Chapitre Fonctions affines. Définition Définition. La fonction définie par f : R R = m+h où m et h sont des nombres réels, est appelée fonction affine. Eemple La fonction C() qui permet de convertir des degrés Fahrenheit, eprimés à l aide de la variable, en degré Celsius : C() = 5 9 60 9 est une fonction affine où m = 5 9 et h = 60 9.. Représentations graphiques La représentation graphique, dans un repère cartésien, de la fonction affine définie par f() = m+h est une droite passant par le point (0;h) et dont l inclinaison dépend du paramètre m. Définition. Le coefficient m est appelé la pente de la droite. h est appelé l ordonnée à l origine de la droite. On donne ci-dessous les représentations graphiques de deu fonctions affines avec une pente m positive, à gauche, ou négative, à droite. 5
Mathématiques, MT-M-MP ère année. Fonctions affines m > 0 = m+h = m+h m < 0 h h 0 0.. Quelques caractéristiques de la représentation graphique Zéro de la fonction L abscisse 0 du point d intersection de la droite représentant la fonction f() = m+h et de l ae O est le zéro de f : 0 = h m. Pente de la droite On rencontre parfois un panneau de circulation signalant une montée ou une descente importante. Par eemple, le panneau ci-contre signale une montée dont la pente est de 0%. Cela signifie que l on monte verticalement de 0 mètres pour un déplacement de 00 mètres. La notion mathématique de pente d une droite est la même. Elle est eprimée par le rapport m = où est un accroissement selon l ae O et l accroissement correspondant selon l ae O. On l eprime généralement par un nombre sans unité et pas en %. Méthode de calcul de la pente On choisit arbitrairement deu points ( ; ) et ( ; ) sur la représentation graphique de la droite dont on désire déterminer la pente. On détermine ensuite la différence des abscisses des deu points, =, et la différence des ordonnées, =. La pente est alors donnée par le quotient : m = = (.) α = m+h m Ce quotient est indépendant du choi de et. L angle α entre l ae O et la droite peut facilement être déterminé à l aide de la pente et de l égalité : tan(α) = m Cette égalité découle directement de la définition de la pente et de la définition de la tangente dans un triangle rectangle. page 5
Mathématiques, MT-M-MP ère année. Fonctions affines La pente m d une fonction affine f() = m+h détermine donc l inclinaison de la droite d équation = m+h et la croissance ou la décroissance de f : si la pente est positive (m > 0), la fonction affine est croissante. si la pente est négative (m < 0), la fonction affine est décroissante. En résumé : sur la représentation graphique, lorsqu on se déplace de horizontalement dans la direction de l ae O, on monte d une hauteur égale à m selon l ae O si m est positif, ou on descend d une hauteur égale à m si m est négatif. Eemple On a représenté ci-contre la fonction affine f() = +. Par définition, la pente de la droite représentant f est égale à et l ordonnée à l origine à. L abscisse du point d intersection entre la droite et l ae O est donnée par : 0 = =. On peut vérifier que la pente de la droite est égale à. On choisit, par eemple, les points ( ;) et (; ) et on obtient, par la formule (.), que : m = ( ) = 7 6 5 L angle entre l ae O et la droite vaut : α = arctan( ) = 6,. = + α 5.. Représentation graphique à partir de l epression fonctionnelle On peut mettre en oeuvre la méthode suivante pour dessiner, dans un repère cartésien, la représentation graphique d une fonction affine définie par f() = m+h. Méthode. Choisir deu valeurs et.. Calculer f( ) et f( ).. Reporterdanslerepèrecartésien lespoints( ;f( ))et( ;f( ))puis tracer la droite passant par ces deu points. Eemple Soit la fonction affine f() = +. On choisit arbitrairement = 0 et =. On a : f( ) = + = 0+ = f( ) = + = + = 0 La droite passe donc par les points (0;) et (;0). On obtient alors la représentation graphique ci-contre. page 5 = +
Mathématiques, MT-M-MP ère année. Fonctions affines.. Epression fonctionnelle à partir de la représentation graphique On peut mettre en oeuvre la méthode suivante pour déterminer l epression fonctionnelle d une fonction affine f à partir de sa représentation graphique ou, plus eactement, à partir de deu points de son graphe. On sait que la fonction affine f est de la forme f() = m+h. Pour obtenir l epression fonctionnelle de f, on doit donc déterminer les coefficients m et h. Méthode. Choisir deu points ( ; ) et ( ; ) du graphe de f.. Calculer la pente m en utilisant la formule (.).. Déterminer h en résolvant l équation à une inconnue = m +h. Eemple On donne ci-dessous la représentation graphique d une fonction affine f. = f() 5 6 7 8 Les points (;) et (7;) appartiennent au graphe de f. La pente de la droite est donnée par : m = 7 =. Comme (;) est un point du graphe, h est la solution de l équation : = +h. En résolvant cette dernière, on trouve h =. L epression fonctionnelle de f est donc : f() =... Intersection des graphes de deu fonctions affines Soit deu fonctions affines f() et g(). Pour déterminer l intersection des graphes de ces deu fonctions, on peut mettre en oeuvre la méthode suivante.. Résoudre l équation f() = g() à une inconnue. La solution 0 de cette équation correspond à l abscisse du point d intersection I des graphes de f et de g.. Calculer 0 = f( 0 ) (= g( 0 )), l ordonnée du point d intersection. Cette méthode permet ainsi de déterminer complètement le point d intersection I( 0 ; 0 ). On a supposé ci-dessus que l équation f() = g() possède une seule solution. En réalité, cette équation possède : page 55
Mathématiques, MT-M-MP ère année. Fonctions affines une unique solution si les droites représentant les graphes de f et g sont sécantes (un seul point d intersection); aucune solution si ces deu droites sont parallèles (aucun point d intersection); une infinité de solutions si ces deu droites sont confondues (infinité de points d intersection). Remarques. La méthode de résolution proposée ci-dessus est équivalente à la méthode qui consisterait à résoudre le sstème de deu équations à deu inconnues et suivant : { = f() = g(). On peut également appliquer la méthode proposée ci-dessus pour déterminer le ou les points d intersection des graphes de deu fonctions réels f et g, même si ces dernières ne sont pas affines. Eemple Les graphes des fonctions f() = et g() = + sont donnés ci-dessous. I = f() 5 = g() Ces graphes se coupent en un point I. L abscisse de ce point est la solution de l équation : = + = 0 = L ordonnée de I est alors l image de par f ou g : 0 = f( ) = =. On obtient finalement le point : I( ; ).. Fonction linéaire Définition. La fonction définie par f : R R = m où m est un nombre réel, est appelée fonction linéaire. page 56
Mathématiques, MT-M-MP ère année. Fonctions affines Remarque Une fonction linéaire est une fonction affine particulière où l ordonnée à l origine vaut 0. La représentation graphique, dans un repère cartésien, de la fonction linéaire définie par f() = m est une droite passant par l origine et dont l inclinaison dépend du paramètre m. On donne ci-contre la représentation graphique d une fonction linéaire avec une pente m positive. = m Eemple On suppose qu un litre d essence coûte.70 francs. Le pri à paer pour une quantité de litres d essence est donné par la fonction linéaire suivante : p() =.7 Proposition. Soit une fonction linéaire f et,,λ R. Les égalités suivantes sont alors satisfaites :. f( + ) = f( )+f( ). f(λ ) = λ f( ) Démonstration. Soit une fonction affine f() = m et,,λ R.. voir : f( + ) = f( )+f( ). Comme f() = m, on a, d après la distributivité de la multiplication sur l addition : f( + ) = m ( + ) = (m )+(m ) = f( )+f( ). voir : f(λ ) = λ f( ) Comme f() = m, on a, d après l associativité et la commutativité de la multiplication : f(λ ) = m (λ ) = λ (m ) = λ f( ) Remarque ttention, ces propriétés sont souvent utilisées à tort pour des fonctions qui ne sont pas linéaires. Par eemple, on voit souvent les erreurs suivantes : sin() = sin() ou + = +. Ces propriétés ne doivent être utilisées que pour des fonctions linéaires! page 57
Mathématiques, MT-M-MP ère année. Fonctions affines. Fonctions constantes Définition. La fonction définie par f : R R = h où h est un nombre réel, est appelée fonction constante. Remarque Une fonction linéaire est une fonction affine particulière où la pente vaut 0. La représentation graphique, dans un repère cartésien, de la fonction affine définie par f() = h est une droite horizontale passant par le point (0;h). On donne ci-contre la représentation graphique d une fonction constante avec une ordonnée à l origine h positive. Eemple h = h On suppose qu un opérateur de téléphonie facture 0.70 francs la communication à ses clients. Le pri à paer à cet opérateur pour une communication de t minutes est donnée par la fonction constante suivante : p(t) = 0.7 page 58