nature physique et teporelle de la perturbation; le ilieu conditionne la propagation de l'onde. La grandeur physique qui se propage peut être de nature ectorielle (le chap électrique par eeple) ou scalaire (pression sonore ou intensité d'un courant par eeple). L'onde se propage aec une itesse sans qu'il y ait transport de atière entre la source et le point atteint par la perturbation. Pourtant une onde transporte de l'énergie: chaque point atteint par l'onde sert de relais entre le point précédent et le point suiant. S s(, t ) s(, M Figure- :La grandeur s a la êe aleur en S et M Dans le cas idéal, le signal, qui se propage, n'est ni atténué ni déforé par le ilieu de propagation. Un point quelconque M, atteint par l'onde, a alors subir une perturbation identique à celle qu'engendre la source S à l'instant t ais retardé de t : s (, s(, t τ ) τ représente le teps nécessaire à la propagation du signal depuis le point source S jusqu'au point M. Pour un ilieu hoogène et isotrope on a: τ La itesse de propagation dépend du ilieu de propagation et des caractéristiques de la source, éentuelleent de la direction de propagation (ilieu anisotrope ) et du point atteint par l'onde (ilieu inhoogène ). Si on fie et t, s est une fonction f de la ariable t : Y. Marouan/5-6
s(, s(, t + ) f ( t ) s (, est appelée fonction d onde, solution de l équation de propagation..- Equation de propagation La fonction d onde s (, est telle que : s t s (-) Plus généraleent la fonction d onde s ( r, satisfait à l équation de propagation : Où + + est l opérateur Laplacien. y z s s (-) t.- Résolution de l équation de propagation L équation de propagation est linéaire par rapport à s.toute cobinaison linéaire de solutions est aussi une solution de l équation. Nous allons étudier trois types de solutions classiques : onde plane, onde sphérique et onde stationnaire...- Solution onde plane Une onde est plane si sa fonction d onde s ne dépend que de l abscisse sur l ae de propagation, appelons-le O, et du teps. La fonction d onde s a alors êe aleur à un instant donné quelconque en tout point d un plan quelconque perpendiculaire à la direction de propagation O. Un tel plan s appelle le plan d onde. Dans ces conditions, on ontre que la solution de l équation de propagation à une diension (I-) est sous la fore : s (, f ( t ) + g( t + ) f se propage dans le sens positif de l ae des aec la célérité, tandis que g est une onde de êe type se propageant en sens inerse. Les ondes f et g sont des ondes planes progressies. Y. Marouan/5-6
On peut éliiner dans la fonction d onde s le choi de l ae de coordonnées r Figure- : O u u. r s u. r u. r f ( t ) + g( t ) Un cas particulier iportant d onde plane progressie est celui des ondes sinusoïdales : u. r s s cos( ( t ) + Φ) s cos( t k. r + Φ) (-) s est l aplitude de l onde et ( t k. r + Φ) sa phase. - le ecteur d onde : k u est appelé ecteur d onde qui est colinéaire à la direction de propagation. La fonction d onde s a une double période : - la période teporelle T π - la période spatiale qui est la longueur d onde T π k La longueur d onde dépend de la itesse de propagation dans le ilieu. - la surface d onde : par définition on appelle surface d onde la surface sur laquelle l onde a une êe phase ( t-k. r+ Φ) à instant donné quelconque. Pour une onde plane, le qualificatif «plane» ient du fait que ses surfaces d onde sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation. - Représentation coplee de la fonction d onde : A la fonction sinusoïdale s on associe la fonction coplee s telle que Y. Marouan/5-6
4 où * s est le coplee conjugué de s tel que : s Re + * [ s ] ( s s ) s s ep i (i (k.r ) aec s s s f ep iφ Dans la suite on utilisera souent la notation coplee...- Solution onde sphérique On a une onde sphérique lorsque sa fonction d onde s dépend seuleent du teps et de la distance r à un centre fie O, soit s ( r,. En epriant le laplacien en coordonnées sphériques et en éliinant les dériées partielles par rapport au ariables θ et ϕ, l équation de propagation se réduit sous la fore suiante : ( rs) r r s t r et t sont des ariables indépendantes. Par conséquent : ( sr) r rs satisfait à l équation des ondes planes. D où : ( rs) t r r s ( r, f ( t ) + g( t + ) r r g se propage ers le centre O et f du centre ers l etérieur. Rearquons que si l onde sphérique est sinusoïdale ses surfaces d ondes sont des sphères de centre O...- Solution onde stationnaire L onde est stationnaire si sa fonction d onde est sous la fore s ( r, g( r) f ( (-4) Y. Marouan/5-6
5 les ariables d espace (, y, z) sont séparées de la ariable teps dans la fonction d onde. En reportant dans l équation de propagation (I-) ( gf ) gf " f ( f ( " Ce rapport est indépendant du teps et de l espace. Eainons le cas où ce rapport est négatif : f " + f f ( a cos( t + ϕ) g( r) g( r) g + g Cette équation ne se résout sipleent que dans le cas des ondes planes, g étant fonction de la seule ariable et posons k g " + k g g ( ) a cos kt + φ) La solution de l équation de propagation est alors : s (, Acos( t + ϕ)cos( k + φ) (-5) Figure- : Aplitude de l onde stationnaire s entre nœud A O -A / / Y. Marouan/5-6
6 Les points de l espace où l aplitude de l onde est nulle s appellent les nœuds de l oscillation de l onde stationnaire : n + Φ k + Φ ( n + )π π π Φ n + π Les nœuds sont équidistants de. Les points de l espace où l aplitude de l onde est aiale s appelle les entres de l oscillation de l onde stationnaire : φ k + Φ nπ [ n π Φ ] π n π Les nœuds sont aussi équidistants de Un nœud et un entre consécutifs sont séparés par 4 On peut ontrer qu une onde stationnaire est une superposition de deu ondes planes sinusoïdales progressies de êe pulsation et de êe aplitude se propageant en sens contraire. Pour ce faire transforons (I-5) en soe : A A s(, cos k [ t k + ϕ φ] + cos[ t + + ϕ + φ] Inerseent Une onde plane sinusoïdale progressie est la superposition de deu ondes stationnaires en quadrature s(, s cos( t k + ϕ) s cost cos( k ϕ) + s sint sin( k ϕ) La solution générale de l équation de propagation en onde plane de direction donnée étant une superposition d ondes sinusoïdales progressies, c est aussi une superposition d ondes sinusoïdales stationnaires..le cas où le rapport est positif ou nul : La fonction f ( est alors soit une cobinaison de fonctions eponentielles réelles, soit une fonction affine du teps. Elle ne peut eister coe telle sur l interalle ], + [ car f ( est nécessaireent bornée..4- Solution de l équation d onde aec conditions au liites Le doaine de propagation est liité par une frontière. La fonction d onde doit y satisfaire à des conditions au liites. Y. Marouan/5-6
7 Dans de nobreu cas les conditions au liites iposent à l onde d être nulle où d aoir une dériée par rapport au teps nulle sur les frontières du doaine. Traitons le cas d ondes planes dans un doaine liité par deu plans parallèles au plan d onde. Si on décopose l onde en ondes stationnaires, ces êes propriétés doient être érifiées par les ondes coposantes. Ces plans liites sont donc soit des plans de nœuds de l onde ( onde nulle), soit des plans de entres (dériée nulle). Si les conditions au liites sont les êes la distance d de ces plans doit érifier : d aec,,... ; d c c Les odes qui peuent eister sont : ; ν d Si les conditions au liites sont différentes : d ( ) aec,,.... ; 4 Les odes qui peuent eister sont : 4d ( - ; ) ν c ( - ) c 4d Les fréquences ν ainsi obtenues sont les fréquences propres de la caité coprise entre les deu plans. Les ondes stationnaires correspondantes sont les odes propres d oscillation. Les fréquences ν ainsi obtenues sont les fréquences propres de la caité coprise entre les deu plans. Les ondes stationnaires correspondantes sont les odes propres d oscillation. Y. Marouan/5-6
8 Copléent Influence de la dispersion. Vitesses de groupe et de phase On appelle relation de dispersion la relation liant le ecteur d onde k et la pulsation. Dans un ilieu de propagation non dispersif la itesse de phase des ondes sinusoïdales est indépendante de la fréquence et nous aons k et proportionnelles : k. Il y a dispersion lorsque la célérité des ondes est fonction de la fréquence ; dans ces conditions k et ne sont pas proportionnelles : k ( ) ( ) Une onde quelconque est une superposition d ondes sinusoïdales qui satisfait chacune à une équation de propagation du type (I-). Lorsque la célérité dépend de la fréquence, les dierses ondes d un paquet d ondes se propagent à des itesses différentes. Il se produit des décalages entre elles qui arient au cours de la propagation et le aiu d aplitude obtenu par superposition de ces ondes se déplace par rapport à celle-ci. Pour illustrer ce que nous enons de dire considérons l eeple ci-dessous. Cas discret de trois ondes : Coençons par coprendre qualitatieent le coporteent de s(, dans le teps, en, en étudiant un cas particulier très siple : s (, est la soe de trois ondes planes, seuleent : s (, a s (, a s (, a ep it ep i( ) t ep i( + ) t aec aec aec a a a (I-6) s(, s (, + s epit (, + s [ + cos( ] (, epit [ a + a + a ] On oit que s (, est aial lorsque t ; Ce résultat est dû au fait que, lorsque t prend cette aleur, les trois ondes sont en phase et interfèrent constructieent, coe le ontre la Y. Marouan/5-6
9 figure-4. Au fur et à esure que le teps s écoule les ondes se déphasent l une par rapport à l autre, et s (, décroît. L interférence deient destructie lorsque le déphasage entre l onde t et l onde et est égal à t ±, t étant donné par : t 4π L interalle de teps t est d autant plus grand que la largeur de et plus petite. s (, est périodique, et présente donc une série de aius et inius. Ceci proient du fait que s (, est la superposition d un nobre fini d ondes (ici trois) ; pour une superposition continue d une infinité d ondes un tel phénoène ne se produit pas, et s (, peut n aoir qu un seul aiu. P a q u e t d 'o n d e s p la n e s e n 4 5 6 7 t ( s ) Y. Marouan/5-6
Figure-4 : nous aons représenté les parties réelles des trois ondes, et respectieent du haut ers le bas. En, les trois ondes sont en phase et interfèrent constructieent ; lorsque le teps s écoule elles se déphasent les unes par rapport au autres et interfèrent destructieent pour t ±. Re s (. La courbe en pointillé correspond Sur la partie inférieure de la figure, on a représenté [ ] à la fore cos qui, d après (I-6), donne Re[ ( ] d ondes). + t s (c est à dire la fore du paquet On oit que s (, est aial lorsque t ; ce résultat est dû au fait que, lorsque t prend cette aleur, les trois ondes sont en phase et interfèrent constructieent, coe le ontre la figure-4. Au fur et à esure que le teps s écoule les ondes se déphasent l une par rapport à l autre, et s (, décroît. L interférence deient destructie lorsque le déphasage entre l onde et l onde et est égal à t ±. s (, est périodique, et présente donc une série de aius et inius. Ceci proient du fait que s (, est la superposition d un nobre fini d ondes (ici trois) ; pour une superposition continue d une infinité d ondes un tel phénoène ne se produit pas, et s (, peut n aoir q un seul aiu. Cas d un continuu d ondes k k k Milieu dispersif : k Milieu non dispersif Figure-5 :Courbes de dispersion. - Dans un ilieu non dispersif k est proportionnel à. - Lorsque le ilieu est dispersif la itesse de phase de l onde est fonction de la fréquence. Supposons que les ariations de k en fonction de présente un pic en et une largeur à dei-hauteur. Y. Marouan/5-6
Traitons aintenant un paquet d ondes général. Supposons que la courbe de dispersion, représentée dans figure-5, présente un pic de largeur et centré en. La fonction coplee associée à l onde peut s écrire en choisissant l ae des dans la direction de propagation : s (, Lorsque k k a( ) j( t k) ep d est suffisaent petit, on peut déelopper k ( ) au oisinage de k :k dk ( ) d j( t k s(, ep ) dk j( )[ t ( ) a( ) ep d ] d dk + j[ t k ] j[( ) [ t ( ) ] ] s(, ep a'( ) ep d d( ) 4 44 444 Onde sinusoidale 44444444444 44444444444 π C' est une fonction de periode T dk qui se propage à la célérité A [ t-( ) ] d k π A étant la transforée de Fourier de a ' Les fonctions ± π A forent une eneloppe des ondes de pulsation.ces ondes se propagent en restant à l intérieur de l eneloppe à la célérité. L eneloppe elle-êe se déplace à la itesse : d g ( ) dk appelée itesse de groupe du paquet d ondes. C est la itesse de phase des ondes coposantes. Le aiu de l aplitude de l onde résultante se déplace à la itesse de groupe. C est ce aiu qui transporte de l énergie et donc détecté par les appareils. Y. Marouan/5-6