Synthèse d analyse Avril 2011

Snthèse d analse Avril 20

Cette snthèse d analse a été rédigée suite à une suggestion de M le Professeur E Delhez Elle est destinée à aider les étudiants à préparer l eamen d admission au études d ingénieur civil Son objectif est de proposer une snthèse des définitions et propriétés utiles Aucun résultat énoncé n est démontré Si un étudiant souhaite obtenir une preuve des énoncés annoncés, nous le renvoons à ses cours de l enseignement secondaire Il ne faut pas considérer ce document comme une bible! D une part, il ne s agit pas de notes de cours Les notions ne sont pas toujours abordées dans le même ordre que lors de leur approche en classe C est ainsi que les fonctions logarithmiques et eponentielles sont présentées sur le même pied que les polnômes, fractions rationnelles, etc D autre part, il est certainement pourvu de nombreu défauts : lacunes, imprécisions, manque d eemples ou d eercices, illustrations omises, lapsus ou fautes de frappe, Une étude par coeur du contenu de ce recueil n est pas une bonne méthode pour se préparer et ne garantit en rien la réussite de l eamen La pratique de la résolution d eercices et de problèmes est également indispensable Nous renvoons le lecteur au questions/réponses publiées ailleurs Toutes nos ecuses pour ces défauts Nous espérons profiter des commentaires et remarques des utilisateurs pour perfectionner cette première version pour les années ultérieures Tous mes remerciements au Professeur Delhez pour ses relectures et ses nombreu conseils avisés Yvan Haine 2

Chapitre Notions de base Définitions Une fonction f réelle d une variable réelle est une loi qui à tout réel associe au plus un réel noté f() On dit que f() est l image du réel par la fonction f ou la valeur de la fonction f en L ensemble des valeurs de qui ont une image par f est le domaine de définition de la fonction f On le note généralement dom f L ensemble {f() : dom f} est appelé l ensemble image de f ou l ensemble des valeurs de f Certains l appellent aussi codomaine de f Dans le plan muni d un repère (généralement orthonormé ou au moins orthogonal), on représente l ensemble des points de coordonnées (, f()) On obtient ainsi une courbe d équation = f() C est le graphique de la fonction f Un zéro de la fonction f est une valeur de telle que f() = 0 2 Lecture de graphique On peut facilement lire plusieurs caractéristiques d une fonction sur son graphique Un point de l ae des abscisses appartient au domaine de définition d une fonction si la perpendiculaire à l ae des abscisses issue de ce point rencontre le graphique de la fonction en un point 3

2 LECTURE DE GRAPHIQUE CHAPITRE NOTIONS DE BASE Eemple Soit une fonction dont le graphique est ci-dessous : = f() dom f Le point = 2 appartient au domaine de f Par contre la fonction n est pas définie au point = Le domaine de définition de f est [0, + [ Remarque Si une perpendiculaire à l ae des abscisses rencontre un graphique en plus d un point, alors ce graphique n est pas celui d une fonction Eemple Un point de l ae des ordonnées appartient à l ensemble des valeurs d une fonction si la perpendiculaire à l ae des ordonnées issue de ce point rencontre le graphique de la fonction en au moins un point 4

CHAPITRE NOTIONS DE BASE 2 LECTURE DE GRAPHIQUE Eemple Soit une fonction dont le graphique est ci-dessous : = f() ens val f La valeur = 2 appartient à l ensemble des valeurs de f, au contraire de la valeur = L ensemble des valeurs de f est [0, + [ Les zéros d une fonction sont les abscisses des points d intersection du graphique avec l ae des abscisses Eemple Soit la fonction f dont le graphique est ci-dessous : = f() 3 3 Les zéros de f sont = 3, = 0 et = 3 Une fonction est positive (négative) sur un intervalle I ssi son graphique est au-dessus (en-dessous) de l ae des lorsque I 5

3 FONCTIONS PAIRES ET IMPAIRES CHAPITRE NOTIONS DE BASE Eemple La fonction f de l eemple précédent est positive sur ] 3, 0[ ] 3, [ et négative sur ], 3[ ]0, 3[ 3 Fonctions paires et impaires 3 Définition Une fonction f est paire si dom f, dom f et f( ) = f() Une fonction f est impaire si dom f, dom f et f( ) = f() Remarque Une condition nécessaire pour qu une fonction soit paire ou impaire est donc que son domaine de définition soit smétrique par rapport à l origine Insistons sur le fait qu il s agit d une condition nécessaire, mais pas suffisante Il eiste des fonctions dont le domaine est smétrique par rapport à 0 mais qui ne sont ni paires, ni impaires Eemple Le domaine de définition de la fonction f() = + est R Mais comme f( ) = +, la fonction n est ni paire (f( ) f()) ni impaire (f( ) f()) Par contraposition, si le domaine de définition d une fonction n est pas smétrique par rapport à 0, la fonction n est ni paire, ni impaire Eemple Le domaine de définition de la fonction f() = est [0, + [ Cet ensemble n est pas smétrique par rapport à 0 Par conséquent, la fonction n est ni paire, ni impaire 6

CHAPITRE NOTIONS DE BASE 3 FONCTIONS PAIRES ET IMPAIRES 32 Propriétés du graphique Le graphique d une fonction paire est smétrique par rapport à l ae des ordonnées Eemple f() = 2 f() = f( ) Le graphique d une fonction impaire est smétrique par rapport à l origine des aes Eemple f() = 3 f() f( ) 7

4 VARIATIONS ET EXTREMA CHAPITRE NOTIONS DE BASE 33 Fonctions fondamentales Si n Z et k R, les fonctions f() = 2n, f() = cos, f() = et f() = k sont des fonctions paires Si n Z, les fonctions f() = 2n+, f() = sin, f() = tg sont des fonctions impaires 34 Propriétés Si f est impaire et définie en = 0, alors f(0) = 0 La somme ou différence de deu fonctions paires (impaires) est paire (impaire) Le produit ou quotient de deu fonctions de même parité (de parités différentes) est paire (impaire) Conséquences Toute fonction dont l epression est un polnôme ne contenant que des puissances paires (impaires) de est une fonction paire (impaire) 4 Variations et etrema 4 Croissance et décroissance Une fonction réelle f est croissante sur un intervalle [a, b] si, 2 [a, b], < 2 f( ) f( 2 ) Une fonction réelle f est décroissante sur un intervalle [a, b] si, 2 [a, b], < 2 f( ) f( 2 ) 8

CHAPITRE NOTIONS DE BASE 4 VARIATIONS ET EXTREMA Eemple La fonction f() = 2 est croissante sur [0, + ] f( ) 2 f( 2 ) Une fonction réelle f est strictement croissante sur un intervalle [a, b] si, 2 [a, b], < 2 f( ) < f( 2 ) Une fonction réelle f est strictement décroissante sur un intervalle [a, b] si, 2 [a, b], < 2 f( ) > f( 2 ) 42 Etrema d une fonction Appelons voisinage de 0 un intervalle (non réduit à 0 ) contenant 0 Soit une fonction f réelle, définie sur un ensemble I et 0 I On dit que f admet un maimum local en 0 si il eiste un voisinage V I de 0 tel que V, f() f( 0 ) On dit que f admet un minimum local en 0 si il eiste un voisinage V I de 0 tel que V, f() f( 0 ) 9

4 VARIATIONS ET EXTREMA CHAPITRE NOTIONS DE BASE Eemple La fonction f() = sin admet un maimum local en = π 2 f() = sin π 2 On dit que f admet un maimum global en 0 si I, f() f( 0 ) On dit que f admet un minimum global en 0 si I, f() f( 0 ) Eemple La fonction f() = 2 admet un minimum global en = 0 Remarque La maimum ou minimum est dit strict si V, 0, f() < f( 0 ) ou f() > f( 0 ) 0

CHAPITRE NOTIONS DE BASE 5 TRANSFORMATIONS GRAPHIQUES 5 Transformations graphiques 5 f() + k Si k R, le graphique de la fonction f() + k est obtenu en translatant le graphique de la fonction f() de k unités selon l ae des ordonnées Eemple f() = sin f() = sin + 2 2 e 2 52 f( + k) Si k R, le graphique de la fonction f( + k) est obtenu en translatant le graphique de la fonction f() de k unités selon l ae des abscisses Eemple f() = sin f() = sin( + 3π 4 ) 3π 4 e

5 TRANSFORMATIONS GRAPHIQUES CHAPITRE NOTIONS DE BASE 53 k f() Si k R, le graphique de la fonction k f() est obtenu en multipliant les ordonnées des points du graphique de la fonction f() par k Cette transformation géométrique s appelle une affinité Cela a pour effet d «étirer»le graphique de f parallèlement à l ae O si k > ou de l «aplatir»si k < Eemple f() = sin f() = 3 sin() 54 f(k ) Si k R, le graphique de la fonction f(k ) est obtenu en «étirant»le graphique de f parallèlement à l ae O si k < ou en «compressant»le graphique de f parallèlement à l ae O si k > Cette transformation géométrique s appelle une affinité 2

CHAPITRE NOTIONS DE BASE 5 TRANSFORMATIONS GRAPHIQUES Eemple f() = sin f() = sin(3) 55 f() Le graphique de la fonction f() est obtenu par l union du graphique de f lorsque f() est positif et du graphique de f lorsque f() est négatif Eemple f() f() 3

5 TRANSFORMATIONS GRAPHIQUES CHAPITRE NOTIONS DE BASE 4

Chapitre 2 Limites La notion de limite est fort compliquée et toute en nuances Définir cette notion avec rigueur (définitions en ε, η) demande beaucoup de temps et de précision tant le nombre de cas à envisager est important Nous omettons donc volontairement ces définitions rigoureuses dans cette snthèse Par contre, nous en donnerons des définitions "intuitives" et les illustrerons par des eemples et des interprétations graphiques Maitriser le concept de limite demande deu choses : interpréter la limite obtenue pour comprendre comment la fonction se comporte au "voisinage" des bornes ouvertes de son domaine de définition, être capable de calculer une limite Ces deu aspects sont abordés dans cet ordre dans cette snthèse 2 Point adhérent Un point est adhérent à un ensemble s il appartient à cet ensemble ou s il est une borne ouverte de cet ensemble Par etension intuitive de cette définition, nous admettrons de dire que + ( ) est adhérent à un intervalle du tpe ]a, + [ (], b[) 5

22 DÉFINITIONS INTUITIVES CHAPITRE 2 LIMITES 22 Définitions intuitives 22 Limite finie à l infini Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ et α R La limite de f quand tend vers + est égale à α si la différence f() α prend des valeurs aussi petites que l on veut pour autant que soit suffisamment grand On note lim + f() = α On dit aussi que f tend vers α lorsque tend vers + Eemple Soit la fonction f() = + On peut prouver (voir paragraphe relatif au calcul des limites) que lim + f() = Graphiquement, on a f() = f() Interprétation graphique Dans ce cas, la différence f() représente la différence entre l ordonnée d un point du graphique de f d abscisse et le nombre Cette différence devient aussi petite que l on veut pour autant que s éloigne suffisamment de l origine vers la droite 6

CHAPITRE 2 LIMITES 22 DÉFINITIONS INTUITIVES Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ], b[ et α R La limite de f quand tend vers est égale à α si la différence f() α prend des valeurs aussi petites que l on veut pour autant que soit négatif, suffisamment grand en valeur absolue On note lim f() = α On dit aussi que f tend vers α lorsque tend vers Eemple Soit la fonction f = + On peut prouver (voir paragraphe relatif au calcul des limites) que lim f() = Graphiquement, on a f() = f() Interprétation graphique Dans ce cas, la différence f() représente la différence entre l ordonnée d un point du graphique de f d abscisse et l ordonnée du point de la droite d équation = qui a la même abscisse Cette différence d ordonnées devient aussi petite que l on veut pour autant que s éloigne suffisamment de l origine vers la gauche Remarques Il est possible -comme dans l eemple ci-dessus- que les limites de la fonction quand 7

22 DÉFINITIONS INTUITIVES CHAPITRE 2 LIMITES tend vers + et quand tend vers soient égales Dans ce cas, on utilisera couramment la notation lim f() = α ± en étant conscient que l on écrit deu limites en même temps Il est indispensable que + (- ) soit une borne ouverte du domaine de définition de f pour que la notion de limite en + ( ) ait un sens Eemple n a pas de sens puisque dom = [0, + [ lim 222 Limite infinie à l infini Limite en + Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ La limite de f quand tend vers + est égale à + si f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que soit suffisamment grand On note lim f() = + + On dit aussi que f tend vers + lorsque tend vers + Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ La limite de f quand tend vers + est égale à si f() est négative et f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que soit suffisamment grand On note lim f() = + On dit aussi que f tend vers lorsque tend vers + 8

CHAPITRE 2 LIMITES 22 DÉFINITIONS INTUITIVES Eemple Soit la fonction f() = 2 2 On peut prouver que lim + f() = + Graphiquement, on a f() lim + f() = + Interprétation graphique Si lim + f() = +, alors le graphique de f "se dirige" vers le coin supérieur droit du plan Limite en Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ], b[ La limite de f quand tend vers est égale à + si f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que soit négatif et suffisamment grand On note lim f() = + On dit aussi que f tend vers + lorsque tend vers Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ], b[ La limite de f quand tend vers + est égale à si f() est négative et f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que soit négatif et suffisamment grand On note lim f() = 9

22 DÉFINITIONS INTUITIVES CHAPITRE 2 LIMITES On dit aussi que f tend vers lorsque tend vers Eemple Soit la fonction f() = 2 2 On peut prouver que lim f() = + Graphiquement, on a f() lim f() = + Interprétation graphique Si lim f() = +, alors le graphique de f "se dirige" vers le coin supérieur gauche du plan 223 Limite infinie en un réel Limite à droite et à gauche Limite à droite Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, b[, a R La limite à droite de f quand tend vers a est égale à + si f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que > a soit suffisamment proche de a On note lim a + f() = + On dit aussi que f tend vers + lorsque tend vers a par la droite 20

CHAPITRE 2 LIMITES 22 DÉFINITIONS INTUITIVES La limite à droite de f quand tend vers a est égale à si f() prend des valeurs négatives, en valeur absolue aussi grandes que l on veut pour autant que > a soit suffisamment proche de a On note lim f() = a + On dit aussi que f tend vers lorsque tend vers a par la droite Limite à gauche Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, b[, b R La limite à gauche de f quand tend vers b est égale à + si f() prend des valeurs aussi grandes que l on veut pour autant que < b soit suffisamment proche de b On note lim f() = + b On dit aussi que f tend vers + lorsque tend vers b par la gauche La limite à gauche de f quand tend vers b est égale à si f() prend des valeurs négatives, en valeur absolue aussi grandes que l on veut pour autant que < b soit suffisamment proche de a On note lim f() = b On dit aussi que f tend vers lorsque tend vers b par la gauche 2

22 DÉFINITIONS INTUITIVES CHAPITRE 2 LIMITES Eemple Soit f() = 2 4 On peut prouver que lim 2 + lim ( 2) + 2 4 = + 2 4 = + lim 2 lim ( 2) 2 4 = 2 4 = lim ( 2) f() = + lim f() = + + 2-2 2 f() lim ( 2) f() = + lim f() = 2 Limite infinie en un réel Si f une fonction définie sur un ensemble contenant un ensemble du tpe ]a, b[ ]b, c[, la limite de f quand tend vers b est égale à + ( ) si les limites de f quand tend vers b à gauche et à droite sont égales à + ( ) 22

CHAPITRE 2 LIMITES 22 DÉFINITIONS INTUITIVES Eemple Soit f() = 2 On peut prouver que lim 0 f() = + f() lim 0 + f() = + lim 0 f() = + Si les limites de f à droite et à gauche de b eistent et sont différentes, la limite de f quand tend vers b n eiste pas Eemple Soit f() = On peut prouver que lim 0 ± f() = ± Donc lim 0 f() n eiste pas car les limites à gauche et à doite eistent mais sont différentes f() Si f est une fonction définie à droite (à gauche) d un réel b et pas à gauche (pas à droite), alors la limite de f quand tend vers b est égale à la limite de f quand tend vers b par la droite (gauche) 23

22 DÉFINITIONS INTUITIVES CHAPITRE 2 LIMITES Eemple Soit f() = ln On sait que que lim 0 + f() = La limite à gauche n a pas de sens Donc lim 0 f() = f() 224 Limite finie en un réel Limite à droite Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, b[, a R La limite à droite de f quand tend vers a est égale à α, α R si f() prend des valeurs aussi proches que l on veut de α pour autant que > a soit suffisamment proche de a On note lim a + f() = α On dit aussi que f tend vers α lorsque tend vers a par la droite Limite à gauche Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, b[, b R La limite à gauche de f quand tend vers b est égale à β si f() prend des valeurs aussi proches que l on veut de β pour autant que < b soit suffisamment proche de a On note lim b f() = β On dit aussi que f tend vers β lorsque tend vers b par la gauche Limite finie en un réel Si f est une fonction définie sur un ensemble contenant un ensemble du tpe ]a, b[ ]b, c[ La 24

CHAPITRE 2 LIMITES 22 DÉFINITIONS INTUITIVES limite de f quand tend vers b est égale à α(α R) si les limites de f quand tend vers b à gauche et à droite sont égales à α Si f est une fonction définie à droite (à gauche) d un réel b et pas à gauche (droite), alors la limite de f quand tend vers b est égale à la limite de f quand tend vers b par la droite (gauche) Dans les deu cas, on dit aussi que f tend vers α lorsque tend vers b Eemple Soit f() = Cette fonction est définie sur R On a lim 0 ± = 0 Les limites à gauche et à doite de 0 sont égales Donc lim 0 = 0 f() Eemple Soit f() = Cette fonction est définie sur [0, + [ On a lim 0 + = 0 La limite à gauche de 0 n a pas de sens Donc lim 0 = 0 f() 25

23 CALCUL DE LIMITES CHAPITRE 2 LIMITES 23 Calcul de limites Le calcul de la limite d une fonction se fait à l aide de deu éléments : des limites de fonctions fondamentales des théorèmes relatifs au limites de somme, produit, quotient et composition de fonctions 23 Limites fondamentales Limites à l infini Lorsqu on calcule la limite d une fonction en ±, on est souvent amené à envisager les mêmes limites Il est donc indispensable de connaître les résultats suivants (qui sont tous démontrables) lim k = k, k R ± + si n est pair lim ± n = lim ± = 0, n N n ± si n est impair lim p q = +, p > 0, q > 0 + lim p q = 0, p < 0, q > 0 + lim ln = + + lim + e = + lim e = 0 + ( π ) lim arctg = ± ± 2, n N 26

CHAPITRE 2 LIMITES 23 CALCUL DE LIMITES Limites infinies lim = si n N est impair a ( a) n lim = + si n N est pair a ( a) n lim = + pour tout n naturel a + ( a) n lim a + ( a) = + pour tout q q Q+ 0 lim ln = 0 + Limites finies Pour tout polnôme P (), lim P () = P (a) a a R +, lim = a a a R, lim e = e a a a R + 0, lim ln = ln a a a R, lim sin = sin a a a R, lim cos = cos a a a [, ], lim arcsin = arcsin a a a [, ], lim arcos = arcos a a a R, lim arctg = arctg a a 232 Limites et opérations Pour évaluer la limite d une fonction en ±, on peut utiliser les théorèmes suivants Ils permettent de donner la valeur de la limite d une somme, d un produit, de deu fonctions Certaines configurations ne donnent cependant pas toujours le même résultat Ce sont les cas dits "d indétermination" Ils figurent entre [ et ] dans les énoncés suivants 27

23 CALCUL DE LIMITES CHAPITRE 2 LIMITES Deu limites finies Si lim f() = α et lim g() = β, α, β R alors ± ± lim (f() + g()) = α + β ± lim (f() g()) = α β ± lim ± (f() g()) = α β f() lim ± g() = α β si β 0 si α 0 et β = 0 [ ] 0 si α = 0 et β = 0 0 Une limite finie et une limite infinie Si lim f() = α et lim g() = +, α R alors ± ± lim (f() + g()) = + ± lim ± lim (f() g()) = ± f() lim ± lim ± (f() g()) = g() = 0 g() f() = si α 0 [0 ] si α = 0 Deu limites infinies Si lim f() = + et lim g() = + alors ± ± lim (f() + g()) = + ± lim (f() g()) = [ ] ± lim ± lim ± (f() g()) = + f() [ ] g() = 28

CHAPITRE 2 LIMITES 24 CAS D INDÉTERMINATION 233 Limite d une fonction de fonction Si f est une fonction définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ telle que lim f() = α et si g est une fonction définie sur un intervalle dont α est + adhérent est telle que lim g() = A, alors lim g(f()) = A α a Eemple La fonction f() = + 2 La fonction g est définie sur R\{ 2} et est la composée des fonctions g() = + 2 lim + La fonction h est définie sur R + et lim = 0 + (A = 0) 0 + Donc lim + + 2 = 0+ 24 Cas d indétermination et h() = + 2 = 0+ (a = + et α = 0) Trouver la vraie valeur d une limite lorsque celle-ci est une indétermination s appelle "lever l indétermination" Il n est pas possible d epliquer ici toutes les configurations possibles et toutes les méthodes correspondantes Nous nous contenterons d epliquer les plus fréquentes 24 Polnômes : cas [ ] La limite à l infini d un polnôme P () = suivant n a k k où a n 0 se calcule à l aide du théorème k=0 La limite à l infini d un polnôme est égale à la limite de son terme de plus haute puissance lim P () = lim a n n ± ± Les cas d indétermination nécessitant le théorème de l Hospital sont abordés dans le chapitre des dérivées 29

24 CAS D INDÉTERMINATION CHAPITRE 2 LIMITES Eemple lim + 3 2 2 = [ ] = lim + 3 = + 242 Fonction rationnelle : [ ] La limite à l infini d une fonction rationnelle P () Q() = à l aide du théorème suivant n a k k k=0 p b k k k=0 où a n 0 et b p 0 se calcule La limite à l infini d une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes de plus haute puissance du numérateur et du dénominateur P () lim ± Q() = lim a n n ± b p p Conséquence La limite à l infini d une fonction rationnelle est égale à 0 si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur a n si le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur b n ± si le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur Eemple 3 2 2 lim + lim + lim + [ 3 4 2 = 3 2 2 [ ] 3 3 = 3 2 2 [ ] 3 2 = ] = lim + = lim + = lim + 3 3 4 = 0 3 3 3 = 3 3 3 2 = + 30

CHAPITRE 2 LIMITES 24 CAS D INDÉTERMINATION 243 Fonctions irrationnelles [ cas ] [ Si une indétermination apparaît dans une epression faisant apparaître une ] fonction irrationnelle, l indétermination peut généralement être levée en mettant en évidence la plus haute puissance du radicand Eemple Soit f() = 2 On a lim 2 [ = ± ] = lim ± = ± { }} { 2 cas [ ] Les cas d indétermination [ ] faisant apparaître une epression irrationnelle se lèvent généralement en multipliant et en divisant l epression par le binôme conjugué Eemple Soit f() = 2 On a ( lim 2 ) = [ ] + ( = lim 2 )( 2 + ) ± 2 + = lim ± = 0 2 + Remarque Si le cas d indétermination [ ] se présente avec une epression irrationnelle faisant intervenir une racine cubique, c est par le "trinôme conjugué" qu il faut multiplier afin d utiliser 3

24 CAS D INDÉTERMINATION CHAPITRE 2 LIMITES le produit remarquable a ± b = a3 ± b 3 a 2 ab + b 2 244 Fonction rationnelle : [ ] 0 0 La limite quand tend vers a d une fonction rationnelle P () présente l indétermination [ ] Q() 0 lorsque a est à la fois un zéro de P () et de Q() 0 On en déduit la méthode de levée de l indétermination : on factorise P () et Q() en divisant ces deu polnômes par a, puis on simplifie la fonction rationelle Eemple lim 2 3 = [ ] 0 ( )( + ) = lim 0 ( )( 2 + + ) = lim ( + ) ( 2 + + ) = 2 3 Remarque Comme le montre l eemple ci-dessus, la limite d une fonction rationnelle en un des zéros du dénominateur peut donc être finie Il est donc fau de dire qu une fonction rationnelle admet une asmptote verticale au() zéro(s) de son dénominateur 245 Fonctions irrationnelles cas [ ] 0 0 [ ] 0 Si une indétermination apparaît dans une epression faisant apparaître une 0 fonction irrationnelle, l indétermination peut généralement être levée soit en multipliant et divisant la fraction par le binôme conjugué de l (les) epression(s) irrationnelle(s) soit par simplification 32

CHAPITRE 2 LIMITES 25 LIMITES ET INÉGALITÉS Eemple Soit f() = [ ] 0 On a lim = 0 + = lim + ( )( + ) = lim = lim ( + ) = 2 Soit f() = On a lim 0 + = lim = + 0 + 25 Limites et inégalités Si f et g sont deu fonctions telles que f() < g() dans un voisinage de a (sauf éventuellement en a) admettant chacune une limite quand tend vers a, alors lim f() lim g() a a Eemple Soient f() = et g() = 2 Ces deu fonctions vérifient g() < f() pour tout > Par suite lim + 2 lim + De même, les deu fonctions vérifient f() < g() pour tout ]0, [ Par suite lim 0 + lim 0 + 2 33

25 LIMITES ET INÉGALITÉS CHAPITRE 2 LIMITES Théorème de l étau a Si f, g et h sont trois fonctions telles que f() g() h() dans un voisinage de a (sauf éventuellement en a), et si lim f() = lim h() = α, a a alors lim g() = α a a Les bricoleurs l appellent "théorème de l étau", les gourmands "théorème du sandwich" et les autres "théorème des gendarmes" Eemple Soient les fonctions f() = sin, g() = et h() = Pour tout > 0, on a f() g() h() De plus, lim f() = lim h() = 0 + + Par conséquent, sin lim + = 0 On peut faire le même raisonnement en h() g() f() 34

Chapitre 3 Asmptotes 3 Asmptote horizontale Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ (], b[) et α R On dit que la droite d équation = α est une asmptote horizontale au graphique de f en + ( ) lorsque lim f() = α ( lim f() = α) + 35

32 ASYMPTOTE OBLIQUE CHAPITRE 3 ASYMPTOTES Eemple Soit la fonction f() = +, comme lim ± f() =, le graphique de f admet la droite d équation = comme asmptote horizontale f() AH = La droite d équation = est une asmptote horizontale au graphique de f aussi bien en + qu en 32 Asmptote oblique 32 Définition Soit une fonction f définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, + [ (], b[) On dit que la droite d équation = m + p est une asmptote oblique au graphique de f en + ( ) ssi il eiste m et p réels tels que lim + (f() (m + p)) = 0 ( lim (f() (m + p)) = 0) 36

CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 32 ASYMPTOTE OBLIQUE 322 Critère d eistence d une asmptote oblique Le graphique de la fonction f admet une asmptote oblique en + ( ) ssi il eiste m et p réels tels que et p = m = f() lim + lim (f() m) + Eemple Soit la fonction f = 2 + Comme et m = p = f() lim + = lim f() = 0, + le graphique de f admet la droite d équation = comme asmptote oblique Graphiquement, on a f() = f() ) Interprétation graphique Dans ce cas, la différence f() représente la différence entre l ordonnée d un point du graphique de f d abscisse et l ordonnée du point de la droite d équation = qui a la même abscisse Cette différence d ordonnées devient aussi petite que l on veut pour autant que s éloigne suffisamment de l origine vers la droite 37

33 ASYMPTOTE VERTICALE CHAPITRE 3 ASYMPTOTES Ici, la même droite est également asmptote au graphique de f en Remarques L eistence d un m réel tel que m = tel que p = lim (f() m) + f() lim + ne garantit pas l eistence d un p réel Eemple Soit la fonction f() = On a lim = 0, mais lim = + + + Une asmptote horizontale est un cas particulier d asmptote oblique Elle correspond au cas m = 0 Le graphique d une fonction ne peut admettre une asmptote oblique (non horizontale) en + que si lim f() = ± La réciproque n est pas vraie : il eiste des fonctions + admettant une limite infinie et dont le graphique n admet pas d asmptote oblique Eemple f() = 2 2 33 Asmptote verticale Soit f une fonction définie sur un ensemble contenant un intervalle du tpe ]a, b[, alors la droite d équation = a est asmptote verticale à droite au graphique de f si lim f() = et a + la droite d équation = b est asmptote verticale à gauche au graphique de f si lim f() = b 38

CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 33 ASYMPTOTE VERTICALE Eemple Soit f() = Comme lim = et lim + = +, la droite d équation = est une asmptote verticale au graphique de f f() = AV : = Remarques Une droite d équation = a peut être asmptote verticale au graphique d une fonction à droite, à gauche ou des deu côtés Eemple Comme ln est définie uniquement sur ]0, + [ et lim 0 + ln =, la droite d équation = 0 est asmptote verticale à droite au graphique de la fonction f() = ln f() = ln 39

34 CO-EXISTENCE D ASYMPTOTES CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 34 Co-eistence d asmptotes 34 Asmptotes horizontales et obliques Soit f une fonction dont le domaine contient un intervalle du tpe ]a, + [ (], b[) Le graphique d une fonction ne peut admettre aucune des configurations suivantes une asmptote horizontale et une asmptote oblique en + ( ), deu horizontales en + ( ), deu obliques en + ( ) Par contre, le graphique d une fonction peut admettre deu asmptotes horizontales différentes en + et, f() = arctg = π 2 = π 2 deu asmptotes obliques différentes en + et f() = 2 une smptote oblique d un côté et une asmptote horizontale de l autre 40

CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 34 CO-EXISTENCE D ASYMPTOTES f() = + 2 + une asmptote d un côté et pas de l autre f() = e 342 Asmptotes verticales Le graphique d une fonction peut admettre plusieurs asmptotes verticales Eemple Le graphique de la fonction f() = 2 4, admet les deu droites d équation = 2 et = 2 comme asmptotes verticales tant à gauche qu à droite f() = 2 4 AV : = 2 AV : = 2 4

35 VALEURS SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES CHAPITRE 3 ASYMPTOTES Le graphique de la fonction f() = tg en admet une infinité d asmptotes verticales d équations = π 2 + kπ, k Z 3π 2 π 2 π 2 3π 2 35 Limites par valeurs supérieures et inférieures 35 Définitions Si lim f() = α et que f() > α, suffisamment grand (en valeur absolue), on dit ± que f tend vers α par des valeurs supérieures On note lim f() = ± α+ Si lim f() = α et que f() < α, suffisamment grand (en valeur absolue), on dit ± que f tend vers α par des valeurs inférieures On note lim f() = ± α 352 Interprétation graphique Graphiquement, le graphique de f est au-dessus de l asmptote horizontale d équation = α lorsque lim f() = ± α+ et le graphique de f est en-dessous de l asmptote horizontale d équation = α lorsque lim f() = ± α 42

CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 35 VALEURS SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES Eemple Soit la fonction f() = +, on a lim + f() = + et lim f() = Donc le graphique de f est au-dessus de la droite d équation = en + et endessous en f() AH = Remarques Il eiste des fonctions telles que lim ± f() = α sans qu on ne puisse préciser si elles tendent par des valeurs supérieures ou inférieures à α Eemple Soit la fonction f() = sin On a lim + sin = 0, mais f change périodiquement de signe Le graphique oscille de part et d autre de l ae des abscisses f() = sin Il est fau de dire que le graphique d une fonction ne peut pas avoir de point d intersection avec une asmptote horizontale 43

35 VALEURS SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES CHAPITRE 3 ASYMPTOTES Eemple La fonction f() = ln admet la droite d équation = 0 comme asmptote horizontale en + et f() = 0 f() = ln 353 Position d un graphique par rapport à une asmptote oblique Si le graphique d une fonction admet une asmptote oblique, on peut déterminer la position du graphique par rapport à cette asmptote oblique de la même façon que pour les asmptotes horizontales Si lim ± (f() m) = p+, le graphique de f est au-dessus de l asmptote oblique Si lim ± (f() m) = p, le graphique de f est en-dessous de l asmptote oblique Remarque Il est parfois difficile de prouver que la limite lim ± (f() m) = p± Dans ce cas, on peut utiliser les conditions équivalentes suivantes Si lim ± (f() (m + p)) = 0+, le graphique de f est au-dessus de l asmptote oblique Si lim ± (f() (m + p)) = 0, le graphique de f est en-dessous de l asmptote oblique 44

CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 35 VALEURS SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES Eemple Soit la fonction f() = 2 + 2 + Comme f() m = lim ± = et p = lim f() = lim 2 + 2 + 2 ± = 2, la droite d équation = + 2 est asmptote oblique au graphique de f Pour déterminer la position du graphique de f par rapport à l asmptote oblique, on calcule p = lim f() ( + 2) = lim 2 + 2 + ( 2 + 2) = lim ± ± ± = 0± Le graphique de f est situé au-dessus de l asmptote en + et en-dessous de l asmptote en Graphiquement, on a f() = 45

35 VALEURS SUPÉRIEURES ET INFÉRIEURES CHAPITRE 3 ASYMPTOTES 46

Chapitre 4 Fonctions continues 4 Définitions Une fonction f est continue en un point 0 de son domaine si lim 0 f() = f( 0 ) Une fonction f est continue sur un intervalle [a, b] si elle est continue en tout point de [a, b] L ensemble des points où la fonction est continue est le domaine de continuité de la fonction Remarque Pour qu une fonction soit continue en un point 0, il faut donc que 3 conditions soient réalisées : f( 0 ) doit eister La fonction f doit être définie en 0 lim 0 f() doit eister et être finie lim 0 f() doit être égale à f( 0 ) Notation Soit un intervalle I L ensemble des fonctions continues sur I est noté C 0 (I) Une fonction continue sur I appartient donc à C 0 (I) 47

4 DÉFINITIONS CHAPITRE 4 FONCTIONS CONTINUES Eemple La fonction f() = E() (fonction partie entière) n est pas continue en chaque entier En effet, comme lim E() = 0 et lim + E() =, lim E() n eiste pas Eemple La fonction f() = + 2 si 4 si = n est pas continue en = En effet, comme lim f() = 3 et f() = 4, lim f() f() f() 48

CHAPITRE 4 FONCTIONS CONTINUES 42 PROPRIÉTÉS 42 Propriétés 42 Opérations sur les fonctions continues Si f et g sont deu fonctions continues en 0, alors αf + βg est continue en 0, α, β R f g est continue en 0 si g( 0 ) 0, f g est continue en 0 422 Continuité d une fonction de fonction Si f est une fonction continue en 0 et si g est une fonction continue en f( 0 ) alors g(f()) est continue en 0 43 Eemples fondamentau Tout polnôme est continu sur R Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition Les fonctions,, ln et e sont continues sur leur domaine de définition Les fonctions sin, cos et tg sont continues sur leur domaine de définition Les fonctions arcsin, arcos et arctg sont continues sur leur domaine de définition 49

44 THÉORÈMES CHAPITRE 4 FONCTIONS CONTINUES 44 Théorèmes des fonctions continues 44 Théorème des bornes atteintes Une fonction f réelle, continue sur un intervalle fermé borné [a, b] réalise ses bornes supérieures et inférieures sur [a, b] Si f C 0 [a, b], m et M [a, b] tels que f(m) f() f(m), [a, b] f(m) f(b) f(a) a m M b f(m) Remarque f(m) et f(m) sont respectivement les bornes inférieure et supérieure de f sur [a, b] On traduit aussi ce théorème en disant Une fonction f continue sur un intervalle [a, b] est bornée 50

CHAPITRE 4 FONCTIONS CONTINUES 44 THÉORÈMES 442 Théorème des valeurs intermédiaires Si f est une fonction réelle, continue sur l intervalle [a, b] et telle que f(a) f(b), alors, pour tout réel α compris entre f(a) et f(b), il eiste un point c [a, b] tel que f(c) = α f(b) a α c b f(a) Remarques Le point c n est pas nécessairement unique Le point c est unique ssi la fonction f est strictement monotone (croissante ou décroissante) Toute fonction continue qui change de signe entre a et b s annule au moins une fois entre a et b Cette propriété est à la base de la méthode de résolution d une équation f() = 0 par la méthode de dichotomie Cette version du théorème des valeurs intermédiaires peut être élargie : 5

44 THÉORÈMES CHAPITRE 4 FONCTIONS CONTINUES Si f est une fonction réelle, continue sur l intervalle ]a, b[ et telle que lim f() et a + lim f() eistent et sont différentes, alors, pour tout réel α compris entre lim f() b a + et lim f(), il eiste un point c ]a, b[ tel que f(c) = α b Cet énoncé a pour conséquence la propriété suivante : Tout polnôme de degré impair admet au moins un zéro réel En effet, les limites d un polnôme de dégré impair en + et sont de signes différents et tout polnôme est continu sur R 52

Chapitre 5 Fonctions dérivables 5 Définitions Le nombre dérivé de la fonction f au point 0 (appartenant au domaine de définition de f) est le nombre noté f ( 0 ) tel que f ( 0 ) = lim h 0 f( 0 + h) f( 0 ) h si cette limite eiste et est finie On le note aussi df d ( 0) La fonction f est dérivable en 0 si f ( 0 ) eiste f( 0 + h) f( 0 ) Si lim n eiste pas ou si elle est infinie, la fonction est dite non h 0 h dérivable en 0 Si f est dérivable en chacun des points d un ensemble E, elle est dite dérivable sur E Si f est dérivable sur E, la fonction f qui à chaque point de E associe son nombre dérivé f () est appelée fonction dérivée de f Si cette fonction dérivée est continue, on dit que f est continument dérivable Remarques Pour que f ( 0 ) eiste, il faut évidemment que f soit définie en 0 mais aussi dans un voisinage de 0 (pour que f( 0 + h) eiste) On ne peut donc pas calculer la dérivée d une fonction en un point isolé de son domaine de définition 53

52 FORMULES DE DÉRIVABILITÉ CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES On utilise aussi la définition équivalente f ( 0 ) = lim 0 f() f( 0 ) 0 Une fonction f définie sur [a, b] est dérivable à droite en = a si f(a + h) f(a) lim h 0 + h eiste et est finie On appelle cette limite le nombre dérivé à droite de f en = a De même, f est dérivable à gauche en = b si f(b + h) f(b) lim h 0 h eiste et est finie On appelle cette limite le nombre dérivé à gauche de f en = b L epression f( 0 + h) f( 0 ) h est appelée quotient différentiel ou tau d accroissement de f entre 0 et 0 + h 52 Formules de dérivabilité Le calcul des dérivées des fonctions peut se faire à l aide des formules et propriétés suivantes : 54

CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 52 FORMULES DE DÉRIVABILITÉ 52 Dérivées immédiates ( n ) = n n, n N, R (sin ) = cos, R (cos ) = sin, R (ln ) =, R+ 0 (ep ) = ep(), R (arcsin ) =, ], [ 2 (arcos ) =, ], [ 2 (arctg ) = +, R 2, R + ( ) 0 =, R 0 Remarque La formule de dérivation d une puissance ( n ) = n n peut être étendue au eposants entiers à condition alors que R 0 Eemple ( ) = 2 De même, elle peut être étendue au eposants rationnels q = m p où m, p Z 0 sont premiers entre eu Suivant les valeurs de m et p, la formule est alors vraie dans R 0 ou R + 0 Eemple En particulier, ( ) = 2, R+ 0 ( 3 ) = 3 3 2, R 0 55

52 FORMULES DE DÉRIVABILITÉ CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 522 Propriétés Dérivée d une somme, d un produit et d un quotient de deu fonctions Si f et g sont dérivables en, alors α f + β g est dérivable en, quels que soient α et β R et (α f + β g) () = α f () + β g () Si f et g sont dérivables en, alors f g est dérivable en et (f g) () = f () g() + f() g () Si f et g sont dérivables en tel que g() 0, alors f g est dérivable en et ( ) f () = f () g() f() g () g g 2 () Eemple ( 3 2 2 ) 2 = 3( 2 ) 2 ( 2) = 3(2) 2( 2) 3 = 6 + 4 3 ( e ) = () e + (e ) = e + e = ( + )e (tg ) = ( ) sin cos cos sin ( sin ) = cos cos 2 = cos 2 Conséquences Tout polnôme est dérivable sur R Toute fonction rationnelle est dérivable sur son domaine de définition Dérivation d une fonction composée Si f est une fonction dérivable en, si g est dérivable en u = f(), alors la fonction g(f()) est dérivable en et (g(f())) = g (f()) f () 56

CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 52 FORMULES DE DÉRIVABILITÉ Conséquences Les fonctions sin, cos, ep sont dérivables sur le domaine de dérivabilité de leur argument Les fonctions irrationnelles sont dérivables sur leur domaine de définition sauf les zéros du radicand Les fonctions valeur absolue sont dérivables sur leur domaine de définition sauf les zéros de l argument Les fonctions arcsin et arcos sont dérivables sur leur domaine de définition, sauf les valeurs de qui donnent à l argument une valeur égale à ou - Eemple La fonction h() = (3 2 ) 5 est la composée de la fonction f() = 3 2, définie et dérivable sur R et de la fonction g() = 5, définie et dérivable sur R La fonction h() est donc dérivable sur R et ( (3 2 ) 5) = 5(3 2 ) 4 (3 2 ) = 5(3 2 ) 4 6 = 30(3 2 ) 4 La fonction h() = e est la composée de la fonction f() =, définie et dérivable sur R + 0 et de la fonction g() = e, définie et dérivable sur R La fonction h() est donc dérivable sur R + 0 et ( e ) = e ( ) = e 2 57

52 FORMULES DE DÉRIVABILITÉ CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES La fonction h() = arcsin( 2 ) est la composée de la fonction f() = 2, définie et dérivable sur R et de la fonction g() = arcsin définie et dérivable sur ], [ La fonction h() est donc dérivable sur { : < 2 < } Comme < 2 < 2 < 2 < 0 0 < 2 < 2 2 < < 0 ou 0 < < 2, la fonction h() est dérivable sur ] 2, 0, [ ]0, 2[ et ( arcsin( 2 ) ) = ( 2 ) 2 ( 2 ) = 2 2 2 4 = 2 2 2 Par suite, et ( arcsin( 2 ) ) = 2 2 2, sur ]0, 2[ ( arcsin( 2 ) ) = 2 2 2, sur ] 2, 0[ Remarque Il arrive qu une fonction soit dérivable en un point alors qu une des epressions qui interviennent ne soit pas dérivable Eemple Soit f() = sin et étudions la dérivabilité de f en = 0 On a et Par conséquent, f est dérivable en = 0 f(h) f(0) h sin h lim = lim = 0 + h 0 + h h 0 + h f(h) f(0) h sin h lim = lim = 0 + h 0 h h 0 h 58

CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 53 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE 53 Interprétation géométrique du nombre dérivé 53 Tangente au graphique d une fonction en un de ses points Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ]a, b[ et 0 ]a, b[ Si h est suffisamment petit, 0 + h ]a, b[ Les points de coordonnées ( 0, f( 0 )) et ( 0 +h, f( 0 +h)) sont des points du graphique de f f( 0 + h) f( 0 ) 0 0 + h La droite qui les unit a pour équation f( 0 ) = f( 0 + h) f( 0 ) ( 0 ) h Si h tend vers 0, la droite "pivote" autour du point ( 0, f( 0 )) On appelle tangente au graphique de f au point d abscisse 0 la droite d équation f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) 59

53 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES Eemple Soit f() = 2 2 On a f(2) = 2, f () = et f (2) = 2 L équation de la tangente au graphique de f au point d abscisse = 2 est donc f 2 = 2( 2) = 2 2 Le nombre dérivé d une fonction en un point est donc le coefficient directeur de la tangente au graphique de la fonction en ce point Par conséquent, si la dérivée d une fonction f est un point 0 est nulle, alors la tangente au graphique de f au point d abscisse 0 est horizontale Remarque Si le graphique de f est représenté dans un repère orthonormé, on peut appeler aussi le coefficient directeur "coefficient angulaire" ou "pente" 532 Points de non dérivabilité Point à tangente verticale Le graphique d une fonction admet une tangente verticale au point ( 0, f( 0 )) si 0 appartient au domaine de définition de f f n est pas dérivable en 0 lim 0 f () = ± 60

CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 53 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE Eemple La fonction f() = 2 est définie sur [, ] et dérivable sur ], [ Sa dérivée vaut f () = 2 Les points (, 0) et (, 0) sont des points à tangente verticale car lim 2 = + et lim ( ) + 2 = f() = 4 2 = 2 = 2 Eemple La fonction f() = 3 est définie sur R et dérivable sur R 0 Sa dérivée vaut f () = 3 3 2 Le point (0, 0) est un point à tangente verticale car lim 0 ± f () = + f() = 3 Point anguleu Le graphique d une fonction admet un point anguleu au point ( 0, f( 0 )) si 0 appartient au domaine de définition de f f n est pas dérivable en 0 les limites lim + 0 f () et lim 0 f () eistent, sont finies et différentes 6

53 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES Eemple La fonction f() = ( 2) 2 est définie sur R + et dérivable sur ]0, 2[ ]2, + [ Sa dérivée vaut f () = ( 2)(3 2) 2 ( 2) 2 Le point (2, 0) est un point anguleu car lim 2 + f () = 2 et lim 2 f () = 2 f() = ( 2) 2 Le graphique de f admet une tangente à gauche d équation = 2( 2) et une tangente à droite d équation = 2( 2) Remarque Le point (0,0) est un point à tangente verticale Remarque Une deuième possibilité pour avoir un point anguleu est qu une des deu limites soit finie et l autre infinie Mais il est peu fréquent avec des fonctions "conventionnelles" Point de rebroussement Le graphique d une fonction admet un point de rebroussement au point ( 0, f( 0 )) si 0 appartient au domaine de définition de f f n est pas dérivable en 0 les limites lim + 0 f () et lim 0 f () eistent et sont infinies et différentes 62

CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 54 THÉORÈMES Eemple La fonction f() = 3 2 ( 2) est définie sur R et dérivable sur ], 0[ ]0, 2[ ]2, + [ Sa dérivée vaut f () = (3 4) 3 ( 2 ( 2)) 2 Le point (0, 0) est un point de rebroussement car lim 0 + f () = et lim 0 f () = + f() = 3 2 ( 2) Remarque Le point (2,0) est un point à tangente verticale 54 Théorèmes des fonctions dérivables 54 Lien entre continuité et dérivabilité Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle Remarque La réciproque n est pas vraie La fonction est continue en = 0, mais pas dérivable en ce point 63

54 THÉORÈMES CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 542 Condition nécessaire pour avoir un etremum Si f est réelle, dérivable sur ]a, b[ et si il eiste 0 ]a, b[ tel que f( 0 ) f() ( ou f( 0 ) f()), ]a, b[, alors f ( 0 ) = 0 Remarques On peut formuler cette énoncé de façon plus littéraire : Si une fonction f dérivable sur un intervalle ]a, b[ admet un maimum ou un minimum en 0 ]a, b[, alors le nombre dérivé de f en 0 est nul Cela a pour conséquence que si f admet un maimum ou un minimum en un point 0 où f est dérivable, la tangente au graphique de f en ( 0, f( 0 )) est horizontale = f( 0 ) = f() a 0 b Ce n est pas une condition suffisante : une fonction peut admettre un maimum ou un minimum en un point où la fonction n est pas dérivable Eemple f() = admet un minimum en = 0, mais n est pas dérivable en = 0 Donc sa dérivée n est pas nulle! La réciproque de cette propriété n est pas vraie Il eiste des points où la dérivée d une fonction est nulle sans que la fonction n admette un etremum 64

CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 54 THÉORÈMES Eemple La fonction f() = 3 est telle que f (0) = 0 Pourtant la fonction n admet ni maimum, ni minimum en = 0 543 Théoreme de Rolle Si f est réelle, continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ telle que f(a) = f(b), alors il eiste ξ ]a, b[ tel que f (ξ) = 0 f (ξ) = 0 f(a) = f(b) = f() a ξ b Cela veut donc dire que si une fonction vérifie les hpothèses du théorème de Rolle, son graphique admet une tangente horizontale en (au moins) un de ses points dont l abscisse est dans l intervalle 544 Théorème des accroissements finis Si f est réelle, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il eiste ξ ]a, b[ tel que f (ξ) = f(b) f(a) b a 65

54 THÉORÈMES CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES g f(b) f(a) a ξ b Remarques La thèse peut aussi s écrire f() = f(a) + ( a)f (ξ) Cela veut donc dire que si une fonction vérifie les hpothèses du théorème des accroissements finis (TAF), son graphique admet une tangente parallèle à la droite joignant les points (a, f(a)) et (b, f(b)) en (au moins) un de ses points dont l abscisse est dans l intervalle 545 Théorème de l Hospital Si f et g sont réelles et dérivables sur ]a, b[, si g () 0 sur ]a, b[, si lim f() = lim g() = 0 ou a + a + f () si lim a + g () = L f() alors lim a + g() = L Eemple lim 0 sin = [ ] 0 (sin ) = lim 0 0 cos = lim = 0 66

CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES 54 THÉORÈMES Remarques Plusieurs applications successives du théorème peuvent être nécessaires pour lever certaines indéterminations Eemple e [ ] lim + 2 = [ = ] (e ) = lim + = lim + ( 2 ) = lim + (e ) (2) = lim + = + [ Le théorème de l Hospital ne s applique que pour des indéterminations de tpe [ ] ] 0 ou Cependant, il permet aussi de lever des indéterminations de tpe [0 ] à 0 condition de transformer l epression e 2 e 2 Eemple lim + e = [0 ] = lim + [ ] (e ) = = lim + e = 0 Le théorème de l Hospital donne la bonne valeur de la limite de la fonction, mais pas nécessairement la façon dont la fonction converge vers sa limite Eemple ln( + ) [ lim = = lim + ln() ] + + = lim + + = ln( + ) On constate cependant que comme >, la limite initiale est supérieure à ln(), alors que comme < +, la limite du quotient des dérivées est inférieure à Si les hpothèses ne sont pas vérifiées, le théorème de l Hospital peut donner un résultat fau 67

54 THÉORÈMES CHAPITRE 5 FONCTIONS DÉRIVABLES Eemple lim + e = = 0 n est pas un cas d indétermination 0 Si on lui applique erronément le théorème de l Hospital, on obtient lim + e = lim = + e 68

Chapitre 6 Variations et etrema d une fonction 6 Lien entre dérivée et croissance 6 Définition Etudier les variations d une fonction, c est déterminer les ensembles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante Généralement, le but est de déterminer ensuite les etrema de la fonction 62 Propriétés La fonction f réelle est croissante (décroissante) sur l intervalle I ssi le tau d accroissement est positif (négatif) pour tous, 2 I f( ) f( 2 ) 2 69

6 LIEN ENTRE DÉRIVÉE ET CROISSANCE CHAPITRE 6 VARIATIONS Eemple La fonction f() = + est strictement croissante sur R f( 2 ) = f() 2 f( ) Si f désigne une fonction réelle, dérivable sur l intervalle ouvert I, alors f est monotone croissante (décroissante) sur I ssi f 0(f 0) sur I Si f désigne une fonction réelle, dérivable sur l intervalle ouvert I et si f > 0(f < 0) sur I alors f est strictement croissante (décroissante) sur I Eemple La fonction f() = ln est dérivable sur R + 0 et (ln ) = Comme > 0 sur R+ 0, ln est strictement croissante sur R+ 0 Remarque La réciproque de cette propriété n est pas vraie Eemple La fonction f() = 3 est strictement croissante sur R, mais sa dérivée f () = 3 2 n est pas strictement positive sur R 70

CHAPITRE 6 VARIATIONS 62 EXTREMA 62 Etrema 62 Point stationnaire On appelle point stationnaire d une fonction f dérivable un zéro de f Eemple Soit la fonction f() = 2 Sa dérivée est f () = 2 f n admet qu un seul point stationnaire en = 2 622 Condition suffisante pour avoir un etremum local Si f est réelle, dérivable sur un intervalle ouvert I et s il eiste 0 I tel que f () 0(f 0) à droite de 0 et f () 0(f 0) à gauche de 0, alors la fonction admet un maimum (minimum) local en 0 et f ( 0 ) = 0 Par conséquent, si f présente un etremum local en un point, sa dérivée est nulle La recherche des etrema d une fonction se fera donc en cherchant les points stationnaires de f Eemple Soit la fonction f() = 3 3 Sa dérivée est f () = 3 2 3 Les points stationnaires de f sont donc situées en = et = On peut alors construire le tableau de signe de f et de variation de f suivant f () = 3( 2 ) + 0 0 + f() Ma min 7

62 EXTREMA CHAPITRE 6 VARIATIONS Ma min Remarques Si 0 est un point stationnaire de f, cela ne signifie pas que 0 est un etremum de f Pour cela, il faut que f change de signe de part et d autre de 0 Eemple 0 = 0 est un point stationnaire de f() = 3, mais pas un etremum f() = La condition n est pas nécessaire : une fonction peut admettre un etremum en un point où elle n est pas dérivable 72

CHAPITRE 6 VARIATIONS 62 EXTREMA Eemple La fonction f() = admet un minimum en = 0 alors qu elle n est pas dérivable en = 0 f() = min 623 Détermination de la nature de l etremum A l aide de la dérivée première On dispose des critères de détermination d etrema suivants : f présente un minimum local en 0 si f ( 0 ) = 0 f () < 0, < 0, V ( 0 ) f () > 0, > 0, V ( 0 ) ou encore sous forme de tableau 0 f () 0 + f() min f présente un maimum local en 0 si f ( 0 ) = 0 f () > 0, < 0, V ( 0 ) f () < 0, > 0, V ( 0 ) ou encore, sous forme de tableau 0 f () + 0 f() Ma 73

62 EXTREMA CHAPITRE 6 VARIATIONS A l aide de la dérivée seconde Pour certaines fonctions, l étude du signe de la dérivée première peut se révéler ardue (souvent, alors la recherche des points stationnaires n est pas évidente non plus) On peut alors, si la fonction est dérivable deu fois sur un voisinage d un point stationnaire 0, déterminer la nature de ce point stationnaire à l aide de la valeur de la dérivée seconde en ce point Si f est une fonction est dérivable deu fois sur un voisinage d un point 0, alors f admet f ( 0 ) = 0 un maimum en 0 si f ( 0 ) < 0 f ( 0 ) = 0 un minimum en 0 si f ( 0 ) > 0 Eemple Soit la fonction f() = e On constate facilement que sa dérivée f () = ( + )e s annule en = 0, mais l étude du signe de f est délicate Calculons f () = ( + 2)e On a f (0) = 2 La fonction f admet donc un minimum local en = 0 Remarques Si f ( 0 ) = 0, on ne sait rien dire Il faudrait utiliser des dérivées d ordre supérieur pour déterminer la nature du point stationnaire Cette méthode s applique également au fonctions dont on peut étudier le signe de la dérivée première Par eemple, on peut l appliquer à une fonction du second degré f() = a 2 + b + c Elle admet un seul point stationnaire = b 2a La dérivée seconde étant f () = 2a, la fonction admet un minimum si a > 0 ou un maimum si a < 0 La propriété peut se justifier à l aide de la concavité du graphique (voir paragraphe 74

CHAPITRE 6 VARIATIONS 63 CONCAVITÉ ET POINT D INFLEXION suivant) Ainsi, si 0 est un point stationnaire, la tangente t au graphique au point d abscisse 0 est horizontale Si en plus f ( 0 ) > 0, le graphique a sa concavité tournée vers le haut ; la tangente est située en-dessous du graphique, la fonction admet un minimum f t 0 Si au contraire, f ( 0 ) < 0, le graphique a sa concavité tournée vers le bas ; la tangente est située en-dessous du graphique, la fonction admet un maimum t 0 f 63 Concavité et point d infleion 63 Définitions On dit que le graphique d une fonction f est convee sur un intervalle I lorsqu il tourne sa concavité vers le haut On dit que le graphique d une fonction f est concave sur un intervalle I lorsqu il tourne sa concavité vers le bas 75

63 CONCAVITÉ ET POINT D INFLEXION CHAPITRE 6 VARIATIONS Eemple Etudier la concavité du graphique de la fonction f() = 3 3 2 Le graphique est concave sur ], [ et convee sur ], + [ Si f est une fonction deu fois dérivable sur un intervalle I, alors le graphique de f tourne sa concavité vers le haut (bas) ssi f est croissante (décroissante) sur I ssi f est positive (négative) sur I Ces deu conditions étant équivalentes Si f est deu fois continument dérivable sur un intervalle ouvert I, si 0 I et si f () > 0 (f () < 0) dans un voisinage de 0, alors f est convee (concave) 632 Point d infleion Le graphique d une fonction f admet un point d infleion au point d abscisse 0 si le graphique change de concavité de part et d autre de 0 Condition suffisante pour obtenir un point d infleion Si f est deu fois dérivable sur I et si 0 I, alors le graphe de f admet un point d infleion au point d abscisse 0 si f change de signe de part et d autre de 0 76

CHAPITRE 6 VARIATIONS 63 CONCAVITÉ ET POINT D INFLEXION Eemple Rechercher les éventuels points d infleion du graphique de la fonction f() = 3 3 2 = f() On a f () = 3 2 6 et f () = 6 6 On construit alors le tableau de signe de f () et de variation de f f () 0 + f() PI Remarque La plupart des fonctions deu fois dérivables étant deu fois continûment dérivables, la dérivée seconde s annule donc en un point d infleion Mais il eiste des zéros de la dérivée seconde qui ne sont pas des abscisses de point d infleion Eemple La dérivée seconde de f() = 4 est f () = 2 2 Elle s annule en = 0, mais le graphique de f n admet pas de point d infleion en = 0 car f () ne change pas de signe de part et d autre de = 0 77

63 CONCAVITÉ ET POINT D INFLEXION CHAPITRE 6 VARIATIONS 633 Tangente et concavité d un graphique Si f est une fonction dérivable en 0 Le graphique d une fonction f a sa concavité tournée vers le haut (bas) sur un intervalle I ssi la tangente au graphique de f en tout point de I est en-dessous (au-dessus) du graphique de f Eemple Le graphique de la fonction f() = 3 tourne sa concavité vers la haut sur R + et vers le bas sur R f() = 3 La tangente au graphique de f en = est en-dessous du graphique de f La tangente au graphique de f en = est au-dessus du graphique de f Conséquence Si f est dérivable et si 0 est un point d infleion, la tangente au graphique de la fonction en 0 traverse le graphique Eemple f() = sin 78

CHAPITRE 6 VARIATIONS 63 CONCAVITÉ ET POINT D INFLEXION Remarque Il s agit d une condition suffisante, pas d une condition nécessaire Le graphique d une fonction peut admettre un point d infleion en un point où la fonction n est pas dérivable Il s agit alors d un point à tangente verticale Eemple Le graphique de la fonction f() = 3 admet un point d infleion à tangente verticale en = 0 f() = 3 79

63 CONCAVITÉ ET POINT D INFLEXION CHAPITRE 6 VARIATIONS 80

Chapitre 7 Fonctions trigonométriques 7 Convention On dit qu une fonction est trigonométrique lorsque la variable apparaît comme argument d une fonction sin, cos, Une somme, un produit, de fonctions trigonométriques est également une fonction trigonométrique La variable est alors généralement eprimée en radians 72 Période 72 Définition Une fonction f est périodique s il eiste un nombre T tel que f( + T ) = f(), dom f La période d une fonction f périodique est le plus petit nombre strictement positif tel que f( + T ) = f(), dom f Eemple La fonction f() = sin est périodique de période 2π En effet, sin est définie sur R et sin( + 2π) = sin, R 8

72 PÉRIODE CHAPITRE 7 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 722 Interprétation graphique Le graphique d une fonction périodique a donc la particularité de comporter des "séquences" de longueur T qui sont identiques à une translation horizontale de longueur T Eemple Soit f() = sin T f() = sin Pour cette raison, lorsqu on étudie une fonction périodique, on se contente de l étudier sur un intervalle de longueur égale à sa période 723 Période des principales fonctions trigonométriques Les fonctions sin et cos sont périodiques de période 2π Les fonctions tg et cotg sont périodiques de période π Si f est périodique de période T, alors f(k), k R est périodique de période T k Si f et g sont deu fonctions périodiques de périodes respectives T et T 2 telles que T est rationnel, alors f + g est périodique de période égale au ppcm(t, T 2 ) T 2 82

CHAPITRE 7 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 72 PÉRIODE Eemple La fonction f() = sin 3 est périodique de période 2π 3 f() = sin 3 La fonction f() = sin + cos est périodique de période 2π f() = sin + cos La fonction f() = sin + sin( 2) n est pas périodique f() = sin + sin( 2) Remarque Il eiste des fonctions non trigonométriques qui sont périodiques : une fonction constante (mais il n est pas possible de trouver sa période) des fonctions du tpe f() = E() où E() est la partie entière de 83

72 PÉRIODE CHAPITRE 7 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 724 Trouver la période d une fonction trigonométrique Pour trouver la période d une fonction trigonométrique, on peut utiliser les propriétés ci-dessus ou encore résoudre l équation f( + T ) = f() par rapport à T et de conserver la plus petite solution strictement positive, indépendante de Eemple Déterminons la période de la fonction f() = sin 2 On doit trouver le plus petit T strictement positif tel que sin 2 (+T ) = sin 2, R Or, sin 2 ( + T ) = sin 2 sin( + T ) = sin ou sin( + T ) = sin + T = + 2kπ ou + T = π + 2kπ ou + T = + 2kπ ou + T = π + + 2kπ(k Z) T = 2kπ ou T = π 2 + 2kπ } {{ } dépend de ou T = 2 + 2kπ } {{ } dépend de ou T = π + 2kπ T = kπ La plus petite solution strictement positive est donc T = π 725 Asmptotes Une fonction périodique n admet pas d asmptote horizontale ou oblique Mais elle peut admettre une infinité d asmptotes verticales 84

CHAPITRE 7 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 73 f() = sin Cette fonction est définie, continue et dérivable sur R 0 73 F (X) = SIN X X lim 0 sin = Remarque A partir de cette limite remarquable, on peut calculer les limites suivantes tg lim 0 = On a tg lim 0 = lim sin 0 cos = sin α lim 0 sin β = α β On a cos lim = 0 0 Vu les formules de Carnot, on a ( ) 2 cos lim 0 2 sin2 = lim 0 cos lim = 0 2 2 Vu les formules de Carnot, on a ( ) 2 cos lim 0 2 sin2 = lim 0 sin α lim 0 sin β = lim sin α 0 α α β β sin β = α β ( ) sin ( = lim 2 2 ) 0 2 sin = lim 2 2 sin = lim 2 0 ( 2 ) 2 2 ( ) sin 2 2 2 ( ) sin 2 0 } {{ 2 } ( ) = 2 sin 4 lim 2 0 } {{ 2 } ( ) sin = 0 2 ( ) sin 2 } {{ 2 } = 2 85

73 F (X) = SIN X X CHAPITRE 7 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 86

Chapitre 8 Fonctions réciproques 8 Bijection 8 Injection Définition Une fonction f : A B est une injection de A dans B si deu points distincts quelconques de A ont des images différentes dans B On peut écrire f est une injection de A dans B si, 2 A, 2 f( ) f( 2 ) ou encore, en contraposant, f est une injection de A dans B si, 2 A, f( ) = f( 2 ) = 2 87

8 BIJECTION CHAPITRE 8 FONCTIONS RÉCIPROQUES Eemple Soit la fonction f : R R : 2 Cette fonction n est pas une injection de R dans R car deu points distincts (par eemple = 2 et = 2) ont la même image 2 f(2) = f( 2) -2 Par contre, la restriction de f à R + est une injection de R + dans R f(2) 2 f() De même, la restriction de f à R est une injection de R dans R 82 Surjection Une fonction f : A B est une surjection de A dans B si tout point de B est l image d au moins un point de A On peut écrire f est une surjection de A dans B si B, A : = f() 88

CHAPITRE 8 FONCTIONS RÉCIPROQUES 8 BIJECTION Eemple Soit la fonction f : R R : 2 Cette fonction n est pas une surjection de R dans R car le point = 2 (entre autres) n est l image d aucun point de R = 2 Par contre, la fonction f est une surjection de R dans R + = 4 Le point = 4 appartenant à R + est l image d au moins un point ( = 2 ou = 2) de R 83 Bijection Une fonction f : A B est une bijection de A dans B si elle est à la fois une injection et une surjection de A dans B Par conséquent, si f est une bijection de A dans B, tout point de B est l image d un et un seul point de A Eemple La fonction f() = ep() est une bijection de R dans R + 0 89

8 BIJECTION CHAPITRE 8 FONCTIONS RÉCIPROQUES Condition suffisante pour être une bijection Si f est une fonction continue et strictement croissante sur l intervalle [a, b] dom f, alors f est une injection de [a, b] dans [f(a), f(b)] Par conséquent, lorsqu une fonction n est pas une bijection, il est généralement possible de considérer une restriction de cette fonction à un intervalle où elle est strictement monotone La restriction est alors une bijection de cet intervalle dans l image de l intervalle Cette restriction n est pas unique Une fonction peut donc être une bijection entre plusieurs couples d ensembles Eemple La fonction f() = 2 n est pas une bijection de R dans R Mais elle est une bijection de R + dans R + ou encore de R dans R + Convention En général, on prend un intervalle d étendue maimale sur lequel la fonction est strictement monotone Eemple La fonction f() = 2 est aussi une bijection de [0, ] dans [0, ] Mais sauf cas eceptionnel, on considère plutôt la bijection de R + dans R + Remarques Des versions étendues de cette condition suffisante eistent : Si f est continue et strictement décroissante sur l intervalle [a, b] dom f, alors f est une injection de [a, b] dans [f(b), f(a)] Si f est une fonction continue et strictement croissante sur l intervalle ]a, b[ dom f, alors f est une injection de ] lim f(), lim f()] dans [f(a), f(b)] a + b Il s agit bien de conditions suffisantes, pas de conditions nécessaires Il eiste des fonctions 90

CHAPITRE 8 FONCTIONS RÉCIPROQUES 82 FONCTION RÉCIPROQUE non strictement (dé)croissantes ou non continues qui sont des bijections Eemple La fonction f() = est une bijection de R 0 dans R 0 82 Fonction réciproque 82 Définition Si f : A B : f() est une bijection de A dans B, alors la fonction réciproque de f est la fonction, notée f, de B dans A telle que = f() = f (), A, B Il est indispensable de bien comprendre que le domaine de définition de f est l ensemble des valeurs de f et que l ensemble des valeurs de f est le domaine de définition de f Pour trouver l epression de f, il suffit de résoudre l équation = f() par rapport à Néanmoins, afin de retrouver des notations usuelles, il est courant donner l epression de la fonction réciproque en appelant la variable Eemple Considérons la fonction f(t) = t + 273 qui, à chaque température t eprimée en degrés celsius, associe la température T eprimée en Kelvin Cette fonction est continue et strictement croissante sur R Pour des raisons phsiques, le domaine de f est [ 273, + [ et son ensemble des valeurs est [0, + ] f est donc une bijection entre ces deu intervalles La fonction réciproque de f est la fonction f, définie sur [0, + [ et dont l ensemble des valeurs est [ 273, + [ dont l epression est f (T ) = T 273 car T = t + 273 t = T 273 Cette définition a les conséquences suivantes : 9

82 FONCTION RÉCIPROQUE CHAPITRE 8 FONCTIONS RÉCIPROQUES A : f (f()) = B : f(f ()) = Eemple Soit la fonction f() = + 2 Cette fonction est continue et strictement croissante sur [, + [ Son ensemble des valeurs est [2, + [ Elle est donc une bijection entre ces deu ensembles Elle admet une fonction réciproque f définie sur [2, + [ et à valeurs dans [, + [ dont l epression est f () = ( 2) 2 + car = + 2 = 2 = ( 2) 2 + On peut vérifier que, pour tout [, + [, on a f (f()) = ( + 2 2) 2 + = et que, pour tout [2, + [, on a f(f ()) = ( 2) 2 + + 2 = Remarque Bien que la fonction f () = ( 2) 2 + soit définie sur R, seule sa restriction à l intervalle [2, + [ est la réciproque de f La restriction de f à l intervalle ], 2[ est la réciproque d une autre fonction (à savoir g() = 2 ) 822 Limites Si f, bijection de A dans B, admet f comme fonction réciproque et si a et b sont respectivement adhérents à A et B alors lim f() = b lim f () = a a b 92

CHAPITRE 8 FONCTIONS RÉCIPROQUES 82 FONCTION RÉCIPROQUE Eemple La fonction f() = ln est une bijection de ]0, + [ dans R La fonction réciproque est la fonction eponentielle f () = ep() définie sur R et dont l ensemble des valeurs est ]0, + [ On a lim ln = lim ep() = 0 + 0+ 823 Dérivée d une fonction réciproque Si f est une bijection de l intervalle I dans f(i), dérivable sur l intervalle I alors la fonction réciproque f est dérivable sur f(i)\{f() : f () = 0} et [f ()] = f (f ()) Cette propriété est essentielle lorsqu il faut établir le domaine de dérivabilité et la dérivée d une nouvelle fonction Eemple La fonction f() = sin est une bijection de I = plus, sin est dérivable sur R [ π 2, π ] dans f(i) = [, ] De 2 Sa réciproque, la fonction arcsin est donc dérivable sur f(i)\{sin : cos = 0} càd sur ], [ De plus, (arcsin ) = cos(arcsin ) = 2 Eemple Reprenons l eemple de la fonction réciproque de la fonction f() = ln : comme f () =, on a f (f ()) = ep() et ep() = ep() = ep() 93

83 FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES CHAPITRE 8 FONCTIONS RÉCIPROQUES 824 Graphique Les graphiques de deu fonctions réciproques f() et f () dans un repère orthonormé sont smétriques l un de l autre par rapport à la droite d équation = Eemple Reprenons l eemple de f() = + 2 et f () = ( 2) 2 + = f () = f() 83 Fonctions cclométriques On appelle fonctions cclométriques les fonctions arcsin, arcos, arctg et arcotg 83 f() = arcsin La fonction sin est continue et strictement croissante sur valeurs est [, ] [ π 2, π ] Son ensemble des 2 Elle est donc une bijection entre ces deu intervalles Elle admet donc une fonction réciproque, [ notée arcsin, définie sur [, ] et à valeurs dans π 2, π ] telle que 2 = sin = arcsin, [ π 2, π ], [, ] 2 ou encore arcsin(sin ) =, [ π 2, π 2 ] 94

CHAPITRE 8 FONCTIONS RÉCIPROQUES 83 FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES et sin(arcsin ) =, [, ] Grâce à la formule de dérivation des fonctions réciproques, on peut démontrer que arcsin est dérivable sur ], [ et (arcsin ) = 2 Son graphique est π 2 π 2 f() = arcsin π 2 f() = sin π 2 Remarques Ces dernières relations ne sont pas correctes si on sort de leur domaine de validité Ainsi, ( arcsin sin 3π 4 ) ( ) 2 = arcsin = π 2 4 La fonction sin est aussi strictement monotone sur d autres intervalles que [ π 2, π 2 ] On aurait donc pu définir la fonction arcsin autrement On peut toutefois prouver que la réciproque de la restriction de la fonction sin à l intervalle [ π 2, 3π ] est la fonction π arcsin 2 95

83 FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES CHAPITRE 8 FONCTIONS RÉCIPROQUES 832 f() = arcos La fonction cos est continue et strictement décroissante sur [0, π] Son ensemble des valeurs est [, ] Elle est donc une bijection entre ces deu intervalles Elle admet donc une fonction réciproque, notée arcos, définie sur [, ] et à valeurs dans [0, π] telle que = cos = arcos, [0, π], [, ] ou encore arcos(cos ) =, [0, π] et cos(arcos ) =, [, ] Grâce à la formule de dérivation des fonctions réciproques, on peut démontrer que arcos est dérivable sur ], [ et (arcos ) = 2 Son graphique est π f() = arccos π f() = cos 96

CHAPITRE 8 FONCTIONS RÉCIPROQUES 83 FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES 833 f() = arctg La fonction tg est continue et strictement croissante sur ] π 2, π 2 [ Son ensemble des valeurs est R Elle est donc une bijection entre ces deu intervalles Elle admet donc une fonction réciproque, notée arctg, définie sur R et à valeurs dans ] π 2, π 2 ] telle que = tg = arctg, ] π 2, π 2 ], R ou encore arctg(tg ) =, ] π 2, π 2 [ et tg(arctg ) =, [, ] Grâce à la formule de dérivation des fonctions réciproques, on peut démontrer que arctg est dérivable sur R et (arctg ) = + 2 Son graphique est f() = tg f() = arctg = π 2 = π 2 834 f() = arcotg La fonction cotg est continue et strictement décroissante sur ]0, π[ Son ensemble des valeurs est R 97

83 FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES CHAPITRE 8 FONCTIONS RÉCIPROQUES Elle est donc une bijection entre ces deu intervalles Elle admet donc une fonction réciproque, notée arcotg, définie sur R et à valeurs dans ]0, π[ telle que = cotg = arcotg, ]0, π[, R ou encore et arcotg(cotg ) =, ]0, π[ cotg(arcotg ) =, R Grâce à la formule de dérivation des fonctions réciproques, on peut démontrer que arcotg est dérivable sur R et Son graphique est (arcotg ) = + 2 = π f() = arcotg = 0 π 98

Chapitre 9 Primitives 9 Définition Si f est une fonction définie sur ]a, b[, on appelle primitive de f sur ]a, b[ toute fonction F, dérivable sur ]a, b[ telle que F () = f() sur ]a, b[ On la note F () = f() d Soit f une fonction définie sur ]a, b[ admettant F comme primitive Une fonction G est aussi une primitive de f sur ]a, b[ ssi il eiste C R tel que F = G + C sur ]a, b[ On parle donc d une primitive de f et non de la primitive de f Une fonction qui admet une primitive en admet une infinité Toutes les primitives d une fonction f sont donc égales à une constante additive près Eemple Si f() = 2, alors les fonctions F () = 2 et G() = 2 + C sont des primitives de f, quelle que soit la valeur de C 99

92 PRIMITIVES IMMÉDIATES CHAPITRE 9 PRIMITIVES 92 Primitives immédiates m d = m+ + C, m Q, m m + d = ln + C e d = e + C sin d = cos + C cos d = sin + C d = arcsin + C 2 d = arctg + C + 2 a d = a ln a + C 93 Méthodes de primitivation Même si un théorème (voir le chapitre du calcul intégral) affirme l eistence d une primitive pour toute fonction continue sur un intervalle, on ne peut pas déterminer l epression analtique de la primitive de toutes les fonctions La recherche d une primitive est généralement basée sur une ou plusieurs des méthodes suivantes 93 Combinaisons linéaires Si f et g admettent respectivement les fonctions F et G comme primitives sur ]a, b[, alors αf + βg d = αf + βg, α, β R 00

CHAPITRE 9 PRIMITIVES 93 MÉTHODES DE PRIMITIVATION Eemple Calculer P = P = e + 3 3 d On a P = d e d + 3 3 2 d = 2 e + 9 4 4 3 + C 932 Par artifice La méthode par artifice est basée sur l idée de transformer l epression à primitiver pour obtenir une ou des primitives plus simples Eemple Calculer P = On a 2 2 + d ( 2 + ) 2 + d = d 2 + d = arctg + C 933 Par substitution La méthode de primitivation par substitution a pour but de transformer une primitive en une primitive plus simple Nous nous contenterons d en epliquer le mécanisme formel, sachant qu elle trouve sa justification dans le théorème de dérivation d une fonction de fonction Si f et g sont deu fonctions dérivables telles que f(g()) eiste, alors f (g()) g () d = f(g()) + C La méthode consiste à poser t = g() On "calcule" alors dt = g ()d La primitive f (g()) g () d = f (t)dt = f(t) + C = f(g()) + C 0

93 MÉTHODES DE PRIMITIVATION CHAPITRE 9 PRIMITIVES Eemple Calculer P = cos 2 d Posons t = 2 On a dt = 2d D où P = cos t dt 2 = 2 sin t + C = sin 2 + C 2 Eemple Calculer P = ( ) 4 d Posons t = On a = t et dt = d D où P = ( t) t 4 dt = t 4 t 5 dt = t5 5 + t6 6 + C = ( )5 5 + ( )6 6 + C Eemple 2 d Calculer Posons = sin t On a d = cos t dt D où P = sin 2 t cos t dt = cos 2 t dt La méthode utilisée pour obtenir cette dernière primitive est epliquée dans les paragraphes suivants On trouve D où P = arcsin 2 + P = t 2 sin(2 arcsin ) 4 + sin 2t 4 + C + C = arcsin 2 + 2 2 + C 934 Par parties La méthode de primitivation par parties ne permet pas d obtenir directement l epression de la primitive recherchée Elle permet juste de remplacer le calcul de la primitive par le calcul d une autre primitive, que l on espère plus simple La primitivation par parties s applique principalement au calcul de la primitive du produit de deu fonctions Elle trouve d ailleurs sa justification dans le théorème de dérivation du 02

CHAPITRE 9 PRIMITIVES 93 MÉTHODES DE PRIMITIVATION produit de deu fonctions Si f et g sont deu fonctions dérivables sur ]a, b[, alors f() g ()d = f() g() f () g()d Eemple Calculer P = e d f = f = Posons g = e g = e On en déduit P = e e d = e e + C Remarques Plusieurs primitivations successives par parties peuvent être nécessaires Eemple Calculer P = 2 e d En théorie, on dispose d un choi pour poser les fonctions f et g Généralement, il eiste un choi privilégié ; l autre menant à une primitive plus difficile à calculer que la première Eemple Calculer P = e d f = e f = e Posons g = g = 2 2 On en déduit P = 2 2 2 e 2 e d qui est plus longue à calculer que la primitive de départ TRUC : en règle générale, si on veut appliquer la méthode de primitivation par parties 03

94 QUELQUES PRIMITIVES CLASSIQUES CHAPITRE 9 PRIMITIVES au produit de deu fonctions, on choisit la fonction à dériver d après les lettres du mot ALPES (Arc(sin,cos,tg), L(ogarithmes), P(olnômes), E(ponentielles), S(in, cos) ) La primitivation par parties peut aussi s appliquer pour obtenir la primitive d une fonction dont seule la dérivée est connue Eemple Calculer P = ln d On écrit la primitive P = f = ln f = Posons g = g = On en déduit P = ln ln d d = ln + C 94 Quelques primitives classiques Il n est pas question ici de faire la liste ehaustive de toutes les primitives possibles ou substitutions eistantes Cependant, quelques-unes d entre elles sont des grands classiques dont la connaissance est source de gain de temps appréciable en évitant les tâtonnements 94 Primitives de fonctions trigonométriques sin n cos m d Si n est impair, on utilise la substitution t = cos Si m est impair, on utilise la substitution t = sin 04

CHAPITRE 9 PRIMITIVES 94 QUELQUES PRIMITIVES CLASSIQUES Eemple Calculer P = sin cos 2 d Posons t = cos, on a dt = sin d On obtient P = t 2 dt = t3 3 + C = cos3 3 + C Si n et m sont pairs, on utilise les formules de Carnot afin de diminuer les eposants de sin et cos Eemple Calculer P = cos 2 d Comme cos 2 + cos 2 =, On a 2 + cos 2 P = 2 d = 2 + sin 2 4 + C cos a cos b d On utilise les formules de Simpson inverse pour transformer le produit en somme ou différence Eemple Calculer P = cos 2 cos 4 d Cherchons p et q tels que On en déduit P = p + q = 2 2 p q = 4 2 cos 6 + cos( 2)d = p + q = 4 p q = 8 cos 6 d + p = 6 q = 2 cos 2 d = sin 6 6 + sin 2 2 + C Remarque 05

94 QUELQUES PRIMITIVES CLASSIQUES CHAPITRE 9 PRIMITIVES Mutatis mutandis, la même méthode s applique au primitives des produits cos a sin b et sin a sin b Autres fonctions trigonométriques Si les substitutions t = sin ou t = cos ne permettent pas de résoudre le problème, on peut essaer les substitutions t = tg ou t = tg 2 Mais elles donnent généralement naissance au calcul de primitives de fonctions rationnelles assez lourdes que nous ne développerons pas ici 942 Primitives de fonctions rationnelles a 2 + b + c d où < 0 La primitivation d une fraction rationnelle dont le dénominateur est un polnôme du second degré à négatif et le numérateur une constante se calcule à l aide de deu substitutions successives dont l objectif est de transformer la fonction à primitiver en u 2 + 06

CHAPITRE 9 PRIMITIVES 94 QUELQUES PRIMITIVES CLASSIQUES Eemple Calculer P = 2 + + d La première opération à faire est de transformer le dénominateur en regroupant les deu termes en pour reconstituer un carré : P = ( + 2 )2 + 3 4 d La première substitution est donc de poser t = + 2 On obtient P = dt t 2 + 3 4 La deuième substitution sert alors à mettre le terme indépendant en évidence On 3 3 pose t = u On a dt = 2 2 du et t2 = 3 4 u2 On en déduit 3 P = 3 4 u2 + 3 2 du = 2 3 3 u 2 + du 4 Finalement, P = 2 3 3 arctg u + C = 2 ( ) 3 2t 3 arctg = 2 ( ) 3 2 + 3 3 arctg 3 943 Primitives auto-référentes Le calcul de certaines primitives par parties donnent parfois l impression de se "mordre la queue" 07

94 QUELQUES PRIMITIVES CLASSIQUES CHAPITRE 9 PRIMITIVES Eemple Calculer P = e 2 cos d f = e 2 f = 2e 2 Posons g = cos g = sin On en déduit P = sin e 2 2 sin e 2 d f = e 2 f = 2e 2 Posons g = sin g = cos On en déduit ( ) P = sin e 2 2 cos e 2 2 cos e 2 d = sin e 2 + 2e 2 cos 4 cos e 2 d = sin e 2 + 2e 2 cos 4P D où 5P = sin e 2 + 2e 2 cos, et P = 5 ( sin e 2 + 2e 2 cos ) + C 08

Chapitre 0 Fonctions logarithmiques 0 Logarithme népérien 0 Définition La formule de primitivation m d = m+ m + + C ne permet pas de calculer la primitive de la fonction f() = Pourtant, cette fonction est continue sur ]0, + [ D après le théorème d eistence d une primitive (voir chapitre calcul intégral), elle admet une primitive, et donc une infinité de primitives égales à une constante près, sur cet intervalle On appelle logarithme népérien la fonction, notée ln, définie sur ]0, + [, telle que (ln ) = et ln = 0 02 Graphique A partir de cette définition, il est facile de prouver que la fonction ln vérifie les propriétés suivantes : la fonction ln est dérivable sur R + 0 Elle est donc continue (ln ) =, sur R+ 0 La fonction est donc strictement croissante (ln ) =, sur 2 R+ 0 Le graphique tourne donc sa concavité vers le bas 09

0 LOGARITHME NÉPÉRIEN CHAPITRE 0 LOGARITHMES lim 0 + ln = Le graphique admet donc une asmptote verticale à droite d équation = 0 lim + ln = + Le graphique n admet pas d asmptote horizontale en + lim + ln = 0 Le graphique n admet pas d asmptote oblique en + Puisque ln est continue et strictement croissante, elle est une bijection de ]0, + [ dans R En particulier, il eiste un et un seul nombre dont le logarithme népérien vaut On note ce nombre e C est un nombre irrationnel dont la valeur approimative est 2,7 On a donc ln e = Le graphique de la fonction ln est le suivant : f() = ln e 03 Etension La fonction ln est une etension de la fonction ln à R 0 0

CHAPITRE 0 LOGARITHMES 02 LOGARITHME EN BASE A f() = ln e 04 Principe d équivalence La fonction ln étant une bijection de ]0, + [ dans R, on a ln = ln =,, ]0, + [ 05 Limites particulières Le logarithme népérien est dominé par les puissances positives de en + m R + 0, lim + ln m = [ ] = 0 Le logarithme népérien est dominé par les puissances positives de en 0 + m R + 0, lim 0 + ln m = [ 0] = 0 02 Logarithme en base a 02 Définition Si a R + 0 \{}, le logarithme en base a est la fonction, notée log a, définie sur ]0, + [ telle que log a = ln ln a

02 LOGARITHME EN BASE A CHAPITRE 0 LOGARITHMES Cette définition n a pas de sens pour a 0 ou a = Remarques On en déduit de suite que, a R + 0 \{} log a = 0 log a a = Le logarithme népérien peut être considéré comme le logarithme en base e puisque log e = ln ln e = ln 022 Limites et asmptotes Si a >, ln a > 0 On en déduit lim log ln 0 + a = lim 0 + ln a = (le graphique admet une AV à droite en = 0) et (pas d AH) Si 0 < a <, ln a < 0 On en déduit lim log ln a = lim + ln a = + lim log ln 0 + a = lim 0 + ln a = + (le graphique admet une AV à droite en = 0) et (pas d AH) lim log ln a = lim + + ln a = 023 Dérivée De même, puisque log a = ln ln a, on a (log a ) = ln a Cette dérivée est donc positive si a > et négative si 0 < a < 2

CHAPITRE 0 LOGARITHMES 02 LOGARITHME EN BASE A 024 Graphiques Si a >, ln a > 0 Par conséquent, le graphique de log a est obtenu en faisant subir au graphique de ln par une transformation du tpe k f() où k = ln a f() = ln f() = log 2 Si 0 < a <, ln a < 0 Par conséquent, le graphique de log a est obtenu en faisant subir au graphique de ln par une transformation du tpe k f() où k = ln a est négatif f() = ln f() = log 2 3

03 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES CHAPITRE 0 LOGARITHMES 025 Principe d équivalence La fonction log a (a R + 0 \{}) étant une bijection de ]0, + [ dans R, on a log a = log a =,, ]0, + [ 026 Changement de base Soient a, b R + 0 \{} On a log a = log b log b a 03 Propriétés algébriques Ces propriétés sont valables pour tous les logarithmes, quelle que soit la base utilisée ; en particulier elles sont également valables pour le logarithme népérien 4

CHAPITRE 0 LOGARITHMES 03 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES Le logarithme du produit de deu nombres strictement positifs est égal à la somme des logarithmes des deu nombres log() = log + log,, > 0 Le logarithme de l inverse d un nombre strictement positif est égal à l opposé du logarithme du nombre log ( ) = log, > 0 Le logarithme du quotient de deu nombres strictement positifs est égal à la différence des logarithmes du numérateur et du dénominateur ( ) log = log log,, > 0 Le logarithme d une puissance d un nombre strictement positif est égal au produit de l eposant de la puissance par le logarithme de la base Remarque log ( n ) = n log, > 0 Cette dernière propriété nous permet une autre approche du logarithme en base a Supposons que = a On a alors log a = log a (a ) = log a a = On en déduit que le logarithme en base a d un nombre strictement positif est l eposant de la puissance de a qui est égale à 5

03 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES CHAPITRE 0 LOGARITHMES 6

Chapitre Fonctions eponentielles Eponentielle népérienne Définition La fonction ln étant une bijection de ]0, + [ dans R, elle admet une fonction réciproque définie sur R et à valeur dans ]0, + [ On appelle eponentielle népérienne la fonction, notée ep, définie sur R et à valeurs dans ]0, + [, telle que ep() = = ln, R, ]0, + [ On a évidemment ep(ln ) =, ]0, + [ et ln(ep()) =, R En particulier, ep(0) = ep() = e 2 Graphique A partir de cette définition et des propriétés des fonctions réciproques, il est facile de prouver que la fonction ep vérifie les propriétés suivantes : la fonction ep est strictement positive sur R 7

EXPONENTIELLE NÉPÉRIENNE CHAPITRE EXPONENTIELLES la fonction ep est dérivable sur R Elle est donc continue (ep ) = ep sur R La fonction est donc strictement croissante (ep ) = ep sur R Le graphique tourne donc sa concavité vers le haut lim + ep = + Le graphique n admet donc pas d AH en + lim ep = 0+ Le graphique admet une asmptote horizontale en lim + ep = + Le graphique n admet pas d asmptote oblique en + Le graphique de la fonction ep est le suivant : f() = ep e 3 Limites particulières L eponentielle domine toutes les puissances positives de en + m R, lim + ep m = [ ] = + L eponentielle domine toutes les puissances positives de en m R, lim 0 + ep m = [0 ] = 0 8

CHAPITRE EXPONENTIELLES 2 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES 2 Propriétés algébriques L eponentielle de la somme de deu nombres est égale au produit des eponentielles des deu nombres ep( + ) = ep ep,, R L eponentielle de l opposé d un nombre est égale à l inverse de l eponentielle du nombre ep( ) =, R ep L eponentielle de la différence de deu nombres est égale au quotient des eponentielles des deu nombres ep( ) = ep,, R ep L eponentielle d un multiple d un nombre est égale à la puissance de l eponentielle du nombre dont l eposant est le multiple ep(n) = (ep ) n, R 3 Puissance de e à eposant réel Si on compare les propriétés de la fonction ep() qui est défine sur R à celles des puissances rationnelles de e, on obtient e q ep() e 0 = ep(0) = e = e ep() = e e q e q = e q+q ep() ep( ) = ep( + ) e q ep() q q = e e q ep( ) = ep( ) (e q ) n = e nq (ep()) n = ep(n) L ensemble de ces propriétés communes permet d étendre la notion de puissance du nombre e à des eposants réels 9

4 NOUVELLE NOTATION CHAPITRE EXPONENTIELLES Si R, e = ep() 4 Nouvelle notation On en déduit directement les nouvelles formulations des propriétés précédentes, valables R : e e = e + e e = e (e ) = e e lim + = + m etc 5 Eponentielle de base a 5 Définition Si a R + 0 \{}, le logarithme en base a est une bijection de ]0, + [ dans R, elle admet une fonction réciproque définie sur R et à valeurs dans ]0, + [ On appelle eponentielle de base a la fonction, notée a, définie sur R et à valeurs dans ]0, + [, telle que a = = log a, R, ]0, + [ On a évidemment a log a =, ]0, + [ et log a (a ) =, R Remarque Toute eponentielle de base a peut aussi être définie à l aide de l eponentielle népérienne : a = e ln a 20

CHAPITRE EXPONENTIELLES 5 EXPONENTIELLE DE BASE A 52 Graphiques Si a >, ln a > 0 f() = 2 Si 0 < a <, ln a < 0 f() = ( 2 ) 2

5 EXPONENTIELLE DE BASE A CHAPITRE EXPONENTIELLES 22

Chapitre 2 Calcul intégral 2 Introduction Soit f une fonction positive et continue sur un intervalle [a, b] Pour évaluer la surface comprise entre l ae des abscisses, le graphique de f et les droites verticales d équation = a et = b, on peut utiliser la méthode suivante : on partage l intervalle [a, b] en n sous-intervalles à l aide des points 0 = a < < 2 < < n < n = b équidistants, puis on calcule l epression n i=0 ( i+ i )f( i ) qui représente la somme des surfaces des rectangles de base ( i+ i ) et de hauteur f( i ) Eemple Considérons la surface comprise entre l ae des abscisses, le graphique de la fonction f() = 4 2 et les droites d équation = 2 et = 2 0 2 3 4 23

2 INTRODUCTION CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL On pourrait aussi évaluer la surface en considérant l epression n i=0 ( i+ i )f( i+ ) qui représente la somme des surfaces des rectangles de base ( i+ i ) et de hauteur f( i+ ) Eemple = f() 0 2 3 4 La première somme est dite "somme à gauche", l autre "somme à droite" Remarques L hpothèse d équidistance des i n est pas obligatoire On peut la remplacer par une hpothèse moins restrictive, mais cela ne contribue pas à la clarté de cette snthèse Cependant, si les i sont équidistants, chaque epression ( i+ i ) est égale à b a n Les sommes évaluées ont également un sens si la fonction n est pas positive sur [a, b] Par contre, elles ne représentent plus une évaluation de la surface On peut diminuer l erreur faite en approimant la surface en augmentant le nombre n d intervalles 24

CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL 22 DÉFINITION Eemple Ainsi, en doublant le nombre de sous-intervalles, les sommes à gauche et à droite sont représentées par les figures suivantes : = f() 0 2 3 4 5 6 7 8 et = f() 0 2 3 4 5 6 7 8 22 Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] que l on partage en n sous-intervalles à l aide des points 0 = a < < 2 < < n < n = b équidistants On appelle intégrale (au sens de Riemann) de f de a à b le nombre réel noté b a f()d égal à l epression lim n + n i=0 ( i+ i )f( i ) 25

23 PROPRIÉTÉS CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL ou, de manière équivalente, n lim n + i=0 ( i+ i )f( i+ ) Cette définition a un sens car on peut prouver, lorsque f est continue sur un intervalle compact [a, b], que les limites des sommes "à gauche" et "à droite" n ( i+ i )f( i ) i=0 n ( i+ i )f( i+ ) i=0 eistent toujours, sont égales et finies On dit alors que f est intégrable sur [a, b] Convention a f()d = 0 a Remarque Cette définition ne constitue une méthode de calcul d une intégrale que si on dispose d un outil de calcul puissant Les cas où cette définition permet de faire le calcul de l intégrale "à la main" sont assez rares C est pourquoi il va être nécessaire d étudier quelques théorèmes qui aboutiront à une méthode de calcul particable sans moens techniques 23 Propriétés Si c [a, b] et si f est intégrable sur [a, b], alors c f()d + b f()d = b a c a f()d 26

CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL 23 PROPRIÉTÉS Corrolaire 2 3 b a f()d = f()d a b Si f et g sont intégrables sur [a, b], alors b b b αf() + βg()d = α f() + β g()d, α, β R a a a Si f est positive et intégrable sur [a, b], alors b a f()d 0 Dans ce cas, b f()d représente l aire la surface comprise entre l ae des abscisses, le a graphique de f et les droites d équations = a et = b Eemple Calculer l aire de la surface fermée comprise entre le graphique de la fonction f() = 4 2 et l ae des abscisses A = b a f()d a b Remarques 27

23 PROPRIÉTÉS CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL Si f est négative et intégrable sur [a, b], alors l aire de la surface comprise entre l ae des abscisses, le graphique de f et les droites d équations = a et = b est obtenue par b a f()d Eemple Calculer l aire de la surface fermée comprise entre le graphique de la fonction f() = 2 4 et l ae des abscisses = f() a b A = b a f()d Si f n est pas de signe constant sur [a, b], alors la surface comprise entre l ae des abscisses, le graphique de f et les droites d équations = a et = b est obtenue par b a f() d Concrètement, si f 0 sur [a, c] et f 0 sur [c, b], alors la surface comprise entre l ae des abscisses, le graphique de f et les droites d équations = a et = b est obtenue par c a f()d b c f()d 28

CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL 23 PROPRIÉTÉS Eemple Calculer la surface comprise entre le graphique de la fonction f() = 4 2, l ae des abscisses et les droites d équation = 2 et = 3 La fonction f est positive sur [ 2, 2] et négative sur [2, 3] La surface recherchée est donc donnée par 2 2 f()d 3 2 f()d 2 2 f()d a c b 3 2 f()d = f() Conséquences L intégrale d une fonction impaire sur un intervalle smétrique par rapport à l origine est nulle Si f est impaire, a a f()d = 0 29

23 PROPRIÉTÉS CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL a f()d 0 a a 0 f()d a Eemple 2 2 Si f est paire, 3 d = 0 2 3 d + 0 2 3 d = 0 a f()d = 2 a a 0 f()d Eemple 2 2 4 2 d = 2 2 0 4 2 d 2 2 f()d 2 0 f()d a 30

CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL 23 PROPRIÉTÉS 4 Si f et g sont intégrables sur [a, b] et telles que f() g(), [a, b], alors b b f()d g()d a a Corrolaire Si f et g sont intégrables sur [a, b] et telles que f() g(), [a, b], la surface comprise entre le graphique de f, le graphique de g et les droites d équation = a et = b est b a f() g()d = g() Eemple Calculer la surface fermée comprise entre les graphiques des fonctions f() = 4 2 et g() = 2 A = b a 4 22 d a b Les points d intersection des graphiques de f et g ont pour abscisses les solutions de l équation 4 2 = 2 2 = 2 = 2 ou = 2 Entre ces deu valeurs, f g, donc A = 2 2 = f() 4 2 2 d 2 2 d = 2 4 2 2 d 2 3

24 THÉORÈME DE LA MOYENNE CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL Une autre manière de justifier est de dire : comme f g est positive sur [ 2, 2], l aire à évaluer est A = 2 2 (4 2 ) 2 d 24 Théorème de la moenne Si f est intégrable sur [a, b] alors il eiste c [a, b] tel que b a f()d = (b a)f(c) Si f est positive, on interprète ce théorème en disant que la surface comprise entre l ae des abscisses, le graphique de f et les droites d équation = a et = b est égale à la surface du rectangle de base [a, b] et de hauteur f(c) = f(c) a c b On dit alors que f(c) = b a b f()d est la moenne de la fonction f sur [a, b] a 32 = f()

CHAPITRE 2 CALCUL 25 INTÉGRAL THÉORÈME FONDAMENTAL DU CALCUL INTÉGRAL 25 Théorème fondamental du calcul intégral Si f est intégrable sur [a, b] alors a f(t)dt est une primitive de f sur [a, b] Remarques Lorsqu on considère l epression f(t)dt, il est important de comprendre qu il s agit a bien d une fonction de et non de t Comme la primitive d une fonction est définie à une constante additive près, toute fonction est aussi une primitive de f Parmi toutes les primitives de f, est celle qui vaut 0 en = a a f(t)dt + C a f(t)dt Une conséquence directe que de théorème est que ( f(t)dt) = f() a Si f admet la fonction F comme primitive sur [a, b], alors b a f()d = [F ()] b a = F (b) F (a) On énonce cette propriété en disant que l intégrale d une fonction sur un intervalle est égale à la variation d une de ses primitives Ce théorème fondamental nous donne enfin une méthode de calcul pratique pour calculer une intégrale 33

26 VOLUME DE RÉVOLUTION CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL Eemple Calculer 0 2 d La fonction f est bien continue sur l intervalle [0, ] Elle est donc intégrable Une primitive de f() = 2 est F () = 3 3 [ ] Par conséquent, 2 3 d = = 3 3 0 0 26 Volume de révolution Dans l espace muni d un repère, un volume de révolution est un volume obtenu par la rotation de la surface comprise entre l ae des abscisses, le graphique d une fonction = f() et les plans d équation = a et = b autour de l ae des abscisses Le volume de révolution obtenu par la rotation de la surface comprise entre l ae des abscisses, le graphique d une fonction = f() et les plans d équation = a et = b autour de l ae des abscisses est V = π b a f 2 ()d 34

CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL 27 MÉTHODES D INTÉGRATION Eemple Un paraboloïde de révolution est obtenu en faisant tourner la surface comprise entre l ae des abscisses, le graphique de la fonction = et les plans = 0 et = b z e 3 e O e 2 Le volume engendré entre les plans = 0 et = est V = π ( ) [ 2 2 d = π d = π 2 0 0 ] 0 = π 2 27 Méthodes d intégration 27 Intégration par substitution Si f() est intégrable sur [a, b] et si t = g(), alors b f(g()) g () d = g(b) a g(a) f(t) dt Eemple Calculer I = 0 ( 2 + ) 2 d Posons t = 2 + On a dt = 2 d De plus, = 0 t = et = t = 2 2 D où I = 2 t2 dt = [ ] t 3 2 = ( 8 2 3 2 3 ) = 7 3 6 La méthode par substitution peut parfois être utilisée, même si l intégrand n est pas un pro- 35

27 MÉTHODES D INTÉGRATION CHAPITRE 2 CALCUL INTÉGRAL duit Eemple Calculer I = 0 2 + d Posons t = 2 + On a dt = 2d De plus, = 0 t = et = t = 3 3 D où I = 2t dt = 2 [ln t]3 = ln 3 2 272 Intégration par parties Si deu des 3 propriétés suivantes sont vérifiées : f g est intégrable sur [a, b] f g est intégrable sur [a, b] [fg] b a est fini alors la troisième est vérifiée et b f () g()d = [f g] b a b a a f() g ()d Eemple π 2 Calculer I = cos d 0 f = f = Posons g = cos g = sin On en déduit I = [ sin ] π 2 0 π 2 0 sin d = π 2 [ cos ] π 2 0 = π 2 36

Chapitre 3 Annee Fonctions fondamentales La connaissance des fonctions suivantes est indispensable Il va de soi de connaitre, pour chacune d elles, le domaine de définition, de continuité et de dérivabilité l ensemble des valeurs la parité éventuelle les zéros éventuels les asmptotes éventuelles la dérivée première, les variations et les éventuels etremas la dérivée seconde, la concavité et les éventuels points d infleion le graphique 3 Monômes 3 f() = dom f : R ens val : R parité : impaire zéro : = 0 continue sur R, pas d asmptote 37

3 MONÔMES CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES dérivable sur R et () = variations : strictement croissante sur R concavité : pas de concavité Graphique = 32 f() = 2 dom f : R ens val : R + parité : paire zéro : = 0 continue sur R, pas d asmptote dérivable sur R et ( 2 ) = 2 variations et etrema 0 2 min concavité : positive sur R Graphique 38

CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 3 MONÔMES = 2 33 f() = 3 dom f : R ens val : R parité : impaire zéro : = 0 continue sur R, pas d asmptote dérivable sur R et ( 3 ) = 3 2 variations et etrema 0 3 tang horiz concavité et point d infleion 0 3 PI Graphique 39

32 FONCTIONS RATIONNELLES CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES f() = 3 32 Fonctions rationnelles 32 f() = dom f : R 0 ens val : R 0 parité : impaire zéro : aucun continue sur R 0, AV = 0, AH = 0 en ± dérivable sur R 0 et ( ) = 2 variations et etrema 0 concavité et point d infleion 0 Graphique 40

CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 32 FONCTIONS RATIONNELLES f() = 322 f() = 2 dom f : R 0 ens val : R + 0 parité : paire zéro : aucun continue sur R 0, AV = 0, AH = 0 en ± dérivable sur R 0 et ( 2 ) = 2 3 variations et etrema 0 2 concavité et point d infleion 0 2 Graphique 4

33 FONCTIONS IRRATIONNELLES CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES f() = 2 33 Fonctions irrationnelles 33 f() = dom f : R + ens val : R + parité : ni paire, ni impaire zéro : = 0 continue sur R +, pas d asmptote dérivable sur R + 0 et ( ) = 2 variations et etrema 0 min concavité et point d infleion 0 Graphique 42

CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 33 FONCTIONS IRRATIONNELLES f() = 332 f() = 3 dom f : R ens val : R parité : impaire zéro : = 0 continue sur R, pas d asmptote dérivable sur R 0 et ( 3 ) = 3 2 variations et etrema 0 3 tang vert concavité et point d infleion 0 3 P I Graphique 43

34 VALEUR ABSOLUE CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES f() = 3 34 Valeur absolue 34 f() = dom f : R ens val : R + parité : paire zéro : = 0 continue sur R, pas d asmptote dérivable sur R 0 et ( ) = si > 0 si < 0 variations et etrema 0 min concavité : Graphique 44

CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 35 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES f() = 35 Eponentielles et logarithmes 35 f() = ln dom f : R + 0 ens val : R parité : ni paire, ni impaire zéro : = continue sur R + 0, AV = 0 à droite dérivable sur R + 0 et (ln ) = variations et etrema 0 ln concavité et point d infleion 0 ln Graphique 45

35 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES f() = ln 352 f() = log a (a > ) dom f : R + 0 ens val : R parité : ni paire, ni impaire zéro : = continue sur R + 0, AV = 0 à droite dérivable sur R + 0 et (log a ) = ln a variations et etrema 0 log a concavité et point d infleion 0 log a Graphique (a = 2) 46

CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 35 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES f() = log 2 353 f() = log a (0 < a < ) dom f : R + 0 ens val : R parité : ni paire, ni impaire zéro : = continue sur R + 0, AV = 0 à droite dérivable sur R + 0 et (log a ) = ln a variations et etrema 0 log a concavité et point d infleion 0 log a Graphique (a = 2) 47

35 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES f() = log 2 354 f() = e dom f : R ens val : R + 0 parité : ni paire, ni impaire zéro : aucun continue sur R, AH = 0 en dérivable sur R et (e ) = e variations et etrema : strictement croissante sur R concavité et point d infleion : concavité positive sur R Graphique f() = e 355 f() = a (a > ) dom f : R 48

CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 35 EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES ens val : R + 0 parité : ni paire, ni impaire zéro : aucun continue sur R, AH = 0 en dérivable sur R et (a ) = ln a a variations et etrema : strictement croissante sur R concavité et point d infleion : concavité positive sur R Graphique (a = 2) f() = 2 356 f() = a (0 < a < ) dom f : R ens val : R + 0 parité : ni paire, ni impaire zéro : aucun continue sur R, AH = 0 en + dérivable sur R et (a ) = ln a a variations et etrema : strictement décroissante sur R concavité et point d infleion : concavité positive sur R Graphique (a = 2 ) 49

36 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES f() = ( 2 ) 36 Fonctions trigonométriques L étude d une fonction trigonométrique suppose toujours que l argument des fonctions est eprimé en radians 36 f() = sin dom f : R ens val : [, ] parité : impaire période : 2π zéro : = kπ, k Z continue sur R, pas d asmptote dérivable sur R et (sin ) = cos variations et etrema sur [ π, π] π π 2 0 π 2 π sin 0 min 0 ma 0 concavité et point d infleion π 0 π sin PI PI PI Graphique 50

CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 36 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES f() = sin π 2 π 2 362 f() = cos dom f : R ens val : [, ] parité : paire période : 2π zéro : = π 2 + kπ, k Z continue sur R, pas d asmptote dérivable sur R et (cos ) = sin variations et etrema sur [ π, π] π 0 π cos min ma min concavité et point d infleion π π 2 π 2 π cos 0 PI PI 0 Graphique 5

36 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES f() = cos π 2 π 2 363 f() = tg dom f : R\{ π 2 + kπ, k Z} ens val : R parité : impaire période : π zéro : = kπ, k Z continue sur R\{ π 2 + kπ}, AV = π 2 + kπ, k Z dérivable sur R\{ π 2 + kπ} et (tg ) = cos 2 Graphique 52

CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 36 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 3π 2 π 2 π 2 3π 2 364 f() = cotg dom f : R\{kπ, k Z} ens val : R parité : impaire période : π zéro : = π 2 + kπ, k Z continue sur R\{kπ}, AV = kπ, k Z dérivable sur R\{kπ} et (cotg ) = sin 2 Graphique 53

37 FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 2π π 0π π 2π 37 Fonctions cclométriques 37 f() = arcsin dom f : [, ] ens val : [ π 2, π 2 ] parité : impaire zéro : = 0 continue sur [, ], pas d asmptote dérivable sur ], [ et (arcsin ) = 2 variations et etrema : strictement croissante sur [, ], minimum en = et maimum en = concavité et point d infleion 0 arcsin PI Graphique 54

CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 37 FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES f() = arcsin π 2 π 2 372 f() = arccos dom f : [, ] ens val : [0, π] parité : ni paire, ni impaire zéro : = continue sur [, ], pas d asmptote dérivable sur ], [ et (arcos ) = 2 variations et etrema : strictement décroissante sur [, ], maimum en = et minimum en = concavité et point d infleion 0 arcos PI Graphique 55

37 FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES f() = arccos π 373 f() = arctg dom f : R ens val : ] π 2, π 2 [ parité : impaire zéro : = 0 continue sur R, AH = π 2 en + et = π 2 en dérivable sur R et (arctg ) = + 2 variations et etrema : strictement croissante sur R concavité et point d infleion 0 arctg PI Graphique 56

CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 37 FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES f() = arctg = π 2 = π 2 57

37 FONCTIONS CYCLOMÉTRIQUES CHAPITRE 3 ANNEXE FONCTIONS FONDAMENTALES 58

Table des matières Notions de base 3 Définitions 3 2 Lecture de graphique 3 3 Fonctions paires et impaires 6 3 Définition 6 32 Propriétés du graphique 7 33 Fonctions fondamentales 8 34 Propriétés 8 4 Variations et etrema 8 4 Croissance et décroissance 8 42 Etrema d une fonction 9 5 Transformations graphiques 5 f() + k 52 f( + k) 53 k f() 2 54 f(k ) 2 55 f() 3 2 Limites 5 2 Point adhérent 5 22 Définitions intuitives 6 22 Limite finie à l infini 6 222 Limite infinie à l infini 8 223 Limite infinie en un réel 20 59

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 224 Limite finie en un réel 24 23 Calcul de limites 26 23 Limites fondamentales 26 232 Limites et opérations 27 233 Limite d une fonction de fonction 29 24 Cas d indétermination 29 24 Polnômes : cas [ ] 29 [ 242 Fonction rationnelle : 30 ] 243 Fonctions irrationnelles [ ] 3 0 244 Fonction rationnelle : 32 0 245 Fonctions irrationnelles 32 25 Limites et inégalités 33 3 Asmptotes 35 3 Asmptote horizontale 35 32 Asmptote oblique 36 32 Définition 36 322 Critère d eistence d une asmptote oblique 37 33 Asmptote verticale 38 34 Co-eistence d asmptotes 40 34 Asmptotes horizontales et obliques 40 342 Asmptotes verticales 4 35 Valeurs supérieures et inférieures 42 35 Définitions 42 352 Interprétation graphique 42 353 Position d un graphique par rapport à une asmptote oblique 44 4 Fonctions continues 47 4 Définitions 47 42 Propriétés 49 42 Opérations sur les fonctions continues 49 422 Continuité d une fonction de fonction 49 60

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 43 Eemples fondamentau 49 44 Théorèmes 50 44 Théorème des bornes atteintes 50 442 Théorème des valeurs intermédiaires 5 5 Fonctions dérivables 53 5 Définitions 53 52 Formules de dérivabilité 54 52 Dérivées immédiates 55 522 Propriétés 56 53 Interprétation géométrique 59 53 Tangente au graphique d une fonction en un de ses points 59 532 Points de non dérivabilité 60 54 Théorèmes 63 54 Lien entre continuité et dérivabilité 63 542 Condition nécessaire pour avoir un etremum 64 543 Théoreme de Rolle 65 544 TAF 65 545 Théorème de l Hospital 66 6 Variations 69 6 Lien entre dérivée et croissance 69 6 Définition 69 62 Propriétés 69 62 Etrema 7 62 Point stationnaire 7 622 Condition suffisante pour avoir un etremum local 7 623 Détermination de la nature de l etremum 73 63 Concavité et point d infleion 75 63 Définitions 75 632 Point d infleion 76 633 Tangente et concavité d un graphique 78 6

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 7 Fonctions trigonométriques 8 7 Convention 8 72 Période 8 72 Définition 8 722 Interprétation graphique 82 723 Période des principales fonctions trigonométriques 82 724 Trouver la période d une fonction trigonométrique 84 725 Asmptotes 84 73 f() = sin 85 8 Fonctions réciproques 87 8 Bijection 87 8 Injection 87 82 Surjection 88 83 Bijection 89 82 Fonction réciproque 9 82 Définition 9 822 Limites 92 823 Dérivée d une fonction réciproque 93 824 Graphique 94 83 Fonctions cclométriques 94 83 f() = arcsin 94 832 f() = arcos 96 833 f() = arctg 97 834 f() = arcotg 97 9 Primitives 99 9 Définition 99 92 Primitives immédiates 00 93 Méthodes de primitivation 00 93 Combinaisons linéaires 00 932 Par artifice 0 62

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 933 Par substitution 0 934 Par parties 02 94 Quelques primitives classiques 04 94 Primitives de fonctions trigonométriques 04 942 Primitives de fonctions rationnelles 06 943 Primitives auto-référentes 07 0 Logarithmes 09 0 Logarithme népérien 09 0 Définition 09 02 Graphique 09 03 Etension 0 04 Principe d équivalence 05 Limites particulières 02 Logarithme en base a 02 Définition 022 Limites et asmptotes 2 023 Dérivée 2 024 Graphiques 3 025 Principe d équivalence 4 026 Changement de base 4 03 Propriétés algébriques 4 Eponentielles 7 Eponentielle népérienne 7 Définition 7 2 Graphique 7 3 Limites particulières 8 2 Propriétés algébriques 9 3 Puissance de e à eposant réel 9 4 Nouvelle notation 20 5 Eponentielle de base a 20 63

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 5 Définition 20 52 Graphiques 2 2 Calcul intégral 23 2 Introduction 23 22 Définition 25 23 Propriétés 26 24 Théorème de la moenne 32 25 Théorème fondamental du calcul intégral 33 26 Volume de révolution 34 27 Méthodes d intégration 35 27 Intégration par substitution 35 272 Intégration par parties 36 3 Annee Fonctions fondamentales 37 3 Monômes 37 3 f() = 37 32 f() = 2 38 33 f() = 3 39 32 Fonctions rationnelles 40 32 f() = 40 322 f() = 2 4 33 Fonctions irrationnelles 42 33 f() = 42 332 f() = 3 43 34 Valeur absolue 44 34 f() = 44 35 Eponentielles et logarithmes 45 35 f() = ln 45 352 f() = log a (a > ) 46 353 f() = log a (0 < a < ) 47 64

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES 354 f() = e 48 355 f() = a (a > ) 48 356 f() = a (0 < a < ) 49 36 Fonctions trigonométriques 50 36 f() = sin 50 362 f() = cos 5 363 f() = tg 52 364 f() = cotg 53 37 Fonctions cclométriques 54 37 f() = arcsin 54 372 f() = arccos 55 373 f() = arctg 56 65