1 Première section: La construction générale

AMALGAMATIONS DE CLASSES DE SOUS-GROUPES D UN GROUPE ABÉLIEN. SOUS-GROUPES ESSENTIEL-PURS. Călugăreanu Grigore comunicare prezentată la Conferinţa de grupuri abeliene şi module de la Padova, iunie 1994 RESUME Pour certaines classes de sous-groupes d un groupe abélien, par un procédé simple, on construit des nouvelles classes plus grandes, en quelque sorte des amalgamations. Le procedé est appliqué pour l amalgamations des classes des sous-groupes purs et des sous-groupes essentiels. On obtient une notion nouvelle denommée sous-groupe essentiel-pur qui, comme la verticalité d un sous-groupe (cf.[1]), est complémentaire à la neteté par raport à la pureté d un sous-groupe. Les deux notions sont comparées. 1 Première section: La construction générale Pour un groupe abélien G, soit P une propriété relative aux sous-groupes de G (e.g. pur, essentiel, net, facteur direct, pleinement invariant, large, isotype, etc.) et C(G) la classe des sous-groupes de G qui ont la propriété P. Dans la suite on7 va supposer que la propriété P est telle que l on a A C(G), A B G = A C(B) (e.g. pur, essentiel, net, etc.). Si P et Q sont deux propriétés du type spécifié, avec, pour un groupe G, C(G) et D(G) les classes des sous-groupes correspondantes, on suppose remplie pour tout groupe G la condition C(G) D(G) = {G}. Faculté de Mathématiques et Informatique, Université Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca, Roumanie 1

A partir de ces deux propriétés (resp. classes) de sous-groupes on construit deux nouvelles propriétés (resp.classes) de sous-groupes plus génerales (resp. larges) comme suit: A (CD)(G) C : A C(C), C D(G) A (DC)(G) C : A D(C), C C(G) la premiere condition definissant la propriété P Q (avec la classe (CD)(G) de sous- groupes) et la deuxième, la propriété Q P (resp.la classe (DC)(G) de sous-groupes). Remarque. Les nouvelles classes introduites par amalgations contiennent les classes C(G) et D(G). En effet, A C(G) implique A (CD)(G) parce que G D(G) et symétriquement, A D(G) implique A (DC)(G) parce que G C(G). Ensuite A D(G) implique A (CD)(G) parce que A C(A) et symétriquement A C(G) implique A (DC)(G) parce que A D(A). Définition. Un sous-groupe A d un groupe G est nommé C-fermé ou P-fermé si pour tout sous-groupe B de G qui contient A, si A C(B) alors A = B (i.e. A n a pas la propriété P dans aucun autre sous-groupe de G). Le résultat général qui suit prouve qu on peut toujours caractériser les propriétés initiales à l aide des nouvelles propriétés introduites et des sousgroupes fermés (au sens de la définition précédente). THÉORÈME 1. Un sous-groupe A appartient á C(G) si et seulement si A (DC)(G) et A est D-fermé; symétriquement A D(G) si et seulement si A (CD)(G) et A est C-fermé. Démonstration. Dans la remarque précédente on a déjà vu que C(G) (DC)(G). Pour constater que tout élément de C(G) est aussi D-fermé soit A C(G) et pour A B G soit A D(B). Par les conditions initiales imposées aux classes on a: A C(G) implique A C(B) donc A C(B) D(B) = {B}. Ainsi A = B et A est D-fermé. Réciproquement, si A (DC)(G) il existe un C tel que A D(C) et C C(G); A étant D-fermé on a A = C et donc A C(G). 2

2 Deuxième section: Sous-groupes essentielpurs Dans ce paragraphe on va analyser un cas particulier: soit P la pureté et Q la propriété des sous-groupes d être essentiels, i.e. C(G) = {A < G A pur dans G} et D(G) = {A < G A essentiel dans G}. La condition C(G) D(G) = {G} est remplie car on sait que le seul sousgroupe pur et essentiel dans G est G lui-même. Les classes qu on obtient par amalgamation sont alors les suivantes: A est nommé pur-essentiel si il existe un sous-groupe C tel que A est pur dans C et C est essentiel dans G et A est nommé essentiel-pur si il existe un sous-groupe C tel que A est essentiel dans C et C est pur dans G. Remarques. Les sous-groupes purs et les sous-groupes essentiels sont pur-essentiels et aussi essentiel-purs, donc on introduit deux généralisations simultanées de la pureté (et aussi des sous-groupes essentiels). Dans ce cas particulier, les sous-groupes D-fermés sont les sous-groupes essentielment-fermés qui (cf.[5]) sont les sous-groupes nets. L une des classes obtenue par cette amalgamation particuliere ne donne rien d intéressant. En effet, on va démontrer dans la suite que tout sousgroupe est pur-essentiel et que les sous-groupes C-fermés, i.e. les sous-groupes pur-fermés sont exactement les sous-groupes essentiels. THÉORÈME 2. Tout sous-groupe est pur-essentiel. Démonstration. Si A est un sous-groupe de G, soit B un sous-groupe A-haut. Il suffit de prendre C = A B, car on sait que A est pur dans A B (même un facteur direct) et A B est essentiel dans G. THÉORÈME 3. Un sous-groupe est pur-fermé si et seulement si il est essentiel. Démonstration. On a vu en général (Th.1) que si A D(G), alors A est C-fermé, donc en particulier tout sous-groupe essentiel est pur-fermé. Réciproquement, si A n est pas essentiel dans G, soit O g G tel que A g = 0. Alors, comme facteur direct, A est pur dans A g, donc n est pas pur-fermé. La deuxième classe de sous-groupes obtenue par cette amalgamation est une classe intérresante, premièrement parce que c est une notion qui généralise la pureté et en second à cause du corrolaire suivant du théorème 1:un sous-groupe est pur si et seulement si il est net et essentiel-pur. 3

Un premier example de sous-groupe essentiel-pur dans un groupe (abélien) G est son socle S(G). En effet, S(G) est essentiel dans T (G), la partie de torsion de G, et T (G) est pur dans G. Remarque. On peut généraliser ce premier example de la facon suivante: pour un sous-ensemble X d un groupe G rappelons les constructions suivantes S(G, X) = {g G n N, n libre de carrés, ng X } P (G, X) = {g G n N : ng X }. On sait que S(G, X) et P (G, X) sont des sous-groupes de G qui contiennent X, S(G, X) P (G, X), P (G, X) est pur dans G et S(G, X)/ X = S(G/ X ), P (G, X)/ X = T (G/ X ). En plus S(G, ) = S(G, 0) = S(G) S(G, X) S(G, G) = G et P (G, ) = P (G, 0) = T (G) P (G, X) P (G, G) = G. Alors,pour tout sous-ensemble X du groupe G le sous-groupe S(G,X) est essentiel-pur. En effet, S(G, X) est essentiel dans P (G, X) parce que le socle S(P (G, X)) S(G) S(G, X) et le quotient P (G, X)/S(G, X) = T (G/ X )/S(G/ X ) est un groupe de torsion (i.e. H essentiel dans G si et seulement si S(G) H et G/H est groupe de torsion). On peut d ailleurs construire une suite croissante S(G) S 2 (G)... S n (G)... T (G), où S n (G) = {g G ord(g) libre de puissances n+1 de nombres premièrs } sont des sous-groupes essentiels-purs, parce que S n (G) = S(G, S n 1 (G)). On peut aussi démontrer que S(G, X) n est pas en général le plus petit sous-groupe essentiel-pur qui contient X. Par example si G = Z(p 2 ) pour X = S(G) = pg, S(G) est un sous-groupe essentiel-pur qui contient S(G). Mais S(G, S(G)) = S 2 (G) = G. Rappelons aussi que tout sous-groupe pur et tout sous-groupe essentiel sont essentiel-purs (un corrolaire de la première remarque de l article). Propriétés immédiates. A. Si A est essentiel dans B et B est essentiel-pur dans G alors A est essentiel-pur dans G. B. Si A est essentiel-pur dans B et B est pur dans G alors A est essentielpur dans G. C. Si B est pur dans G et A/B est essentiel-pur dans G/B alors A est essentiel-pur dans G. (En effet, si A/B est essentiel dans C/B, sous-groupe pur de G/B, on peut vérifier que A est essentiel dans C, qui est pur dans G). 4

Dans le reste du paragraphe on va démontrer que l intérêt de la notion de sous-groupe essentiel-pur peut être réduite aux p-groupes réduits. PROPOSITION 4.- Dans un groupe sans-torsion, chaque sous-groupe est essentiel-pur. Démonstration. Si A est un sous-groupe du groupe sans torsion G alors P (G, A) est le sous-groupe pur engendré par A (l intersection de tous les sousgroupes purs qui contiennent A) et A est essentiel dans P (G, A). En effet, P (G, A)/A = T (G/A) est groupe de torsion et S(P (G, A)) S(G) = O A. Remarque. Dans un groupe de torsion G, un sous-groupe A est essentielpur si et seulement si son socle est un sous-socle de G qui supporte un sous-groupe pur de G qui contient A. Il s ensuit que si U est un sous-socle de G qui ne supporte aucun sousgroupe pur dans G, U n est pas essentiel-pur (des tels sous-socles existent, cf.[4]).donc la propriété d être essentiel-pur n est pas triviale (comme l est la propriété d être pur-essentiel). PROPOSITION 5.- Soit G un groupe mixte. Un sous-groupe A de G est essentiel-pur si et seulement si T(A) est essentiel-pur dans T(G). Démonstration. Si A est essentiel dans G alors T (A) est encore essentiel dans T (G) (en effet 0 B T (C) implique A B 0 et alors T (A) B 0, A étant essentiel dans C et B étant contenu dans T (C)). En plus, si C est pur dans G alors T (C) est encore pur dans T (G). Réciproquement, si T (A) est essentiel dans C, alors sûrement A est aussi essentiel dans C et si C est pur dans T (G) il est aussi pur dans G (T (G) étant pur dans G). On peut donc réduire la notion générale de sous-groupe essentiel-pur à la notion correspondante dans les groupes de torsion. On peut d ailleurs continuer avec une seconde réduction classique: PROPOSITION 6.- Soit G un groupe de torsion. Un sous-groupe A est essentiel-pur dans G si et seulement si pour chaque nombre premier p, A p (la p-composante) est essentiel-pur dans G p. Démonstration. On vérifie d abord facilement q un sous-groupe A est essentiel dans C si et seulement si A p est essentiel dans C p, pour chaque nombre premier p (en effet S(C) A si et seulement si C[p] = S(C p ) A p pour chaque p). Finalement, on vérifie aisément que C est pur dans G si et seulement si C p est pur (ou p-pur) dans G p, pour chaque nombre premier p. Une troisième réduction classique peut être faite comme suit: 5

PROPOSITION 7.- Tout sous-groupe d un groupe divisible est essentiel-pur. Démonstration. D après un résultat classique (remontant à Kulikov) si A est un sous-groupe d un groupe divisible G, alors A est contenu comme sousgroupe essentiel dans un sous-groupe minimal divisible C de G (l enveloppe divisible) et C est pur dans G (dans un groupe divisible, pureté et divisibilité coïncident). PROPOSITION 8.- La notion générale de sous-groupe essentiel-pur peut être réduite 2à la notion correspondante pour les groupes de torsion réduits. Démonstration. Soit A un sous-groupe essentiel-pur d un groupe G i.e. A essentiel dans C et C pur dans G. D une facon canonique soit A = A 1 D(A), ou D(A) est le plus grand sous-groupe divisible de A et A 1 est réduit. Si D(C) a la même signification pour C on a A 1 D(C) = 0 (car A 1 est réduit et D(C) est la partie divisible). On peut alors choisir C 1 sous-groupe de C tel que A 1 C 1 et C = C 1 D(C) avec C 1 réduit. D une façon analogue, on peut choisir G 1 sous-groupe réduit tel que C 1 G 1 et G = G 1 D(G). On vérifie alors que A est essentiel-pur dans G si et seulement si A 1 est essentiel-pur dans G 1 (si et seulement si A 1 est essentiel dans C 1 et C 1 pur dans G 1 ). On peut en effet aisément démontrer le lemme suivant: si A = A 1 A 2 est un sous-groupe essentiel dans G = G 1 G 2 avec A i G i pour i {1,2} alors A i est essentiel dans G i pour chaque i {1,2}. Si G est un groupe de torsion, la réciproque a aussi lieu. La partie de la démonstration concernant la pureté est immédiate. On a ramene l étude de la notion de sous-groupe essentiel-pur au cas des p-groupes réduits. On pourrait essayer de continuer la réduction aux p-groupes sans éléments de hauteur infinie, car on a aussi le résultat suivant PROPOSITION 9.- Si G est un p-groupe réduit et p ω G 0, alors p ω G (le sous-groupe des éléments de hauteur infinie) n est pas essentiel-pur et ne contient pas de sous-groupes essentiel-purs. Démonstration. Rappelons la propriété: si dans un p-groupe G tout élément de G[p] est de hauteur infinie, alors G est divisible (cf.prop.(c),pp98,[3]). Soit A un sous-groupe de p ω G pour lequel il existe un sous-groupe C pur dans G tel que A est essentiel dans C. Alors A[p] = C[p] (équivalent avec A essentiel dans C) et h C p (x) = h G p (x) (car C est pur dans G) sont infinies pour tout x C[p] donc C est un sous-groupe divisible de G. On contredit donc l hypothèse G groupe réduit. 6

3 Troisième section : Comparaison entre essentiel-pur et vertical La notion de sous-groupe essentiel-pur introduite étant, comme la verticalité (cf.[1]), complémentaire à la neteté par raport à la pureté d un sous-groupe, il est naturel de comparer ces deux notions dans un p-groupe. THÉORÈME 10.- Tout sous-groupe essentiel-pur d un p-groupe est vertical. Démonstration. On va faire appel à des propriétés de [1]. Tout sousgroupe essentiel est aussi vertical : en effet, si A est essentiel dans C, par la proposition 1.6 [1], V n (i) : V n (C, A) V n (C, C) induite par l inclusion i de A dans C, est injective et alors V n (C, C) = 0 implique V n (C, A) = 0 donc A est vertical dans C. Si maintenant A est un sous-groupe essentiel-pur de G, A est essentiel et donc vertical dans un sous-groupe C pur de G. La propriété 2.10 ( 1) [1] implique alors que A est vertical dans G. Remarques. - La réciproque n est pas généralement vraie: si U est un sous-socle de G qui ne supporte aucun sous-groupe pur de G, alors U n est pas essentiel-pur mais U est vertical (cf.prop.2.2[1]). La première pathologie de [1] remédiée par les sous-groupes verticaux (tous les sous-socles supportent des sous-groupes verticaux) n est pas remédiée en general ni par les sousgroupes essentiel-purs. -La notion de sous-groupe essentiel-pur ne remédie pas ni l autre pathologie: en effet, les fermetures p-adiques des sous-groupes essentiel-purs ne sont pas en général essentiel-pures. Si G est un p-groupe réduit et p ω G 0 alors 0 est un sous-groupe essentiel-pur (même pur) mais, comme on l a vu plus haut, sa fermeture 0 = p ω G n est pas sous-groupe essentiel-pur. Finalement, on va metre en évidence une classe de p-groupes dans lesquels les sous-groupes essentiel-purs et les sous-groupes verticaux coïncident. THÉORÈME 11.- Dans un p-groupe borné tout sous-groupe vertical est essentiel-pur. Démonstration. Pour une plus grande clarté faisons d abord quelque rappels: (a) Soit A un sous-groupe de G et C un sous-groupe pur de G qui contient A; C est dit une enveloppe pure de A dans G si C est minimal parmi tous les sous-groupes purs de G qui contiennent A (A est nommé purifiable dans ce cas). (b) Les sous-groupes d un groupe G sont tous purifiables si et seulement 7

si G est une somme directe d un sous-groupe divisible et d un sous-groupe borné (cf.[4]). (c) Dénotons par U m (G, A) = (p m G)[p]/(A + p m+1 G) (p m G)[p] les invariants d Ulm relatifs de A dans G. Dans [2] on démontre (dans le cas particulier des p-groupes) que: C est l enveloppe pure de A dans G si et seulement si U m (C, A) = 0 pour tout m {0, 1,..., n} (si G est un p-groupe borné tel que p n G = 0). (d) Lemme.- Soit E = E 0 E 1... E n = 0 une suite décroissante de sous-espaces d un espace vectoriel E, F un sous-espace de E tel que pour chaque m {0,1,...,n-1} on a E m F + E m+1. Alors E = F. Démonstration. Pour m = n 1 on a E n 1 E n + F = F. Passant au quotient on obtient E m /E n 1 F/E n 1 + E m+1 /E n 1. Pour m = n 2 on obtient E n 2 /E n 1 F/E n 1 et alors E n 2 F. On continue par induction: si E 1 F alors E 0 /E 1 F/E 1 + E 1 /E 1 implique E 0 = E F. Aprés tous ces rappels, le plan de la démonstration est le suivant: si A est vertical dans G, soit C une enveloppe pure de A (elle existe dans un p-groupe borné, voir (b)). On vérifie que A[p] = C[p]. Alors A est essentiel-pur parce que son socle supporte un sous-groupe pur qui le contient, notament C. Pour vérifier A[p] = C[p] observons d abord que d apres (c) on a U m (C, A) = 0, donc (A+p m+1 C) (p m C)[p] = (p m B)[p] et encore (p m C)[p] A+p m+1 C. Il s ensuit que (p m C)[p] (A + p m+1 C)[p] = A[p] + (p m+1 C)[p], la dernière égalité étant due au fait que si A est vertical dans G et C est pur dans G, A C, alors A est vertical dans C (prop.2.10 (1),[1]). Tous ces sous-groupes sont inclus dans S(G) = G[p] donc sont des sousespaces d un espace vectoriel (sur Z(p)). Prenant F = A[p] et E m = (p m C)[p] dans (d) on obtient A[p] = C[p] le seul détail qui manquait. Note. Le professeur Khalid Benabdallah a remarqué que la classe des groupes abéliens dans lesquells les sous-groupes verticaux et les sous-groupes essentiel-purs coïncident sont exactement les groupes quasi-complets (pour lesquells les fermetures des sous-groupes purs sont aussi purs). En effet, tout sous-groupe vertical est contenu dans un sous-groupe maximal vertical et les groupes quasi-complets sont exactement ceux pour lesquells tous les sous-groupes maximal verticaux sont purs ([1]). 8

References [1] K.Benabdallah, B.Charles, A.Mader, Vertical subgroups of primary abelian groups, Canad. J. Math., vol.43 (1), 1991, 3-18. [2] B.Charles, Orbits of invariant subspaces of algebraic linear operators, Linear Algebra and its Appl., to appear. [3] L.Fuchs, Infinite Abelian Groups, vol.1, Academic Press, 1970. [4] P.Hill,Ch.Megibben, Minimal pure subgroups in primary groups, Bull.Soc.Math.France vol.92, 1964, 251-257. [5] F.Loonstra, Essential submodules and essential subdirect products, Symposia Mathematica, vol.23, 1979, 85-105, Academic Press. Contents 1 Première section: La construction générale 1 2 Deuxième section: Sous-groupes essentiel-purs 3 3 Troisième section : Comparaison entre essentiel-pur et vertical 7 9