Séries chronologiques

31-1-2005 Séries chronologiques Nino Silverio Support de cours provisoire pour l unité de valeur Mathématiques et statistiques destiné aux classes du BTS Comptabilité-Gestion de l ECG. Introduction DÉFINITION Une série chronologique est une série statistique ordonnée en fonction du temps. Exemples : le cours journalier en bourse (à la clôture) d une action, la température extérieure relevée à un même endroit à 15h, etc. L étude de ces séries est intéressante car elle peut permettre de prévoir l évolution du phénomène observé dans le temps. Voici une série chronologique (source Statec) indiquant le nombre de victimes dans des accidents de la route au Luxembourg : Nombre de victimes Nombre de victimes 1970 2497 1991 1725 1980 2380 1992 1725 1981 2239 1993 1720 1982 2034 1994 1616 1983 2193 1995 1730 1984 2185 1996 1609 1985 2075 1997 1559 1986 2062 1998 1575 1987 1749 1999 1588 1988 1946 2000 1331 1989 1914 2001 1246 1990 1846 1

Introduction Cette série chronologique peut être représentée graphiquement de la façon suivante : COMPOSANTES Sur la représentation graphique d une série chronologique, on peut distinguer les composantes fondamentales suivantes : le mouvement de tendance générale ou trend indiquant l évolution générale du phénomène étudié les mouvements cycliques sur une grande période autour du trend. Ces mouvements peuvent être périodiques (exemple : récession et expansion économique, etc.) les mouvements saisonniers ou variations saisonnières sont des variations se reproduisant périodiquement à des moments bien déterminés (exemple : vente de mazout avant l hiver, etc.) les mouvements accidentels ou résiduels sont dus à des facteurs exceptionnels pour la plupart imprévisibles (grève, risque de guerre, etc.) 2 Séries chronologiques

Estimation de la tendance Estimation de la tendance Il est clair qu afin de pouvoir estimer la tendance, c est-à-dire le mouvement d un phénomène observé sur un grand intervalle de temps, il faut disposer d une série statistique sur une longue période. Disposant de ces données, le premier travail consiste à effectuer une représentation graphique adéquate permettant d avoir une vue globale du phénomène étudié. MOYENNES MOBILES Afin d éliminer ou d amortir les mouvements cycliques, saisonniers et accidentels, on utilise la technique des moyennes mobiles. On procède ainsi en quelque sorte au lissage de la courbe. Le principe de cette méthode est de construire une nouvelle série obtenue en calculant des moyennes arithmétiques successives de longueur p fixe à partir des données originales. Chacune de ces moyennes obtenues correspondra au milieu de la période pour laquelle la moyenne arithmétique vient d être calculée. Exemple : le tableau ci-dessous contient des mesures d un phénomène relevées à 9 instants différents. t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 4 6 5 3 7 5 4 3 6 Si nous calculons les moyennes mobiles d ordre 3, nous obtenons les valeurs suivantes : t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 4 6 5 3 7 5 4 3 6 5.00 4.67 5.00 5.00 5.33 4.00 4.33 La moyenne mobile d ordre 3 pour t vaut 7 + 5 + 4 16 6 -------------------- = ----- 5.33 On 3 3 constate que, vu la façon de calculer ces moyennes, les deux valeurs extrêmes pour t 1 et t 9 ont disparu, c est-à-dire une de chaque côté. En calculant les moyennes mobiles d ordre 5, nous aurons : t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 4 6 5 3 7 5 4 3 6 5 5.2 4.8 4.4 5 Séries chronologiques 3

Estimation de la tendance Exemple : la valeur pour t vaut 6 4 --------------------------------------- + 5 + 3 + 7 + 5 = 26 ----- = 5.2 Cette 5 5 fois-ci les deux valeurs extrêmes de la série sont perdues. On constate que si p est impair, donc de la forme p = 2k + 1, à chaque extrémité k valeurs sont perdues. En représentant graphiquement ces résultats, nous remarquons bien la tendance au lissage de la représentation orginale avec l utilisation de la technique des moyennes mobiles. En choississant p pair, nous sommes confrontés au problème que les moyennes obtenues ne correspondront pas à une abscisse existante, mais chevaucheront entre deux de ces valeurs. Exemple : dans la série chronolgique précédente, si nous calculons les moyennes mobiles d ordre 4, nous obtenons des valeurs pour, t 3.5, etc., ce qui n est pas pratique. C est pour cette raison qu on calcule une moyenne sur 5 valeurs mais en prenant soin de pondérer les deux valeurs extrêmes par 1 2 au lieu de 1 pour les autres valeurs. Il faut quand même veiller à diviser par 4 (et non par 5)! Ceci nous garantit que chaque valeur n est prise en compte qu une seule fois. t 2.5 4 Séries chronologiques

Estimation de la tendance Nous aurons donc les moyennes mobiles d ordre 4 suivantes : t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 4 6 5 3 7 5 4 3 6 4.88 5.13 4.88 4.75 4.63 Pour mieux comprendre, voici le calcul pour 4 1 d ordre 4 : t 2 -- + 6 + 5 + 3 + 7 1 2 -- 3 = ------------------------------------------------------- = 39 ----- = 4.875 4 8 t 3 de la moyenne mobile AJUSTEMENT ANALYTIQUE Si les données (brutes ou lissées) sur le graphique se présentent sous une forme ressemblant à une courbe connue (droite, parabole, exponentielle, etc.), on peut essayer de dégager une forme analytique pour cette courbe. Nous ajustons cette courbe avec les méthodes étudiées au chapitre précédent. Le graphique ci-dessus représente les mêmes données que dans l exemple initial du chapitre, mais cette fois-ci, le graphique contient une approximation linéaire du trend réalisée automatiquement par Excel ainsi que les deux droites de régression calculées avec les formules vues dans le chapitre précédent. Séries chronologiques 5

Estimation des mouvements saisonniers Estimation des mouvements saisonniers MODÈLE ADDITIF, MODÈLE MULTIPLICATIF Pour effectuer l analyse des mouvements saisonniers, on essaie d abord de déterminer si on est en présence d une série dans laquelle pour une observation O donnée : la variation saisonnière S s ajoute simplement à la résultante des autres composantes R ; O = R + S c est le modèle additif la variation saisonnière S est proportionnelle à la résultante des autres composantes R : S = cr et alors O = S + R = cr + R = R( 1 + c) c est le modèle multiplicatif. Afin de faire cette distinction, on peut se baser sur une méthode graphique ou utiliser une méthode analytique. Nous étudions ces méthodes sur un exemple concret en nous basant sur la série chronologique Nouvelles immatriculations de voitures particulières, commerciales et utilitaires neuves selon le mois (source Statec) : 1996 2006 3224 3789 4153 3100 2527 3015 1504 1847 2314 1673 1602 1997 2247 3862 3586 4047 2838 2727 2730 1648 2007 2450 1966 1695 1998 2433 3723 4325 4493 3399 3083 3247 1928 2377 2831 2388 2126 1999 3127 4437 5478 4384 3552 3678 3611 2260 2699 3071 2510 2182 2000 3016 4671 5218 4746 4814 3545 3341 2439 2637 3085 2737 2055 MÉTHODE DU PROFIL Pour faire cette détermination (modèle additif, multiplicatif) graphiquement, on peut par exemple superposer les saisons représentées par des droites de profil sur un même graphique. Si ces droites sont parallèles, le modèle est additif, autrement le modèle est multiplicatif. Sur le graphique de notre exemple, les droites de profil ne sont pas parallèles pour toutes les saisons, le modèle est multiplicatif. Ceci est confirmé en utilisant une autre méthode graphique : la méthode de la bande. MÉTHODE DE LA BANDE On fait un graphique représentant la série chronologique, puis on trace une droite passant respectivement par les minima et par les maxima de chaque saison. Si ces deux droites sont parallèles, nous sommes en 6 Séries chronologiques

Estimation des mouvements saisonniers présence d un modèle additif. Dans le cas contraire, c est un modèle multiplicatif. Sur cet exemple, nous constatons que les deux droites ne sont pas parallèles, nous sommes donc en présence d un modèle multiplicatif. Séries chronologiques 7

Correction des variations saisonnières MÉTHODE ANALYTIQUE On calcule les moyennes et écarts-types pour chacune des périodes considérées et on calcule la droite des moindres carrés σ = ax + b. Si a est nul, c est un modèle additif, si a 0, le modèle est multiplicatif. Moyenne Écart-type 1996 2562.8 850.7 1997 2650.3 782.3 1998 3029.4 803.6 1999 3415.8 946.6 2000 3525.3 1023.4 En calculant la droite des moindres carrés, on obtient a = 0.195 et b = 289.037, ce qui confirme encore une fois que pour cet exemple, nous sommes bien en présence d un modèle multiplicatif. Correction des variations saisonnières DONNÉES DÉSAISONNALISÉES MODÈLE ADDITIF Dans beaucoup de situations, il est préférable de travailler sur des données qui ne sont pas affectées par un mouvement saisonnier. C est pour cela que l on transforme la série chronologique initiale en données désaisonnalisées ou corrigées des variations saisonnières. Considérons la série statistique des chiffres d affaires trimestriels (en milliers d ) d une entreprise [3]. Trim 1 Trim 2 Trim 3 Trim 4 Trim 1 Trim 2 Trim 3 Trim 4 Trim 1 Trim 2 Trim 3 Trim 4 Trim 1 Trim 2 Trim 3 Trim 4 120 181 71 119 128 190 73 124 140 196 84 133 145 206 96 142 Le modèle de la série statistique est bien additif, pour s en convaincre, il suffit d employer la méthode de la bande et de constater que la droite qui passe par les maxima et celle qui passe par les minima sont parallèles. Calculons les moyennes mobiles d ordre 4 (puisque nous sommes en présence d une série dont la périodicité est de 4 trimestres). Ensuite nous déterminons les différences saisonnières, c est-à-dire les différences entre les valeurs de la série statistique de départ et les valeurs des moyennes mobiles correspondantes. 8 Séries chronologiques

Correction des variations saisonnières Ces différences vont nous servir pour obtenir les cœfficients saisonniers non corrigés trimestriels. Les cœfficients saisonniers ne sont en fait que les moyennes des différences saisonnières pour chacun des trimestres. Par exemple pour le premier trimestre, nous obtenons : ( ------------------------------------------------ 0.75 + 5.38 + 1.50) 2.54 3 Nous calculons de cette manière les quatre cœfficients saisonniers. Nous supposons que la composante saisonnière est strictement périodique. L effet net de la composante saisonnière sur une période doit être nul car il est repris dans la tendance générale de la série chronologique. Ceci nous amène donc à rectifier les cœfficients saisonniers non corrigés en leur retranchant la moyenne des cœfficients saisonniers pour toutes les périodes. Séries chronologiques 9

Correction des variations saisonnières Disposant maintenant des cœfficients saisonniers corrigés, nous pouvons désaisonnaliser la série chronologique en retranchant de chacune des valeurs initiales la valeur du cœfficient saisonnier correspondant. Le graphique ci-dessous reprend la série chronologique de départ ainsi que la série chronologique désaisonnalisée. MODÈLE MULTIPLICATIF MÉTHODE DES MOYENNES MOBILES Nous verrons deux techniques pour désaisonnaliser une série statistique dans l hypothèse d un modèle multiplicatif, de loin le plus fréquent en pratique. En utilisant la méthode des moyennes mobiles, nous calculons les moyennes mobiles d ordre égal au nombre de périodes de la saison (mois, trimestre, année, etc.). Tableau des moyennes mobiles d'ordre 12 1996 2573 2610 2628 2615 2599 2597 1997 2593 2587 2600 2612 2630 2646 2658 2660 2685 2734 2776 2815 10 Séries chronologiques

Correction des variations saisonnières 1998 2851 2884 2911 2942 2976 3011 3058 3117 3195 3238 3240 3271 1999 3311 3340 3368 3391 3406 3413 3411 3416 3415 3419 3487 3534 2000 3517 3514 3518 3516 3526 3531 Après avoir calculé ces moyennes, on calcule les rapports saisonniers qui sont égaux aux données de la série d origine divisées par les moyennes mobiles correspondantes. Tableau des rapports saisonniers 1996 1.17 0.58 0.70 0.88 0.64 0.62 1997 0.87 1.49 1.38 1.55 1.08 1.03 1.03 0.62 0.75 0.90 0.71 0.60 1998 0.85 1.29 1.49 1.53 1.14 1.02 1.06 0.62 0.74 0.87 0.74 0.65 1999 0.94 1.33 1.63 1.29 1.04 1.08 1.06 0.66 0.79 0.90 0.72 0.62 2000 0.86 1.33 1.48 1.35 1.37 1.00 CŒFFICIENTS SAISONNIERS Nous effectuons ensuite les moyennes des rapports saisonniers pour chacune des périodes de la saison. Ces moyennes sont les cœfficients saisonniers. Cœfficients saisonniers Somme 0.88 1.36 1.49 1.43 1.16 1.03 1.08 0.62 0.75 0.89 0.70 0.62 12.012 On admet en général que la somme des cœfficients saisonniers est égale au nombre de périodes de la saison, dans notre exemple égale à 12 ou que la moyenne des cœfficients saisonniers est égale à 1. Dans notre cas, elle vaut 1.001. Nous corrigeons les valeurs calculées en les divisant par cette moyenne. Cœfficients saisonniers corrigés Somme 0.88 1.36 1.49 1.43 1.16 1.03 1.08 0.62 0.75 0.89 0.70 0.62 12.00 Séries chronologiques 11

Correction des variations saisonnières Disposant des cœfficients saisonniers corrigés, l obtention de la série chronologique désaisonnalisée est immédiate : il suffit de diviser chaque valeur de la série d origine par le cœfficient saisonnier corrigé de la période correspondante. Série chronologique corrigée des variations saisonnières 1996 2281 2372 2539 2908 2681 2447 2795 2432 2478 2608 2385 2580 1997 2555 2842 2403 2834 2455 2640 2531 2665 2692 2761 2803 2730 1998 2766 2740 2899 3146 2940 2985 3010 3118 3189 3190 3405 3424 1999 3555 3265 3671 3070 3072 3561 3348 3655 3621 3461 3578 3514 2000 3429 3437 3497 3323 4164 3432 3097 3944 3538 3476 3902 3309 Voici une représentation graphique sur laquelle nous avons reporté les données originales ainsi que les données corrigées des variations saisonnières. MÉTHODE DES RAPPORTS À LA TENDANCE Une autre façon de procéder pour désaisonnaliser une série chronologique consiste à calculer la droite de régression des données en fonction des n périodes de la saison. 12 Séries chronologiques

Correction des variations saisonnières Dans notre exemple, nous établissons la droite de régression des ventes par rapport aux 60 (12 fois 5 saisons) périodes. Cette droite est d équation y = 14.64x + 2590.08. Calculons alors les valeurs pour chacune des périodes en nous basant sur la droite de régression que nous venons d établir. Nous obtenons le tableau suivant : Valeurs basées sur la droite de régression y = 14.64x + 2590.08 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1996 2605 2619 2634 2649 2663 2678 2693 2707 2722 2737 2751 2766 1997 2780 2795 2810 2824 2839 2854 2868 2883 2898 2912 2927 2942 1998 2956 2971 2985 3000 3015 3029 3044 3059 3073 3088 3103 3117 1999 3132 3147 3161 3176 3190 3205 3220 3234 3249 3264 3278 3293 2000 3308 3322 3337 3352 3366 3381 3395 3410 3425 3439 3454 3469 Pour obtenir les rapports saisonniers, il suffit de diviser les valeurs originales par celles obtenues en se basant sur la droite de régression. Tableau des rapports saisonniers 1996 0.77 1.23 1.44 1.57 1.16 0.94 1.12 0.56 0.68 0.85 0.61 0.58 1997 0.81 1.38 1.28 1.43 1.00 0.96 0.95 0.57 0.69 0.84 0.67 0.58 1998 0.82 1.25 1.45 1.50 1.13 1.02 1.07 0.63 0.77 0.92 0.77 0.68 1999 1.00 1.41 1.73 1.38 1.11 1.15 1.12 0.70 0.83 0.94 0.77 0.66 2000 0.91 1.41 1.56 1.42 1.43 1.05 0.98 0.72 0.77 0.90 0.79 0.59 Nous calculons ensuite la moyenne pour chaque période obtenant ainsi les cœfficients saisonniers. Cœfficients saisonniers Somme 0.86 1.34 1.49 1.46 1.17 1.02 1.05 0.63 0.75 0.89 0.72 0.62 12.00 Séries chronologiques 13

Correction des variations saisonnières Nous n avons pas besoin d ajuster ces cœfficients puisque leur somme vaut 12 (nombre de périodes par saison). Finalement, nous obtenons de la même façon que précédemment les valeurs de la série chronologique corrigées des variations saisonnières : Série chronologique corrigée des variations saisonnières 1996 2326 2412 2539 2846 2657 2471 2875 2371 2466 2605 2319 2590 1997 2606 2890 2403 2774 2432 2667 2603 2598 2679 2758 2725 2740 1998 2821 2786 2899 3079 2913 3015 3096 3039 3173 3187 3310 3437 1999 3626 3320 3671 3005 3044 3597 3443 3563 3603 3457 3479 3528 2000 3497 3495 3497 3253 4125 3467 3186 3845 3520 3473 3793 3322 Voici pour terminer une représentation graphique de la série originale, de la droite de régression et de la série désaisonnalisée. 14 Séries chronologiques

Exercices non résolus Exercices non résolus 1. En vous basant sur la série chronologique suivante (source BelgoStat), que pouvez vous dire sur la consommation de gaz-oil et fuel léger en Belgique? Quelles sont vous prévisions pour les six premiers mois de l année 2002? Pétrole (milliers de tonnes) Gas-oil et fuel-oil léger déc-01 1083 déc-00 1087 déc-99 962 nov-01 921 nov-00 964 nov-99 1032 oct-01 753 oct-00 946 oct-99 993 sept-01 1106 sept-00 735 sept-99 793 août-01 883 août-00 840 août-99 808 juil-01 776 juil-00 635 juil-99 637 juin-01 708 juin-00 664 juin-99 683 mai-01 773 mai-00 811 mai-99 729 avr-01 950 avr-00 915 avr-99 806 mars-01 1071 mars-00 973 mars-99 1168 févr-01 939 févr-00 1048 févr-99 1135 janv-01 1199 janv-00 993 janv-99 1002 2. Voici une série statistique trimestrielle (source BelgoStat) sur le degré d'utilisation de la capacité de production en % dans les secteurs briques, ciment, céramique pour le bâtiment et l'industrie, verre plat. Quelles conclusions pouvez-vous en tirer? 1995T1 86 1999T1 75.7 1995T2 86 1999T2 81.8 1995T3 85.6 1999T3 80.9 1995T4 84.6 1999T4 84.8 1996T1 80.9 2000T1 72 1996T2 79.7 2000T2 78.5 1996T3 81.6 2000T3 81.8 1996T4 81.5 2000T4 81.4 1997T1 77.5 2001T1 83.2 1997T2 77.6 2001T2 82.6 1997T3 79.9 2001T3 84.1 1997T4 88.1 2001T4 82.7 1998T1 82.3 2002T1 77.9 1998T2 87 2002T2 79 1998T3 85 2002T3 83.6 1998T4 84.7 2002T4 83.6 Séries chronologiques 15

Références Références [1] Michel, Statistique descriptive avec ou sans tableur, Dunod, 1999 [2] David M. Levine, Mark L. Berenson, David Stephan, Statistics for managers, Prentice Hall, 1999 [3] J.-L. Monino, J.-M. Kosianski, F. Le Cornu, Statistique descriptive, Dunod, 2000 [4] M. Boissonade, A. M. Halbique, Statistique et probabilités, Ligel, 1968 16 Séries chronologiques