IAE Poutres planes aber EL AREM Centre des Matériaux MINE ParisTech
Plan Introduction Géométrie et chargement Hypothèse sur le matériaux Principe de aint-venant Actions mécaniques extérieures Les charges Les actions de liaison Equilibre des actions mécaniques extérieures Détermination du Degré d hyperstaticité d une structure Torseur des efforts intérieurs Principe des travaux virtuels Poutres homogènes planes Cinématique Equilibre Loi de comportement Poutres composites aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 2 / 93
Plan Introduction Géométrie et chargement Hypothèse sur le matériaux Principe de aint-venant Actions mécaniques extérieures Les charges Les actions de liaison Equilibre des actions mécaniques extérieures Détermination du Degré d hyperstaticité d une structure Torseur des efforts intérieurs Principe des travaux virtuels Poutres homogènes planes Cinématique Equilibre Loi de comportement Poutres composites
Introduction Introduction : la mécanique des structures Le point de départ de toute modélisation en mécanique des solides est la description géométrique du solide étudié. olide rigide. a configuration actuelle se déduit de la configuration initiale par la simple donnée d une translation et d une rotation. Aucune information sur la déformation des solides. Milieu continu tridimensionnel classique. Le principe des puissances virtuelles conduit à la représentation des efforts intérieurs via le champ de tenseur de contrainte de Cauchy. L équation du mouvement qui en résulte ne permet pas alors de déterminer le mouvement : Nécessité d informations concernant la nature du matériau : c est la loi de comportement. La mécanique des structures vise à simplifier les équations de l élasticité 3D. 1 Prise en compte des caractéristiques géométriques spécifiques des solides 2 Choix d une cinématique de transformation appropriée 3 Caractérisation des déformations par des variables globales aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 4 / 93
Introduction Introduction : la théorie des poutres 1 La théorie des poutres est une modélisation mécanique des solides élancés qui se focalise sur les changements de géométrie longitudinaux 2 Un modèle beaucoup plus économique que l élasticité 3D 3 Le calcul de poutres fait partie du domaine de la résistance des matériaux (RDM). Cette discipline, longtemps enseignée en tant que telle, a permis pendant longtemps de calculer de façon analytique des treillis complexes, des ponts, des ouvrages d art. 4 Dans la pratique, on rencontre fréquemment des assemblages de solides élancés. 5 Dans la conception de ces structures, les seules informations relatives au changement de géométrie de chacun des solides élancés sont les changements de géométrie d une fibre longitudinale (raccourcissement, extension, flexion). aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 5 / 93
Introduction La tour Eiffel aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 6 / 93
Introduction La tour Eiffel aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 7 / 93
Introduction Viaduc de Millau aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 8 / 93
Introduction Burj Dubai aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 9 / 93
Introduction chéma d un groupe turbo alternateur aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 10 / 93
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Géométrie et chargement Définition d une poutre s=0 n b t On définit successivement : Une ligne moyenne C, de point courant G, avec s, abcisse curviligne à partir de O (t,n,b) est le trièdre de Frénet orthonormé, où R est le rayon de courbure t = dog ds n = R dt ds b = t n Une section droite, de la poutre, dans le plan (n,b), de contour Γ Les sections droites sont lentement variables ou constantes en fonction de s La plus grande dimension de est petite devant R, et devant la longueur de la poutre aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 12 / 93
Géométrie et chargement Conséquences des restrictions géométriques : Les restrictions sur la géométrie des poutres permettent d assimiler un tronçon de poutre courbe à un tronçon de poutre droite de section constante. Les résultats de la théorie des poutres vont donc pouvoir se déduire de la résolution d un problème d élasticité tridimensionnelle sur un tronçon de poutre droite de section constante. aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 13 / 93
Géométrie et chargement Caractéristiques géométriques Le centre de gravité vérifie GM d = 0 On définit le moment quadratique par rapport à une droite de la section droite, en introduisant H, projection de M sur I(, ) = HM 2 d ( ) I 22 = x3 2 d I 23 = x 2 x 3 d Matrice des moments quadratiques I = I 32 = x 2 x 3 d I 33 = x2 2 d Dans les directions centrales principales, on définit les moments quadratiques centraux principaux ( ) I 2 = x3 2 d 0 I = 0 I 3 = x2 2 d aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 14 / 93
Géométrie et chargement Caractéristiques géométriques de quelques sections V = V = R V = V = a V = V = h 2 2 I x = I y = πr4 I 4 x1 = a4 3,I x = a4 = 12 I d I x1 = bh3 3,I x = bh3 12,I d = b3 h 3 6(b 2 +h 2 ) V = V = R V = V = a V = V = h 2 2 I x = I y = π(r4 R 4 ) I 4 x = a4 a 4 = I 12 d I x = bh3 b h 3 12 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 15 / 93
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Hypothèse sur le matériaux Hypothèse sur le matériau constituant la poutre Le matériau constituant la poutre étudiée est : élastique linéaire : comportement réversible, loi de Hooke homogène : au dessus d une certaine échelle, les propriétés mécaniques ne dépendent pas des coordonnées spatiales isotrope : au dessus d une certaine échelle, les propriétés mécaniques sont les mêmes dans toutes les directions de l espace Loi de Hooke (Robert Hooke) σ = 2µε + λtrεi σ = E 1 + ν (ε + ν 1 2ν TrεI) ε = 1 + ν E σ ν E TrσI aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 17 / 93
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Principe de aint-venant Principe de aint-venant Etant donné un solide déformable, si sur une partie (Σ) de sa frontière on remplace une distribution d efforts appliquée par une seconde distribution agissant également sur (Σ), ces deux distributions formant des torseurs égaux, les sollicitations restent inchangées dans toute région du solide suffisamment éloignée de (Σ). En d autres termes, la perturbation n est que locale aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 19 / 93
Principe de aint-venant Illustration du principe de saint-venant Torseurs résultants identiques pour les trois cas de charge Mêmes contraintes et déformations pour les trois cas de charge aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 20 / 93
Principe de aint-venant Elasticité tridimensionnelle : ( ) σ.. = σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 Hypothèse de aint-venant : ( ) σ.. = σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 0 0 σ 31 0 0 Composantes du torseur des efforts intérieurs : N = σ 11 d T 2 = C = (x 2 σ 13 x 3 σ 12 )d M 2 = σ 12 d T 3 = σ 13 d (1) x 3 σ 11 d M 3 = x 2 σ 11 d (2) aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 21 / 93
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Actions mécaniques extérieures Actions mécaniques extérieures On se limite à l étude de la statique. Les efforts exercés sont donc constants ou lentement variables, Les actions mécaniques sont représentées par des torseurs, avec un vecteur résultant et un vecteur moment résultant en un certain point. On distingue deux catégories d actions mécaniques extérieures : Les charges : les efforts que la structure doit supporter. Les actions de liaison : les réactions d appuis qui maintiennent la poutre en place. F R A F R B A B A B Exemple : ystème à étudier & Efforts extérieurs aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 23 / 93
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Actions mécaniques extérieures Les charges Les charges Les charges concentrées : Il s agit d un torseur appliqué en un point de la poutre. Les charges réparties : Ce sont des densités linéiques de torseur appliquées sur une portion de la ligne moyenne. Le plus souvent, les densités linéiques de torseur se réduisent à des densités linéiques de forces. Les densités linéiques de moment sont rares dans la pratique. Densite lineique de forces Force concentree Moment concentre Densite lineique de moments aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 25 / 93
Actions mécaniques extérieures Les charges Efforts extérieurs x 3 t x 2 P 3 p p 2 P 2 3 F x 1 M2 M 3 C Forces concentrées F selon x 1, P 2 selon x 2, P 3 selon x 3 Forces linéiques t selon x 1, p 2 selon x 2, p 3 selon x 3 Moment de flexion M 2 autour de x 2, M 3 autour de x 3 Couple de torsion autour de x 1, C aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 26 / 93
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Actions mécaniques extérieures Les actions de liaison Les actions de liaison Toute poutre (ou système de poutres) isolé et en équilibre a nécessairement des liaisons avec son milieu extérieur. On distingue : Les liaisons parfaites : Ce sont des liaisons telles que le travail des forces de liaison dans les déplacements relatifs permis est nul. Appui simple Articulation ou rotule Encastrement Les liaisons élastiques : Lorsqu il semble difficile de modéliser une liaison par une liaison parfaite, parce que les mouvements supposés bloqués ont en réalité une certaine souplesse, on modélise cette rigidité imparfaite par un ressort. aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 28 / 93
Actions mécaniques extérieures Les actions de liaison Les actions de liaison aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 29 / 93
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Actions mécaniques extérieures Equilibre des actions mécaniques extérieures Equilibre des actions mécaniques extérieures Le Principe Fondamental de la tatique : la somme des actions mécaniques extérieures (charges et actions de liaison) d un système isolé et en équilibre est un torseur nul. } { Fi les torseurs des charges extérieures concentrées aux points A M i, i A { } i p(l) les torseurs des charges extérieures linéiques réparties sur la ligne µ(l) G moyenne, } { Rk les torseurs d actions de liaison aux points B W k, k B k Le principe fondamental de la statique se traduit par les deux équations vectorielles : i OA i F i + i M i + k i F i + R k + k p(l)dl = 0 OB k R k + W k + k OG µ(l)dl + µ(l)dl = 0 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 31 / 93
Actions mécaniques extérieures Equilibre des actions mécaniques extérieures Les actions de liaison i on considère les charges comme connues, et les actions de liaison non nulles comme inconnues, on distingue Les problèmes isostatiques : Le système d équations de la statique est régulier pour les inconnues de liaison. On peut donc déterminer les inconnues de liaison en fonction des charges, en utilisant uniquement les équations de la statique. Les problèmes hyperstatiques : Le système d équations de la statique est insuffisant pour déterminer les inconnues de liaison. Il faudra des équations supplémentaires (déduites de la théorie des poutres) pour déterminer complètement la solution. les problèmes hypostatiques : Le système d équations de la statique n a pas de solution. Cela signifie qu il n y a pas d équilibre possible sous l action des charges avec de telles liaisons. aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 32 / 93
Actions mécaniques extérieures Equilibre des actions mécaniques extérieures Exemples de calcul de réactions de liaison (PF) aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 33 / 93
Actions mécaniques extérieures Equilibre des actions mécaniques extérieures Exemples de calcul de réactions de liaison (PF) aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 34 / 93
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Actions mécaniques extérieures Détermination du Degré d hyperstaticité d une structure Détermination du Degré d hyperstaticité d une structure Le degré d hyperstaticité d une structure détermine le nombre de suppressions nécessaires pour rendre la structure isostatique. En effet, l introduction d une liaison intérieure (entre barres ou poutres) ou extérieure (entre le milieu extérieur et la structure) s accompagne de l introduction d un effort de liaison. Notons : l i = le nombre de degrés de liaison intérieure l e = le nombre de degrés de liaison extérieure introduits pour constituer la structure à étudier à partir de n poutres (ou barres). Le nombre d équations d équilibre est de dl = 3n (dans le plan) et dl = 6n dans l espace). On a ainsi dl équations d équilibre pour l i + l e efforts de liaisons inconnus. Le degré d hyperstaticité (DH) est donné par : DH = l e + l i dl En absence de mécanismes (structure hypostatique), on a : DH = m > 0 structure m fois hyperstatique DH = 0 structure isostatique La structure est hypostatique si DH < 0 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 36 / 93
Actions mécaniques extérieures Détermination du Degré d hyperstaticité d une structure Exemples de calcul du Degré d hyperstaticité dl = 3 dl = 3 dl = 3 l e = (2) + (1) l e = (3) l e = (2) + (2) l i = 0 l i = 0 l i = 0 DH = 0 DH = 0 DH = 1 dl = 3 dl = 3 dl = 3 + 3 + 3 + 3 l e = (3) + (1) l e = (3) + (3) l e = (3) + (3) + (3) l i = 0 l i = 0 l i = (6) + (2) DH = 1 DH = 3 DH = 5 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 37 / 93
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Torseur des efforts intérieurs Torseur des efforts intérieurs Considérons une poutre E que nous séparons artificiellement en E1 et E2, de telle sorte que E = E1 E2. La séparation artificielle introduite est une coupure au point G par une section droite (). On suppose que cette poutre est en équilibre sous l action des actions de l extérieur. En isolant la poutre E et en appliquant le PF, nous avons donc {T (Ext E) } = {T (Ext E1) } + {T (Ext E2) = {O} aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 39 / 93
Torseur des efforts intérieurs Torseur des efforts intérieurs Isolons E1 et faisons le bilan des efforts auxquels ce tronçon est soumis : {T (Ext E1) } Il est aussi soumis aux actions de E2. Définition : le torseur d actions mécaniques de E2 sur E1 est appelé torseur des efforts intérieurs ou torseur de cohésion. On ignore a priori la nature de ces actions mécaniques. Ainsi, nous écrivons : {T (int) } = {T (E2 E1) } Le torseur est naturellement exprimé au centre de gravité G de la section par : { R (E2 E1) {T (int) } = M G (E2 E1) i maintenant on regarde le tronçon E2. Il est soumis à : } {T (Ext E2) } ainsi qu à {T (E1 E2) } aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 40 / 93
Torseur des efforts intérieurs Torseur des efforts intérieurs {T (int) } = {T (E2 E1) } Le principe d action réciproque permet d écrire : {T (Ext E2) } {T (int) } = {O} Ce qui donne un autre moyen de calculer le torseur de cohésion : {T (int) } = {T (Ext E2) } = {T (Ext E1) } { R (Ext E2) Finalement, on écrit : {T (int) } = M G (Ext E2) aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 41 / 93 } G
Torseur des efforts intérieurs Torseur des efforts intérieurs :Conclusions Le torseur de cohésion est modifiè lorsque l on déplace la coupure le long de la poutre. On peut être amené à distinguer plusieurs coupures en particulier lorsqu on rencontre une discontinuité d ordre géométrique (changement de direction de la ligne moyenne), cas d une poutre en équerre par exemple, une discontinuité liée à des efforts concentrés ou à une liaison. On notera que dans tout ce qui précède, il n a jamais été fait mention que la poutre devait être droite et chargée dans son plan de symétrie. Les définitions données ici sont valables pour tout type de poutre. Torseur des efforts intérieurs se réduit à Résultante N selon x 1, T 2 selon x 2, T 3 selon x 3 N est l effort normal, T 2 et T 3 les composantes de l effort tranchant Moment de flexion M 2 autour de x 2, M 3 autour de x 3 Couple de torsion autour de x 1, M 1 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 42 / 93
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Principe des travaux virtuels On va maintenant résoudre le problème en partant d une hypothèse cinématique et en appliquant le principe des travaux virtuels Pour plus de concision, on se résume à la résolution dans un plan aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 44 / 93
Principe des travaux virtuels Pour permettre de préciser les relations entre les déformations et contraintes locales et les quantités résultantes au niveau d une section, il est nécessaire d adopter des hypothèses sur la cinématique des sections lors d une transformation de la poutre. On focalise l attention sur les changements de géométrie longitudinaux. Ainsi on s interesse pas aux éventuelles variations de géométrie des sections droites. L objet d étude (solide élancé) est considéré comme une ligne moyenne déformable à chaque point de laquelle est attachée une section droite rigide. aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 45 / 93
Principe des travaux virtuels Poutre droite à section symétrique chargée dans son plan y p 01 01 01 01 01 t 0000 1111 P F 00000000 11111111 z x M La ligne neutre est l axe x 1 La poutre se déforme dans le plan x 1 x 3, qui est plan principal d inertie L axe x 1 est le lieu des centres d inertie des sections : R x 3d = 0 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 46 / 93
Principe des travaux virtuels Efforts extérieurs et déplacements imposés u d f d Ω F d Déplacement imposé u d sur la surface Ω u Force répartie imposée F d sur la surface Ω F Force volumique imposée f d à l intérieur de Ω Champ u CCA (cinématiquement admissible) : u = u d sur Ω u ε = 0.5( gradu + grad T u ) Champ σ CA (statiquement admissible) : σ.n = F d sur Ω F divσ + f d = 0 dans Ω aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 47 / 93
Principe des travaux virtuels Evaluation du travail développé par σ dans u Pour σ CA et u CCA non reliés par la loi de comportement σ ij ε ij dω = 1 ( Ω Ω 2 σ ij u i,j + u ) j,i dω = σ ij u i,j dω Ω ( (σ = ij u ) ) i,j σ ij,j u i dω Ω = σ ij n j u i d σ ij,j u i dω Ω Ω σ ij ε ij dω = F i u i d + fi d u i dω Ω Ω Ω Théorème des travaux virtuels : u i, variation autour d un état d équilibre (u i = 0 sur Ω u ) σ ij ε ij dω = δw int = δw ext = Fi d u i d + fi d u i dω Ω Ω F Ω aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 48 / 93
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Poutres homogènes planes Cinématique Cinématique de la poutre de Timoshenko En théorie classique des poutres (Modèle de Navier-Bernoulli), les déformations dues à l effort tranchant sont négligées : les sections restent planes et normales à la ligne moyenne. Cette hypothèse est mise en défaut lorsque la poutre est peu élancée. Dans le cadre du modèle de poutres de Timoshenko : Les sections droites sont indéformables au cours de la transformation. Les distorsions dues à l effort tranchant sont prises en comptes. Ces distorsions sont représentées par une rotation supplémentaires de la section droite. L effort tranchant provoque un gauchissement de la section, mais cet effet n est pas pris en compte ici puisque les sections sont supposées indéformables. Ainsi, pour obtenir une distorsion moyenne non nulle, la section ne reste pas perpendiculaire à la ligne moyenne au cours de la transformation. aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 51 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique Cinématique de la poutre de Timoshenko X3 Ligne moyenne apres deformation Ligne moyenne avant deformation θ P v = dv/dx1 v = dv/dx1 M P0 v M0 x1 u aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 52 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique Cinématique de la poutre de Timoshenko L idée consiste, pour un solide élancé, à postuler une description simplifiée, globale, de la structure, au lieu de chercher une résolution exacte. Les solutions obtenues sont d autant plus satisfaisantes que l élancement est important (et fausses dans le cas contraire). Pour traiter le cas d une poutre plane, on conserve dans la description géométrique deux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment, conjugués (au sens du travail virtuel). ollicitation axe de la poutre perp à l axe moment de flexion «force» N T M «déplacement» U V θ Pour le cas d une poutre mince, on néglige le cisaillement (modèle Navier Bernoulli). aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 53 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique u 1 = U (x 1 ) + θ x 3 u 3 = V (x 1 ) ε 11 = U,1 + θ,1 x 3 2ε 13 = V,1 + θ Plan de la ligne neutre ection aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 54 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique Travaux virtuels des efforts internes δw int = = Ω L (ε 11σ 11 + 2ε 13σ 13 )dω ( σ 11 d + θ,1 U,1 ) x 3 σ 11 d + (V,1 + θ ) σ 13 d dx 1 On introduit alors naturellement les quantités N, T, M conjuguées de U, V, θ : N = σ 11 d T = σ 13 d M = x 3 σ 11 d ce qui donne : ( δw int = NU,1 + Mθ,1 + T (V,1 + θ ) ) dx 1 L aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 55 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique Traitement du travail des efforts intérieurs A partir de : ( δw int = NU,1 + Mθ,1 + T (V,1 + θ ) ) dx 1 L On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple : NU (,1 dx 1 = (NU ),1 N,1 U ) dx 1 = [ NU ] L N 0,1 U dx 1 L L L d où : ( δw int = N,1 U M,1 θ T,1 V + T θ ) ) dx 1 L +N(0)U (0) N(L)U (L) + T (0)V (0) T (L)V (L) +M(0)θ (0) M(L)θ (L) aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 56 / 93
Poutres homogènes planes Cinématique Travail des efforts extérieurs On suppose que les forces concentrées sont appliquées aux extrémités (x 1 = 0 et x 1 = L), et on intègre entre 0 et L les efforts répartis. Les données sont : les forces normales F 0 et F L, tangentielles P 0 et P L, les moments M 0 et M L, les efforts répartis, représentés par des densités linéiques normales p et tangentielle t : δw ext = F 0 U (0) + F L U (L) + P 0 V (0) + P L V (L) +M 0 θ (0) +M L θ (L) ( + pv + tu ) ) dx 1 L aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 57 / 93
Plan Introduction Géométrie et chargement Hypothèse sur le matériaux Principe de aint-venant Actions mécaniques extérieures Les charges Les actions de liaison Equilibre des actions mécaniques extérieures Détermination du Degré d hyperstaticité d une structure Torseur des efforts intérieurs Principe des travaux virtuels Poutres homogènes planes Cinématique Equilibre Loi de comportement Poutres composites
Poutres homogènes planes Equilibre Caractérisation de l équilibre ( δw int = N,1 U M,1 θ T,1 V + T θ ) ) dx 1 L +N(0)U (0) N(L)U (L) + T (0)V (0) T (L)V (L) +M(0)θ (0) M(L)θ (L) δw ext = F 0 U (0) + F L U (L) + P 0 V (0) + P L V (L) +M 0 θ (0) +M L θ (L) ( + pv + tu ) ) dx 1 L Comme l égalité δw int + δw ext = 0 est valable quel que soit le triplet (U, V, θ ), on trouve, en identifiant terme à terme les expressions de δw int et δw ext : N(0) = F 0 N(L) = F L T (0) = P 0 T (L) = P L M(0) = M 0 M(L) = M L N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 59 / 93
Poutres homogènes planes Equilibre Ecriture de l équilibre On rappelle les efforts intérieurs : N = σ 11 d T = σ 13 d M = x 3 σ 11 d On obtient : N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 t p ignification physique pour une «tranche» de la poutre T N M N+dN T+dT M+dM dn = tdx 1 dt = pdx 1 dm = Tdx 1 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 60 / 93
Plan Introduction Géométrie et chargement Hypothèse sur le matériaux Principe de aint-venant Actions mécaniques extérieures Les charges Les actions de liaison Equilibre des actions mécaniques extérieures Détermination du Degré d hyperstaticité d une structure Torseur des efforts intérieurs Principe des travaux virtuels Poutres homogènes planes Cinématique Equilibre Loi de comportement Poutres composites
Poutres homogènes planes Loi de comportement Lois de comportement : force axiale On a Eε 11 = σ 11 ν(σ 22 + σ 33 ) On néglige σ 22 et σ 33 N = σ 11 d = Eε 11 d = Eu 1,1 d N = EU,1 d + E(θx 3 ),1 d Le deuxième terme du développement est nul. N = U,1 E aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 62 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Lois de comportement : moment M = x 3 σ 11 d = x 3 Eε 11 d = E x 3 U,1 d + E x 3 (θx 3 ),1 d Le premier terme du développement est nul. M = Eθ,1 x 2 3 d = Eθ,1I avec I = x3 2 d, moment quadratique par rapport à x 2, si bien que : M = R x 3σ 11 d = EIθ,1 Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I = 2bh3 3 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 63 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Lois de comportement : cisaillement T = σ 13 = 2µε 13 d = µ(u 1,3 + u 3,1 )d = µ(θ + V,1 )d si bien que : T = µ(θ + V,1 ) aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 64 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Récapitulatif pour les poutres de Timoshenko Les lois de comportement globales de la structure s écrivent N = EU,1 T = µ(θ + V,1 ) M = EIθ,1 On rappelle les équations d équilibre : N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 et les conditions aux limites N(0) = F 0 N(L) = F L T (0) = P 0 T (L) = P L M(0) = M 0 M(L) = M L Il vient : T,1 = µ(θ,1 + V,11 ) = p M,1 = T = EIθ,11 = µ(θ + V,1 ) on obtient EIθ,111 = p permettant de calculer θ. Ensuite la flèche est déduite par : T,1 = µ(θ,1 + V,11 ) = p aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 65 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Déformée flexion cisaillement Degré de chaque variable en fonction de x 1 p T M θ V - - 0 1 2-0 1 2 3 0 1 2 3 4 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 66 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Méthode de résolution Le déplacement horizontal s obtient en intégrant la relation : U,1 = N/E La rotation relative entre les sections s obtient en intégrant la relation : θ,1 = M/EI La flèche est le résultat de la somme de deux termes, l un provenant de la rotation elle même, et l autre de l effort tranchant T : V,1 = θ + T /µ aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 67 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Remarques Expression des contraintes locales La connaissance de U, V et θ permet de remonter aux champs de déformation et de contrainte locaux. ( Eε 11 = Eu 1,1 ) est la somme de deux termes, dus à l élongation et à la flexion : σ 11 = N/ + Mx3 /I i le cisaillement est négligeable (Navier Bernoulli) θ = V,1 M = EIV,11 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 68 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Cinématique de la poutre de Navier Bernoulli x3 θ= v = dv/dx Ligne moyenne apres deformation P v = dv/dx Ligne moyenne avant deformation M P0 v M0 x1 u aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 69 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Cinématique de la poutre de Navier Bernoulli Dans la théorie qui a été développée jusque là, une section plane reste plane, mais pas perpendiculaire à l axe neutre. i les cisaillements sont faibles (effet du moment dominant), il est raisonnable de rajouter cette dernière hypothèse. On retrouve alors la théorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dans ce cas, il faut assurer ε 13 = 0, ce qui entraîne la condition suivante sur l hypothèse cinématique : 2ε 13 = V,1 + θ = 0 En théorie classique des poutres (Modèle de Navier-Bernoulli), les déformations dues à l effort tranchant sont négligées : les sections restent planes et normales à la ligne moyenne. Les sections droites sont indéformables au cours de la transformation. Elles subissent une translation et une rotation d ensemble (par section). Les points matériels situés dans le plan normal à la ligne moyenne se retrouvent dans un plan normal après transformation. Les distorsions dues à l effort tranchant sont négligées : V,1 + θ = 0 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 70 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Récapitulatif pour les poutres de Navier Bernoulli On rappelle les équations d équilibre : N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 et les conditions aux limites N(0) = F 0 N(L) = F L T (0) = P 0 T (L) = P L M(0) = M 0 M(L) = M L Les lois de comportement globales de la structure s écrivent N = EU,1 M = EIθ,1 = EIV,11 T = M,1 = EIV,111 Il vient : T,1 = EIV,1111 = p La flèche est obtenue comme solution d un problème d ordre 4 par rapport aux efforts appliqués ; elle est d ordre 2 pour un moment constant : V,1111 = p EI La rotation de la section est déduite par : θ = V,1 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 71 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Poutre encastrée soumise à son propre poids Poutre 0 < x 1 < L, de hauteur 2h et de largeur b, encastrée en x 1 = 0 x 3 0 T,1 = ρg T(L) = 0 T (x 1 ) = ρg(x 1 L) M,1 = T M(L) = 0 M(x 1 ) = 1 2 ρg(x 1 L) 2 θ,1 = M θ(0) = 0 θ(x EI 1 ) = ρg [ L 3 + (x 1 L) 3] 6EI V,1 = θ V(0) = 0 V(x 1 ) = ρg ( x 4 1 6EI 4 x 1 3 L + 3 ) 2 x 1 2 L2 Comme = 2bh, I = 2 3 bh3 V(x 1 ) = ρg 2Eh 2 L ( x 4 1 4 x 1 3 L + 3 ) 2 x 1 2 L2 x 1 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 72 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Poutre encastrée soumise à son propre poids (2) Expression de la flèche pour la poutre V(x 1 ) = ρg ( x 4 1 2Eh 2 4 x 1 3 L + 3 ) 2 x 1 2 L2 Flèche pour x 1 = L, pour x 1 = L/2 V(L) = 3ρgL4 8Eh 2 V(L/2) = 17ρgL4 128Eh 2 Flèche proportionnelle à ρ/e, L 4, h 2 (Flèche à L/2 / Flèche max) = 17 8 128 3 0,354 Application avec L=1,90 m ; g=-9,81 m/s 2 ; ρ=380 kg/m 3 ; h=3,0 mm ; E=8500 MPa ; V max =-24 cm aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 73 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Forces ou moments concentrés Poutre 0 < x 1 < L Lorsque la dérivée est définie : x1 dt x1 T (x 1 ) = T (0) + 0 dξ dξ = T (L) + dt L dξ dξ x1 x1 T (x 1 ) = T (0) p(ξ)dξ = T (L) p(ξ)dξ 0 L Une force concentrée conduit à une discontinuité, ainsi : x1 T (x 1 ) = T (0) p(ξ)dξ P(X i ) avec : 0 < X i < x 1 0 Exemple d une poutre sur appuis simples, chargée en son milieu avec une force ponctuelle P. Hormis P en x 1 = L/2, les efforts extérieurs sont : P 0 = P/2 P L = P/2 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 74 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Calcul de T pour une poutre sur deux appuis simples (flexion 3 points) x 3 0 L P P/2 P/2 x 1 Efforts tranchants aux extrémités : T (0) = P 0 = P/2 T (L) = P L = P/2 Passage en x 1 = L/2 : T = P Pour 0 < x 1 < L/2 : T (x 1 ) = P/2 Pour L/2 < x 1 < L : T (x 1 ) = P/2 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 75 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Poutre sur deux appuis simples (flexion 3 points) x 3 P x 1 si x 1 < l : T = P/2 ; M = Px 1 /2 si x 1 > l : T = P/2 ; M = P(l x 1 /2) T,M P/2 Pl/2 M x 1 T P/2 aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 76 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Flexion 3 points : calcul de la flèche max L angle θ est tel que θ,1 = Px 1 /2EI, et, comme il est nul en x 1 = l, on a : V(x 1 ) = θ = P(x 2 1 l2 ) 4EI La flèche, qui est nulle en x 1 = 0, se calcule par : x1 0 x1 T θdx 1 + 0 µ dx 1 = P 4EI (l2 x 1 x 1 3 3 ) + P 2µ x 1 Le maximum est obtenu pour x 1 = l : V(l) = Pl3 6EI + Pl 2µ aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 77 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Flexion 3 points : valeur numérique de la flèche max V(l) = Pl3 6EI + Pl 2µ Application numérique : P = 160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm (l est la demi-longueur, h est la demi-épaisseur) EI = 2 3 100 75000 23 = 40000000 N.mm 2 µ = 750002 1.3 100 2 = 5769231 N v = ( 10.41 0.0017) mm Le terme lié à l effort tranchant est négligeable. aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 78 / 93
Poutres homogènes planes Loi de comportement Poutre sandwich en flexion 3 points x 3 P e e 2l 2h x 1 On considère un sandwich, avec au centre ( h < x 3 < h) un matériau à faibles propriétés mécaniques, de type mousse (caractéristiques élastiques E m et µ m ), et, de chaque côté ( h e < x 3 < h et h < x 3 < h + e) une couche métallique (caractéristiques élastiques E a et µ a ). aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 79 / 93
Plan Introduction Géométrie et chargement Hypothèse sur le matériaux Principe de aint-venant Actions mécaniques extérieures Les charges Les actions de liaison Equilibre des actions mécaniques extérieures Détermination du Degré d hyperstaticité d une structure Torseur des efforts intérieurs Principe des travaux virtuels Poutres homogènes planes Cinématique Equilibre Loi de comportement Poutres composites
Poutres composites Poutre sandwich : force axiale On a toujours : N = R σ 11 d ; il faut reconstruire une approximation de σ 11 La contrainte σ 11 est discontinue, et : σ 11 (x 3 ) = E(x 3 )ε 11 σ 11 = E(x 3 )(U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) N = U,1 E(x 3 )d + θ,1 E(x 3 )x 3 d i E(x 3 ) est une fonction paire en x 3, et indépendante de x 2 ; la seconde intégrale est nulle N =< E > U,1 avec < E >= E(x 3 )d aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 81 / 93
Poutres composites Poutre sandwich : moment M = x 3 σ 11 d M = U,1 σ 11 = E(x 3 )(U 1,1 + θ 1,1 x 3 ) x 3 E(x 3 )d + θ,1 E(x 3 )x 2 3 d E(x 3 ) est une fonction paire en x 3, et indépendante de x 2 ; la première intégrale est nulle M =< EI > θ,1 avec < EI >= E(x 3 )x3 2 d aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 82 / 93
Poutres composites Poutre sandwich : cisaillement La contrainte σ 13 est continue à l interface. Il y a une incohérence en surface, car la valeur donnée par la théorie sur une facette de normale parallèle à x 1 est non nulle, alors que la surface x 3 est libre... Dans les couches externes, la contrainte σ 13 n est pas égale à 2µε 13. x 3 σ 13 = 0 σ 31 x 3 σ 13 x 1 σ 11 T = σ 13 d b +h 0 h +h σ 13 dx 2 dx 3 = (V,1 + θ) 2bµ(x 3 )dx 3 h T < µ > +h h (V,1 + θ) aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 83 / 93
Poutres composites Forme générale des équations pour une poutre composite i la distribution des modules n est pas paire en x 3, il y a un couplage entre traction et flexion. On doit écrire : N E i d E i x 3 d 0 U,1 M = E i x 3 d E i x3 2 d 0 = θ,1 T 0 0 µ i d V,1 + θ (3) Unités N N.m = N N.m 0 N.m N.m 2 0 = m 1 (4) N 0 0 N aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 84 / 93
Poutres composites Poutre sandwich en flexion 3 points :flèche max Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d utiliser les valeurs homogénéisées des produits EI et µ : v = Pl3 6 < EI > + Pl 2 < µ > L aluminium (E a, µ a ), est situé entre les cotes ±h et ±(h + e). La mousse (E m, µ m ) entre les cotes ±h. Il vient donc : < EI >= 2 3 b(e a((h + e) 3 h 3 ) + E m h 3 ) < µ >= 2bhµ m aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 85 / 93
Poutres composites Poutre sandwich en flexion 3 points Application numérique : L ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, E a = 75000 MPa, E m = 20 MPa, ν m = 0.3, b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit à : < EI >= 2 3 100(75000 (173 15 3 ) + 20 15 3 ) = 7694500000 N.mm 2 < µ >= 2 100 15 20 2 1.3 = 23077 N V = ( 0.054 0.867) mm C est maintenant le terme lié à l effort tranchant qui est prépondérant. On note l importance qu il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d Young de 0,80 MPa au lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu tout l avantage de l assemblage «sandwich». aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 86 / 93
Poutres composites Finite element computations Material parameter Aluminium alloy : Young s modulus E a, Poisson s ratio ν a = 0.3 Foam, calcul B : Young s modulus E f, Poisson s ratio ν f Geometry Foam thickness 2h, Alu thickness = e Length Width of the plate = 500 mm 100 mm F Loading Force/unit width F = 1.5 N/mm 2h e e Aluminium Foam aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 87 / 93
Poutres composites Mesh and boundary conditions Aluminium alloy : E = 75 GPa, ν=0.3 Foam, calcul B : E = 0.907 MPa, ν=0.2 Foam, calcul C : E = 20. MPa, ν=0.2 Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate A : Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm B and C : Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm Force YM V1 V2 V3 Bottom aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 88 / 93
Poutres composites Coarse and Fine meshes aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 89 / 93
Poutres composites Deformed y shapes z x A y z x B z x C aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 90 / 93
Poutres composites Vertical displacement 2 0 Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet coarse A fine A bending shear total -2 U2 (mm) -4-6 -8-10 -12 0 50 100 150 200 250 300 < - - - center - - Y - - right support - - - > aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 91 / 93
Poutres composites 0.1 0-0.1 Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core fine B bending shear total -0.2-0.3 U2 (mm) -0.4-0.5-0.6-0.7-0.8-0.9 0 50 100 150 200 250 300 < - - - center - - Y - - right support - - - > aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 92 / 93
Poutres composites 5 0 Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core fine B bending shear total -5-10 U2 (mm) -15-20 -25-30 -35 0 50 100 150 200 250 300 < - - - center - - Y - - right support - - - > aber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Poutres planes 3 Mai 2010 93 / 93