Géométrie dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Perspective cavalière 2 2 Droites et plans de l Espace 3 2.1 Règles d incidence............................................ 3 2.2 Positions relatives de droites et de plans................................ 3 2.3 Deux résultats liés au parallélisme................................... 5 3 Orthogonalité dans l espace 5 Table des figures 1 Représentation d un cube en perspective cavalière........................... 2 2 Un peu de génie civil............................................. 3 3 Un plan en perspective cavalière.................................... 3 4 Intersection avec deux plans parallèles................................. 5 5 Théorème du toit............................................. 5 6 Définition de l orthogonalité....................................... 6 7 Théorème de la porte.......................................... 6 Liste des tableaux 1 Positions relatives de deux plans.................................... 4 2 Positions relatives d une droite et d un plan.............................. 4 3 Positions relatives de deux droites................................... 4 Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 1
1 PERSPECTIVE CAVALIÈRE En préliminaire : Activité : Activité page 317 1 [Modulo] 1 Perspective cavalière Définition : La perspective cavalière est une technique de représentation de l espace sur un support plat (tableau, feuille, etc.). Elle suit les règles suivantes : Les plans parallèles au support choisi (appelé plans frontaux) sont représentés en vraie grandeur ; toute droite perpendiculaire aux plans frontaux (appelée fuyante) sont représentées par des droites faisant avec l horizontale un angle α donné ; sur les fuyantes, les longueurs sont multipliées par un rapport de réduction k donné ; les lignes cachées sont représentées en pointillés. Exemple : Sur la figure 1, on a choisi α = 30 et k = 1 2. La figure représentée est le cube ABCDEF GH. Fig. 1 Représentation d un cube en perspective cavalière les faces ABF E et DCGH sont situés dan des plans frontaux ; les droites (AD), (EH), (F G) et (BC) sont des fuyantes. Elles sont perpendiculaires aux plans frontaux mais sont représentées comme faisant un angle de 30 avec l horizontale ; la figure étant un cube, on a AE = EH, mais dans la représentation, on a EH = 1 2 AE. Propriété : Lors d une représentation en perspective cavalière, l alignement, le parallélisme, les rapports de longueur de segments parallèles et les milieux sont conservés. Remarque : Par contre, les mesures des angles ne sont pas conservées (sauf dans les plans frontaux). Exemple : Sur la figure 2 (tirée de l activité page 317[Modulo]) : les droites (HD) et (EF 5) ne se coupent pas ; le point I n est pas sur la droite (HD) ; les droites (AD) et (DC) sont perpendiculaires. Exercices : 1, 2, 4, 5 page 334 et 8, 9, 10 page 335 2 [Modulo] 1 Un peu de génie civil. 2 Représentation en perspective cavalière. 2
2 DROITES ET PLANS DE L ESPACE Fig. 2 Un peu de génie civil... 2 Droites et plans de l Espace 2.1 Règles d incidence Règles d incidences : Les règles suivantes sont valables dans l espace : 1. Par deux points distincts A et B passe une seule droite, notée (AB). 2. Par trois points non alignés A, B et C passe un seul plan, noté (ABC). 3. Si un plan contient deux points A et B, il contient toute la droite (AB). 4. Dans tout plan de l espace, tout résultat de géométrie plane s applique. Remarques : 1. Un plan est une «surface» plane «illimitée». Elle est représentée en perspective cavalière par un parallélogramme (voir figure 3). Fig. 3 Un plan en perspective cavalière 2. La dernière règle indique que, dans tout plan de l espace, tout se passe comme dans «LE» plan de la géométrie plane. On cherchera donc très souvent à se placer dans un plan de l espace. 2.2 Positions relatives de droites et de plans Les résultats sont résumés dans les tableaux 1, 2 et 3. 3
2.2 Positions relatives de droites et de plans 2 DROITES ET PLANS DE L ESPACE sécants Positions relatives des plans P 1 et P 2 parallèles strictement parallèles ou confondus disjoints leur intersection est la droite D leur intersection est un plan leur intersection est vide Tab. 1 Positions relatives de deux plans sécants Positions relatives de D et P parallèles D et P ont un seul point commun D et P n ont aucun point commun D est incluse dans le plan P. Tab. 2 Positions relatives d une droite et d un plan Positions relatives de D 1 et D 2 Coplanaires sécantes strictement parallèles confondues Non coplanaires un point commun unique pas de point commun tous les points sont communs il n existe pas de plan contenant les deux droites Tab. 3 Positions relatives de deux droites Remarques : 1. Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. Il suffit donc de déterminer deux points appartenant simultanément aux deux plans pour déterminer cette droite. 2. Attention! Dans l espace, il existe des droites qui ne sont ni parallèles, ni sécantes. Exercices : 23 page 336 et 24 page 337 3 26, 27 et 30 page 337 4 33, 34 page 338 5 [Modulo] 3 Positions relatives de droites et de plans. 4 Intersections de plans. 5 Intersections diverses. 4
3 ORTHOGONALITÉ DANS L ESPACE 2.3 Deux résultats liés au parallélisme 2.3 Deux résultats liés au parallélisme Théorème 1 : Si un plan Q coupe deux plans parallèles P et P alors les droites d intersection sont parallèles (voir figure 4). Fig. 4 Intersection avec deux plans parallèles Théorème 2 : (aussi appelée «théorème du toit») Soit D et D deux droites parallèles. P est un plan contenant D et P un plan contenant D (voir figure 5). Si les plans P et P sont sécants, leur droite d intersection est parallèle à D et à D. Fig. 5 Théorème du toit Module : Module 3 page 328 6 [Modulo] Exercices : 39, 40, 43 page 339 et 77, 78, 79 page 346 7 [Modulo] 3 Orthogonalité dans l espace Définition : Soit A le point d intersection d une droite et d un plan P. On dit que la droite est perpendiculaire au plan Psi elle est perpendiculaire à toutes les droites du plan P passant par A (voir figure 6). Théorème 3 : (aussi appelé «théorème de la porte») Si une droite est perpendiculaire en A à deux droites sécantes d un plan P, alors elle est perpendiculaire à ce plan (voir figure 7). 6 Sections planes. 7 Sections planes de polyèdres. 5
RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Fig. 6 Définition de l orthogonalité Fig. 7 Théorème de la porte Exercices : 44 page 339 et 45, 48, 51, 52 page 340 8 [Modulo] Module : TD 2 page 330 9 [Modulo] Exercices : 54, 56, 57 page 341 et 83, 84 page 347 10 [Modulo] Références [Modulo] Modulo Seconde, édition 2004, Didier. 2, 4, 5, 6 8 Parallélisme, orthogonalité. 9 Calculs dans l espace. 10 Calculs de distances, d aires, de volumes. 6